從新高考的考查情況來看，平面向量主要命題方向：向量的線性運算、向量的數(shù)量積運算，利用向量數(shù)量積解決模長、夾角問題，平行或垂直問題、平面向量基本定理及應(yīng)用，有時也會與三角函數(shù)、平面解析幾何進(jìn)行交匯命題共線向量定理，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大．考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用．復(fù)數(shù)及其運算也是新高考的一個必考點，內(nèi)容比較簡單，主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的四則運算。1．平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值．2、數(shù)量積和模的計算問題，求解思路：①直接利用數(shù)量積的定義；②建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算求解．在利用數(shù)量積的定義計算時，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進(jìn)行計算．求平面向量的模時，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方．3、向量與平面幾何綜合問題的解法1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．2）基底法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來求解．4、復(fù)數(shù)一般考查共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)平面的意義比較多，中間夾雜著復(fù)數(shù)之間的運算法則，這類題目相對比較簡單，屬于送分題目。牽涉到知識點也是比較少，主要注重基本運算；特別會求復(fù)數(shù)類題目可采取答案帶入式運算。熱點1. 平面向量的最值（范圍）問題①代數(shù)法：即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；．熱點2. 平面向量與其它知識的交匯問題1．向量在解析幾何中的作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別是向量垂直、平行的坐標(biāo)表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時經(jīng)常用到．2．向量與三角的綜合應(yīng)用解決這類問題的關(guān)鍵是應(yīng)用向量知識將問題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角知識進(jìn)行求解． A卷（建議用時60分鐘）一、單選題1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）我國東漢數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，，，則（    ）A． B． C． D．2．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，，，則（    ）A．2 B． C． D．3．（2021·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院高三期中）已知向量=（1，3），向量=（3，t），=2，則等于（    ）A． B． C． D．4．（2021·陜西蒲城·高三期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中點，則（    ）A． B． C．3 D．95．（2021·山東·泰安一中模擬預(yù)測）已知是互相垂直的單位向量，若，則（    ）A． B． C．0 D．26．（2021·福建龍巖·高三期中）已知向量，，，若，則（    ）A． B． C． D．7．（2021·重慶·模擬預(yù)測）已知單位向量的夾角為.若，則實數(shù)的值為（    ）A．2 B． C．4 D．8．（2021·江蘇鹽城·高三期中）下列向量一定與向量垂直的是（    ）A． B． C． D．9．（2021·四川成都·高三期中）已知向量，，則在方向上的投影是（    ）A． B． C． D．10．（2021·遼寧·高三期中）已知四邊形ABCD的三個頂點為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點D的坐標(biāo)為（    ）A．      B．     C．(3，2)      D．(1，3)11．（2021·河南·高三期中）如圖所示，矩形的對角線相交于點，點在線段上且，若（，），則（    ）A． B． C． D．12．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）如果復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實數(shù)）為純虛數(shù)，那么（    ）A．1 B．2 C．4 D．13.（2021·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)為（    ）A． B． C． D．14．（2021·福建師大附中高三期中）已知，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．（2021·江蘇海安·高三期中）已知是關(guān)于x的方程的一個根，則該方程的另一個根為（    ）A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋316．（2021·山東青島·高三期中）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)不可能為（    ）A． B． C． D．二、多選題17．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，則（    ）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則18．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）如圖，已知點為正十邊形的中心，且，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．   B．  C．  D．19．（2021·重慶一中高三期中）已知點G是三角形的重心，以下結(jié)論正確的是（    ）A．                           B．若，則三角形是等腰三角形C．三角形的面積等于，則  D．若，則20．（2021·重慶九龍坡·高三期中）下列說法錯誤的是（    ）A．若，則或   B．若，，則C．若， ，則    D．若，，則或21．（2021·重慶·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．復(fù)數(shù)的虛部為          B．C．的最大值     D．的最小值為22．（2021·江蘇·南京師大蘇州實驗學(xué)校高三期中）已知實數(shù)a滿足，（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)，則（    ）A．z為純虛數(shù) B．為虛數(shù) C． D．23．（2021·浙江浙江·高三期末）下列命題為真命題的是（    ）A．若互為共軛復(fù)數(shù)，則為實數(shù)  B．若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為         D．復(fù)數(shù)為的虛部為－1三、填空題24．（2021·四川·成都七中高三期中）已知向量，．（1）若當(dāng)時，，則實數(shù)的值為_______________________；（2）若存在正數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________________．25．（2021·上海普陀·一模）設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的實部與虛部的和為___________.26．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知非零向量不共線，若，，，且，，三點共線，則___________.四、解答題27．（2021·湖北·高三期中）如圖，在菱形ABCD中，若，，，．（1）若，，求，，x，y的值；（2）求的值．    28．（2021·山東德州·高三期中）已知向量與是夾角為的單位向量，且向量.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值.        29．（2021·全國·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，．（1）求角和邊長；（2）設(shè)為邊上一點，且為角的平分線，試求三角形的面積；（3）在（2）的條件下，點為線段的中點，若，分別求和的值．          30．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的方程的虛數(shù)根為、.（1）求的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的值.             B卷（建議用時90分鐘）一、單選題1．（2021·重慶九龍坡·高三期中）已知，，，，則的取值范圍（    ）A．        B．          C．         D．2．（2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三期中）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點.設(shè)，，若，則（    ）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是不共線向量，設(shè)，，，，若△的面積為3，則△的面積為（    ）A．8 B．6 C．5 D．44．（2021·湖北·高三期末）已知復(fù)數(shù)和滿足，，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．5．（2021·山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形，設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（    ）A．24 B． C． D．6．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）設(shè)、、為非零不共線向量，若，則（    ）A．   B．   C．   D．7．（2021·上海虹口·一模）已知，復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）滿足，給出下列結(jié)論：①的取值范圍是；②；③的取值范圍是；④的最小值為2；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021·上海市徐匯中學(xué)高三期中）已知方程有兩個虛根，若，則的值是（     ）A．或 B． C． D．9．（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的編號是（    ）A．①②③ B．②④ C．①② D．①③二、多選題10．（2021·湖北·高三期中）下列說法正確的是（    ）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若M是的外心，且，則P是的內(nèi)心C．若O為所在平面內(nèi)一點，且，則，，的面積之比3：4：5D．若O是的外心，，，的值為-811．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線. 若，，則下列各式正確的是（    ）A．     B．    C．     D．12．（2021·山東師范大學(xué)附中高三期中）在中，，，，的交點為，過的動直線分別交線段，于，兩點，若，（，），則下列結(jié)論正確的是（    ）A．   B．   C．   D．13．（2021·廣東·模擬預(yù)測）下列命題中正確的有（    ）A．若復(fù)數(shù)滿足，則； B．若復(fù)數(shù)滿足，則；C．若復(fù)數(shù)滿足，則； D．若復(fù)數(shù)，則．14．（2021·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）一個復(fù)數(shù)集X稱為某種運算的“和諧集”是指X滿足性質(zhì):①X?C；②?a，b∈X對某種規(guī)定的運算a⊕b，都有a⊕b∈X.則下列數(shù)集X是相應(yīng)運算的“和諧集”的是（    ）A．，其中i是虛數(shù)單位，規(guī)定運算:a⊕b=a?b，(?a，b∈X)B．，規(guī)定運算:C．，規(guī)定運算:a⊕b=a?b，(?a，b∈X)D．，規(guī)定運算:a⊕b=a+b，(?a，b∈X)三、填空題15．（2021·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法國香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個公式，則______；若，則 ______.16．（2021·天津二中高三期中）已知邊長為的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，過B點的直線l與圓相交于M，N兩點，（1）若圓心O到直線l的距離為1，則__________；（2）若，則的取值范圍為_____________．17．（2021·天津?qū)嶒炛袑W(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，D在邊AB上（不與端點重合）.延長CD到P，使得.當(dāng)D為AB中點時，PD的長度為_______；若（m為常數(shù)且），則BD的長度是____.18．（2021·四川宜賓·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，的坐標(biāo)為，點為動點，且滿足，記，若的最小值為，則的最大值為________．19．（2021·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時，則______20．（2022·天津北辰·）如圖，在平面四邊形中，．若點為邊上的動點，則的最小值為_________． 四、解答題21．（2021·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院高三期中）在△ABC中，已知，，，D為BC的中點，E為AB邊上的一個動點，AD與CE交于點O.設(shè).（1）若，求的值；（2）求的最小值.  22．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知O是線段外一點，若，．（1）設(shè)點、是線段的三等分點，、及的重心依次為、、，試用向量、表示；（2）如果在線段上有若干個等分點，你能得到什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論．  23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為，點為正方形內(nèi)一點.（1）如圖1，求的值；（2）如圖2，若點、滿足，，點是線段的中點，點是平面上動點，且滿足，其中，求的最小值.  24．（2021·浙江浙江·高三期末）在梯形中，，P，Q分別為線段和上的動點．（1）求與的數(shù)量積；（2）若，求；（3）若，求的最大值．     25．（2021·浙江浙江·高三期末）在復(fù)平面中原點為O，已知A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，且，且B，C均在實軸上方，（1）求的取值范圍； （2）當(dāng)時，P是線段上的動點，求的取值范圍；（3）求的最大值．     26．（2021·山東濟寧·高三期中）一般地，任何一個復(fù)數(shù)（，）都可以表示成形式，其中，是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”. （1）畫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把表示成三角形式；（2）已知，，，其中，.試求（結(jié)果表示代數(shù)形式）.

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