1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題24 立體幾何解答題最全歸納總結
【題型歸納目錄】
題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體
題型二：立體幾何存在性問題
題型三：立體幾何折疊問題
題型四：立體幾何作圖問題
題型五：立體幾何建系繁瑣問題
題型六：兩角相等（構造全等）的立體幾何問題
題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P系建系
題型八：空間中的點不好求
題型九：創(chuàng)新定義
【典例例題】
題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體
例1．如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．
（1）設平面平面，證明：；
（2）設D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長．
【解析】（1）因為四邊形OBCH為正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH．
∵平面PBC，平面平面，∴．
（2）∵圓錐的母線長為，，∴，，
以O為原點，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設，，
，為平面PAB的一個法向量，
設MN與平面PAB所成的角為，
則，令，
則
所以當時，即時，最大，亦最大，此時，
所以．
例2．如圖所示，圓錐的底面半徑為4，側面積為，線段AB為圓錐底面的直徑，在線段AB上，且，點是以BC為直徑的圓上一動點；
（1）當時，證明：平面平面
（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．
【解析】（1）∵垂直于圓錐的底面，
∴，
當時，，∴，又，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（2）由題可知，，
∴，
∴，
當三棱錐的體積最大時，的面積最大，此時為的中點，
如圖，建立空間直角坐標系，
則，
∴，
設平面的法向量為，
則，即，令，則，
，
設平面的法向量，
則，即，令，則，
∴，
則，
∴二面角的余弦值為．
例3．如圖，圓錐PO的母線長為，是⊙的內接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
（1）證明：；
（2）設點Q滿足，其中，且二面角的大小為，求的值．
【解析】（1）∵，，，
∴
∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC平面，平面PBC，，
∴PB⊥平面PAC，又平面PAC，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，，
∵
∴；
（2）在平面ABC內作交BC于M，
以O為坐標原點，OM，OB，OP所在直線分別為x軸，
y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：
易知，，
所以，，，，
，，
設平面OBC的法向量，
依題意，即，不妨令，得，
易知平面OQB的法向量，
由可知，
即，解得
例4．如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓周上一點，，四邊形為矩形，點在上，且平面．
（1）請判斷點的位置并說明理由；
（2）平面將多面體分成兩部分，求體積較大部分幾何體的體積．
【解析】（1）點是的中點，
取的中點，連接，，因為為的中點，所以，
又平面，平面，所以平面，
由四邊形為矩形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因為，平面，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面，
（2）由（1）知點是的中點，
因為，所以，
所以，且，所以，
所以三棱錐的體積；
又三棱錐的體積，
所以四棱錐的體積，
所以幾何體的體積，
所以體積較大部分幾何體的體積為；
例5．如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．
（1）求證：；
（2）設直線PC與平面PAB所成的角為，求．
【解析】（1）證明：由題意知：，∴PO⊥平面AOB，
又∵平面AOB，所以PO⊥AB．
又點C為的中點，所以OC⊥AB，
，
所以AB⊥平面POC，
又∵平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O為原點，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，
所以，，．
設平面PAB的法向量為，則取，則
可得平面PAB的一個法向量為，
所以．
例6．如圖，四邊形ABCD為圓柱的軸截面，EF是該圓柱的一條母線，，G是AD的中點．
（1）證明：平面EBG；（2）若，求二面角的正弦值．
【解析】（1）由已知平面，平面，所以，
因為是圓的直徑，所以，
因為，所以平面，平面，故，
因為，所以，易知：△△，
所以，從而，又，
所以平面．
（2）以為坐標原點，為軸正方向，為單位向量，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，從而，
設位平面的法向量，
則，所以，
由（1）知：平面的法向量為
因為，所以二面角的正弦值為．
例7．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點．
（1）設P是上的一點，且，求證；
（2）當，時，求二面角的大?。?br>【解析】（1）因為，，AB，平面ABP，，
所以平面ABP，又平面ABP，所以．
（2）以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題意得，，，，
故，，．
設是平面AEG的一個法向量，
由可得
取，可得平面AEG的一個法向量．
設是平面ACG的一個法向量，
由，可得
取，可得平面ACG的一個法向量．
所以， 因為，
故所求的角為60°．
例8．如圖，四邊形是一個半圓柱的軸截面，E，F分別是弧上的一點，，點H為線段的中點，且，點G為線段上一動點．
（1）試確定點G的位置，使平面，并給予證明；
（2）求二面角的大?。?br>【解析】（1）
當點G為的中點時，平面．
證明：取得中點M，連接．
∵G，M分別為與的中點，
∴，且，
又H為的中點，且，
∴．
四邊形是平行四邊形，∴
又平面平面
∴平面
（2）由題意知，是半圓柱底面圓的一條直徑，
∴．
∴．
由底面，得底面．
∴．
以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
設平面的一個法向量為
所以
則令則
即
由．得平面
∴平面的一個法向量為
設二面角所成的角為
則
∴二面角所成的角為．
例9．坐落于武漢市江漢區(qū)的漢口東正教堂是中國南方唯一的拜占庭式建筑，象征著中西文化的有機融合．拜占庭建筑創(chuàng)造了將穹頂支承于獨立方柱上的結構方法和與之相呼應的集中式建筑形制，其主體部分由一圓柱與其上方一半球所構成，如圖所示．其中是下底面圓心，是上三點，是上底面對應的三點．且共線，，，，與所成角的余弦值為．
（1）若到平面的距離為，求的半徑．
（2）在（1）的條件下，已知為半球面上的動點，且，求點軌跡在球面上圍成的面積．
【解析】（1）如圖，取上的點．
連接．過作于，
則，由題意知，
設的半徑為，，
由勾股定理知，，，
由余弦定理知．代入解得，
因為，，
所以面，
故到面的距離是，
因為，，，
所以面，，
因為，，，所以面，，
而，即，
解得，，
即的半徑為．
（2）設上底面圓心為，則，與的夾角為，
所以，
解得，
過作于，則，
所以點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
因此可作出幾何體被面所截得到的截面，如圖所示．
設弧旋轉一周所得到的曲面面積為，弧得到的為，
則，因此．因此點軌跡在球面上圍成的面積為．
例10．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．
【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因為是圓柱的母線，
所以且，所以四邊形是平行四邊形．
所以，所以．因為是圓柱的母線，所以平面，
又因為平面，所以．又因為，
平面，所以平面．
（2）由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知
，所以，即底面三角形是直角三
角形．設，則
在中有：，
所以，
當且僅當時等號成立，即點E，F分別是，的中點時，三棱錐的體積最大，
（另等積轉化法：
易得當F與距離最遠時取到最大值，此時E、F分別為、中點）
下面求二面角的正弦值：
法一：由（1）得平面，因為平面，所以．
又因為，所以平面．
因為平面，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知為直角三角形，則．
故，所以二面角的正弦值為．
法二：由（1）知兩兩相互垂直，
如圖，以點E為原點，所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則．
由（1）知平面，故平面的法向量可取為．
設平面的法向量為，
由，
得，即，即，取，得．
設二面角的平面角為，
，
所以二面角的正弦值為例11．如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以OB為直徑在底面內作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．
（1）證明；平面；
（2）若二面角為，求與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）連接，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，
所以△為等腰直角三角形，即，
又在圓上，故△為等腰直角三角形，
所以且，又是母線且，則，
故且，則為平行四邊形，
所以，而面，面，
故平面．
（2）由題設及（1）知：、、兩兩垂直，構建如下圖示的空間直角坐標系，
過作，則為的中點，再過作，連接，
由圓，即圓，圓，則，又，則，
故二面角的平面角為，而，所以．
則，，，，
所以，，，
若為面的一個法向量，則，令，則，
，故與平面所成角的正弦值．
例12．某市在濱海文化中心有濱?？萍拣^，其建筑有鮮明的后工業(yè)風格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．
【解析】（1）（1）由長方體可知，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，
則，，，．所以．
設平面的一個法向量為，
則有，即，令，則，，故，
所以，故與平面所成角的正弦值為；
（2）由（1）可知，，，所以，假設存在這樣的點P，設，由題意可知，所以，因為，則有，所以，又，所以，解得（舍），，所以當時，，此時點到直線的距離為．
題型二：立體幾何存在性問題
例13．如圖，三棱錐P-ABC中，平面ABC，，，，．
（1）求三棱錐A-PBC的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使得?若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
所以．由平面ABC知：PA是三棱錐P-ABC的高，又PA＝1，
所以三棱錐A-PBC的體積．
（2）在線段PC上存在一點M，使得，此時．
如圖，在平面PAC內，過M作交AC于N，連接BN，BM．
由平面ABC，平面ABC，故，所以．
由知：，則，
在中，，
所以，即．
由于且面MBN，故平面MBN．
又平面MBN，所以．
例14．已知四棱錐中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分別是、、、的中點．
（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；
（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為是正三角形，為的中點，所以，，
因為平面，平面，，
，平面，
因為且，、分別為、的中點，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，則，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則，、、、、、、，
，，
設平面的法向量為，則，
取，可得，易知平面的一個法向量為，
所以，，
因此，平面與平面所成的銳二面角為．
（2）假設線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，
設，其中，
，
由題意可得，
整理可得，因為，解得．因此，在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，且．
例15．已知三棱柱中，，，，．
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若，在線段AC上是否存在一點P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由知：四邊形為菱形．
連接，則，又且，
∴平面，平面，則；
又，即，而，
∴平面，而平面ABC，
∴平面平面ABC．
（2）以C為坐標原點，射線CA、CB為x、y軸的正向，平面上過C且垂直于AC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵，，，∴，，，．
設在線段AC上存在一點P，滿足，使二面角的余弦值為，則，
所以，．
設平面的一個法向量為，
由，取，得；
平面的一個法向量為．
由，解得或．
因為，則．
故在線段AC上存在一點P，滿足，使二面角的平面角的余弦值為．
例16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．
（1）證明：；
（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在，求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）證明：連接，設，
因為，則，且為等腰直角三角形，
因為，則，
因為，由余弦定理可得，
所以，，則，
平面，平面，，，平面，平面，．
（2）因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則、、、、，
設，其中，
則，，
設平面的法向量為，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，
由題意可得，
因為，解得，此時，，
，，
所以，，
因此，在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，且與所成角的余弦值為．
例17．如圖，是邊長為6的正三角形，點E，F，N分別在邊AB，AC，BC上，且，為BC邊的中點，AM交EF于點，沿EF將三角形AEF折到DEF的位置，使．
（1）證明：平面平面；
（2）試探究在線段DM上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）在中，易得，，，
由，得，
又，，，
又為中點，，，
因為，平面，
平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）平面，以為原點，以為的正方向建立空間直角坐標系，，，
，，
由（1）得平面的法向量為，
設平面的法向量為，，
所以，所以．
由題得，所以，
所以，所以，因為二面角P—EN—B的大小為60°，
所以，解之得（舍去）或．
此時，所以．
例18．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖．
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大?。蝗舨淮嬖?，說明理由．
【解析】（1）在圖中取中點，連接，，
，，，，，
，，，四邊形為矩形，，
，又，為等邊三角形；
又，為等邊三角形；
在圖中，取中點，連接，
為等邊三角形，，，
，又，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面．
（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，
設棱上存在點且滿足題意，即，解得：，即，
則，
設平面的法向量，
則，令，則，
，
到平面的距離為，解得：，
，
又平面的一個法向量，
，
又二面角為銳二面角，二面角的大小為．
例19．如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，E為棱AA1上的點，且AE＝．
（1）求證：BE⊥平面ACB1；
（2）求二面角D1－AC－B1的余弦值；
（3）在棱A1B1上是否存在點F，使得直線DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的長；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）底面，平面
又，，平面，平面
平面，
，，
，，，
又，平面，
平面
（2）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A－xyz，依題意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），D1（1，－2，2），，
由（1）知，為平面ACB1的一個法向量．
設為平面ACD1的一個法向量．
因為＝（1，－2，2），＝（2，0，0），
所以，即：，
不妨設z＝1，可得＝（0，1，1）．
因此
由圖可知二面角D1－AC－B1為銳角，
所以二面角D1－AC－B1的余弦值為．
（3）假設存在滿足題意的點F，設A1F＝a（a>0），
則由（2）得F（0，a，2），＝（－1，a＋2，2）．由題意可知a＋2－1＝0，解得a＝－1（舍去），
即直線DF的方向向量與平面ACB1的法向量不可能垂直．
所以，在棱A1B1上不存在點F，使得直線DF∥平面ACB1．
例20．如圖，在五面體中，已知，，，且，．
（1）求證：平面與平面；
（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角余弦值的絕對值等于，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【解析】（1）證明：，，，平面，
平面，平面平面，
取的中點，的中點，連接、、，
，，
又平面，平面平面，平面平面，
平面，
又，，，，所以，且，
四邊形為平行四邊形，，
面，則平面，
又面，所以，平面平面．
（2）因為，，則，
因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、，
，，
設平面的法向量為，則，
取，可得，
設在線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，
設平面的法向量為，，，
由，取，可得，
由題意可得，
整理可得，解得：或（舍），
，則，，
綜上所述：在線段上存在點，滿足，使得平面與平面夾角的余弦值等于．
題型三：立體幾何折疊問題
例21．如圖1，在邊上為4的菱形中，，點，分別是邊，的中點，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．
（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結論；
（2）當四棱錐體積最大時，求直線和平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在一點，使得二面角余弦值的絕對值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）在翻折過程中總有平面平面，
證明如下：∵點，分別是邊，的中點，
又，∴，且是等邊三角形，
∵是的中點，∴，
∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由題意知，四邊形為等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面積，
要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，
∴當平面時，點到平面的距離的最大值為，
此時四棱錐體積的最大值為，
直線和平面所成角的為，
連接，在直角三角形中，，，
由勾股定理得：．
．（3）假設符合題意的點存在．
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，
平面，
故平面的一個法向量為，
設（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一個法向量為，
則，，
即
令，所以
，則平面的一個法向量，
設二面角的平面角為，
則，解得：，
故符合題意的點存在且為線段的中點．
例22．如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且分別為的中點，現將沿折起，得到四棱錐，連接
（1）證明：平面；
（2）在翻折的過程中，當時，求二面角的余弦值．
【解析】（1）在四棱錐中，取的中點，連接．
因為分別為的中點，，
所以
又平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，
又平面，所以平面平面，
因為MNC平面，所以平面．
（2）因為在等腰直角三角形中所以，
在四棱錐中，
因為則
又平面，所以平面，
又平面，所以
因為則
所以，故，
所以以點為坐標原點，分別以所在方向為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示，
，
所以，
設為平面的一個法向量，則
，即，
令，則，，
設為平面的一個法向量，則
，即，
令，則，，
設二面角所成角為，則
．
因為二面角的余弦值為．
例23．如圖1，在平面四邊形PDCB中，，，，．將沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如圖2所示．
（1）設平面SDC與平面SAB的交線為l，求證：BC⊥l；
（2）點Q在線段SC上（點Q不與端點重合），平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為，求線段BQ的長．
【解析】（1）依題意，，
因為，所以，
由于平面平面ABCD，且交線為AB，平面ABCD，
所以平面SAB，
因為l是平面SDC與平面SAB的交線，
所以平面SAB，
故．
（2）由上可知，平面SAB，所以，
由題意可知，，
以點A為坐標原點，分別以AD，AB，AS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
設，則，，
設是平面QBD的一個法向量，
則，令，可得由于是平面CBD的一個法向量，
依題意，二面角的余弦值為，
所以，
解得，
此時，，
即線段BQ的長為．
例24．如圖，在平面五邊形中，為正三角形，，且．將沿翻折成如圖所示的四棱錐，使得．，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
【解析】（1）（1）證明：取的中點，連接，．
則，．
因為面，面，
所以，面，面，
因為，
所以，面面，
因為面，所以面．（2）（2）取的中點，連接，，
因為為正三角形，，所以且，
在直角梯形中，，，，
所以，且，
又因為，
所以在中，，即，
所以，以為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
．
因為，即，，
所以，，
所以，．
設為平面的一個法向量，
則，即，?。?br>又平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，
．
例25．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠A＝60°，E，F分別為線段AB，CD上的點，且BE＝2AE，DF＝FC，現將△ADE沿DE翻折至的位置，連接，．
（1）若點G為線段上一點，且，求證：平面；
（2）當三棱錐的體積達到最大時，求二面角的正弦值．
【解析】（1）在上取一點，使，連接，
因為，，
所以∥，，
因為平行四邊形中，，∥，為的中點，
所以，
所以，∥，
所以四邊形為平行四邊形，
所以∥，
因為平面，平面，
所以∥平面，
（2）當平面平面時，三棱錐的體積最大，
中，，則，
所以，
所以，
所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，
因為平面，所以，
所以兩兩垂直，
所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，
所以，
設平面的法向量為，則，令，則，
設平面的法向量為，則
，令，則，
所以，
所以二面角的正弦值為
例26．如圖1，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是等腰梯形，，現將正方形沿翻折，使與重合，得到如圖2所示的幾何體，其中．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：易得，，
所以，則，
∴，．
又，且，，平面，
∴平面．∵平面，
∴．
∵，平面，平面，
∴平面．
（2）由（1）知平面，
則以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，平面內過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
∴，，．
設平面的一個法向量為，
則，得
令，則．
由（1）知，平面的一個法向量為．
∴．
易知二面角為銳二面角，
∴二面角的余弦值為．
例27．如圖，在梯形中，，現將所在平面沿對角線翻折，使點B翻折至點E，且成直二面角．
（1）證明：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：取中點M，連接，由題意可得，平行且等于，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，∴為直角三角形，即，
∵直二面角平面ACD，
∴平面平面，平面平面，
∴平面，平面，
∴平面平面．
（2）由（1）可得平面，
∴為直線與平面所成角，
∴，∴．
在中，∵，
∴，
在中，，
∴、為等邊三角形，
以中點O為坐標原點，以所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
平面為平面，則其法向量為，
在平面內，設其法向量為，
，
則，即，
令，則，
∴，
設二面角的平面角為，
∴，
由圖可知二面角為銳角，
∴．
例28．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點為F．
（1）證明：平面ABC．
（2）若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，
取AC中點G，連接FG和EG，由已知得，且．
因為F，G分別為AB，AC的中點，所以，且
所以，且．
所以四邊形DEGF是平行四邊形．
所以．
因為翻折的，易知．
所以翻折后，．
又因為，EA，平面AEC，
所以平面AEC．
因為，
所以平面AEC．
因為平面AEC，所以．
因為ACE是等邊三角形，點G是AC中點，所以
又因為，AC，平面ABC．
所以平面ABC．
因為，所以平面ABC．
（2）（方法一）如圖，
過點E作，以E為原點，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，設，則，，，，則，，，
因為平面AEC．所以是平面AEC的法向量，
設面ACD的法向量為，則
，即，解得．
取，得．
因為二面角D-AC-E為，所以，
解得，所以，．
記直線AB與平面ACD所成角為，
則，
所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．
（方法二）如圖，
連接DG，因為平面AEC，平面AEC，所以．
又因為，，DE，平面DEG．所以平面DEC．
因為EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．
由△ACE是邊長為2的等邊三角形，得，
在RtDGE中，，所以，．
過點F作，垂足為I，因為平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．
又因為平面平面，平面DEGF，且，
所以平面ACD．
連接AI，則∠FAI即為直線AB與平面ACD所成的角．
在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．
在RtAFG中，，，所以．
在RtFAI中，，
所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．
題型四：立體幾何作圖問題
例29．已知四棱錐中，底面為正方形，O為其中心，點E為側棱的中點．
（1）作出過O、P兩點且與平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出簡要作圖過程）；記該截面與棱的交點為M，求出比值（直接寫出答案）；
（2）若四棱錐的側棱與底面邊長均相等，求與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）連接，，則O為中點，取中點F，連接并延長交于M，
連接并延長交于N，連接．
則由，平面，平面，所以平面，
所以即為所求截面（如圖所示），此時．
（2）不妨設四棱錐的所有棱長均為2，以O為原點，過O點且分別與、平行的直線為x軸、y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系（如圖）．
可得，，，，，．
則，，．
設平面的一個法向量為，
則，即，取，則，
設與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為．
例30．如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點為的中點，點在上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求作過作四棱錐的截面，使與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）．截面的定義：用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形．
【解析】（1）∵平面，平面，平面平面，∴∵平面，平面，平面平面，∴
∴，
∵平面，平面，平面平面，∴
∵平面，平面，平面平面，∴
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）
如圖，延長，與交于點，過點作直線，則直線為平面和平面的交線，延長，交于點，連接，與交于點，連接．∵點為的中點，點為的中點，∴是的一條中位線∴，又∵平面，平面，∴截面．
故平面即為所求截面．
例31．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）．
（1）作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
（2）若為棱的中點，是否存在，使平面平面，若存在，求出的所有可能值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）如圖，延長交的延長線于，
連接交于，
則所在的直線即為平面與平面的交線．
證明：∵平面平面，
平面平面，平面平面，
∴．
又∵平面平面，
平面平面，
平面平面，
∴，∴．
（2）以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，
則，，，，，
，，．
設平面的一個法向量為，則，
可得．
同理可得平面的一個法向量為，
因為平面平面，所以，
得，解得．
所以存在，使平面平面，此時．
例32．如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）．
（1）作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；
（2）若，均為其所在棱的中點，求點到平面的距離．
【解析】（1）
連接并延長交的延長線于點，連接交于，連接，
則所在的直線即為平面與平面的交線．
因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以．
又因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以．
（2）因為，為其所在棱的中點，，，
所以，可得，
故三棱錐，
此時，，為等腰三角形，
其底邊上的高為，
設點到平面的距離為，由，
解得：，所以點到平面的距離為．
例33．如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點．
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．
【解析】（1）因為面面，為等邊三角形，設中點為，所以
又因為面面面FAB，則平面，
以為坐標原點，分別以方向為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
因為，則
則，，，，
所以，
設平面的一個法向量為則取得，所以
設平面的一個法向量為
則取得，所以
所以
則二面角的余弦值為；
（2），如圖所示：
例34．如圖，已知多面體的底面是邊長為2的正方形，底面，，且．
（1）求多面體的體積；
（2）記線段的中點為，在平面內過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．
【解析】試題分析：（1）求多面體體積，一般方法為割補法，即將不規(guī)則圖形轉化為幾個規(guī)則圖形：多面體分割成兩個錐體，一個三棱錐與一個四棱錐，而它們的高分別為和，再代入體積公式求解即可，（2）根據線面平行性質定理，可得所作直線必平行面與面的交線，因此先作兩平面交線，再在平面內作交線的平行線．試題解析：（1）如圖，連接，
∵底面且，
∴底面，∴，
∵，，
∴平面．
∴，
，
∴多面體的體積．
（2）如圖，取線段的中點，連接，直線即為所求的直線．
例35．四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，．，且平面，，點分別是線段上的中點，在上．且．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．
【解析】分析：（Ⅰ）推導出，由此能證明平面；
（Ⅱ）推導出，，，以O為原點，OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立空間直角做消息，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值；
（Ⅲ）法1：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現剛好過點，，連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面與直線的交點為，設，，利用向量法求出，從而即為點．連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．
解析：解：（Ⅰ）在中，因為點分別是線段上的中點，
所以
因為平面，平面．
所以平面．
（Ⅱ）因為底面是邊長為2的菱形，
所以，
因為平面，
所以，，
如圖，建立空間直角坐標系，則依題意可得
，，，，，，，
所以，，
設平面的法向量為，則由可得，
令，可得
因為．
所以直線與平面的成角的正弦值為
（Ⅲ）法Ⅰ：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現剛好過點，，連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面與直線的交點為，設，則
由，可得．
所以即為點．
所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．
題型五：立體幾何建系繁瑣問題
例36．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．
（1）證明：，且平面平面；
（2）設為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）證明：，分別為，的中點，底面為正三角形，
，四邊形為矩形，，
，，，
，，，
平面，
平面，
平面平面，
綜上，，且平面平面．
（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，
，面，面，面面，
，四邊形為平行四邊形，
是正三角形的中心，，
，，，
由（1）知直線在平面內的投影為，
直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，
在等腰梯形中，令，過作于，
則，，，
，
直線與平面所成角的正弦值為．
例37．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點
（1）證明：平面
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）取的中點，連接，，
在中，根據余弦定理可以算出，發(fā)現，可以得出，又
，
又，可以得出，而，
平面，而平面，
，又，
．又，
平面．
（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，
在中，，，，
由余弦定理得，
因此二面角的余弦值為．
例38．如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，．
（1）證明：；
（2）已知點，為線段，上的點，，，求平面與平面所成二面角的正弦值．
【解析】（1）證明：連接，因為是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，所以．
在中，．
在中，，為等腰三角形，且點是底邊的中點，故．
在中，，所以為△，且．
因為，，且，所以平面，
而平面，．因為，，且，所以平面，
而平面，．
（2）設平面與平面的交線為．
由，，知．
而平面，平面，
而平面平面，
．
由（1）知，平面，平面，
而，平面，，，
是平面與平面所成二面角的平面角．
在中，，
，．
在中，由知，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，即，．
故平面與平面所成二面角的正弦值為．
例39．《九章算術》是中國古代的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右．它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系．《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面．
（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空： ，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，．
（?。┳C明：平面平面；
（ⅱ）設平面與平面的交線為，若，，求二面角的大?。?br>【解析】（1）由題意，四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，而平面，
要使三棱錐為“鱉臑”，則只需或或或；
（2）證明：平面，平面，
，
又，即，，，平面，
平面，
又平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
由題意知，在平面中，直線與直線相交，
如圖所示，
設，連接，則即為，
平面，平面，
，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又，平面，
，，
即為二面角的一個平面角，
在中，，，
，
又，
，
，
，即二面角的大小為．
例40．已知四面體，，，且平面平面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。?br>【解析】（Ⅰ）證明：，，
，取中點，
則，
平面，
．
（Ⅱ）解：過點作交延長線于，連結，
平面平面，平面，
為與平面所成角，
，，，
，
在中，
直線與平面所成角的大小為．
例41．已知四面體，，且平面平面．
（Ⅰ）若，求證：；
（Ⅱ）求二面角的正切值．
【解析】（Ⅰ）證明：，，，
，，
取中點，則，，
平面，
平面，
．
（Ⅱ）解：過點作交延長線于，
過作于，連結，
平面平面，
平面，
根據三垂線定理知，
為二面角的平面角，
由已知可知，設，則，
在中，，，
，
二面角的正切值為．
題型六：兩角相等（構造全等）的立體幾何問題
例42．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是
的中點，連接，
（1）證明：平面平面；
（2）若，，求三棱錐的體積．
【解析】解：（1）證明：如圖所示，
因為是等邊三角形，，
所以，可得，
又因為點是的中點，則，，
又，平面，平面，
所以平面平面；
（2）設，在中，，則；
在等邊中，，
在等腰中，；
在中，由，得；
由余弦定理得，
即，解得；
所以的面積為，
所以三棱錐的體積為．
例43．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是
的中點，連接，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】證明：（1）是等邊三角形，，
，，
點是的中點，則，，
，平面，
平面，平面平面．
解：（2）作，垂足為，連結，
，
，，為二面角的平面角，
由已知二面角為，，
在等腰中，由余弦定理得，
是等邊三角形，，，
在中，，
，
，，
，，，，
由上述可知平面，則平面平面，
過點作，垂足為，則平面，連結，則是直線與平面所成角，
在中，，
，，，
直線與平面所成角的正弦值為．
例44．如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是、的中點，，，且二面角的大小為．
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：連接，由已知可得，，
在中，由余弦定理可得，．
，，
在中，有．
．
二面角的大小為，
以為坐標原點，以過垂直的直線為軸，以所在直線為軸，
以過且垂直于底面的直線為軸建立空間直角坐標系．
則，，，，0，，，1，，
，，，，，，
則，，
，則；
（2）解：由（1）得，，，．
設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，
由，取，得，2，；
由，取，得．
．
二面角為銳角，則其余弦值為．
例45．如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）當直線與平面所成的角為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【解析】證明：過做，垂足為，連接，
，，，
在中，由余弦定理可得，
，
，，是等邊三角形，．
，，
又，，
平面，又平面，
平面平面．
由知，，，
平面，為直線與平面所成的角，即，
，
以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，則，，，，0，，，0，，，，，
，，，，，，
設平面的法向量為，，，則，即，
令可得，1，，
平面，，0，為平面的一個法向量，
．
平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
例46．如圖，在四面體中，已知，，
（1）求證：；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：，，．
，
．
取的中點，連結，，則，．
又，
平面，平面，
平面，．
（2）解：過作于點．則平面，
又平面平面，平面平面，
平面．
過做于點，連接．
平面，，又，
平面，．
為二面角的平面角．
連接．，．
，，
，．，．
，．
，
，二面角的余弦值為．
題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P系建系
例47．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．
（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；
（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點的幾何體是否存在內切球？若存在，試確定其內切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．
【解析】解：（1）取線段的中點為點，
連接，，．由于四邊形是正方形，為其中心，所以，
又面面，所以，
而，所以面，面，所以，
同理可以證出，為二面角的平面角，．
設，，，則．且
在中，，
同理在中，
由，
得：
故在線段上的靠近點的三分點位置；
（2）幾何體存在內切球，令球心為，
若設線段的中點為點，內切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形的內切圓的圓心為，半徑即為，
故，而，．
所以，得．
由三角形相似有：
所以．故其內切球心在點距離為的位置上．（注：也可用分割體積法求
例48．在四棱錐中，為棱的中點，平面，，，，，為棱的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．
【解析】解：（Ⅰ） 證明：連接交于點，連接，
，且，，
又，線段是的中位線，
，
面，面，
面；（Ⅱ），，
四邊形是平行四邊形，
又，四邊形是矩形，；
又平面，，；
以為坐標原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，
設，則，0，，，0，，，0，，
，2，，，1，，
，0，，，1，；
設平面的一個法向量為，，，
由，得；
令，得，，，
取平面的一個法向量為，0，；
，，
由二面角為，得，解得；
平面，
就是直線與平面所成角，
在中，，
直線與平面所成角的正切值為．
例49．三棱柱中，，，側面為矩形，，二面角的正切值為．
（Ⅰ）求側棱的長；
（Ⅱ）側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由．
【解析】解：（Ⅰ）取的中點，的中點，則四邊形為平行四邊形，
，，
側面為矩形，
，
，
平面，
則，
則 是二面角的平面角，
則，則，，
設，
，，
，
，
，
又，
在中，即，
平方整理得，得或（舍，
即側棱的長為2；
（Ⅱ）建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：
過作底面，
，，則，
，
則，，
則，0，，，0，，，，，，，
則，，，，，，
設平面的法向量為，，，
由，，
則，令，則，即，0，，
，0，，
設，0，，，
，，，0，，，，
與平面所成角的正切值，
，
即，，
平方得，得，即在處．
即在側棱上存在點，使得直線與平面所成角的正切值為．
例50．如圖，在四棱錐中，底面四邊形內接于圓，是圓的一條直徑，平面，，是的中點，
（1）求證：平面；
（2）若二面角的正切值為2，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）證明：，
，
是的中點，是的中點，
是的中位線，
，
，
平面平面，
平面，平面，
平面；
（2）是圓的一條直徑，，
平面，，
則平面，
則，
則是二面角的平面角，
若二面角的正切值為2，
則，
即，
建立以為坐標原點，，，垂直于平面的直線分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：
則，，，，0，，，，
，0，，，，，
則，，，，0，，
設平面的法向量為，，，
則，即，令，則，，
即，0，，
則直線與平面所成角的正弦值，，
例51．如圖所示，平面，為等邊三角形，，，為中點．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角的正切值為，求二面角的正切值．
【解析】（Ⅰ）證明：因為為等邊的邊的中點，所以．
依題意，且、、、四點共面，所以． 分
又因為平面，平面，所以平面． 分
（Ⅱ）解：因為，，
所以平面，故與平面
所成的角即為．分
不妨設，則．
由于，所以．分
（方法一）
在等腰中，過點作于點，
再在中作于點（圖1所示）．
因為，，所以平面，可得．
又，
所以即為二面角的平面角． 分
由題意知，，，
所以，
即二面角的正切值是．分
（方法二）
以點為坐標原點，為軸，
建立如圖2所示的空間直角坐標系．
則，0，，，0，，，0，，，，．則，，．
若設，，和，，分別是平面和平面的法向量，
則，可?。?br>同理，得，，．分
所以，
故二面角的余弦值是，其正切值是．分
題型八：空間中的點不好求
例52．如圖，直線平面，直線平行四邊形，四棱錐的頂點在平面上，，，，，，，，分別是與的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）連接，，底面為平行四邊形，是的中點，是的中點，
，
是的中點，是的中點，，，，
平面平面，平面，平面；
（2）由平面，平行四邊形
平面底面，，，
四邊形為矩形，且底面，，
過作，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系（如圖）
由，知，
，，，
設平面的法向量，
則，取，，，即，
設平面的法向量，
則，取，，，即，二面角的平面角的余弦值．
例53．如圖，四棱錐中，，，側面為等邊三角形．，．
（1）證明：平面
（2）求與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）證明：取中點，連結，則四邊形為矩形，．
連結，則
又，故
所以為直角，
所以，
由，，，得平面，所以．
因為，
所以平面分
（2）解：由平面知，平面平面．
作，垂足為，則平面，
作，垂足為，則．
連結，則
又，，
故平面，平面平面，
作，為垂足，則平面，
即到平面的距離為．
由于，所以平面，到平面的距離也為．設與平面所成的角為，則分．
例54．如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側棱上，．
（Ⅰ）證明：是側棱的中點；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】（Ⅰ）證明：作交于點，則，平面，
連接，則四邊形為直角梯形，
作，垂足為，則為矩形，
設，則，，
，，
由，得，
解得，即，
從而，
為側棱的中點．
（Ⅱ）解：，
又，，為等邊三角形．
又由（Ⅰ）知為中點，，，，
，，
取中點，連結，取中點，連結，則，，
由此知為二面角的平面角，
連結，在中，
，，，
．
二面角的余弦值為．
例55．如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為直角梯形，其中，，，，，，點在棱上且，點為棱的中點．
在棱上且，點位棱的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值的大?。?br>【解析】證明：（1）在中，由，得，
同理在中，由，得，
所以，即（亦可通過勾股定理來證明）
在中，
在，
所以，即解：（2）由（1）知，，兩兩垂直，
故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
得，，，0，，，，，
，，，
設平面的法向量為
則：
不妨設，則
設平面的法向量為
則，
不妨設，則
記二面角為（應為鈍角）
故二面角的余弦值為．
例56．如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，且，是邊長為2的正三角形，頂點在上的射影為點，且，，．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】證明：（1）由頂點在上投影為點，可知，．
取的中點為，連結，．
在中，，，所以．
在中，，，所以．
所以，，即．
，，
面．
又面，所以面面．
解：（2）由（Ⅰ）知，，，且
所以 面，且面．以所在直線為軸，所在直線為軸，
過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
，，，，
，，，，，
設平面，的法向量分別為，，
則，即，取，得，，，，即，取，得，
設二面角的平面角為．
則．
所以二面角的余弦值為．
例57．三棱柱的底面是等邊三角形，的中點為，底面，與底面所成的角為，點在棱上，且，．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）證明：連接，底面，，底面，，，且與底面所成的角為，即．
在等邊三角形中，易求得．在中，由余弦定理，得，
，即．
又，．，，，
又，，平面，
又平面，，
又，平面．
（2）如下圖所示，以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，
則
故
由（1）可知，可得點的坐標為，平面的一個法向量是．
設平面的法向量，，，由得，令，則，，
則，，
易知所求的二面角為鈍二面角，二面角的平面角的余弦角值是．
例58．如圖，將矩形沿折成二面角，其中為的中點，已知，．，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值．
【解析】證明：（1）取的中點，連結，，則，，
所以四邊形是平行四邊形，因此，（4分）
又平面，所以平面．（6分）
解：（2）取的中點，中點，連結，，，
由，所以，又，
所以平面，所以，
又，所以平面，所以平面平面，（8分）
又，所以平面，（9分）
所以，又，所以平面，（10分）
所以是與平面所成角，（12分）
又，，所以，（14分）
所以與平面所成角的正弦值．（15分）
題型九：創(chuàng)新定義
例59．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱底面邊長為1，側棱長為2，設
（i）用表示蜂房（圖2右側多面體）的表面積；
（ii）當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．
【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，
根據定義其度量值等于減去三個菱形的內角和，
再減去6個直角梯形中的兩個非直角內角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為．
（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則，設點在平面的射影為O，
則，則，
菱形SAHC的面積為，
側面積，下底面積．
所以蜂房的表面積為．
（ii），
令得到，
所以在遞增；在遞增．
所以在處取得極小值，也即是最小值．此時，在中，令，由余弦定理得，
又頂點的曲率為，
．
例60．類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當、時，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點，使平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
【解析】（1）證明：如圖，過射線上一點作交于點，作交于點，連接，
則是二面角的平面角．
在中和中分別用余弦定理，得
，
，
兩式相減得，
∴，
兩邊同除以，得．
（2）①由平面平面，知，
∴由（1）得，
∵，，
∴．
②在直線上存在點，使平面．
連結，延長至，使，連結，
在棱柱中，，，
∴，∴四邊形為平行四邊形，
∴．
在四邊形中，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
∴當點在的延長線上，且使時，平面．
例61．（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．
【解析】（1）
取的三等分點，，的中點，的中點，
過三點，，作平面，過三點，，作平面，
因為，，所以平面平面，
再過點，分別作平面，與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，
由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面．
（2）如圖，將此正四面體補形為正方體（如圖），
分別取、、、的中點、、、，
平面與是分別過點、的兩平行平面，若其距離為1，
則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設正方體的棱長為，
若，因為，，
在直角三角形中，，所以，所以，
又正四面體的棱長為，
所以此正四面體的體積為．
例62．已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，
（1）試計算的絕對值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義．
【解析】（1）由題意＝48．
，，
∴，即．是平面內兩相交直線，
∴平面．
（2）由題意，，
，
，
∴．
∴，
猜想：的絕對值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．

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