最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇專題15 三角形中的范圍與最值問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
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專題15 三角形中的范圍與最值問題
【方法技巧與總結(jié)】
1.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:
(1)利用基本不等式求范圍或最值；
(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；
(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；
(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；
(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.
要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.
2.解三角形中的范圍與最值問題常見題型：
(1)求角的最值；
(2)求邊和周長的最值及范圍；
(3)求面積的最值和范圍.
【題型歸納目錄】
題型一：周長問題
題型二：面積問題
題型三：長度問題
題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題
題型五：倍角問題
題型六：角平分線問題
題型七：中線問題
題型八：四心問題
題型九：坐標(biāo)法
題型十：隱圓問題
題型十一：兩邊夾問題
題型十二：與正切有關(guān)的最值問題
題型十三：最大角問題
題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題
題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似
題型十六：三角形中的平方問題
題型十七：等面積法、張角定理
【典例例題】
題型一：周長問題
例1．（2022·云南·昆明市第三中學(xué)高一期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．
(1)求A；
(2)從三個條件：①的面積為；②；③中任選一個作為已知條件，求周長的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及已知有，應(yīng)用差角余弦公式化簡求得，即可確定A的大小.
（2）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用正余弦定理、三角恒等變換及基本不等式、三角函數(shù)的范圍求周長的取值范圍．
(1)
在中，由得：，又，
，即，
，又，
．
(2)
選擇①：因為，則，得，
由余弦定理得，
即的周長，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，即的周長的取值范圍是．
選擇②：，因為，，由正弦定理得，，
即的周長，
因為，則，故，
所以，即的周長的取值范圍是．
選擇③：．因為，，
由正弦定理得，
即的周長
，
因為，所以，則，
即的周長的取值范圍是.
例2．（2022·重慶·高一階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)．
(1)求函數(shù)在上的值域；
(2)若的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)并化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求值域作答.
（2）由（1）求出，借助余弦定理求出的范圍，即可求解作答．
(1)
（1）依題意，，由得，，
所以在上的值域為.
(2)
由得，，，則有，解得，
在中，由余弦定理得，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取“=“，即有，又因為，則，
因此，
所以的周長的取值范圍為．
例3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）銳角的內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，且的外接圓半徑為1，則周長的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理變形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用余弦定理表示出的關(guān)系，并由基本不等式得出的一個范圍，結(jié)合三角形的性質(zhì)求得的范圍，從而可得結(jié)論．
【詳解】
解：由余弦定理，得，即，
因為，所以.
由正弦定理，得.
因為，
由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，
所以，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，又，
所以，
所以周長的取值范圍.
故答案為：.
例4．（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，若實數(shù)滿足時，的最小值為．
(1)求的值及的對稱中心；
(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．
【答案】(1)，對稱中心；
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由倍角公式及輔助角公式化簡得，再結(jié)合已知求得周期即可求出，由正弦函數(shù)的對稱性即可求得對稱中心；
（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求得周長的取值范圍．
(1)
，
顯然的最大值為1，最小值為，則時，的最小值等于，則，則，；
令，解得，則的對稱中心為；
(2)，，又，則，
由正弦定理得，則，
則周長為
，又，則，
則，故周長的取值范圍為.
題型二：面積問題
例5．（2022·貴州黔東南·高一期中）在面積為S的△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求C的值；
(2)若ABC為銳角三角形，記，求m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角形面積公式、正弦定理及余弦定理即可求解；
（2）根據(jù)題干得出角的取值范圍，利用三角形面積公式及正弦定理進行化簡，最后利用角的取值范圍進行求解.
(1)
解：在中，由三角形面積公式得，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故.
(2)解：因為為銳角三角形，所以，，
所以，
所以
，
因為，所以，
故.
例6．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為．
(1)求角；
(2)若點滿足，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合輔助角公式得到，進而可求出結(jié)果；
（2）結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換求出，然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出的面積的取值范圍，從而根據(jù)即可求出結(jié)果.
(1)
因為，所以，且．
(2)
，
．
，
．
．
因為點滿足，所以,
．
例7．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）在中，D的邊的中點，．
(1)求角C；
(2)求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)內(nèi)角和公式和二倍角余弦公式化簡求角C；(2)由余弦定理可得的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求的最大值，根據(jù)三角形面積公式求面積的取值范圍．
(1)
因為，
所以
所以，故，又；所以.
(2)
在中，由余弦定理可得
因為，，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以面積．
例8．（2022·江蘇省天一中學(xué)高一期中）在中，角A?B?C所對應(yīng)的邊分別為a?b?c，若.是銳角三角形，則面積的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意和余弦定理，求得，再結(jié)合余弦定理求得，再由正弦定理可得，，化簡，根據(jù)是銳角三角形求得，得到，即，結(jié)合面積公式，即可求解.
【詳解】
由余弦定理可得，整理得，
又由，
因為，所以．
由正弦定理可知：，所以，，
故，，
因為是銳角三角形，，解得，
可得，所以，故，
又由的面積，所以．
故答案為：
題型三：長度問題
例9．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的大?。?br>(2)設(shè)，若的外接圓半徑為4，且有最大值，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)（1，4）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.
（2）由題意及正弦定理可知，利用正弦定理及正弦函數(shù)兩角和公式將化為型函數(shù)進行求解.
(1)
解：由已知及正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
因為，所以．
(2)
由正弦定理得，所以，
其中，，
又，所以，
若存在最大值，則有解，則，即，
所以解得，
即m的取值范圍是（1，4）．
例10．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））在中，角，，的對邊分別為，，．，，．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出，利用余弦定理求出，即可求出；
（2）先求出，即可求出的取值范圍．
(1)
因為，所以，所以.
因為，所以，所以.
因為，，由余弦定理得：，解得：.
所以.
(2)
由（1）可知：.而，所以，所以，所以.
故的取值范圍為.
例11．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的面積.
(1)求邊c；
(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得，由三角形面積公式結(jié)合，求得答案；
（2）由正弦定理表示，由三角形為銳角三角形確定，即可求得答案.
(1)
因為，，所以；
因為，所以 .
(2)
在中，由正弦定理，
由（1）知，，代入上式得：，
因為為銳角三角形，則,所以，
所以，
所以.
例12．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，，
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根據(jù)，即可得解．
(1)
解：因為，且，
所以
即，
令，，解得，．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
(2)
解：因為，
所以．
因為，所以，所以，所以，
又因為，
所以由余弦定理，
即，即．
而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，即，
又因為，所以，即．
例13．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）請在①向量，，且；②這兩個條件中任選一個填入橫線上并解答．
在銳角三角形中，已知角，，的對邊分別為，，c，．
(1)求角；
(2)若的面積為，求的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)選①：根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示和正弦定理可得，結(jié)合余弦定理即可求出C；選②：根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡計算可得，結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；
(2)由三角形的面積公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，進而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.
(1)
選擇①：
因為，所以，
由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因為，
又為銳角，所以．
選擇②：
因為，
由正弦定理得，，
即．又，
所以．
因為，所以，
又為銳角，所以，．
(2)
因為，
所以，則．
(法一)由余弦定理得，．①
因為為銳角三角形，所以即
將①代入上式可得即解得．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即，即的取值范圍為．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因為為銳角三角形，所以解得
因為，所以，，
即，解得．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即的取值范圍為．
例14．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）角換邊，在利用余弦定理求解；
（2）邊換角，將待求表達式表示成關(guān)于的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出的范圍，最后再求表達式的范圍即可.
(1)
因為，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因為，所以．
(2)
由正弦定理得．
因為為銳角三角形，所以
解得，所以，
所以，
故的取值范圍為．
例15．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）在①，②，③這三個條件中，任選一個，補充在下面問題中，
問題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，_______．(1)求角B﹔
(2)求的范圍．
【答案】(1)任選一條件，都有
(2)
【解析】
【分析】
（1）若選①由正弦定理可得，再由余弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得答案; 若選②由余弦的二倍角公式結(jié)合余弦的差角公式可得出答案;若選③由正弦定理結(jié)合切化弦可得，從而得到，得出答案.
(2)由正弦定理可得，即，結(jié)合,利用正弦的差角公式和輔助角公式化簡結(jié)合角的范圍可得答案.
(1)
選擇①：∵，
∴由正弦定理可得：，
∴可得：，可得：，
∴由余弦定理可得：，
整理可得：，∴，
∵，可得：
選擇②：，因為
，
所以，
又因為，所以；
選擇③：因為，
由正弦定理可得，又
由，可得，
因為，所以，因為，所以．
(2)
在中，由（1）及，
故，
因為，則
﹒
所以的范圍為
例16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）在△中，角所對的邊分別是，若，，則的最小值為________．
【答案】12
【解析】
【分析】
利用正弦定理及和角公式可得，再結(jié)合條件及正弦定理可得，然后利用余弦定理及基本不等式即求.
【詳解】
∵在△中，角所對的邊分別是，，
∴，
∴，
∴，即，，
∴，因為，
∴，即，
又，
∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
∴的最小值為為12.
故答案為：12.
例17．（2022·安徽黃山·二模（文））在△中，角，，的對邊分別為，，，，，若有最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合正弦定理的邊角互化，易得且、，可知存在最大值即，進而可求的范圍.
【詳解】
∵，，由正弦定理得：，
∴，其中，又，
∴存在最大值，即有解，即，
∴，解得，又，解得，故的范圍是．
故答案為：．
例18．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知的三邊長分別為，，，角是鈍角，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由B是鈍角，得出，再按c>a和c≤a放縮，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)得解.
【詳解】
的三邊長分別為，，，且角是鈍角，則，
當(dāng)c>a時，令，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
即，
c≤a時，，，
令，，，在上單調(diào)遞增，，即，
綜上得，所以的取值范圍是.
故答案為：
例19．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】由均值不等式可得出的最小值，由余弦定理可得，再由正弦定理結(jié)合條件可化為，由輔助角公式可得最大值.
【詳解】
(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)
由，可得
，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號,
所以
故選：C
題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題
例20．（2022·河北秦皇島·二模）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理可求出，進而求出的大??；
（2）依題意可化簡，根據(jù)的范圍求出的取值范圍即可.
(1)
因為，
所以，即.因為，所以.
因為，所以.
(2)
由（1）知
.
因為，所以，
因為，所以，
所以，
即的取值范圍是.
例21．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)為等腰三角形或直角三角形，證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出，可得出或，可得出或，即可得出結(jié)論；
（2）分析可得，且，利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式可得出，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
(1)
解：為等腰三角形或直角三角形，證明如下：由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、為的內(nèi)角，所以或，
因此為等腰三角形或直角三角形．
(2)
解：由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因為，故，
得，所以，
因此的取值范圍為．
例22．（2022·浙江溫州·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大??；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）已知兩邊和其中一邊的對角，運用正弦定理可以求另外一個角；
（2）由三角恒等變換公式或積化和差公式進行化簡，轉(zhuǎn)化成的形式，根據(jù)三角函數(shù)進行求解即可.
(1)由正弦定理得：，
∵，∴或，
當(dāng)時，此時，所以舍去，所以.
(2)
（或者用積化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A為銳角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
例23．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最大值；
(2)已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）依題意可得，再由正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式得到，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)三角形為銳角三角形求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
(1)
解：
，
∴，此時，，即，；
(2)
解：由，
∴，由正弦定理及已知可得，
整理得，即，
由，則，所以，
則，因為，所以，，∴
由
；
由，即，所以，所以，所以，
則，則，
∴，
∴的取值范圍為．
例24．（2022·山西·模擬預(yù)測（理））已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.
(1)
及，
，化簡得，
，又，.
(2)
由（1）可得
為銳角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范圍為.
例25．（2022·安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測（理））銳角的內(nèi)角所對的邊是，且，若變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是______
【答案】【解析】
【分析】
利用化已知等式為邊的齊次式，然后由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換求得關(guān)系，并求得角范圍，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，則最大值的存在性得出與的關(guān)系，從而得范圍．
【詳解】
因為，所以化為，
由正弦定理得，即，
所以或，即或（舍去），
是銳角三角形，
，所以，
，
令，則
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以時，取得最大值，，
因為，所以．
故答案為：．
例26．（2022·江西·南昌十中模擬預(yù)測（理））銳角中，，角A的角平分線交于點， ,則的取值范圍為_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理表示出，，從而表示出，根據(jù)角的范圍結(jié)合三角恒等變換求得答案.
【詳解】
由已知得， ,
在中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故,
而
，
因為銳角中， ,
故，則，，
故，
故答案為：
例27．（2022·遼寧·高一期中）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且為鈍角，則______，的取值范圍是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
先通過正弦定理進行邊化角，進而結(jié)合誘導(dǎo)公式求得；再將化為，然后展開并結(jié)合二倍角公式求出答案.
【詳解】
由已知，，∴，∵,∴，∵，∴，．
∵，，，∴，∴，即，所以，故的取值范圍是．
例28．（2021·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，則∠ACB＝________；現(xiàn)要在空地中修建一個三角形的綠化區(qū)域，其三個頂點為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點，若使，則BD＋BE最小值為________平方千米．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；設(shè)分別在，中，利用正弦定理分別求得BD，BE，再由；令轉(zhuǎn)化為求解.
【詳解】
在中，由余弦定理得，
則
根據(jù)正弦定理有所以，
；
設(shè)
則
在中，由正弦定理得
在中，由正弦定理得
則；
令則
則
易知分母且是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，
則是一個單調(diào)遞減的函數(shù)，
當(dāng)時，有最小值，．
故答案為：；.
例29．（2021·浙江·舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在中，，，是內(nèi)一動點，，則的外接圓半徑=______，的最小值為____________．
【答案】；
【解析】【分析】
第一空，在中，由正弦定理，，即得解；
第二空，設(shè)，在中，由正弦定理可得，在中，，即得解
【詳解】
在中，，
由正弦定理，
設(shè)，，
在中，由正弦定理，得
，
，
在中，，
，其中，，從而，
由最小值為的最小值
故答案為：，.
例30．（2022·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）在銳角中，，則角的范圍是________，的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進行化簡可得，的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可求．
【詳解】
解：因為及，
所以，
由正弦定理得，所以，
整理得，
即，
所以，即，
又為銳角三角形，所以，解得，
故，，
則
，
令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
故，即．
故答案為：；．
例31．（2022·新疆喀什·一模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
將式子中的邊b、c都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即變?yōu)?，由于，利用均值不等式便可求得其最小?
【詳解】
，即，．為銳角，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
的最小值為．
故選：A
例32．（2021·北京·高三專題練習(xí)）在銳角中，，的對邊長分別是，，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
確定B的范圍,利用正弦定理化簡表達式,求出范圍即可.
【詳解】
在銳角中,，,
而，，所以，
所以由正弦定理可知:,
故選：B.
【點睛】
本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意銳角三角形中角的范圍的確定,是本題解答的關(guān)鍵,考查計算能力,邏輯推理能力,屬于中檔題.
例33．（2022?石家莊模擬）如圖，平面四邊形的對角線的交點位于四邊形的內(nèi)部，，，，，當(dāng)變化時，對角線的最大值為．
【解答】解：設(shè)，，
由余弦定理可得，
；
由正弦定理可得：，
，
時，取得最大值為3．
故答案為：3．
題型五：倍角問題
例34．（2021·安徽·蕪湖一中高一期中）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求出的范圍，結(jié)合正弦定理，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
根據(jù)題意得，，故，
在中，由正弦定理，
得，
因，所以，故，
所以的取值范圍為，故答案為：.
例35．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用正弦定理和，將轉(zhuǎn)化為，然后令，則，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出的取值范圍，進而可得答案
【詳解】
解：因為，
所以
，
因為，
所以，
所以，所以，
所以，
令，則，
所以，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即，
所以的取值范圍為，
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：此題考查正弦定理的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題
例36．（2020·全國·高二單元測試）已知是銳角三角形，分別是的對邊.若，則的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意和內(nèi)角和定理表示出C，由銳角三角形的條件列出不等式組，求出B的范圍，由正弦定理和二倍角的正弦公式化簡，由函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)論．
【詳解】
，，
，
又是銳角三角形，
，解得，
由正弦定理得：，
由，得，即，
令，
令，
則在上單調(diào)遞增，
，即的范圍是.故答案為：.
【點睛】
本題考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力，屬于中檔題．
例37．（2020·陜西·無高一階段練習(xí)）已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是_____.
【答案】（）
【解析】
由正弦定理可得：，根據(jù)題意，確定的范圍，，再代入求出即可．
【詳解】
解：，
由正弦定理可得：，
當(dāng)為最大角時，，，
當(dāng)為最大角時，，，
，
可得：，、
故，
故答案為：．
【點睛】
本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查了三角形求邊角的范圍，中檔題．
例38．（2019·四川·成都外國語學(xué)校高二開學(xué)考試（文））已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍為______
【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)正弦定理化簡整理可得，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出值域即可．
【詳解】
在中，，
，，，
利用正弦定理可得：

又，，
，，
設(shè)，則，
令，，則
令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
，，
所以的取值范圍為：
故答案為
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的運用，同時考查函數(shù)單調(diào)性的運用，屬于中檔題．
例39．（2021·江西鷹潭·一模（理））已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．
【答案】【解析】
【分析】
作，則，由，，可得，可求，令，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求在，單調(diào)遞，在，上單調(diào)遞增，可得，從而得解．
【詳解】
解：由于，作，則，
因為，，可得，
所以，
令，可得，
所以，
令，可得，
由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上．
故答案為：．
例40．（2022?蕪湖模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則最小值是．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則最小值是3，
故答案為：3
例41．（2022?道里區(qū)校級一模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為．
【解答】解：
，
因為，且，所以，
令，則，
令，則，
故在上單調(diào)遞減，所以（1），即，
故的取值范圍為．
故答案為：．
題型六：角平分線問題
例42．（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求的大??；
(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根據(jù)面積得，整理分析．
(1)
由正弦定理得，得，
因為，所以，即.
(2)
因為，所以.由余弦定理得，得（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），即.
因為，所以.
因為，所以.
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即.故的最小值為.
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）csC+ccsA=0.
(1)求角C的大??；
(2)設(shè)AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）先通過正弦定理進行邊化角，進而結(jié)合兩角和與差的正弦公式將式子化簡，然后求得答案；
（2）在和中，分別運用正弦定理，進而求出，然后在中再次運用正弦定理得到，最后通過三角形面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.
(1)
根據(jù)題意，由正弦定理可知：，則，因為，所以，則，而，于是.
(2)
由（1）可知，，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.
于是，.即△ABC的面積的最小值為.
題型七：中線問題
例44．（2022·江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求角A；
(2)若是的中線，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化邊及余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)特殊值對應(yīng)特殊角及角的范圍即可求解；
（2）根據(jù)已知條件及中線的向量的線性表示，再利用向量的數(shù)量積極及基本不等式即可求解.
(1)
由及二倍角的余弦公式，得，
即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，
.
(2)
因為是的中線，所以，兩邊平方，得
,由（1）知，，，
所以，
所以
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最大值為.
例45．（2022·山西運城·高一階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為.
(1)若的面積為為邊的中點，求中線的長度；
(2)若為邊上一點，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用兩角和的正弦公式化簡求得A，根據(jù)三角形面積公式求得bc的積，根據(jù)向量的線性運算表示，利用余弦定理結(jié)合向量的模的計算，求得答案;
（2）由已知可得到，繼而化簡為，兩邊平方，結(jié)合可得到，從而將變?yōu)?，利用基本不等式即可求得答?
(1)
由正弦定理，得，
得，
得，
，即.
的面積為.
為邊的中點，
，
又，
，
，即，
中線的長度為.
(2)
為邊上一點，，
，
，即，
，又，
，
，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，
故的最小值為.
例46．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）銳角中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且
(1)求角C的大?。?br>(2)若邊，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及正弦定理化簡求解，因為，所以；
（2）由余弦定理與正弦定理，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解其取值范圍即可.
(1)
因為，所以，
即，
又因，所以
又由題意可知，
所以，因為，所以.
(2)
由余弦定理可得，
又，
則
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，由題意得，解得，
則，
所以所以所以所以中線CD長的取值范圍為
例47．（2022·山東濱州·二模）銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，D為AB的中點，求CD的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理可得，進而可得，又為銳角三角形，從而即可求解；
（2）在中，由余弦定理可得，又為銳角三角形，進而有，又，可得，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
(1)
解：因為，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
因為，即，
所以，
因為，所以，
又因為為銳角三角形，所以；
(2)
解：由（1）知，又，
在中，由余弦定理可得，
因為為銳角三角形，所以，由余弦定理可得，
又，
所以，解得，
所以由二次函數(shù)性質(zhì)可得CD的取值范圍是.
例48．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________．
(1)求C；
(2)若的面積為，D為AC的中點，求BD的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）選①，由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，求得答案;
選②,由正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和的正弦公式化簡可得，求得答案;
選③，由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角差的余弦公式化簡可得，求得答案;
（2）利用三角形的面積公式可得，由余弦定理結(jié)合基本不等式可推出，即可求得答案.
(1)
選條件①．
由可得，
由正弦定理得，
因為，所以，
所以，故，
又，于是，即，
因為，所以.
選條件②．
因為，
所以由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得，
即，
因為，所以，，
又，故 ,所以，
因為，所以
選條件③．
在中，由正弦定理得，又，
所以 ,
所以，所以，
即，
又，所以；
(2)
由題意知，得，
由余弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，
所以BD的最小值為2.
例49．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）在①，②兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，且________.(1)求角；
(2)若，點是的中點，求線段的取值范圍.
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）選①，由正弦定理化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選②，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）由平面向量的線性運算可出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
(1)
解：選①，由及正弦定理可得，
所以，，
因為、，所以，，則，
所以，，；
選②，由及正弦定理可得，
所以，，
、，，所以，，則.
(2)
解：因為，所以，，
由已知，即，所以，，
所以，，
即
，
所以，.
例50．（多選題）（2022·甘肅定西·高一階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有：（）
A．B．C．D．∠BAD的最大值為60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用向量的數(shù)量積公式,余弦定理及基本不等式對各個選項進行判斷即可.
【詳解】
∵．A正確；
∵，
∴
，故B正確；
由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），由A選項知，∴，解得，故C正確；對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D選項錯誤．
故選: ABC
題型八：四心問題
例51．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點O是的外心，．
(1)求角A；
(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍，
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由三角形外心的定義和向量數(shù)量積的幾何意義對條件化簡，然后利用正弦定理邊化角，整理化簡可得；
（2）先求外接圓半徑，結(jié)合（1）和正弦定理將三角形周長表示為角C的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.
(1)過點O作AB的垂線，垂足為D，
因為O是的外心，所以D為AB的中點
所以，同理
所以，由正弦定理邊化角得：
所以
整理得：
因為，所以
所以，即
又，
所以，得
(2)
記外接圓的半徑為R，
因為外接圓的周長為，
所以，得
所以周長
由（1）知，
所以因為，所以
所以
所以，即
所以周長的取值范圍為
例52．（2021·河南南陽·高三期末（理））在中，.
(1)求A；
(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，再結(jié)合解三角方程即可求解.
（2）由題意可知，利用三角形的等面積法及余弦
定理得出含有和的關(guān)系式，再利用基本不等式的變形即可求得的最小值.
(1)
在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因為，所以，即
，
所以，又因為，所以，
所以，解得.
所以.
(2)
令，（1）知.由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
所以，
或
又的內(nèi)切圓半徑，，，
，的最小值為.
例53．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，則實數(shù)m的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用外心的性質(zhì)以及正弦定理，轉(zhuǎn)化已知條件，從而求得關(guān)于的表達式，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【詳解】
設(shè)三角形的外接圓半徑為，因為O是三角形ABC的外心，故可得，且，，
故，
即，
也即，則，
又，由正弦定理可得：
，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值.
故選：A.
例54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實數(shù)的最大值為（）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，，，，由題設(shè)條件得到的關(guān)系：，
由是三角形的外心可得，，對，消去AO，利用基本不等式求得m的范圍.
【詳解】
如圖所示：
設(shè)，，，，由
得，
化簡得，
由是三角形的外心可知，是三邊中垂線交點，得，，
代入上式得，∴.
根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，，
代入得，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，等號成立.
故選：D.
例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若
a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為（）
A．1B．C．1D．
【答案】D
【解析】
首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.
【詳解】
A=5sin（B），c=5，
∴acsin（B），
由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+csB），
∴sin（B+C）=sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，化為：sinBcsC=sinCsinB，sinB0，
∴csC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.
∴C.
∴△ABC外接圓的半徑R .
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）.
△ABC外接圓的方程為：x2.
設(shè)C（csθ，sinθ）.θ∈（0，π）
則G.
|OG|2sinθ，
∴|OG|的最小值為：.
故選：D.
例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的周長為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先化簡，可得：，，再結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】
法一：角靠攏，形助興
，整理得：
，，
如圖有：
由，可得，
代入，整理可得：，
．
法二：
，
得：．
法三：，，，得，由正弦定理，得，．
，如圖可得：，，，．
例57．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延長交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，，，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.
【詳解】
延長交于，如下圖所示：
為的重心，為中點且，
，，；在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，為銳角；
設(shè)為鈍角，則，，，
，，解得：，
，，
由余弦定理得：，
又為銳角，，即的取值范圍為.
故選：C.
例58．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長度的最小值為（）
A．16B．24C．25D．36
【答案】A
【解析】
【分析】
由條件可求內(nèi)切圓半徑，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式可得三邊關(guān)系，結(jié)合基本不等式可求邊長度的最小值.
【詳解】
因為的內(nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為4．設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．因為，所以，所以．因為，所以．設(shè)內(nèi)切圓與邊切于點，由可求得，則．又因為，所以．所以．又因為，所以，即，整理得．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值．
故選：A．
題型九：坐標(biāo)法
例59．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在中，，，點在內(nèi)部，，則的最小值為______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用正弦定理求得的外接圓半徑，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法把轉(zhuǎn)化為，即可求出的最小值.
【詳解】
因為，，所以.
在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.
如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.
設(shè)E為AC的中點，所以，.
所以點M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.因為點在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.
所以
因為滿足，，所以，
所以當(dāng)時最小.
故答案為：2
例60．（2022?南通一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點，點，且，則線段的長的取值范圍為．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點，點，且，如圖所示當(dāng)時，取得最小值或最大值．由，可得，或，，
由，可得或
解得，
．
故答案為：，．
例61．為等邊內(nèi)一動點，且，則的最小值為．
【解答】解：如圖所示，
不妨設(shè)等邊的邊長為2，為內(nèi)一動點，，
點在弦所對的弓形上，．
由圖可知：當(dāng)點取與軸的交點時，，
可得：，，，，．
點所在圓的方程為：．
設(shè)參數(shù)方程為：，
，
令，化為：，
解得，
，
故最小值為，
故答案為：．
例62．（2022?江蘇模擬）已知是邊長為3的等邊三角形，點是以為圓心的單位圓上一動點，點滿足，則的最小值是．
【解答】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，；．
則．
故答案為：

例63．（2022秋?新華區(qū)校級期末）“費馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，“費馬點”與三個頂點的連線正好三等分“費馬點”所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為，根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為
A．2B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意畫出圖象并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)三角形三個頂點分別為，，，
函數(shù)表示的是點
到點，點，點的距離之和，可知為等腰三角形，
則這個等腰三角形的“費馬點”在高線上，
設(shè)點為“費馬點”，連接，，則，
，，，
距離之和為．
即函數(shù)的最小值為．
故選：．
例64．（2022?唐山二模）在等邊中，為內(nèi)一動點，，則的最小值是
A．1B．C．D．
【解答】解：如圖所示，
不妨設(shè)等邊的邊長為2，
為內(nèi)一動點，，
點在弦所對的弓形上，．
由圖可知：當(dāng)點取與軸的交點時，，
可得：，，，．
點所在圓的方程為：．
設(shè)參數(shù)方程為：，
，
化為：，
解得，
．
故選：．
例65．（2022春?仁壽縣校級期末）銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：不妨將看作定值，以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，
建立直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，
則，；
點在以為圓心，為半徑的圓上，
又是銳角三角形，當(dāng)在軸上時，
，
為最小；
當(dāng)時，代入，，
，，，
，即，
（取不到），
則的取值范圍為，．
故選：．
例66．（2022春?博望區(qū)校級月考）在等腰中，角，，所對的邊分別為，，，其中為鈍角，．點與點在直線的兩側(cè)，且，則的面積的最大值為 A．B．C．D．3
【解答】解：如圖所示，以為原點，為軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點在單位圓上，
可得：，
由，
可得：，
可得：，
可得：，由為鈍角，
可得，
設(shè)，，
可得：，
可得：，
由題意及余弦定理可得：，
可得，；，
消去可得的軌跡為：，
可得：時，有，
由，
可得：．
故選：．
例67．（2022?淮安模擬）拿破侖定理是法國著名的軍事家拿破侖波拿馬最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三個角形的頂點”．在中，，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，，若△的面積為，則的周長的取值范圍為．
【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，，
所以以、為邊作等邊三角形，其中一邊在、的延長線上；
由，，，；
所以，，；
同理，，；
；
所以等邊△的面積為，
解得，所以；
在中，由，
所以，
所以的周長為，
又，且，
所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”；
又，，所以，
，，
即的周長最小值為，．故答案為：，．
題型十：隱圓問題
例68．（2022?鹽城二模）若點為的重心，且，則的最大值為．
【解答】解：設(shè)中點為，連接，可得重心在上且
以所在直線為軸，中點為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系
設(shè)，則，，
設(shè)，可得，
，點在以為直徑的圓上運動、兩點除外）
由此可得，整理得
因此，點在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動軸上兩點除外）
在點的運動中觀察的變化，可得當(dāng)點在軸時，達到最大值
而且同時達到最大值．
此時，可得
故選：
例69．（2022?江蘇三模）在平面四邊形中，，，，若，則的最小值為．
【解答】解：以為坐標(biāo)原點，以為軸，以為軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)．
則，，，，
，．，
所以，
即，即點在以為圓心，以2為半徑的圓上，
取，則，所以，
所以，即，
所以取得最小值即取得最小值，
根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，，
故填：．
例70．（2022?涪城區(qū)校級開學(xué)）若滿足條件，，則面積的最大值為．
【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，
設(shè)，由，
得，
化簡可得；
則點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
且去掉點，和，；
所以的面積的最大值為．故答案為：．
例71．已知，是圓上的動點，，是圓上的動點，則的取值范圍是．
【解答】解：如圖示：
設(shè)的中點為，的中點為，
則，
所以，
，，，
，故的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，
是圓上的動點，
，，
故．
故答案為：，．
例72．（2022?合肥模擬）銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，【解答】解：設(shè)，是單位圓的直徑的端點，在圓上，
設(shè)，點為的重心，．
點在圓上．
是銳角△，點在圓上，且，，
設(shè)直線，的傾斜角分別為，．
則，，
，．
．
故選：．
例73．（2022?江漢區(qū)校級模擬）中，所在平面內(nèi)存在點使得，則面積最大值為
A．B．C．D．
【解答】解：以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，
建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，則，
設(shè)，由，可得
，
可得，，
即有點既在為圓心，半徑為的圓上，
也在為圓心，1為半徑的圓上，
可得，
由兩邊平方化簡可得，
則的面積為，
由，可得，取得最大值，且為．
故選：．
例74．（2022?上城區(qū)校級模擬）設(shè)，為單位向量，向量滿足，則的最大值為
A．2B．1C．D．
【解答】解：由得，說明的終點的軌跡是以的終點為圓心，為半徑的圓，
的最大值是圓心與的終點之間的距離加上半徑，即為，
，（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等）．
故選：．
例75．（2022春?瑤海區(qū)月考）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為
A．27B．16C．10D．25
【解答】解：根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則，，，
中點為，則，
設(shè)三點都在圓上，其半徑為，
在中，由正弦定理可得，即，
即，，則，
則的坐標(biāo)為，
故點在以點為圓心，10為半徑的圓上，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取得最大值，此時；
故選：．
例76．已知圓，，為圓上的兩個動點，且，為弦的中點，，，，．當(dāng)，在圓上運動時，始終有為銳角，則實數(shù)的取值范圍為 A．B．，，
C．D．，，
【解答】解：連接，由題意可得，所以點在以原點為圓心，以2為半徑的圓上，設(shè)的中點為，則，，
由題意可得，因為當(dāng)，在圓上運動時，始終有為銳角，
所以以原點為圓心，以2為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相離，即，解得：或，
故選：．
題型十一：兩邊夾問題
例77．（2022?合肥一模）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊長，，成等比數(shù)列，，延長至，若，則面積的最大值為．
【解答】解：因為，
所以，
所以，①
又因為長，，成等比數(shù)列，
所以，
由正弦定理得：，②
①②得：，
化簡得：，
解得：，
又，所以，
①②：
，
即，
即，
即三角形為正三角形，
設(shè)邊長為，由已知有，
則（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號），
故答案為：
例78．（2022?靜安區(qū)二模）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊為，，．已知，，依次成等比數(shù)列，且，延長邊到，若，則面積的最大值為．
【解答】解：，
，
，①
，，依次成等比數(shù)列，
，
由正弦定理可得，②
①②可得，
，，
，
，即
為正三角形，設(shè)邊長，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
故答案為：
例79．（2022?常德一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）延長至，使得，求面積的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）已知，
所以，
，
所以：，
故，
整理得，
故或．
由于，
所以滿足條件，
故．
（Ⅱ）延長至，使得，
所以，由于，
所以，
所以，
當(dāng)時，的最大值為．
例80．在中，若，且的周長為12．
（1）求證：為直角三角形；
（2）求面積的最大值．
【解答】解：（1）在中，，
，
，
可得
可得，①．
、、是三角形內(nèi)角，由①可得若，則，
若，則，這都是不可能的，
，，可得，，
是直角三角形．
（也可以，，，是直角三角形．
（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為、，斜邊為，則直角三角形的面積．
由已知，得，，
，
，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值．
題型十二：與正切有關(guān)的最值問題
例81．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：
(1)；(2)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；
（2）由正弦定理及正弦的兩角差將問題轉(zhuǎn)化為求的范圍，再利用2倍角公式化為即可求解.
(1)
因為，
所以,
因為，
，
因為.
(2)
由正弦定理，
，
因為，所以，所以，
所以，所以的取值范圍是.
例82．（2022·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等變換可得，由的范圍可得的范圍，令，，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出答案.
【詳解】
解：∵，∴，
∴，∴，
∴，∴
，∴，∴或（不符合題意舍去），
∴，
∴
，
設(shè)，
∵是銳角三角形，∴，∴，
∴，
∴，令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，
∴.
故選：C．
例83．（2022·山西呂梁·二模（文））銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，利用余弦定理得到，再利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)得到，結(jié)合外接圓半徑得到，進而得到，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】
由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故選：C.
例84．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在銳角三角形中，角??的對邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理化簡已知式，再由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換得，由銳角三角形求得的范圍，待求式切化弦，通分后利用已知條件化為，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得范圍．
【詳解】
因為，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因為為銳角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案為：．例85．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)余弦定理以及正弦定理化簡條件得、關(guān)系，再根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調(diào)性求范圍．
【詳解】
∵，∴所以
因此
設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴
∴，在上單調(diào)遞增，
∴，
故選：C
例86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件，利用余弦定理和面積公式，結(jié)合倍角公式求得,進而求得A的各個三角函數(shù)值，再利用正弦定理邊化角求得關(guān)于C的函數(shù)表達式，根據(jù)銳角三角形的條件得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍即可．
【詳解】解：△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC為銳角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故選：D．
題型十三：最大角問題
例87．（2022春?海淀區(qū)校級期中）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點，是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大”．如圖，其結(jié)論是：點為過，兩點且和射線相切的圓的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，，點在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)是
A．B．1或C．2或D．1
【解答】解：經(jīng)過、兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線上，
設(shè)圓心為，
則圓的方程為：，
對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過，，三點的圓必與軸相切于點，
即圓的方程中的值必須滿足，
解得或．
即對應(yīng)的切點分別為和，
而過點，，的圓的半徑大于過點，，的圓的半徑，
，故點為所求，
點的橫坐標(biāo)為1，
故選：．
例88．（2022秋?青羊區(qū)校級期中）（理科）、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的一條準(zhǔn)線，點在上，的最大值是
A．B．C．D．
【解答】解：由題意，橢圓中，，
、是橢圓的左、右焦點，
，
不妨取是橢圓的右準(zhǔn)線，則方程為：
點在上，不妨取
設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則
正切函數(shù)在上單調(diào)增，
的最大值為，
即的最大值是
故選：．例89．（2022春?遼寧期末）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，且，則的最大值為
A．B．C．D．
【解答】解：，
結(jié)合正弦定理，得，
，得，
，
整理，得，同除以，得，
由此可得，
、是三角形內(nèi)角，且與同號，
、都是銳角，即，，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值為．
故選：．
例90．（2022?濱州二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面米，樹上另一點離地面米，在離地面米的處看此樹，離此樹的水平距離為米時看，的視角最大．
【解答】解：如圖所示，過點作，交延長線與點，
設(shè)，，，
由題意可得，，，在中，，
在中，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，即，
離此樹的水平距離為米時看，的視角最大，
故答案為：．

例91．如圖，足球門框的長為，設(shè)足球為一點，足球與，連線所成的角為．
（1）若隊員射門訓(xùn)練時，射門角度，求足球所在弧線的方程；
（2）已知點到直線的距離為，到直線的垂直平分線的距離為，若教練員要求隊員，當(dāng)足球運至距離點為處的一點時射門，問射門角度最大可為多少？
【解答】解：（1）以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
，，，，圓心坐標(biāo)為，，
足球所在弧線的方程為；
（2）由題意，設(shè)過的圓的圓心為，半徑為，
該圓與以為圓心，的圓外切時，射門角度最大，則，
，
半徑為，
，，
射門角度最大可為．
題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題
例92．（2022秋?安徽月考）17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出這樣一個問題：怎樣在一個三角形中求一點，使它到每個頂點的距離之和最??？現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，當(dāng)點滿足時，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據(jù)以上性質(zhì)，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，則的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)，
則，
即為點到，和三個點的距離之和，則為等腰直角三角形，如圖，
由費馬點的性質(zhì)不難得到，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，距離之和最小為．
故選：．
例93．（2022?深圳模擬）著名的費馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾德費馬于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。辟M馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數(shù)的最小值為．
【解答】解：設(shè)，，，其中，，，
由余弦定理可得，
，
，
因為，
所以，
即，
因為，，所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號．
因為，所以，
所以，解得或（舍去），
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號．
所以的最小值為．
故答案為：．
例94．（2022秋?全國月考）費馬點是指到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，費馬點在三角形內(nèi)，且費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點對三角形三邊的張角相等，均為．已知的三個內(nèi)角均小于，為的費馬點，且，則面積的最大值為．
【解答】解：，
，
．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
則面積的最大值為．故答案為：．
例95．（2022春?湖北期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點．”已知內(nèi)接于半徑為的圓，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若，則△的面積最大值為．
【解答】解：如圖，
由正弦定理可得，已知，
，，故．
由余弦定理可得，，即，
又，，整理得：，
故，．
故答案為：．
例96．（2022春?潤州區(qū)校級期中）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點．”已知內(nèi)接于單位圓，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若，則△的面積最大值為．
【解答】解：如圖在中，設(shè)直角邊，，由題意知，
做出拿破侖三角形如圖，連接，，由等邊三角形外心的性質(zhì)可知：，
同理，，
在△中，由余弦定理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
故．
所以△的面積最大值為．
故答案為：．
題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似
例97．（2022春?五華區(qū)月考）數(shù)學(xué)家托勒密從公元127年到151年在亞歷山大城從事天文觀測，在編制三角函數(shù)表過程中發(fā)現(xiàn)了很多重要的定理和結(jié)論，如圖便是托勒密推導(dǎo)倍角公式“”所用的幾何圖形．已知點，在以線段為直徑的圓上，為弧的中點，點在線段上且，點為的中點．設(shè)，，那么下列結(jié)論：
①，②，
③，
④
其中正確的是
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析4個結(jié)論：
對于①，在中，，，，則，①錯誤；對于②，在中，，，，則，②正確；
對于③，，③正確；
對于④，在中，，則，④正確；
綜合：②③④正確；
故選：．
例98．（2022春?揚州期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，、是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為
A．8B．16C．D．
【解答】解：如圖，
設(shè)，由托勒密定理知，，
所以，
又因為，，
所以
．
故選：．
例99．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形中，，，，，當(dāng)變化時，對角線的最大值為
A．3B．4C．D．
【解答】解：設(shè)，，則．
由正弦定理得，
所以由余弦定理得
故當(dāng)時，取得最大值為．
故選：．
例100．（2022?冀州市校級模擬）在中，，，以為邊作等腰直角三角形為直角頂點，、兩點在直線的兩側(cè)）．當(dāng)變化時，線段長的最大值為
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：如右圖：中，，，，
在中，由正弦定理得，
，
在中，
，當(dāng)時最大為9，故最大值為3，
故選：．
例101．（2022?日照一模）如圖所示，在平面四邊形中，，，為正三角形，則面積的最大值為
A．B．C．D．
【解答】解：在中，設(shè)，，由余弦定理得：
，
為正三角形，
，
由正弦定理得：，
，
，
，
，為銳角，，
，
當(dāng)時，．
故選：．
題型十六：三角形中的平方問題
例102．（2021秋?河南期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，．若的平分線與交于點，則 A．B．C．D．3
【解答】解：因為，
所以，
因為，所以，
因為，，
所以，
由正弦定理，可得，解得，
因為的平分線與交于點，
所以，即，
所以由，可得，
在中，由余弦定理可得
．
故選：．
例103．（2022?洛陽二模）已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為
A．B．C．D．
【解答】解：由三角形面積公式可得：，
可得：，
，
，可得：，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)時，取得最大值，的最大值為．
故選：．
例104．（2022春?張家界期末）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中，，是的內(nèi)角，，的對邊，若且，2，成等差數(shù)列，則面積的最大值為
A．B．C．1D．
【解答】解：的內(nèi)角，，的對邊，若，
利用正弦定理轉(zhuǎn)換為，
所以．
由于，2，成等差數(shù)列，
所以，
則，
當(dāng)時，，
所以．
故選：．
例105．（2022?晉城一模）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，的面積為，若，則的最小值為
A．B．2C．1D．
【解答】解：由，得，
所以，由，得，
利用正弦定理，
，
即，
銳角中，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
故選：．
例106．（2022?秦淮區(qū)模擬）在銳角三角形中，已知，則的最小值為．
【解答】解：利用正弦定理把角化邊，，
再由余弦定理可得：
，
，又，
，
，
即，
，
，
代入．
當(dāng)且僅當(dāng)即時（因為是銳角三角形成立）等號成立．故的最小值為：．
故答案為：．
例107．（2022?浙江三模）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若已知，則的最小值是．
【解答】解：由題意由，
余弦定理可得：，
即．
那么．
即．
那么
，
那么
設(shè)，
可得：；
當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，即．
故答案為：．
例108．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的最小值為．
【解答】解：，
，整理可得：，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
即的最小值為2．
故答案為：2．
例109．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．
【詳解】
解：中，由余弦定理得，，
且的面積為，
由，
得，
化簡得；
又，，
所以，
化簡得，
解得或（不合題意，舍去）；
因為
所以，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以；
設(shè)，其中，所以，
又，所以時，取得最大值為，
時，，時，，且，
所以，即的取值范圍是．
故選：．
例110．（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)條件得，結(jié)合余弦定理求得，根據(jù)同角三角函數(shù)值的平方關(guān)系可得答案.
【詳解】
由得：，
故，
當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
由于 ,故，
則，則，
故答案為：
題型十七：等面積法、張角定理
例111．（2022秋?廈門校級期中）給定平面上四點，，，，滿足，，，，則面積的最大值為．
【解答】解：，，，，，
，
設(shè)到的距離為，則由等面積可得，
，
面積的最大值為．
故答案為：．
例112．（2022春?奎屯市校級期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為
A．8B．9C．10D．7
【解答】解：由題意得，
即，
得，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
故選：．
例113．（2022?云南一模）在中，內(nèi)角，，對的邊分別為，，，，平分交于點，，則的面積的最小值為
A．B．C．D．
【解答】等面積法：，
，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即，
．
故選：．
例114．在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為
A．B．C．5D．
【解答】解：由題意得，
即，得．
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
故選：．

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