1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題23 立體幾何中的壓軸小題
【題型歸納目錄】
題型一：球與截面面積問題
題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題
題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題
題型四：立體幾何中的交線問題
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
題型六：空間角問題
題型七：立體幾何裝液體問題
【典例例題】
題型一：球與截面面積問題
例1．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知球O的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（ ）
A．2B．C．D．
例2．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））已知正四棱柱中，，E為的中點，P為棱上的動點，平面過B，E，P三點，有如下四個命題：
①平面平面；
②平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形；
③當P與A重合時，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為；
④存在點P，使得AD與平面所成角的大小為．
則正確的命題個數(shù)為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·四川資陽·高二期末（理））如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點P在線段EF上．給出下列命題：
①存在點P，使得直線平面ACF；
②存在點P，使得直線平面ACF；
③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；
④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是．
其中所有真命題的序號（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①③④
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點的等腰直角三角形，，為中點．若底面所在平面上有一個動點，且始終保持，過點作的垂線，垂足為．當點運動時，
①點在空間形成的軌跡為圓
②三棱錐的體積最大值為
③的最大值為2
④與平面所成角的正切值的最大值為
上述結(jié)論中正確的序號為（ ）．
A．①②B．②③C．①③④D．①②③
例5．（2022·安徽省舒城中學(xué)一模（理））已知正三棱錐的高為3，側(cè)棱與底面所成的角為，為棱上一點，且，過點作正三棱錐的外接球的截面，則截面面積的最小值為（ ）A．B．C．D．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的各個頂點都在球的表面上，底面，，，，是線段上一點，且．過點作球的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知正三棱錐的外接球是球O，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點E在線段上，且，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在單位正方體中，點P是線段上的動點，給出以下四個命題：
①異面直線與直線所成角的大小為定值；
②二面角的大小為定值；
③若Q是對角線上一點，則長度的最小值為；④若R是線段上一動點，則直線與直線不可能平行．
其中真命題有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
例10．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）已知正方體為對角線上一點（不與點重合），過點作垂直于直線的平面，平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．只可能為三角形或六邊形
B．平面與平面的夾角為定值
C．當且僅當為對角線中點時，的周長最大
D．當且僅當為對角線中點時，的面積最大
例11．（2022·河南省實驗中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點，，分別為棱，上的動點，則三棱錐的體積（ ）
A．存在最大值，最大值為B．存在最小值，最小值為
C．為定值D．不確定，與，的位置有關(guān)
例12．（2022·山西運城·模擬預(yù)測（文））如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，點P，Q分別為的中點，G在側(cè)面上運動，且滿足G∥平面，以下命題錯誤的是（ ）
A．
B．多面體的體積為定值
C．側(cè)面上存在點G，使得
D．直線與直線BC所成的角可能為
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，過對角線的一個平面交于E，交于F，給出下面幾個命題：
①四邊形一定是平行四邊形；
②四邊形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④設(shè)與DC的延長線交于M，與DA的延長線交于N，則M?N?B三點共線；
⑤四棱錐的體積為定值．
以上命題中真命題的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
例14．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，棱長為1的正方體中，點為線段上的動點，點分別為線段的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．三棱錐的體積為定值
C．D．的最小值為
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點P為線段上的動點（點與，不重合），則下列說法不正確的是（ ）
A．
B．三棱錐的體積為定值
C．過，，三點作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形
D．DP與平面所成角的正弦值最大為
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點：
①若點在線段上運動，則始終有；
②若是棱中點，則直線與是相交直線；
③若點在線段上運動，三棱錐體積為定值；
④為中點，過點，且與平面平行的正方體的截面面積為；
以上命題為真命題的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
例17．（2022·江西南昌·三模（理））已知長方體中，，，，為矩形內(nèi)一動點，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點．過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點，為棱上異于的動點．有下列結(jié)論：
①線段的長度為；②點到面的距離范圍為；
③周長的最小值為；④的余弦值的取值范圍為．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·河南省實驗中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點，，分別為棱，上的動點，則三棱錐的體積（ ）
A．存在最大值，最大值為B．存在最小值，最小值為
C．為定值D．不確定，與，的位置有關(guān)
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們在繪畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時所畫的底面積大小是，則和的值分別是（ ）
A．3；B．4；C．4；D．3；
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正方體，棱中點為，動點、、分別滿足：點到異面直線、的距離相等，點使得異面直線、所成角正弦值為定值，點使得．當動點、兩點恰好在正方體側(cè)面內(nèi)時，則多面體體積最小值為（ ）
A．B．C．D．
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與不重合），有以下四個結(jié)論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面；
③若的周長為L，則L的最小值為；
④若的面積為，則．
則正確的結(jié)論為（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．②④
例24．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知四面體的所有棱長均為，、分別為棱、的中點，為棱上異于、的動點．有下列結(jié)論：
①線段的長度為；
②存在點，滿足平面；
③的余弦值的取值范圍為；
④周長的最小值為．
其中所有正確結(jié)論的編號為（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．②③④
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，是線段上的點，過的平面與直線垂直，當在線段上運動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例26．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點重合于點），則此四棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））在棱長為3的正方體中，P為內(nèi)一點，若的面積為，則四面體體積的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
例28．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校三模（理））函數(shù)，設(shè)球O的半徑為，則（ ）
A．球O的表面積隨x增大而增大B．球O的體積隨x增大而減小
C．球O的表面積最小值為D．球O的體積最大值為
題型四：立體幾何中的交線問題
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正方體的棱長為，，分別為，的中點，點在平面中，，點在線段上，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①點的軌跡長度為；
②線段的軌跡與平面的交線為圓?。?br>③的最小值為；
④過、、作正方體的截面，則該截面的周長為
A．B．C．D．
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點為球心作一個半徑為的球，則該球的球面與側(cè)面的交線長度為（ ）
A．B．C．D．
例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體的中心與球心O重合，正四面體的棱長為，球的半徑為，則正四面體表面與球面的交線的總長度為
A．B．C．D．
例32．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））如圖，△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD＝3，E為線段BD中點，將△ABC沿AD折成大小為的二面角，連接BC，形成四面體C－ABD，若P是該四面體表面或內(nèi)部一點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．點P落在三棱錐E－ABC內(nèi)部的概率為
B．若直線PE與平面ABC沒有交點，則點P的軌跡與平面ADC的交線長度為C．若點在平面上，且滿足PA＝2PD，則點P的軌跡長度為
D．若點在平面上，且滿足PA＝2PD，則線段長度為定值
例33．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖1，在正方形中，點為線段上的動點（不含端點），將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐，點為線段上的動點（不含端點），則在四棱錐中，下列說法正確的是（ ）
A．???四點一定共面
B．存在點，使得平面
C．側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交
D．三棱錐的體積為定值
例34．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知正方體的棱長是2，E，F(xiàn)分別是棱和的中點，點P在正方形（包括邊界）內(nèi)，當平面時，長度的最大值為a．以A為球心，a為半徑的球面與底面的交線長為（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正四棱柱中，，為的中點，為棱上的動點，平面過，，三點，則（ ）
A．平面平面
B．平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形
C．當與A重合時，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為
D．存在點，使得與平面所成角的大小為
例36．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）如圖，圓柱的底面半徑和高均為1，線段是圓柱下底面的直徑，點是下底面的圓心．線段是圓柱的一條母線，且．已知平面經(jīng)過，，三點，將平面截這個圓柱所得到的較小部分稱為“馬蹄體”．記平面與圓柱側(cè)面的交線為曲線．則（ ）
A．曲線是橢圓的一部分B．曲線是拋物線的一部分
C．二面角的大小為D．馬蹄體的體積為滿足
例37．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD-A1B1C1D1邊長為1，P是上的一個動點，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．BP的最小值為
B． 的最小值為
C．當P在直線上運動時，三棱錐 的體積不變
D．以點B為球心，為半徑的球面與面 的交線長為
例38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長為a，M是的中點，則（ ）
A．任意，
B．存在，直線與直線BM相交
C．平面與底面交線長為定值D．當時，三棱錐外接球表面積為
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
例39．（2022·山東·高一階段練習(xí)）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，?分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，，點M，N分別是線段AB，AC的中點，點P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體中，點滿足，點在平面內(nèi)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例42．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
例43．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，E為線段的中點，，其中，則下列選項正確的是（ ）
A．時，B．時，的最小值為C．時，直線與面的交點軌跡長度為D．時，正方體被平面截的圖形最大面積是
例44．（2022·湖南岳陽·三模）如圖，在直棱柱中，各棱長均為2，，則下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐外接球的體積為
B．異面直線與所成角的正弦值為
C．當點M在棱上運動時，最小值為
D．N是所在平面上一動點，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線
例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點滿足，，，則以下說法正確的是（ ）
A．當時，平面
B．當時，存在唯一點使得與直線的夾角為
C．當時，長度的最小值為
D．當時，與平面所成的角不可能為
例46．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，點M是棱長為1的正方體中的側(cè)面上的一個動點（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在無數(shù)個點M滿足
B．當點M在棱上運動時，的最小值為
C．在線段上存在點M，使異面直線與所成的角是
D．滿足的點M的軌跡是一段圓弧
例47．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
例48．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則C．可能值為
D．當取值最大時，
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺中，底面BCD，，，．若A是BD中點，點P在側(cè)面內(nèi)，則直線與AP夾角的正弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·浙江臺州·高三期末）已知在正方體中，點為棱的中點，直線在平面內(nèi)．若二面角的平面角為，則的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．
例51．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為3，為棱上的靠近點的三等分點，點在側(cè)面上運動，當平面與平面和平面所成的角相等時，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例52．（2021·浙江·瑞安中學(xué)模擬預(yù)測）已知點P是正方體上底面上的一個動點，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（ ）．
A．B．
C．D．
例54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，在棱上，，平行于的直線在正方形內(nèi)，點到直線的距離記為，記二面角為為，已知初始狀態(tài)下，，則（ ）
A．當增大時，先增大后減小B．當增大時，先減小后增大
C．當增大時，先增大后減小D．當增大時，先減小后增大
題型七：立體幾何裝液體問題
例55．（2022·全國·高二期中）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔，點到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．2
例56．（2022·全國·高一課時練習(xí)）一個封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干（如圖甲，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時水面與各棱交點分別為所在棱的中點，則圖甲中水面的高度為（ ）

A．B．
C．2D．
例57．（2022·湖北宜昌·一模（文））已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2．在旋轉(zhuǎn)過程中，以下命題中正確的個數(shù)是（ ）
①液面剛好同時經(jīng)過，，三點；
②當平面與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為；
③當液面與水平桌面的距離為時，與液面所成角的正弦值為．
A．0B．1C．2D．3
例58．（2022·全國·高一課時練習(xí)）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為1，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例59．（2022·全國·高一課時練習(xí)）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例60．（2022·重慶·高二期末（文））已知某圓柱形容器的軸截面是邊長為2的正方形，容器中裝滿液體，現(xiàn)向此容器中放入一個實心小球，使得小球完全被液體淹沒，則此時容器中所余液體的最小容量為（ ）
A．B．C．D．
例61．（2022·福建廈門·高一期末）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，．固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時，水面恰好過，，，四點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例62．（2022·福建·廈門市湖濱中學(xué)高一期中）如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進一些水，固定容器一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的命題是（ ）
A．水面所在四邊形的面積為定值
B．隨著容器傾斜度的不同，始終與水面所在平面平行
C．沒有水的部分有時呈棱柱形有時呈棱錐形
D．當容器傾斜如圖（3）所示時，為定值
例63．（2022·山東·高三專題練習(xí)）一個透明封閉的正四面體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正四面體，則水面在容器中的形狀可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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