考點(diǎn)規(guī)范練45　橢圓基礎(chǔ)鞏固1.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0),橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26,則橢圓的方程為(　　)A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案:A解析:由題意知a=13,c=5,則b2=a2-c2=144.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓方程為=1.2.已知橢圓=1的離心率為,則k的值為(　　)A.- B.21C.-或21 D.或21答案:C解析:若a2=9,b2=4+k,則c=,由,即,得k=-;若a2=4+k,b2=9,則c=,由,即,解得k=21.3.若曲線ax2+by2=1是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)a,b滿足(　　)A.a2>b2 B.C.0<a<b D.0<b<a答案:C解析:由ax2+by2=1,得=1,因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以>0,所以0<a<b.4.已知點(diǎn)P(x1,y1)是橢圓=1上的一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),若∠F1PF2取最大值時(shí),則△PF1F2的面積是(　　)A. B.12 C.16(2+) D.16(2-)答案:B解析:∵橢圓方程為=1,∴a=5,b=4,c==3,因此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-3,0),F2(3,0).根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知,當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時(shí),∠F1PF2取最大值,則此時(shí)△PF1F2的面積S=2××3×4=12,故選B.5.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(　　)A.+y2=1 B.=1C.=1 D.=1答案:B解析:如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,得解得∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴點(diǎn)A為(0,-b).∴=b.過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.由題意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=.又=b,∴|BP|=b.∴點(diǎn)B.把點(diǎn)B坐標(biāo)代入橢圓方程=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以橢圓方程為=1.6.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(　　)A. B. C. D.答案:A解析:以線段A1A2為直徑的圓的方程是x2+y2=a2.因?yàn)橹本€bx-ay+2ab=0與圓x2+y2=a2相切,所以圓心到該直線的距離d==a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以,從而e=.故選A.7.直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為(　　)A. B. C. D.答案:B解析:設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0),則直線l的方程為=1,即bx+cy-bc=0,短軸長為2b,由題意得×2b,與b2+c2=a2聯(lián)立得a=2c,故e=.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),直線y=與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是　　　　　. 答案:解析:由題意得B,C,F(c,0),所以.因?yàn)?/span>∠BFC=90°,所以=0.所以c2-=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以e=.9.已知F1,F2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,連接AF2和BF2.(1)求△ABF2的周長;(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面積.解:(1)∵F1,F2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,連接AF2和BF2.∴△ABF2的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.(2)設(shè)直線l的方程為x=my-1,由得(m2+2)y2-2my-1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=-.∵AF2⊥BF2,∴=0,∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-2m·+4==0.∴m2=7.∴△ABF2的面積S=·|F1F2|·.10.(2020全國Ⅲ,文21)已知橢圓C:=1(0<m<5)的離心率為,A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面積.解:(1)由題設(shè)可得,得m2=,所以C的方程為=1.(2)設(shè)P(xP,yP),Q(6,yQ),根據(jù)對稱性可設(shè)yQ>0,由題意知yP>0.由已知可得B(5,0),直線BP的方程為y=-(x-5),所以|BP|=yP,|BQ|=.因?yàn)?/span>|BP|=|BQ|,所以yP=1,將yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直線BP的方程得yQ=2或8.所以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=,直線P1Q1的方程為y=x,點(diǎn)A(-5,0)到直線P1Q1的距離為,故△AP1Q1的面積為.|P2Q2|=,直線P2Q2的方程為y=x+,點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為,故△AP2Q2的面積為.綜上,△APQ的面積為.能力提升11.已知F1,F2是橢圓=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2,則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　)A. B.C. D.答案:B解析:∵F1,F2是橢圓=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),∴離心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.設(shè)點(diǎn)P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化簡得x2+y2=c2,聯(lián)立方程組整理,得x2=(2c2-a2)·≥0,解得e≥,又0<e<1,∴≤e<1.故選B.12.已知橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是　　　　　. 答案:解析:設(shè)Q(x0,y0),則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,所以=1,化簡得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=.13.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.答案:(1)解設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因?yàn)?/span>M(x0,y0)在C上,所以=1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.高考預(yù)測14.橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作垂直于x軸的直線l與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求橢圓E的方程;(2)A,B是橢圓C上位于直線l兩側(cè)的兩點(diǎn).若直線AB過點(diǎn)(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直線AB的方程.解:(1)由題意可得|PF2|==3,因?yàn)?/span>|PF1|=5,由橢圓的定義得a=4,所以b2=12,故橢圓E方程為=1.(2)易知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).因?yàn)?/span>∠APF2=∠BPF2,所以直線PA,PB的斜率之和為0.設(shè)直線PA的斜率為k,則直線PB的斜率為-k,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線PA的方程為y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以x1+2=,同理直線PB的方程為y-3=-k(x-2),可得x2+2=,所以x1+x2=,x1-x2=,kAB===,所以滿足條件的直線AB的方程為y+1=(x-1),即為x-2y-3=0.

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