1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題14 解三角形圖形類問題
【方法技巧與總結(jié)】
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.
【題型歸納目錄】
題型一：妙用兩次正弦定理
題型二：兩角使用余弦定理
題型三：張角定理與等面積法
題型四：角平分線問題
題型五：中線問題
題型六：高問題
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
題型八：外心及外接圓問題
題型九：兩邊夾問題
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
【典例例題】
題型一：妙用兩次正弦定理
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.
在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，， 求的取值范圍.
【答案】.
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，
即，
即，
可得，因為，所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因為，可得，
當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
選②：由，根據(jù)正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因為，所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得

，因為，可得，
當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
若選③：由，可得，
即，可得，
因為，所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得

，
因為，可得，
當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
例2．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設(shè).
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）設(shè)AC＝a，可求ABa，AD＝asinθ，CD＝acsθ，由題意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面積公式即可求解；
（2）在△ABD中，△BCD中，分別應(yīng)用正弦定理，聯(lián)立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
【詳解】
（1）設(shè)，則，，，由題意，
則，所以.
（2）由正弦定理，中，，即①
中，，即②
①÷②得：，化簡得
，所以.
例3．（江蘇省南京市寧海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，點在邊上，滿足，且．
(1)求證：；(2)求．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）分別在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化簡整理即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，進而得到，代入中即可求得結(jié)果.
(1)
，，；
在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：；
又，
，
即，.
(2)
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，
即，整理可得：；
在中，由余弦定理得：，則，，，即；
.
例4．（廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點P，滿足．
(1)證明：．
(2)若，，求PC．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得，即，即要證明即可，由此利用三角形內(nèi)角和證明可得結(jié)論；
（2）由題意求得，繼而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.
(1)
證明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要證明，只需證明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，所以，
所以．
(2)
由（1）知，又因為，，
所以，
由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，
則，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由題意知，
故解得，
所以．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面積；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】(1)中，利用含的余弦定理表達式建立BC的方程，求出BC而得面積，再利用面積關(guān)系求的面積得解；
(2)由題設(shè)中角的信息用表示出與中的相關(guān)角，再在這兩個三角形中利用正弦定理建立兩個方程，聯(lián)立整理得的方程，解之即得.
【詳解】
(1)設(shè)，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，則的面積，
梯形中，，與等高，且，
所以的面積，
則梯形的面積；
(2)在梯形中，設(shè)，而，
則，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
兩式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因為，則，即．
例6．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．
(1)若，求的面積；
(2)若，求BC．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)求得，再結(jié)合求解即可
（2）設(shè)，再在中利用正弦定理得出關(guān)于的方程，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡求解即可
(1)
由可得，又故，故
(2)
設(shè)，則，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化簡得，即，利用降冪公式有，利用輔助角公式有，故，利用誘導(dǎo)公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故
例7．（2019·安徽省懷遠第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).
（1）求；
（2）若為邊上的點，為上的點，，.求．
【答案】(1) ；(2)2
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，利用余弦定理即可求解；
（2）設(shè)，將三角形中其余角用表示出來，結(jié)合，表示邊長，即可解出.
【詳解】
（1）由，
得，即
∴；
（2）令，則在中，
由正弦定理得：，
即
在中，
由正切定義：在中，
由正切定義：，
∴
例8．（2022·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，．
(1)若，求△ABC的面積；
(2)若，，，求∠ACB的值．
【答案】(1)
(2)∠ACB=
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)題意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面積；
（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．
(1)
在△ABC中，，
因為，所以．
．
(2)
設(shè)，則，，．
在△ACD中，由，得．
在△ABC中，由，得．聯(lián)立上式，并由得，
整理得，所以，
因為，所以，
所以，解得，即∠ACB的值為．
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知在四邊形ABCD中，，，且______.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）選擇①，由正弦定理及角度關(guān)系推出及，結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，進行證明；選擇②，利用正弦定理推導(dǎo)出，直接利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可推出結(jié)論；選擇③，由正弦定理，面積公式及面積的倍數(shù)關(guān)系得到，，使用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式進行證明；（2）在證明出第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)出邊長，利用余弦定理求出的長及角的正弦值，進而利用面積公式進行求解.
(1)
方案一：選條件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以.
因為，
，
所以，即，
所以，
所以.
方案二：選條件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
因為，所以.
因為，所以.
因為，
，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：選條件③.
因為，，且，，
所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以.
因為，
，
所以，
即，
所以，所以.
(2)
選擇①②③，答案均相同，
由（1）可設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因為，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四邊形ABCD的面積.
例10．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面積為，求AC；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用三角形面積公式有，可求，由余弦定理即可求；
（2）設(shè)，在中，在△中應(yīng)用正弦定理有，即可求，得解.
(1)
在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，
.
(2)
設(shè)，則，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
例11．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，，.
(1)當(dāng)，時，求的面積；
(2)當(dāng)，時，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求出，，再利用誘導(dǎo)公式、三角形面積公式計算作答.
（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.
(1)
當(dāng)時，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
因為，則，又，
所以的面積是.
(2)
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
則，整理得，而，為銳角，
所以.
題型二：兩角使用余弦定理
例12．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點D.
(1)證明：，；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得到，，由正弦定理得到，，兩式相除得到，進而得到，，根據(jù)余弦定理，并代入化簡，即可求解.
（2）根據(jù)，得到，結(jié)合基本不等式求得，進而求得，即可求解.
(1)
解：在和中，可得，，
所以，，
由正弦定理，得，，
兩式相除得，可得，，
又由，根據(jù)余弦定理得
所以
代入可得
.
(2)
解：由，及，可得
根據(jù)基本不等式得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又由，，可得，
所以的最小值是3.
例13．（2022·湖北武漢·二模）如圖，內(nèi)一點滿足.
(1)若，求的值；
(2)若，求的長.【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，最后利用兩角差的正弦公式計算即可
（2）設(shè) ，在與采用余弦定理與正弦定理，然后利用與的關(guān)系列出關(guān)于 的方程，解出 即可
(1)
，此時.
在中，，
又，故
所以
(2)
設(shè)，在中，.
在中，，代入得：.
又，故.
即，解得：，所以.
例14．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在凸四邊形中，已知．
(1)若，，求的值；
(2)若，四邊形的面積為4，求的值．
【答案】(1)；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根據(jù)即可求；
(2)在△、△中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得csA與csC的關(guān)系式；又由的sinA與sinC的關(guān)系式；兩個關(guān)系式平方后相加即可求出cs(A＋C)﹒
(1)
在△中，∵，
∴．
在△中，由正弦定理得，，
∴．
∵，∴，
∴．
(2)
在△、△中，由余弦定理得，
，
，
從而①，
由得，
②，
得，，
∴．例15．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】
（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因為，所以，即．
又因為，所以．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因為，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因為，所以，解得或，
當(dāng)時，（舍去）．當(dāng)時，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因為，
所以，
整理得．
又因為，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因為，所以．
以向量為基底，有．
所以，即，
又因為，所以．③
由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點，為鈍角，．
(1)證明：；
(2)若，，再從下面①②中選取一個作為條件，求的面積．
①； ②．
注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形的外角和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可求解；
（2）選①，根據(jù)同角三角形的平方關(guān)系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角形的面積公式即可求解；
選②，設(shè)出，根據(jù)勾股定理，得出，結(jié)合已知條件得出，利用銳角三角函數(shù)的定義，得出角 ，進而得出角，再利用三角形的面積公式即可求解.
(1)
因為，
所以，
故；
(2)
選①．
因為，
所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得
所以，故，在中，因為，所以，
又．
選②，
設(shè)，則，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，則
,，
所以，
所以．
所以.
例17．（2022·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.
(1)證明：
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；
（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.
(1)
證明：設(shè)，
由余弦定理知：，，
由是外心知， 而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
(2)
解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
設(shè)，則，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，
因此的最大值為.
題型三：張角定理與等面積法
例18．（廣東省2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.
(1)求角的大??；
(2)設(shè)點為上一點，是 的角平分線，且，，求 的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理實行角化邊，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）先利用三角形的面積關(guān)系解出 ，再根據(jù)三角形面積公式計算答案即可
(1)
在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，
又，所以
(2)
是的角平分線，，
由可得
因為，，即有，，
故
例19．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）在中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，且
(1)求；
(2)若為上的點，平分角，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理進行角化邊整理得，再結(jié)合余弦定理；（2）利用等面積，整理得，再由角平分線的性質(zhì)代入計算．
(1)
因為，
所以由正弦定理可得：，整理得.
由余弦定理得：
又因為所以
(2)
由（1）知.
又因為平分角，所以.由得.
即.
又因為，，所以.
再由角平分線的性質(zhì)可知：
例20．（2022·遼寧·高一期中）如圖，在中，，，且點在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長；
（2）由已知可得出，結(jié)合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長，利用余弦定理可求得的長，進而可求得的長，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.
(1)
解：，，則，
，解得，，
，，
在中，由正弦定理可知得.(2)
解：由得，所以，
因為，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，得，所以，
.
例21．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分線，求的長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用余弦定理求出邊的長，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面積公式及面積關(guān)系，建立關(guān)于邊的關(guān)系式求解即可得到答案
(1)
在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因為，所以，所以
由正弦定理得：，故
(2)
設(shè)，
由及三角形的面積公式可得：
整理得
在中，由余弦定理
由得
則
例22．（2022·山東淄博·三模）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）應(yīng)用降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)相鄰的最高、最低點距離、勾股定理求得，即可得解析式.
（2）由已知有，根據(jù)及三角形面積公式可得，再應(yīng)用余弦定理求，進而可得的長．
(1)
因為，
設(shè)函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，
所以.
(2)由得：，即，解得，
因為，所以，
因為的平分線交于，
所以，即，可得，
由余弦定理得：，，而，
得，因此.
例23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角B的大??；
(2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．
①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化簡，再根據(jù)三角形中角的范圍可求得；
（2）若選①：利用三角形面積關(guān)系和余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可；若選②：根據(jù)中點的向量關(guān)系式并同時平方，結(jié)合余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可.
(1)
由正弦定理知：
又：
代入上式可得：
，則
故有：
又，則
故的大小為：(2)
若選①：
由BD平分得：
則有：，即
在中，由余弦定理可得：
又，則有：
聯(lián)立
可得：
解得：（舍去）
故
若選②：
可得：，
，可得：
在中，由余弦定理可得：，即
聯(lián)立
解得：
故
題型四：角平分線問題
例24．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且
(1)求的值；
(2)給出以下三個條件：
條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：
（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.
【答案】(1)；
(2)條件正確，(i)；(ii).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡計算可得，即可求得B；
(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.
(1)
，
，
，
，得Z，
由，得；
(2)
若條件①正確，由，得，
由余弦定理，得，即，
解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；
(i)由，，
得，解得，
由余弦定理，得，
因為，所以，由正弦定理，
得，即；(ii)由正弦定理，得，即，
因為平方，，所以，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
又，上述兩式相除，得，
解得，所以.
例25．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.
(1)求角；
(2)角的內(nèi)角平分線交于點，若，，求.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由正弦定理及切化弦得，結(jié)合角的范圍，即可求解；
（2）先由結(jié)合面積公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.
(1)
由正弦定理及切化弦可得，又，則，即，又，則；
(2)
，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（負值舍去），則，
可得或，又，顯然當(dāng)或12時，的值相同，不妨設(shè)，則，
由正弦定理得，可得，又，可得.
例26．（2022·北京八十中模擬預(yù)測）在△ABC中，.
(1)求B的值；
(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分線BD的長.
【答案】(1)；
(2)（i），（ii）.
【解析】
【分析】（1）利用和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求B的值.
（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，再應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定理求，由角平分線性質(zhì)求得、，再根據(jù)正弦定理求BD的長.
(1)
由題設(shè)，而，
所以，故.
(2)
若①②正確，則，得或，
所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，
若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件；
綜上，正確條件為①③，
（i）由，則，即，
又，可得，
所以，可得，則，故，
（ii）由角平分線的性質(zhì)知：且，
在△中，則.
例27．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））如圖，在中，D為邊BC的中點，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點．
(1)證明：；
(2)若，，，求DE．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）在中與中，分別運用正弦定理可求解；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系得相關(guān)的三角函數(shù)值，再運用直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系得相關(guān)邊長，最后運用余弦定理可求解.
(1)
在中，由正弦定理可知，
且在中，由正弦定理可知，
因為D為BC中點，即，
所以，
即．
(2)
當(dāng)時，可知，，
又因為，且為銳角，
所以，
所以，，
因為，所以，，
，
，，
由余弦定理可知，
可得．
例28．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，的平分線交于點，且．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用等面積法結(jié)合已知條件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
(1)
解：由及正弦定理可得，
、，則，所以，，解得，
所以.
(2)
解：因為，即，
所以，因為，則，
所以，所以.
例29．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且的面積為．
(1)求；
(2)若，的角平分線與邊相交于點，延長至點，使得，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）令，利用余弦定理可求得，求出，然后在中，利用余弦定理可求得．
(1)
解：由題可知，所以，
由余弦定理，所以，可得，
因為，所以.
(2)
解：不妨令，因為，可得，，
又因為為的角平分線，所以，，得，
所以在中，由余弦定理可得，即，
在中，可得，，所以，為等邊三角形，所以，
在中，由余弦定理可得，得．
題型五：中線問題例30．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大??；
(2)若邊上的中線，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和的正弦公式求解；
（2）在中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結(jié)合，兩式相加得到，聯(lián)立求得c，再利用三角形面積公式求解.
(1)
解；因為，
所以，
所以，
即 ，
因為 ，
所以 ，
所以；
(2)
在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，
兩式相加得②，由①②得，
所以.
例31．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中．．
(1)求角；
(2)若，點是線段的中點，于點，且，求的長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡可得，由此可求得；
（2）利用面積橋可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得結(jié)果.
(1)
，；
，，，解得：.
(2)
是中點，，
又，解得：；
在中，由余弦定理得：，，則，.
例32．（2022·海南?？凇ざ＃┰谥?，角的對邊分別為已知，．
(1)求；
(2)若，邊的中點為，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件及正弦定理即可求解；
（1）根據(jù)已知及線段中點的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求解.
(1)
在中，由正弦定理，得
．
(2)
由及，得，
中，由余弦定理，得，
即，解得或（舍），所以，
又因為邊的中點為，所以即，
在中，由余弦定理得，
所以．
例33．（2022·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的大??；
(2)設(shè)D，E分別為邊AB，BC的中點，已知的周長為，且，若，求a．
【答案】(1)
(2)
【解析】【分析】
（1）根據(jù)正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化成角，然后用輔助角公式，即可求解. （2）在，分別用余弦定理表示出 ，根據(jù)，可得邊長的關(guān)系，進而根據(jù)周長即可求解.
(1)
由正弦定理，得，
∵A，B，C為的內(nèi)角，∴，
∴，
∴，
∵，，∴，，
∴，
易知，∴，即．
(2)
設(shè)，，則，，在中，由余弦定理，
得，
在中，同理有，
∵，∴，即，
整理得，解得或，
∵，即，∴，且，
∵的周長為，∴，
∴，∴．
例34．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））在中，分別為三個內(nèi)角的對邊，若．
(1)求角；
(2)若，，D為的中點，求的長度．
【答案】(1)；
(2).
【解析】【分析】
（1）利用正弦定理，余弦定理邊角互化可得，即得；
（2）利用和角公式及正弦定理，然后利用余弦定理可得.
(1)
在中，由余弦定理知：
，
由正弦定理知：，
得,
,
得：，
因為，所以，
又因為
.
(2)
，
所以，
由正弦定理知，
所以，
在中，由余弦定理知：
，
所以.
例35．（2022·湖北·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若.
(1)求角；
(2)若，點在線段上，且是線段中點，與交于點，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；
（2）利用余弦定理可得，進而可得，然后利用和角公式可得，即得.
(1)
∵，
∴，即，
又，
∴；
(2)
由題可知，，
∴，
∴，又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，∴
.
例36．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，AC的中點為D，求BD的長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通過正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可求角B；
（2）利用中線與相鄰兩邊的向量關(guān)系式結(jié)合已知可求得BD的長．
(1)
因為，由正弦定理可得：
，
，
，因為，所以，
所以，又
(2)
，
兩邊平方可得，
即，
所以.
題型六：高問題
例37．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理化簡可得答案；（2）由三角形的面積公式可得b值，由余弦定理可得a值，結(jié)合面積公式可得高.
(1)
，即．
，
，
．
又，．
(2)
，．
故由余弦定理可知．
而，
解得，所以BC邊上的高為．
例38．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）從①為銳角且sinB－csC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個條件中任選一個，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長．【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）在三角形中，運用正余弦定理，實現(xiàn)邊角互化即可求解.
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得的關(guān)系，在中運用余弦定理可求出的值，然后根據(jù)邊的長度用余弦定理求角，即可求解.
(1)
選①
因為，所以，
由余弦定理得，，所以，即
由正弦定理得
在中，有，故
由A為銳角，得
選②
因為b＝2asin(C＋)，由正弦定理得
即
化簡得
在中，有，由A為銳角得，
所以，得
(2)
由題意得，，所以，
又b＝c，所以
由余弦定理，解得
所以，，
所以是鈍角三角形所以，所以
在直角中，
例39．（2022·北京房山·二模）在中，.
(1)求；
(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.
條件①：；條件②：；條件③：的面積為.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）方法一：根據(jù)正弦定理，結(jié)合內(nèi)角和與兩角和的正弦公式化簡即可；方法二：利用余弦定理化簡即可
（2）選①則不合題意；
選②：根據(jù)則可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)高計算即可；
選③：根據(jù)面積公式可得，進而用余弦定理求得，再結(jié)合面積公式求解高即可
(1)
方法一：在中，因為，
所以由正弦定理可得.
因為，所以.
所以.
在中，，
所以，所以.方法二：在中，因為，
由余弦定理
得，
整理得
所以，所以.
(2)
選條件②：由（1）知
因為在中，，所以
又，所以
所以
設(shè)邊上高線的長為h，則
.
選條件③：
因為
所以，
由余弦定理得
所以.
設(shè)邊上高線的長為h，則
例40．（2022·山東青島·一模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，邊上的高為，求邊．【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合正弦定理、余弦定理求得，由此求得.
（2）結(jié)合三角形的面積公式、余弦定理求得.
(1)
因為，
所以，
所以由正弦定理得，
所以由余弦定理得，
因為，所以.
(2)
由三角形面積公式得，
，
所以，即，
由余弦定理得，
將代入上式得，
解得或（舍），所以邊.
例41．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.
(1)求角；
(2)若，，求邊上的高.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角變換公式可求.
（2）利用正弦定理及三角變換公式可得，再利用余弦定理可得，結(jié)合等積可求邊上的高.
(1)
由正弦定理可得，
故即：
，
所以，
而為三角形內(nèi)角，故，所以，
而為三角形內(nèi)角，故.
(2)
因為，所以，而，
即，所以，
其中為三角形外接圓的半徑.
所以即.
所以，
故，所以，其中為邊上的高，
故.
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
例42．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點P．
(1)的余弦值．
(2)求四邊形的面積.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理可求出邊BC的長度，然后判斷出三角形ABC為等腰三角形，進而可得中線AM的長度，再由余弦定理可求出余弦值，進而根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解. （2）由三角形的面積公式即可求解.
(1)
在中，由余弦定理可知：,即
故 , ,是等腰三角形，故
在中，由余弦定理可知：
即,
在中，由正弦定理可知：
因為為銳角，所以
(2)
由（1）知： 是的重心，所以 ,故
所以四邊形的面積為
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）G是的重心，分別是角的對邊，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由G是的重心，得，可令，可求得，再運用余弦定理計算可得選項.
【詳解】
因為G是的重心，所以，又，可令，
解得，所以，
故選：C.
例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，點是的重心，且，則的面積為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
邊化角可以算出A，利用三角形重心的幾何性質(zhì)和余弦定理可以求出C即可.
【詳解】
由題意作圖如下：
設(shè)BC邊的中點為D，
由題
根據(jù)正弦定理可得：
，
由于 ，，
，；有三角形的幾何性質(zhì)得，，
又在和中分別運用余弦定理，
得 ，
得，，
解得，∴；
故選：B.
例45．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若的外接圓的面積為，．
(1)求；
(2)是角的平分線，若，的重心為，求的長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形的外接圓的面積為，可得外接圓的半徑的長，可得，根據(jù)正弦定理可得，利用余弦定理，可得的值，并結(jié)合的取值范圍即可得的值；
（2）根據(jù)內(nèi)角的平分線定理可得，設(shè)，∴，再利用余弦定理可以求出，的值，設(shè)為的中點，連接，根據(jù)為的重心結(jié)合平面向量的基本定理計算出的長，從而求出的長．
(1)
的外接圓的面積為，可得外接圓的半徑為1，可得，
由，可得，
根據(jù)正弦定理可得，即，∴．∵，∴．
(2)
∵，∴．
根據(jù)，易得，設(shè)，∴，
根據(jù)余弦定理可得，
解得，∴，．
設(shè)為的中點，連接，，，
可得，
∴，∴．
題型八：外心及外接圓問題
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)外接圓的半徑為，由已知條件可得，即且，取的中點，連接可得，計算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【詳解】
設(shè)外接圓的半徑為，
因為，所以，
所以，且，
取的中點，連接，則，
因為，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案為：.
例47．（2022·江蘇·泰興市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，點為的外心，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出，再求出，得到,（1），同理得到，（2），解之即得解.
【詳解】
由題得,
由余弦定理得，
所以，
因為點為的外心，所以,
所以,（1）
同理,（2）
解（1）（2）得.
故選：C
【點睛】
關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于的方程，其中一個是根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義得到方程，另外一個是平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算得到方程.
例48．（2022·廣東·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.
①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.
(1)求；
(2)若，__________，求的面積.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)選①：；選②：；選③：.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；
（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑表示三角形面積求得內(nèi)切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計算出面積；選③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性質(zhì)，即重心和三角形的三個頂點組成的三個三角形面積相等，用三角形面積公式求解的面積即可.
(1)
因為，
由正弦定理得，
，，
三角形中，，所以，
，則，所以，；
(2)
選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點，
在中由余弦定理得，
，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，
所以；
選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，
由（1），所以，
在中由余弦定理得，
，，
．
選③O為的重心，如圖，分別是各邊上的中點，
在中由余弦定理得，
，
由三角形重心的性質(zhì)可得，，
故.
例49．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答．
①O為的內(nèi)心；②O為的外心．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面積．
【答案】(1)
(2)選①，；選②，．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；
（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑表示三角形面積求得內(nèi)切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計算出面積．
(1)
因為，
由正弦定理得，
，
，
三角形中，，所以，
，則，所以，；
(2)
選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點，
，
，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，
所以；
選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，
由（1），所以，
又，，，
．
例50．（2022·江蘇省白蒲高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理列方程，化簡求得的關(guān)系式，由此求得.
（2）利用正弦定理求得外接圓的半徑，進而求得外接圓的面積.
【詳解】
（1）依題意，由余弦定理得，
，，
，
所以或.
當(dāng)時，.當(dāng)時，.
（2）若的外心在其外部，則不符合題意.
當(dāng)時，，為鈍角，符合題意.
，
設(shè)三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，
所以外接圓的面積為.
例51．（2022·遼寧·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.
(1)若，求外接圓的直徑；
(2)若，求的周長.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）先由輔助角公式求出，再求出，由正弦定理即可求解；
（2）直接由余弦定理解出或3，再求周長即可.
(1)
因為，所以，則或，則（，舍去）.
因為，所以.設(shè)外接圓的直徑為d，由正弦定理得.
(2)由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)，得，解得或3.
當(dāng)時，的周長為；當(dāng)時，的周長為.
例52．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知的數(shù)．
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由倍角公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先得出，再由正弦定理得出的外接圓半徑，進而得出外接圓的面積．
(1)
，
令，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
(2)
由（1）可知，則，
又，故．
設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可得，，
∴，故的外接圓的面積為．
例53．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依題意可得，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和差的余弦公式得到，再利用正弦定理將邊化角，即可得解；
（2）連接?，依題意可得，，再利用面積公式得到，在和中分別利用余弦定理，即可得到，，從而求出，即可得解；
(1)
解：由，
得，
即，
即
即，∵，∴，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
∵，∴.
(2)
解：如圖，連接?，則，，
正面積，∴，
而，則，
∴中，由余弦定理得：，
有，則，
在中，，，由余弦定理得，則，
∴，，∴，所以的周長為.
題型九：兩邊夾問題
例54．（2021?雙流區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的值是
A．2B．C．D．1
【解答】解：，
，
，
，
又正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值均小于等于1，
，，
、、，，,，
，
由正弦定理可得，，
故選：．
例55．（2020?蘇州二模）在中，已知邊，，所對的角分別為，，，若，則 ．
【解答】解：由正弦定理，得：，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，，，，
．
故答案為：．
例56．（2013?成都模擬）在中，若，則角 ．
【解答】解：，
，
即，
，，
且，
且．
則是等腰直角三角形．
故答案為：．
例57．（2018?如皋市二模）在中，角、、的對邊分別為，，，設(shè)是的面積，若，則角的值是 ．
【解答】解：中，是的面積，
且，
由余弦定理得，
，
所以，
整理為：
由于，
所以，
則，
由于，
故，
進一步解得．
故答案為：
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
例58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.
(1)求的大小；
(2)為內(nèi)一點，的延長線交于點，________，求的面積.
請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題.
①為的外心，；
②為的垂心，；
③為的內(nèi)心，.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得， ，可得
根據(jù)可得答案；
（2）選①，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，為外心得 ，與盾，故不能選①.
選②，為的垂心得，由 ，
，得，利用，求得，可得出為等邊三角形，再由面積公式可得答案.
選③，為的內(nèi)心，所以，
由和正弦定理可得，結(jié)合，和面積公式可得答案；
(1)
在中，由余弦定理得，又因為，，
所以，整理得.
在中，由余弦定理得，所以，
即又因為，所以.
(2)
選①，
設(shè)的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，因為為外心，所以，與盾，故不能選①.
選②，
因為為的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因為，所以，即
，
又因為在中，，所以，因此，
故，為方程兩根，即，
因為，，所以，所以為等邊三角形，
所以.
選③，
因為為的內(nèi)心，所以，
由，
得，
因為，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，
又因為，所以，所以.
例59．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC=
(1)求的值；
(2)設(shè)M和N分別是ΔABC的重心和內(nèi)心，若MN//BC且c=2，求a的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）切變弦，然后整理化簡可得sinB=2sinC，再利用正弦定理角化邊可得答案；
（2）先根據(jù)(1)求出，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，再根據(jù)重心的性質(zhì)得到頂點A到BC邊的距離為3r，利用面積列方程求解.
(1)
由已知得，，即sinAcsC=2sinC-csAsinC
得sin(A+C)=2sinC
即sinB=2sinC
由正弦定理得，所以；
(2)
由(1)知，因為，所以
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則內(nèi)心N到BC邊的距離為r，
因為MN∥BC，所以重心M到BC邊的距離為r，根據(jù)重心的性質(zhì)，頂點A到BC邊的距離為3r，
根據(jù)面積關(guān)系得
即，
所以
例60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A為銳角，，，再從條件①：，條件②：，這兩個條件中選擇一個作為已知.求：
(1)角A；
(2)的內(nèi)切圓半徑r.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若選條件①，由正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得；若選條件②，切化弦結(jié)合正弦定理邊化角，然后可解；
（2）向量數(shù)量積結(jié)合余弦定理可得b+c，再由可解.
(1)
若選條件①.
由正弦定理得，，
因為，所以，所以，
又，所以，所以，
所以,
所以.;
若選條件②.
由，
得，
，所以,
，
，,
，所以,
，
,
.
(2)
由，得.
在中，,由余弦定理得，，
，，
,
又，
.
例61．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（文））在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，且．
(1)求角和邊的大小；
(2)求△的內(nèi)切圓半徑．
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）將代入式中，利用兩角和、兩角差的正弦公式即可求得，再利用余弦定理即可求得；
（2）利用等面積法即可求得.
(1)
由可得，
∴，
∴，
又∵，∴，
又∵, ∴．
由余弦定理可得，
∴．
(2)
由（1）知，故△為直角三角形，設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為．
由等面積法可知，
即，解得：.
例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，是上一點，平分.
(1)求證：；(2)若，，，求的內(nèi)切圓面積.
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）易知，，則，，在和中，分別利用正弦定理即可得證；
（2）在中，利用余弦定理求得，再利用平方關(guān)系求得，再利用二倍角的正弦公式求得，再根據(jù)，求得，再根據(jù)（1）可求得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)求得內(nèi)切圓的半徑，從而可求得答案.
(1)
解：因為平分，所以，
在中，因為，
所以，
在中，因為，
所以，
又因，，
所以，，
所以，即；
(2)
解：在中，
，
則，
所以，
因為，所以，
即，所以，
因為，所以，則，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，
則，
即，解得，
所以的內(nèi)切圓面積為.
例63．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，分別為角的對邊，且.
（1）求角；
（2）若的內(nèi)切圓面積為，求面積的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，由正弦定理得到，化簡整理求出，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，得到內(nèi)切圓的半徑為，作出圖形，記內(nèi)切圓的圓心為，為切點，得到，由余弦定理得到，根據(jù)基本不等式，推出，再由三角形面積公式，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）因為
所以
即，所以，即，
；
（2）由題意知內(nèi)切圓的半徑為，如圖，內(nèi)切圓的圓心為，為切點，
則，
從而，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
從而，
即面積的最小值為.
【點睛】
本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理，靈活運用基本不等式即可，屬于常考題型.
例64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的對稱軸；對稱中心；單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，分別是所對的邊，當(dāng)時，求內(nèi)切圓面積的最大值.
【答案】（1）對稱軸為，對稱中心為，
單調(diào)遞增區(qū)間為 ； （2）.
【解析】
【分析】
（1）將函數(shù)f（x）進行化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的對稱軸、對稱中心、單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由 可得 ，利用得，再結(jié)合余弦定理及重要不等式得到結(jié)果.
【詳解】
(1)對稱軸為
對稱中心為
單調(diào)遞增區(qū)間為
(2) 由
由得
由余弦定理,即

由基本不等式得
，
內(nèi)切圓面積最大值為
【點睛】
解三角形的基本策略
一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化變；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.
例65．（2022·河南南陽·高三期末（理））在中，.
(1)求A；
(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，再結(jié)合解三角方程即可求解.
（2）由題意可知，利用三角形的等面積法及余弦
定理得出含有和的關(guān)系式，再利用基本不等式的變形即可求得的最小值.(1)
在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因為，所以，即
，
所以，又因為，所以，
所以，解得.
所以.
(2)
令，（1）知.
由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
所以，
或又的內(nèi)切圓半徑，， ，
，的最小值為.
例66．（2022·陜西·模擬預(yù)測（文））已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，設(shè)O為的內(nèi)心，則的面積為_________．
【答案】
【解析】
【分析】
通過正弦定理和余弦定理可得，通過三角形面積公式可得內(nèi)接圓半徑為，進而可得結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時，由正弦定，可得，
結(jié)合，由余弦定理，解之得，
若O為的內(nèi)心，則設(shè)的內(nèi)接圓半徑為，
由，可得，，
故，∴，
∴，
故答案為：.
例67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點O是ABC的內(nèi)心，若，則cs∠BAC = （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)，則四邊形為菱形，設(shè)該菱形的邊長為，則，表示出內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)等積法可以求出的長，然后轉(zhuǎn)化為等腰三角形處理即可
【詳解】解：由，設(shè)，則四邊形為平行四邊形，
因為點O是ABC的內(nèi)心，所以，
所以四邊形為菱形，設(shè)該菱形的邊長為，則，
因為∥，，
所以的內(nèi)切圓半徑，
所以，
所以，解得，
所以為等腰三角形，
所以，
故選：C

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