知識(shí)點(diǎn)1：切線問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)握{(diào)性、極最值問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問(wèn)題
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：切線問(wèn)題
1．（2023?甲卷（文））曲線在點(diǎn)處的切線方程為
A．B．C．D．
2．（2021?新高考Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則
A．B．C．D．
3．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是 ．
4．（2022?新高考Ⅱ）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為 ．
知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)握{(diào)性、極最值問(wèn)題
5．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為
A．B．C．D．
6．（2023?乙卷（文））函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．
7．（2022?乙卷（文））函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為
A．，B．，C．，D．，
8．（2022?甲卷（文））當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（2）
A．B．C．D．1
9．（2021?乙卷（文））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則
A．B．C．D．
10．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則
A．B．C．D．
11．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則
A．有兩個(gè)極值點(diǎn)
B．有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
D．直線是曲線的切線
知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問(wèn)題
12．（2022?天津）已知，，，則
A．B．C．D．
13．（2022?甲卷（文））已知，，，則
A．B．C．D．
14．（2022?新高考Ⅰ）設(shè)，，，則
A．B．C．D．
15．（2023?甲卷（文））已知函數(shù)．記，，，則
A．B．C．D．
16．（2021?天津）設(shè)，，，則三者大小關(guān)系為
A．B．C．D．
17．（2021?新高考Ⅱ）已知，，，則下列判斷正確的是
A．B．C．D．
專題03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選擇題、填空題）（文）
知識(shí)點(diǎn)目錄
知識(shí)點(diǎn)1：切線問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)握{(diào)性、極最值問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問(wèn)題
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：切線問(wèn)題
1．（2023?甲卷（文））曲線在點(diǎn)處的切線方程為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>，
故函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，
切線方程為，即．
故選：．
2．（2021?新高考Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，
函數(shù)的圖象如圖，，即切點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，
如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．
點(diǎn)在軸或下方時(shí)，只有一條切線．
如果在曲線上，只有一條切線；
在曲線上側(cè)，沒(méi)有切線；
由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時(shí)，有兩條切線，可知．
故選：．
法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線橫坐標(biāo)為，
則切線方程為，可得，
設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，
，，是減函數(shù)，
因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線．
故選：．
3．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是 ．
【答案】，，．
【解析】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
切線的斜率，
切線方程為，
又切線過(guò)原點(diǎn)，，
整理得：，
切線存在兩條，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
△，解得或，
即的取值范圍是，，，
故答案為：，，．
4．（2022?新高考Ⅱ）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為 ．
【答案】，．
【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，切線的斜率，
切線方程為，
又切線過(guò)原點(diǎn)，，
，
切線方程為，即，
當(dāng)時(shí)，，與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，
切線方程也關(guān)于軸對(duì)稱，
切線方程為，
綜上所述，曲線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為，，
故答案為：，．
知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)握{(diào)性、極最值問(wèn)題
5．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，
依題意，在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則，
易知當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則．
故選：．
6．（2023?乙卷（文））函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
若函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，
則，有兩個(gè)不同的根，且極大值大于0極小值小于0，
即判別式△，得，
由得或，此時(shí)單調(diào)遞增，
由得，此時(shí)單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，
則，，
即，且，
即，①，且，②，
則①恒成立，
由，，
平方得，即，
則，綜上，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
7．（2022?乙卷（文））函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】，，，
則，
令得，或，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間，上的極大值為，極小值為，
又，，
函數(shù)在區(qū)間，的最小值為，最大值為，
故選：．
8．（2022?甲卷（文））當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（2）
A．B．C．D．1
【答案】
【解析】由題意（1），則，
則，
當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值，可得也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
（1），即．
，
易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，
則（2）．
故選：．
9．（2021?乙卷（文））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，
則；
當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，
則；
綜上，．
故選：．
10．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?br>且，
由題意，方程即有兩個(gè)正根，設(shè)為，，
則有，，△，
，，
，即．
故選：．
11．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則
A．有兩個(gè)極值點(diǎn)
B．有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
D．直線是曲線的切線
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；
假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，
顯然和均不在曲線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問(wèn)題
12．（2022?天津）已知，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因?yàn)槭嵌x域上的單調(diào)增函數(shù)，所以，即；
因?yàn)槭嵌x域上的單調(diào)減函數(shù)，所以，且，所以；
因?yàn)槭嵌x域上的單調(diào)增函數(shù)，所以，即；
所以．
故選：．
13．（2022?甲卷（文））已知，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
，
，，
構(gòu)造函數(shù)，
，
，，，
在單調(diào)遞增，
（8），又因?yàn)椋?br>故，
故選：．
14．（2022?新高考Ⅰ）設(shè)，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】構(gòu)造函數(shù)，，
則，，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增，
在處取最小值（1），
，且，
，，；
，，
，；
設(shè)，
則，
令，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，，，
．
故選：．
15．（2023?甲卷（文））已知函數(shù)．記，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，則的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
，
而，
，
，
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
，
而，
，，
綜合可得，又為增函數(shù)，
，即．
故選：．
16．（2021?天津）設(shè)，，，則三者大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
，
故選：．
17．（2021?新高考Ⅱ）已知，，，則下列判斷正確的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
．
故選：．

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