1.已知平面α的一個法向量為(1,2,-2),平面β的一個法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于( )

A.2B.-4C.4D.-2
2.將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,長為長為,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).則異面直線B1C與AA1所成的角的大小為( )
A.B.C.D.
3.
如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,E,F,G分別為AB,AA1,A1C1的中點,則B1F與平面GEF所成角的正弦值為( )
A.B.
C.D.
4.(多選)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱VA上的點(不含端點).記直線PB與直線AC所成的角為α,直線PB與平面ABC所成的角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則α,β,γ大小關(guān)系正確的是( )
A.α>βB.α=βC.γ>βD.γ≥β
5.
(多選)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,D,E,F分別為AC,AA1,AB的中點.則下列結(jié)論正確的是( )
A.AC1與EF相交
B.B1C1∥平面DEF
C.EF與AC1所成的角為90°
D.點B1到平面DEF的距離為
6.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,M為棱A1B1上的一點,且A1M=λ(0sinβ,∴α>β(α,β均為銳角).故A正確,B錯誤;
在Rt△PDB與Rt△PDF中,由PB>PF,得sinββ(β,γ均為銳角).故C正確;由于不存在PB=PF的可能,故D錯誤,故選AC.
5.BCD 對選項A,由圖知AC1?平面ACC1A1,EF∩平面ACC1A1=E,且E?AC1.由異面直線的定義可知AC1與EF異面,故A錯誤;
對于選項B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC.
∵D,F分別是AC,AB的中點,
∴FD∥BC,∴B1C1∥FD.
又∵B1C1?平面DEF,DF?平面DEF,∴B1C1∥平面DEF.故B正確;
對于選項C,由題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).
=(-1,1,-1),=(-2,0,2).
=2+0-2=0,
,
∴EF與AC1所成的角為90°.故C正確;
對于選項D,設(shè)向量n=(x,y,z)是平面DEF的一個法向量.
=(1,0,1),=(0,1,0),
取x=1,則z=-1,∴n=(1,0,-1).
設(shè)點B1到平面DEF的距離為d.
又=(-1,2,2),
∴d=,∴點B1到平面DEF的距離為,故D正確.故選BCD.
6.
D 以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),
=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1),
設(shè)平面D1EF的法向量n=(x,y,z),則
取x=1,得n=(1,0,2),
∴點M到平面D1EF的距離為d=,
∵N為EM中點,故點N到平面D1EF的距離為
7 由題意可知,∠BAC=60°,點B到平面ACC1A1的距離為,點C到平面ABB1A1的距離為2,由于側(cè)面和底面垂直,由面面垂直的性質(zhì)定理可得,B到AC的距離為,C到AB的距離為2,所以在三角形ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,∠ABC=90°,
則=()·()=4,||=2,||=4,
cs=,
sin=故tan=
8.(1)證明由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C⊥平面ABC,∵AC,BC在平面ABC中,
∴C1C⊥AC,C1C⊥BC.
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC,且AB=AC,
由勾股定理得AP==BP,
∵∠APB=60°,∴△ABP是等邊三角形,則AP=AB=AC,
由勾股定理得PC==AC=AA1=CC1,∴P為CC1的中點.
(2)解
易知CA,CB,CC1兩兩垂直,以點C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
設(shè)AC=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,3),=(-2,2,0),=(-2,0,3),
設(shè)平面ABP的法向量為n=(x,y,z),由
令x=3,得y=3,z=2,∴n=(3,3,2),
又平面ACP的法向量為m=(0,1,0),
∴cs=,
由圖形可知,二面角B-AP-C為銳角,
∴二面角B-AP-C的余弦值為
9.(1)證明
如圖所示,連接A1E,B1E,
在等邊三角形AA1C中,AE=EC,則A1E⊥AC,
∵平面ABC⊥平面A1ACC1,且平面ABC∩平面A1ACC1=AC,
∴A1E⊥平面ABC,故A1E⊥BC.
由三棱柱的性質(zhì)可知A1B1∥AB,而AB⊥BC,故A1B1⊥BC,且A1B1∩A1E=A1,
∴BC⊥平面A1B1E,
∵EF?平面A1B1E,∴EF⊥BC.
(2)解在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC,交AB于點H,以點E為坐標(biāo)原點,EH,EC,EA1方向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.
設(shè)EH=1,則AE=EC=,AA1=CA1=2,BC=,AB=A1E=3,
則A(0,-,0),B,A1(0,0,3),C(0,,0),=,-3,=-,0.
由可得點B1的坐標(biāo)為B1,利用中點坐標(biāo)公式可得F,由于E(0,0,0),故直線EF的方向向量為,
設(shè)平面A1BC的法向量為m=(x,y,z),則所以
取x=1,則y=,z=1,
則平面A1BC的一個法向量為m=(1,,1),所以cs=,
設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ,則sinθ=|cs|=,故csθ=
10.解(1)因為多面體是由底面為ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,
所以平面ADG∥平面BCFE,又因為平面ADG∩平面AEFG=AG,平面BCFE∩平面AEFG=EF,所以AG∥EF,同理AE∥GF,所以四邊形AEFG是平行四邊形.
連接AC,BD交于點O,以O(shè)為原點,OB,OC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,-,0),B(1,0,0),E(1,0,1),F(0,,5),
所以=(-1,,4),=(1,,0),所以=(-2,0,4),所以||==2,
所以BG的長為2
(2)根據(jù)題意可取平面ABCD的一個法向量為m=(0,0,1),
由(1)知=(-1,,4),=(1,,1),設(shè)平面AEFG的法向量為n=(x,y,z),則由
令z=2,則x=3,y=-5,所以n=(3,-5,2),
所以cs=,所以平面AEFG與底面ABCD的夾角的余弦值為
11.B 以A點為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),設(shè)F(t,1,1-t)(0≤t≤1),
可得=(1,1,1),=(t-1,1,-t),可得=0,故異面直線AC1與B1F所成的角是定值,故①正確;
三棱錐B-A1EF的底面A1BE面積為定值,且CD1∥BA1,點F是線段CD1上的一個動點,可得點F到底面A1BE的距離為定值,故三棱錐B-A1EF的體積是定值,故②正確;
=(t,1,-t),=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面B1CD1的一個法向量為n=(1,1,1),可得cs不為定值,故③錯誤.故選B.
12.BC 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,0,1,O,1,所以=(-1,0,0),=-,0,1.
設(shè)∠ABE=θ,則csθ=,sinθ=
故A到直線BE的距離d1=||sinθ=1,故A錯誤;
易知=-,-,0,平面ABC1D1的一個法向量=(0,-1,1),
則點O到平面ABC1D1的距離d2=,故B正確;
=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則所以
令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).
所以點D1到平面A1BD的距離d3=
因為平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為,故C正確;
因為,所以=,又=(1,0,0),則,
所以點P到AB的距離d=,故D錯誤.
13.解依題意,以C為原點,分別以的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).
(1)證明:依題意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),從而=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.
(2)依題意,=(2,0,0)是平面BB1E的一個法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).
設(shè)n=(x,y,z)為平面DB1E的法向量,則不妨設(shè)x=1,可得n=(1,-1,2).
因此有cs=,
于是sin=所以,二面角B-B1E-D的正弦值為
(3)依題意,=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)為平面DB1E的一個法向量,于是cs==-
所以,直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為
14.解(1)在棱BC上存在點E,使得CF∥平面PAE,點E為棱BC的中點.
取PA的中點Q,連接EQ,FQ,
由題意,FQ∥AD,且FQ=AD,CE∥AD,且CE=AD,
故CE∥FQ,且CE=FQ.
∴四邊形CEQF為平行四邊形.
∴CF∥EQ,又CF?平面PAE,EQ?平面PAE,∴CF∥平面PAE.
(2)取AB中點M,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DM,PD⊥DC,又易知DM⊥DC,∴以D為坐標(biāo)原點,分別以DM,DC,DP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)FD=a,則D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B(,1,0),A(,-1,0).
則=(0,2,-a),=(,-1,0).
設(shè)平面FBC的一個法向量為m=(x,y,z).由
取x=1,得m=;
取平面DFC的一個法向量為n=(1,0,0).由題意,=|cs|=,解得a=
∴m=(1,),=(-,1,).
設(shè)直線AF與平面BCF所成的角為θ,
則sinθ=|cs|=即直線AF與平面BCF所成的角的正弦值為
15.(1)證明由四邊形ABCD是直角梯形,AB=,BC=2AD=2,AB⊥BC,可得DC=2,∠BCD=,從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠ADC.
∵E為CD的中點,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE?平面ABCD,
∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)解存在.在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于點O,連接OC,
又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,
∴PO⊥平面ABCD.∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角,則∠PCO=,
∵PB=PD,PO⊥BD,∴O為BD的中點,∴OC⊥BD,∴OP=OC=
以O(shè)B,OC,OP所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),
假設(shè)在側(cè)面PCD內(nèi)存在點N,使得BN⊥平面PCD成立,設(shè)=+(λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1),
由題意得N(-λ,,-(λ+μ-1)),=(-λ-1,,-(λ+μ-1)),=(0,,-),=(-1,0,-),由
得
解得λ=,μ=,滿足題意,
∴N點到平面ABCD的距離為-(λ+μ-1)=
16.(1)證明 取CD中點G,連接EG,FG.
因為E,F分別是AB,PC的中點,所以FG∥PD,EG∥AD,
因為FG∩EG=G,所以平面EFG∥平面PAD.
因為EF?平面EFG,所以EF∥平面PAD.
(2)解 存在.理由如下,因為BC⊥AB,BC⊥PB,且AB∩PB=B.所以BC⊥平面PAB,
又BC∥AD,所以AD⊥平面PAB,
所以PA⊥AD,
又因為AB⊥AD,PA⊥AB,
以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則PB=BC=3-a,由PB>AB,得0

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