?第2課時(shí)　直線(xiàn)與橢圓


直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
[題組練透]
1．直線(xiàn)y＝2x－1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．相離　　　D．不確定
解析：選A.方法一：直線(xiàn)方程y＝2x－1過(guò)點(diǎn)(1，1)，而(1，1)在橢圓內(nèi)部，故選A.
方法二：由得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1 404>0，所以直線(xiàn)y＝2x－1與橢圓＋＝1相交．
2．已知直線(xiàn)l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓C：
(1)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(2)沒(méi)有公共點(diǎn)．
解：將直線(xiàn)l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(2)當(dāng)Δb>0)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，且離心率e＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線(xiàn)l的斜率為，直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
若|AB|＝，求直線(xiàn)l的方程．
【解】　(1)因?yàn)閑2＝＝＝，所以a2＝4b2.又橢圓C：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，
所以＋＝1，所以a2＝8，b2＝2.故所求橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)l的方程為y＝x＋m，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
因?yàn)棣ぃ?m2－8m2＋16>0，解得|m|b>0)的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足PF2⊥x軸，|PF2|＝，橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．
解：(1)由題意知，離心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)由條件可知F1(－，0)，直線(xiàn)l：y＝x＋，聯(lián)立直線(xiàn)l和橢圓C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝
＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝.

中點(diǎn)弦問(wèn)題
(1)已知橢圓＋y2＝1，則斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______．
(2)焦點(diǎn)是F(0，5)，并截直線(xiàn)y＝2x－1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．
【解析】　(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為P(x0，y0)，
通解：有＋y＝1， ＋y＝1.
兩式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因?yàn)閤1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，代入后求得kAB＝－.即2＝－，所以x0＋4y0＝0.
優(yōu)解：由kABkOP＝－得2·＝－，即x0＋4y0＝0.
故所求的軌跡方程為x＋4y＝0，將x＋4y＝0代入＋y2＝1得＋＝1，解得x＝±，
又中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以－0)，直線(xiàn)被橢圓所截弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由題意，可得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且＝，＝－.
將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得兩式相減并化簡(jiǎn)，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
優(yōu)解：設(shè)弦的中點(diǎn)為M，由kABkOM＝－，
得2×＝－，得a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
【答案】　(1)x＋4y＝0
(2)＋＝1

解決圓錐曲線(xiàn)“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的方法
　
　已知橢圓＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M，則橢圓的離心率為(　　)
A. B. C. D.
解析：選A.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.因?yàn)镻F∥l，所以kPF＝kl＝－＝.
因?yàn)椋?，＋＝1.所以＋＝0，所以＋＝0，可得2bc＝a2，
所以4c2(a2－c2)＝a4，化為4e4－4e2＋1＝0，解得e2＝，又因?yàn)?0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，B為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，·≥2，則橢圓的離心率的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選C.根據(jù)題意不妨設(shè)B(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，因?yàn)椤ぁ?，
所以b2≥2c2，又因?yàn)閎2＝a2－c2，
所以a2≥3c2，所以0b>0)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．若a＝2b，則Ω的離心率為
B．若Ω的離心率為，則＝
C．若F1，F(xiàn)2分別為Ω的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F1且與Ω交于點(diǎn)A，B，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a
D．若A1，A2分別為Ω的左、右頂點(diǎn)，P為Ω上異于點(diǎn)A1，A2的任意一點(diǎn)，則PA1，PA2的斜率之積為－
解析：選BCD.若a＝2b，則c＝b，e＝，選項(xiàng)A不正確；若e＝，則a＝2c，b＝c，＝，選項(xiàng)B正確；根據(jù)橢圓的定義易知選項(xiàng)C正確；設(shè)P(x0，y0)，則＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以PA1，PA2的斜率之積為·＝＝＝－，選項(xiàng)D正確．
5．斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．若∠AOB為鈍角，則直線(xiàn)l在y軸上的截距m的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：由題意知l的方程為y＝x＋m.由得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，解得－20)上任意一點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)PM，PN的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值為1，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．橢圓E的方程為＋y2＝1
B．橢圓E的離心率為
C．曲線(xiàn)y＝log3x－經(jīng)過(guò)E的一個(gè)焦點(diǎn)
D．直線(xiàn)2x－y－2＝0與E有兩個(gè)公共點(diǎn)
解析：選ACD.設(shè)P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，則N(－x1，－y1)，＋＝1，＋＝1，所以y＝m－x，y＝m－，k1k2＝·＝＝－.于是|k1|＋|k2|≥2＝2＝2＝，依題意，得＝1，解得m＝1，故E的方程為＋y2＝1，A正確．離心率為，B錯(cuò)誤．焦點(diǎn)為(±，0)，曲線(xiàn)y＝log3x－經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)(，0)，C正確．又直線(xiàn)2x－y－2＝0過(guò)點(diǎn)(1，0)，且點(diǎn)(1，0)在E內(nèi)，故直線(xiàn)2x－y－2＝0與E有兩個(gè)公共點(diǎn)，D正確．故選ACD.
13．(2020·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，F(xiàn)是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M(0，2)，且|MF|＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為N，且滿(mǎn)足|AM|＝|BN|，求l的方程．
解：(1)由題意，可得解得a＝2，b＝，故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)根據(jù)題意可得，點(diǎn)A必在點(diǎn)B的上方，才有|AM|＝|BN|.
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，|AM|＝2－，|BN|＝，|AM|≠|(zhì)BN|，不合題意，故l的斜率必定存在．
設(shè)l的方程為y＝kx＋2，由
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，即k2>.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
設(shè)N(x0，y0)，則x0＝＝－.
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，所以|x1－x2|＝|x0－0|，
則＝|x0|，即＝，整理得k2＝>，故k＝±，l的方程為y＝±x＋2.
14．(2020·福州市適應(yīng)性考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以橢圓C的短軸為直徑的圓與直線(xiàn)l：3x＋4y－5＝0相切．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線(xiàn)y＝x＋m交橢圓C于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(diǎn)，且x1>x2，已知l上存在點(diǎn)P，使得△PMN是以∠PMN為頂角的等腰直角三角形，若P在直線(xiàn)MN的右下方，求m的值．
解：(1)依題意，b＝＝1，因?yàn)殡x心率e＝＝＝，所以＝，解得a＝，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)因?yàn)橹本€(xiàn)y＝x＋m的傾斜角為45°，且△PMN是以∠PMN為頂角的等腰直角三角形，P在直線(xiàn)MN的右下方，所以NP∥x軸，如圖，過(guò)M作NP的垂線(xiàn)，垂足為Q，則Q為線(xiàn)段NP的中點(diǎn)，所以Q(x1，y2)，故P(2x1－x2，y2)，
所以3(2x1－x2)＋4y2－5＝0，即3(2x1－x2)＋4(x2＋m)－5＝0，
整理得6x1＋x2＋4m－5＝0.　①
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
所以Δ＝36m2－48m2＋48>0，解得－20)，則在橢圓上一點(diǎn)A(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為＋＝1.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題，橢圓C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距為2，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)B作C1的切線(xiàn)l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，則△OCD面積的最小值為(　　)
A. B. C. D．2
解析：選B.由題意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
將點(diǎn)代入橢圓方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即橢圓的方程為＋y2＝1，設(shè)B(x2，y2)，則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，所以S△OCD＝··＝，又點(diǎn)B為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，所以x2>0，y2>0，＋y＝1，即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)＝時(shí)等號(hào)成立，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，△OCD面積取得最小值，故選B.
16．如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Pierre Dandelin用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線(xiàn)是橢圓的模型(稱(chēng)為“Dandelin 雙球”)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切．設(shè)圖中球O1，球O2的半徑分別為3和1，球心距離O1O2＝8，截面分別與球O1，球O2切于點(diǎn)E，F(xiàn)(E，F(xiàn)是截口橢圓的焦點(diǎn))，則此橢圓的離心率為_(kāi)_______．
解析：如圖，根據(jù)球外一點(diǎn)向球作的切線(xiàn)長(zhǎng)相等知，PM＝PF，PE＝PN.根據(jù)橢圓的定義知MN＝2a.又O1O2＝8，球O1的半徑R＝3，球O2的半徑r＝1，所以MN＝2a＝＝，則a＝.又∠O1PF＋∠O2PE＝(鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)相互垂直)，tan ∠O2PE＝＝＝，tan ∠O1PF＝＝＝，所以×＝1，則c＝2.所以離心率e＝＝＝.
答案：

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