1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題05 極值點偏移問題與拐點偏移問題
【考點預測】
1.極值點偏移的相關概念
所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往。如下圖所示。

圖1 極值點不偏移 圖2 極值點偏移
極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏。
【方法技巧與總結】
1.對稱變換
主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調性，進而確定函數(shù)的極值點x0.
(2)構造函數(shù)，即根據(jù)極值點構造對稱函數(shù)，若證 ，則令.
(3)判斷單調性，即利用導數(shù)討論的單調性．
(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關系．
(5)轉化，即利用函數(shù)的單調性，將與的大小關系轉化為與之間的關系，進而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號問題，還需進一步討論與x0的大小，得出所在的單調區(qū)間，從而得出該處導數(shù)值的正負．
構造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效
2.應用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應的問題.
3. 比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性證明題中的不等式即可.
【題型歸納目錄】
題型一：極值點偏移:加法型
題型二：極值點偏移:減法型
題型三：極值點偏移:乘積型
題型四：極值點偏移:商型
題型五：極值點偏移:平方型
題型六：拐點偏移問題
【典例例題】
題型一：極值點偏移:加法型
例1．（2022?浙江期中）已知函數(shù)有兩個不同的零點，．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：．
例2．（2022?汕頭一模）已知函數(shù)有兩個相異零點，．
（1）求的取值范圍；（2）求證：．
例3．（海淀區(qū)校級月考）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求曲線在點，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）若，求的零點個數(shù)；
（Ⅲ）若有兩個零點，，證明：．
例4．（2022?江門一模）已知函數(shù)，是常數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點，（2）處的切線方程，并證明對任意，切線經(jīng)過定點；
（Ⅱ）證明：時，設、是的兩個零點，且．
題型二：極值點偏移:減法型
例5．（2022?七星區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）若在上單調遞減，求的取值范圍；
（2）若在處的切線斜率是，證明有兩個極值點，且．
例6．（2022?常熟市月考）設函數(shù)，，其中．
（1）若，證明：當時，；
（2）設，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
①證明恰有兩個零點；
②設如為的極值點，為的零點，且，證明：．
例7．（2022?黃州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，的導數(shù)為．
（1）當時，討論的單調性；
（2）設，方程有兩個不同的零點，，求證：．
例8．（2022?道里區(qū)校級二模）已知函數(shù)，為函數(shù)的導數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，，，，求證：．
題型三：極值點偏移:乘積型
例9．（2021春?汕頭校級月考）已知，函數(shù)，其中．
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若函數(shù)有兩個零點，
求的取值范圍；
設的兩個零點分別為，，證明：．
例10．（2022?攀枝花模擬）已知函數(shù)有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）當取得最大值時，設（b），有兩個零點為，，證明：．
例11．（2022?張家口二模）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若的兩個零點分別為，，證明：．
例12．（2022?武進區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；
（2）若存在，，使不等式對于，恒成立，求的取值范圍；
（3）若方程有兩個不等的實數(shù)根、，試證明．
題型四：極值點偏移:商型
例13．已知函數(shù)有兩個相異零點、，且，求證：．
例14．（2022?新疆模擬）已知函數(shù)．
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）已知，，為函數(shù)的兩個極值點，求的最大值．
例15．（2021春?湖北期末）已知函數(shù)．
（1）當時，討論函數(shù)的單調性：
（2）若函數(shù)恰有兩個極值點，，且，求的最大值．
例16．（2022?寧德三模）已知函數(shù)．
（1）當時，討論函數(shù)的單調性：
（2）若函數(shù)恰有兩個極值點，，且，求的最大值．
題型五：極值點偏移:平方型例17．（2022?廣州一模）已知函數(shù)．
（1）證明：曲線在點，（1）處的切線恒過定點；
（2）若有兩個零點，，且，證明：．
例18．（2022?浙江開學）已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若，函數(shù)有兩個零點，，求證：．
例19．（2021秋?泉州月考）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）若是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．
例20．（2022?開封三模）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）若，對于任意，證明：．
題型六：拐點偏移問題
例21．已知函數(shù)．（1）求曲線在點，（1）處的切線方程．
（2）若正實數(shù)，滿足，求證：．
例22．已知函數(shù)．
（1）當時，討論函數(shù)的單調性；
（2）當時，設，若正實數(shù)，，滿足，求證：．
例23．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若在處取得極值，求的值；
（Ⅱ）設，試討論函數(shù)的單調性；
（Ⅲ）當時，若存在正實數(shù)，滿足，求證：．
【過關測試】
1．（2022·天津河東·二模）已知函數(shù)（且）．(1)，求函數(shù)在處的切線方程．
(2)討論函數(shù)的單調性；
(3)若函數(shù)有兩個零點，且，證明：．
2．（2022·河北·滄縣中學高二階段練習）已知函數(shù)有兩個不同的零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
3．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．
(1)當時，若函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
(2)當時，若函數(shù)有兩個極值點，，現(xiàn)有如下三個命題：
①；②；③；
請從①②③中任選一個進行證明．
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
4．（2022·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)
(1)求證：當時，；
(2)當方程有兩個不等實數(shù)根時，求證：
5．（2022·浙江紹興·模擬預測）已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
(1)試討論函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)當時，設函數(shù)的兩個極值點為、且，求證：.
6．（2022·安徽淮南·二模（理））已知函數(shù)．
(1)若，證明：時，；
(2)若函數(shù)恰有三個零點，證明：．
7．（2022·湖南·岳陽一中一模）已知函數(shù).
(1)討論的單調性和最值；
(2)若關于的方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：.
8．（2022·山東·青島二中高三期末）已知函數(shù)，.
(1)討論f（x）的單調性；
(2)若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個正實數(shù)，滿足，證明：.
9．（2021·廣東·新會陳經(jīng)綸中學高三階段練習）已知函數(shù).
(1)討論的單調性；
(2)設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
10．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若函數(shù)，求的單調區(qū)間；
(3)當時，若函數(shù)恰有兩個不同的極值點、，且，求證：.
11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．
(1)求的單調區(qū)間和極值；
(2)若存在，滿足，求證：．
12．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在兩個不相等的正實數(shù)，滿足，證明：①；
②.
13．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間；
(2)已知，且，若，求證：.

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