1.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1).若a⊥(b-c),則x的值為( )
A.-2B.2C.3D.-3
2.在下列條件中,使M與A,B,C一定共面的是( )
A.
B.
C.=0
D.=0
3.(多選)給出下列命題,其中正確命題有( )
A.空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底
B.已知向量a∥b,則a,b與任何向量都能構(gòu)成空間的一個基底
C.A,B,M,N是空間四點,若不能構(gòu)成空間的一個基底,那么A,B,M,N共面
D.已知向量{a,b,c}是空間的一個基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底
4.下列向量與向量a=(1,-,1)共線的單位向量為( )
A.B.
C.D.
5.(多選)已知點P是△ABC所在的平面外一點,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),則( )
A.AP⊥ABB.AP⊥BP
C.BC=D.AP∥BC
6.
如圖,設(shè)=a,=b,=c,若=2,則=( )
A.a+b-c
B.-a-b+c
C.a-b-c
D.-a+b+c
7.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),則|a-2b|=( )
A.7B.5C.3D.6
8.(多選)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),則下列結(jié)論中正確的是( )
A.若|a|=2,則m=±
B.若a⊥b,則m=-1
C.不存在實數(shù)λ,使得a=λb
D.若a·b=-1,則a+b=(-1,-2,-2)
9.已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,則μ= ;若a∥b,則λ+μ= .
10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出下面四個命題:
①()2=3()2;②夾角為120°;③=0;④正方體的體積是||,則所有正確的命題的序號是 .
11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點.
(1)化簡:;
(2)設(shè)E是棱DD1上的點,且,若=x+y+z,試求實數(shù)x,y,z的值.
綜合提升組
12.已知向量{a,b,c}是空間向量的一個基底,向量{a+b,a-b,c}是空間向量的另外一個基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(1,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為( )
A.B.
C.D.
13.已知空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當(dāng)取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為( )
A.B.
C.D.
14.如圖所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N為A1D1上一點,且A1N=λA1D1.若BD⊥AN,則λ的值為 ;若M為棱DD1的中點,BM∥平面AB1N,則λ的值為 .
創(chuàng)新應(yīng)用組
15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
(1)證明:BE⊥PD;
(2)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求線段PF的長.
參考答案
課時規(guī)范練37 空間向量及其運算
1.A ∵b-c=(-2,3,1),∴a·(b-c)=4+3x+2=0,解得x=-2.故選A.
2.C M與A,B,C一定共面的充要條件是=x+y+z,x+y+z=1,
對于A選項,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;
對于B選項,由于1,所以不能得出M,A,B,C共面;
對于C選項,由于=-,則為共面向量,所以M,A,B,C共面;
對于D選項,由=0,得=-,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故選C.
3.ACD 選項A,根據(jù)空間基底的概念,可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底,所以A正確;
選項B,根據(jù)空間基底的概念,可得B不正確;
選項C,由不能構(gòu)成空間的一個基底,可得共面,
又由過相同點B,可得A,B,M,N四點共面,所以C正確;
選項D,由{a,b,c}是空間的一個基底,則基向量a,b與向量m=a+c一定不共面,所以可以構(gòu)成空間另一個基底,所以D正確.故選ACD.
4.C 由|a|==2,
∴與向量a共線的單位向量為故選C.
5.AC 因為=0,故A正確;=(3,-3,-3),=3+6-3=6≠0,故B不正確;=(6,1,-4),||=,故C正確;=(1,-2,1),=(6,1,-4),則不平行,故D不正確.故選AC.
6.A 由題可知,)-)=a+b-c,故選A.
7.C ∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),∴|a-2b|==3故選C.
8.AC 對于A,由|a|=2,可得=2,解得m=±,故A正確;
對于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B錯誤;
對于C,若存在實數(shù)λ,使得a=λb,則顯然λ無解,即不存在實數(shù)λ,使得a=λb,故C正確;
對于D,若a·b=-1,則-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D錯誤.故選AC.
9.- 因為a⊥b,則a·b=3(μ+1)+0+2μ=0,解得μ=-
若a∥b,則a=mb,即(3,2λ-1,1)=m(μ+1,0,2μ),故
解得故λ+μ=
10.①②③
設(shè)正方體的棱長為1.建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
=(0,0,1),=(1,0,0),=(0,1,0),則=(1,1,1),故()2=||2=3,3()2=3||2=3.故①正確;
=(1,0,-1),=(0,1,1),設(shè)夾角為θ,所以csθ==-,
因為0°≤θ≤180°,所以夾角為120°,故②正確;
=(1,1,1),=(0,-1,1),=0-1+1=0,故③正確;
正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為||||||,但是||=0,故④錯誤.
11.解(1),)=
(2)
=)
=
=,
∴x=,y=-,z=-
12.B 設(shè)向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為(x,y,z),
則p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為故選B.
13.C 設(shè)Q(x,y,z),由點Q在直線OP上,可得存在實數(shù)λ使得=,
即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得Q(λ,λ,2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),則=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)λ=時,取得最小值-,此時Q故選C.
14-1 (1)取空間中一個基底:=a,=b,=c,設(shè)AB=AD=AA1=1,因為BD⊥AN,所以=0,因為=b-a,=c+λb,
所以(b-a)·(c+λb)=0,所以+λ-=0,所以λ=-1.
(2)在AD上取一點M1使得A1N=AM1,連接M1N,M1M,M1B,
因為A1N∥AM1,且A1N=AM1,所以四邊形AA1NM1是平行四邊形,所以AA1∥NM1,AA1=NM1,又AA1∥BB1,AA1=BB1,所以BB1∥NM1,BB1=NM1,所以四邊形BB1NM1是平行四邊形,所以NB1∥M1B,NB1=M1B,
又因為M1B?平面AB1N,NB1?平面AB1N,所以M1B∥平面AB1N,
又因為BM∥平面AB1N,且BM∩M1B=B,所以平面M1MB∥平面AB1N,所以MM1∥平面AB1N,
又因為平面AA1D1D∩平面AB1N=AN,且MM1?平面AA1D1D,所以M1M∥AN,所以△AA1N∽△MDM1,
所以=2,所以λ=
15.
(1)證明 ∵PA⊥底面ABCD,
AD⊥AB,
∴以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
由題意B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),=(0,1,1),=(0,2,-2),
則=0+2-2=0,,即BE⊥PD.
(2)解 =(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),
由點F在棱PC上,設(shè)==(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1,
=(1-2λ,2-2λ,2λ),
∵BF⊥AC,=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,
∴||=1-||=,即線段PF的長為

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