1．已知直線l：y＝x＋1，橢圓C： eq \f(x2,3)＋y2＝1.若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(3,4))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,4)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))
2．過橢圓 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,4)＝1上的點A(3，－1)作橢圓的切線l，則過A點且與直線l垂直的直線方程為( )
A.x－y－3＝0 B．x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0
3．(多選)已知橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為 eq \f(\r(3),2)，點M(2，1)在橢圓C上，直線l平行于OM且在y軸上的截距為m，直線l與橢圓C交于A，B兩點，下面結(jié)論正確的有( )
A.橢圓C的方程為 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,2)＝1
B.kOM＝ eq \f(1,2)
C.－2＜m＜2
D.m≤－2或m＞2
4．直線m與橢圓 eq \f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為________．
5．已知橢圓C： eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，直線AF1與橢圓C的另一個交點為B，則△ABF2的面積為________．
6．已知橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的中心是坐標原點O，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設P是橢圓C上一點，滿足PF2⊥x軸，|PF2|＝ eq \f(1,2)，橢圓C的離心率為 eq \f(\r(3),2).
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過橢圓C左焦點且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求△AOB的面積．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．(多選)已知直線l：y＝x＋m與橢圓C： eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若C與l至少有一個公共點，則m≤2 eq \r(2)
B.若C與l有且僅有兩個公共點，則|m|＜2 eq \r(2)
C.若m＝3 eq \r(2)，則C上到l的距離為5的點只有1個
D.若m＝－ eq \r(2)，則C上到l的距離為1的點有3個
2．(多選)已知橢圓C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1的焦點在x軸上，且F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓C上一點，則下列結(jié)論正確的是( )
A. eq \f(1,2)＜m＜1
B.C的離心率為 eq \r(\f(1,m))
C.存在m，使得∠F1PF2＝90°
D.△F1PF2面積的最大值為 eq \f(\r(2),4)
3．已知兩定點A(－1，0)和B(1，0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋2上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為________．
4．橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為 eq \f(1,2)的直線l過左焦點F1且交C于A，B兩點，且△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π.若橢圓的離心率為 eq \f(1,2)，則|AB|＝________．
5．已知橢圓 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，右焦點為F，|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求橢圓的方程和離心率e；
(2)已知點P是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線A2P交y軸于點Q.若三角形A1PQ的面積是三角形A2FP的面積的二倍，求直線A2P的方程．
6．設橢圓E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，AF2⊥F1F2，原點O到直線AF1的距離為 eq \f(1,3)|OF1|.
(1)求橢圓E的離心率；
(2)平面上點B滿足 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AF1,\s\up6(→))＋ eq \(AF2,\s\up6(→))，過F1與AB平行的直線交E于M，N兩點，若|MN|＝3 eq \r(2)，求橢圓E的方程．
參考答案
【A級 基礎鞏固】
1．解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y，得2x2＋3x＝0，則xA＋xB＝－ eq \f(3,2)，所以該中點的橫坐標為 eq \f(1,2)(xA＋xB)＝－ eq \f(3,4)，縱坐標為1－ eq \f(3,4)＝ eq \f(1,4)，即線段AB的中點的坐標為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,4))).
答案：B
2．解析：過橢圓 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,4)＝1上的點A(3，－1)的切線l的方程為 eq \f(3x,12)＋ eq \f((－y),4)＝1，
即x－y－4＝0，切線l的斜率為1，與直線l垂直的直線的斜率為－1，
過A點且與直線l垂直的直線方程為y＋1＝－(x－3)，
即x＋y－2＝0.
答案：B
3．解析：由題意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(3),2)，,\f(4,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝2，))故橢圓C的方程為 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,2)＝1，故A正確．
kOM＝ eq \f(1－0,2－0)＝ eq \f(1,2)，故B正確．因為直線l的斜率k＝kOM＝ eq \f(1,2).又l在y軸上截距為m，所以l的方程為y＝ eq \f(1,2)x＋m.由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))
得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＞0，解得－2＜m＜2.故C正確，D錯誤．
答案：ABC
4．解析：由點差法可求出k1＝－ eq \f(1,2)· eq \f(x中,y中)，所以k1· eq \f(y中,x中)＝－ eq \f(1,2)，即k1k2＝－ eq \f(1,2).
答案：－ eq \f(1,2)
5．解析：由題意知A(0，1)，F(xiàn)1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，直線AF1的方程為y＝x＋1，聯(lián)立方程組 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(4,3)，,y＝－\f(1,3)，))即B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以S△ABF2＝ eq \f(1,2)×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))＝ eq \f(4,3).
答案： eq \f(4,3)
6．解：(1)由題意知，離心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),2)，|PF2|＝ eq \f(b2,a)＝ eq \f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標準方程為 eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由條件可知F1(－ eq \r(3)，0)，直線l：y＝x＋ eq \r(3)，聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋\r(3)，
\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8 eq \r(3)x＋8＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－ eq \f(8\r(3),5)，x1·x2＝ eq \f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝ eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \f(4\r(2),5)，所以S△AOB＝ eq \f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝ eq \f(2\r(6),5).
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1．解析：聯(lián)立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，
則判別式Δ＝12(8－m2)，
令Δ＝12(8－m2)≥0，則|m|≤2 eq \r(2)，A錯誤；
令Δ＝12(8－m2)＞0，則|m|＜2 eq \r(2)，B正確；
令直線l與橢圓C相切，則Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2 eq \r(2)，直線y＝x＋3 eq \r(2)與y＝x－2 eq \r(2)的距離d＝ eq \f(|3\r(2)－(－2\r(2))|,\r(2))＝5，C正確；
如圖，直線y＝x－ eq \r(2)分別與y＝x－2 eq \r(2)和y＝x的距離均為1，因此，C上到l的距離為1的點有3個，D正確．
答案： BCD
2．解析：A選項，橢圓C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1的焦點在x軸上，故m＞1－m＞0，解得 eq \f(1,2)＜m＜1，A正確；
B選項，設F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，則c2＝m－(1－m)＝2m－1，
故C的離心率為 eq \r(\f(2m－1,m))＝ eq \r(2－\f(1,m))，B錯誤；
C選項，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝2m－1，與橢圓C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1聯(lián)立得， eq \f(x2,m)＋ eq \f(2m－1－x2,1－m)＝1，
整理得(1－2m)x2＝2m－3m2.
因為 eq \f(1,2)＜m＜1，所以x2＝ eq \f(m(2－3m),1－2m)，
當 eq \f(2,3)≤m＜1時，2－3m≤0，1－2m＜0，故x2＝ eq \f(m(2－3m),1－2m)≥0，滿足要求，
故存在m，使得∠F1PF2＝90°，C正確；
D選項，因為|F1F2|＝2 eq \r(2m－1)，故當P點位于上頂點或下頂點時，△F1PF2面積取得最大值，
故最大面積為 eq \f(1,2)|F1F2|· eq \r(1－m)＝ eq \r(2m－1)· eq \r(1－m)＝ eq \r(－2m2＋3m－1)＝ eq \r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,4)))\s\up12(2)＋\f(1,8)).
因為 eq \f(1,2)＜m＜1，所以當m＝ eq \f(3,4)時，△F1PF2面積取得最大值，最大值為 eq \f(\r(2),4)，D正確．
答案：ACD
3．解析：由題意知c＝1，離心率e＝ eq \f(c,a).
因為P在直線l：y＝x＋2上移動，所以2a＝|PA|＋|PB|.點A關于直線y＝x＋2的對稱點為D，設D(m，n)，則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,m＋1)＝－1，,\f(1,2)n＝\f(1,2)(m－1)＋2，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝1，))即有D(－2，1)，則2a＝|PA|＋|PB|＝|PD|＋|PB|≥|BD|＝ eq \r(10)，當D，P，B共線時，等號成立，此時a＝ eq \f(\r(10),2)，故離心率e的最大值為 eq \f(\r(10),5).
答案： eq \f(\r(10),5)
4．解析：如圖所示，由橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
則△ABF2的周長為4a，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r.
又△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π，
故2π＝2πr，則r＝1，
由題意得 eq \f(1,2)×4a×r＝ eq \f(1,2)×2c×|y1－y2|，
得|y1－y2|＝ eq \f(2a,c)＝ eq \f(2,e)＝4，
所以|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝4 eq \r(5).
答案：4 eq \r(5)
5．解：(1)如圖，由題意可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝3，,a－c＝1，))
故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，))則b2＝a2－c2＝3，
所以橢圓的方程為 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，
此橢圓的離心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2).
(2)由題易知直線A2P的斜率存在且不為0，所以可設直線A2P的方程為y＝k(x－2).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－2)，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
設P(xP，yP)，則由根與系數(shù)的關系可知xP＋2＝ eq \f(16k2,3＋4k2)，即xP＝ eq \f(8k2－6,3＋4k2)，則yP＝k(xP－2)＝ eq \f(－12k,3＋4k2).
由直線A2P交y軸于點Q可得Q(0，－2k)，
所以S△A1PQ＝ eq \f(1,2)×4×|yP－yQ|，S△A2FP＝ eq \f(1,2)×1×|yP|.
因為S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2|yP－yQ|＝|yP|.
①當2|yP|－2|yQ|＝|yP|時，|yP|＝2|yQ|，即有 eq \f(12|k|,3＋4k2)＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合題意，舍去．
②當2|yQ|－2|yP|＝|yP|時，2|yQ|＝3|yP|，即有4|k|＝ eq \f(36|k|,3＋4k2)，解得k＝± eq \f(\r(6),2).
故直線A2P的方程為y＝± eq \f(\r(6),2)(x－2).
6．解：(1)由題設AF2⊥F1F2及F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，不妨設A(c，y0)(y0＞0)，
所以 eq \f(c2,a2)＋ eq \f(y eq \\al(2,0),b2)＝1， eq \f(a2－b2,a2)＋ eq \f(y eq \\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝ eq \f(b2,a)或y0＝－ eq \f(b2,a)(舍去)，從而A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
直線AF1的方程為y＝ eq \f(b2,2ac)(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c＝0，
原點O到直線AF1的距離為 eq \f(b2c,\r(b4＋4a2c2))＝ eq \f(c,3)，將c2＝a2－b2代入整理得a2＝2b2，
即a＝ eq \r(2)b＝ eq \r(2)c，
所以離心率e＝ eq \f(\r(2),2).
(2)由(1)問可設橢圓方程為 eq \f(x2,2c2)＋ eq \f(y2,c2)＝1，則A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(c,\r(2)))).
因為 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AF1,\s\up6(→))＋ eq \(AF2,\s\up6(→))，所以四邊形AF2BF1為平行四邊形，
所以直線AB過O點，則AB斜率為 eq \f(1,\r(2))，
則設直線MN方程為y＝ eq \f(1,\r(2))(x＋c)，
聯(lián)立橢圓方程得2x2＋2cx－c2＝0，顯然Δ＞0，則xM＋xN＝－c，xMxN＝－ eq \f(c2,2)，
則|MN|＝ eq \r(1＋k2)|xM－xN|＝ eq \r(1＋\f(1,2)) eq \r(c2＋2c2)＝3 eq \r(2)，解得c＝2(負值舍去)，
所以b＝2，a＝2 eq \r(2)，所以橢圓方程為 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.

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