1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題16 奔馳定理與四心問題
【考點(diǎn)預(yù)測】
一．四心的概念介紹：
（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1．
（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．
（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直．
二．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).
已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為.
注意：（1）在中，若為重心，則．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1，且分的三個(gè)三角形面積相等．
重心的向量表示：．
奔馳定理：，則、、的面積之比等于
奔馳定理證明：如圖，令，即滿足
，，，故.
三．三角形四心與推論：
（1）是的重心：．
（2）是的內(nèi)心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.
為的內(nèi)心.
（2）外心：為的外心.
（3）垂心：為的垂心.
（4）重心：為的重心.
【題型歸納目錄】
題型一：奔馳定理
題型二：重心定理
題型三：內(nèi)心定理
題型四：外心定理
題型五：垂心定理
【典例例題】
題型一：奔馳定理
例1．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（ ）
A．為的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD【解析】
【分析】
首先可根據(jù)得出，用相同的方式得出、，即可得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)、即可得出B正確，再然后通過正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C錯(cuò)誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以及B項(xiàng)得出、、，根據(jù)“奔馳定理”得出，結(jié)合C項(xiàng)即可得出D正確.
【詳解】
A項(xiàng)：，即，
，，，
同理可得，，
故為的垂心，A正確；
B：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，
因?yàn)椋?，?br>因?yàn)椋?，?br>則
，B正確；
C項(xiàng)：在中，由正弦定理易知，
因?yàn)?，?br>所以，
即，，同理可得，
故，C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)：，同理可得，，
則
，
同理可得，，
因?yàn)椋?br>所以將、、代入，可得，
因?yàn)椋?br>所以，
故成立，D正確，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、解三角形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系以及向量的相關(guān)運(yùn)算，考查向量垂直的相關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生對“奔馳定理”的理解與應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.
例2．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（ ）
A．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的垂心；
B．若，則點(diǎn)為△的內(nèi)心；
C．若，則點(diǎn)為△的外心；
D．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的重心.
【答案】BC
【解析】
【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；B、C分別假設(shè)為△的內(nèi)心、外心，利用向量的幾何圖形中的關(guān)系，及向量的運(yùn)算律和數(shù)量積判斷條件是否成立即可；D由，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量數(shù)量積的幾何意義求的值，即知的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；
【詳解】
A：由正弦定理知，而，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的重心，故錯(cuò)誤.
B：若為△的內(nèi)心，如下圖示：，同理，，，
∴，，故正確；
C：若為△的外心，分別為的中點(diǎn)，則，而，同理，又，故，正確；
D：由，故，即，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的垂心，錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用已知等量關(guān)系，結(jié)合向量的運(yùn)算律、數(shù)量積的值判斷向量過三角形的何種心，或假設(shè)為△的內(nèi)心、外心，再應(yīng)用幾何圖形中相關(guān)線段所表示的向量，結(jié)合向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷條件是否成立.
例3．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足，，則（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關(guān)系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數(shù)量積的運(yùn)算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項(xiàng)B的結(jié)論可證明C，求出的面積，利用選項(xiàng)B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項(xiàng)C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷D．
【詳解】
因?yàn)?，所以，即，所以?br>又由奔馳定理得，
因?yàn)椴还簿€，所以，
所以，A正確；
延長分別與對邊交于點(diǎn)，如圖，
由得，所以，同理，所以是的垂心，
所以四邊形中，，所以，B正確；
由得，
所以，
由選項(xiàng)B得，，，所以，C正確；
由上討論知，
，
，
所以，
又由選項(xiàng)C：，
得，
由奔馳定理：得，D正確．
故選：ABCD．
例4．（多選題）（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且D，G，E三點(diǎn)共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC【解析】
【分析】
連接AG并延長交BC于點(diǎn)M，由三角形重心結(jié)合向量運(yùn)算探求m，n的關(guān)系，
再借助三角形面積公式及均值不等式即可逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】
連接AG并延長交BC于點(diǎn)M，如圖，因G為的重心，則M是BC邊的中點(diǎn)，且，
又D，G，E三點(diǎn)共線，即，則有，
而，，又，于是得，
而與不共線，因此，，，A正確；
邊AD上的高為，邊AB上的高為，
則，B正確；
由A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則有，
即，而，于是得，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
例5．（河南省安陽市2021-2022學(xué)年高一年級下學(xué)期階段性測試（五）數(shù)學(xué)試卷）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得即可求解作答.
【詳解】
是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，
則，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔馳定理”有，
則，而與不共線，有，，即，
所以.
故選：A
例6．（2021·四川德陽·高一期末）已知P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則面積之比為（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
【答案】B【解析】
【分析】
如圖，根據(jù)平面向量的基本定理可得，進(jìn)而得出和的高之間的關(guān)系，則，同理可得、，即可得出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)的面積為，
由，得，
有，
又，令，
則三點(diǎn)共線，且，
即點(diǎn)在上，且，
所以以為底，的高為的，
故，同理可得，，
所以.
故選：B
例7．（2022·安徽·蕪湖一中三模（理））平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，， 的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量基本定理可得，，延長交于，延長交于，根據(jù)面積比推出，結(jié)合角平分線定理推出為的平分線，同理推出是的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定義可得答案.
【詳解】
由得，
由得，
根據(jù)平面向量基本定理可得，，
所以，，
延長交于，延長交于，
則，又，所以，
所以為的平分線，
同理可得是的平分線，
所以為的內(nèi)心.
故選：B例8．（2022·云南·一模（理））在中，是直線上的點(diǎn).若，記的面積為，的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將 和 設(shè)為基底，將 用基底表示出來，
即可算出點(diǎn)D的位置.
【詳解】
依題意作上圖，
設(shè) ，
由條件 ，
∴ ， ，，
∴點(diǎn)D在AB的延長線上，并且 ，
∴ ，
故選：D. .
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，已知的面積是的面積的2倍.若存在正實(shí)數(shù)使得成立，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】由面積比得，再利用三點(diǎn)共線可得出的關(guān)系，從而利用基本不等式可求得的最小值．
【詳解】
如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
由的面積是的面積的2倍，可得，
所以，
又三點(diǎn)共線，即共線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，
因?yàn)椋?br>所以，消去k，可得，
又因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．
所以的最小值為1．
故選：A．
例10．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角，，的對邊分別為，，.總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下命題：
①若是的重心，則有；
②若成立，則是的內(nèi)心；
③若，則；
④若是的外心，，，則.
則正確的命題有___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
對于①:利用重心的性質(zhì)代入即可.
對于②:利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點(diǎn)到的距離相等.
對于③:利用將表示出來，代入.化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.
對于④：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.
【詳解】
對于①：如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以,，
同理可得、，
所以，又因?yàn)?br>所以.①正確.
對于②：記點(diǎn)到的距離分別為，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)是的內(nèi)心.②正確.
對于③：因?yàn)?，所?,,
所以,
化簡得：，
又因?yàn)椴还簿€.
所以，
.③錯(cuò)誤.
對于④：因?yàn)槭堑耐庑?，，所?，,
因?yàn)?，則，
化簡得： ,由題意知不同時(shí)為正.
記,
則，
因?yàn)?br>所以.④正確.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的向量性質(zhì).屬于難題.利用平面向量基本定理，將等式中的向量全部用一組基向量表示是解本類題型常用的方向.
例11．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且，則△MBC的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算得到，進(jìn)而根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可求出結(jié)果.
【詳解】
取的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，故，所以，因?yàn)椋虼?
故選：C.
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積之比為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
特例驗(yàn)證法解選擇題是一個(gè)快捷途徑.本題可以把設(shè)為的三角形.
【詳解】
不妨設(shè)中，，邊長，邊長，
以A為原點(diǎn)、AB為x軸、AC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系
則、、,
,設(shè)，則
故
可得，故
的面積為，
的面積為
則與的面積之比為
故選：C
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為正所在平面上一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
如圖，分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，對所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到，由于正三角形，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到，，由面積之比，分所成的比，從而得出的值．
【詳解】
，
．
如圖，，分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，
由平行四邊形法則知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形與三角形的底邊相等，面積之比為,
所以，得．
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
奔馳定理：如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.
由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.
題型二：重心定理
例14．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知是圓心為O，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點(diǎn)，G是的重心．若，則___________．
【答案】
【解析】【分析】
根據(jù)，結(jié)合整理可得，再結(jié)合運(yùn)算處理．
【詳解】
∵，則
∵，則
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，則即
∴
故答案為：．
例15．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)為的重心，得到，再由和，利用等面積法求得，進(jìn)而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解.
【詳解】
解：因?yàn)闉榈闹匦模?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)?，所以?br>即，所以，
在中，．
方法一：因?yàn)椋?br>，
所以，
．
方法二：以坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，
由方法一可知，，
所以．
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，且，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）
A．重心B．內(nèi)心
C．外心D．垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
過C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，所以，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡可得，根據(jù)三角形的性質(zhì)，分析即可得答案.
【詳解】
過C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，如圖所示：
根據(jù)三角函數(shù)定義可得，
因?yàn)椋?br>所以，即，
即點(diǎn)P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點(diǎn)為該三角形的重心，
所以點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.
故選：A
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過（ ）
A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．AB邊的中點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運(yùn)算法則，對條件進(jìn)行化簡，得到，根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件知道、、三點(diǎn)共線，從而得到點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心．
【詳解】
取AB的中點(diǎn)D，則2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，
∴P，C，D三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了向量的加法法則和運(yùn)算法則，以及三點(diǎn)共線的充要條件，三角形的五心問題，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．
例18．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）在中，為重心，，，則_____.
【答案】-6
【解析】
【分析】
作圖，以 為基底，將 和 表示出來，按照數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可.
【詳解】
設(shè)中點(diǎn)為，為的重心且，
，
，
；
故答案為：.
例19．（2022·四川達(dá)州·二模（文））在中，為重心，，，則___________.
【答案】
【解析】【分析】
設(shè)中點(diǎn)為，由重心性質(zhì)知，利用數(shù)量積定義可求得，將所求量化為，由數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)中點(diǎn)為，
為的重心且，，
，
，
，
.
故答案為：.
例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在中，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別交線段，于點(diǎn)，（，不與的頂點(diǎn)重合），則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先設(shè)，，由是的重心得到，
設(shè)，
得到，，再得到和再由求解即可.
【詳解】
設(shè)，，，.因?yàn)槭堑闹匦模?br>所以.由，，三點(diǎn)共線可知，
.
由平面向量基本定理可知解得，，
所以，，
所以， ，
因?yàn)槭堑闹匦模?，?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故答案為：.
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，則·＝________.
【答案】5
【解析】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、三角形重心性質(zhì)即可求出.
【詳解】
如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
∵AB＝1，∠ABC＝60°，
∴.設(shè)C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4.
∵O是△ABC的重心，延長BO交AC于點(diǎn)D，所以
.
故答案為：5.
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是的重心，，，是邊上一點(diǎn)，且，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
延長AO交BC于E，由已知得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且，，D是BC的四等分點(diǎn)，由向量的線性運(yùn)算可得答案．
【詳解】
解：如圖，延長AO交BC于E，由已知O為的重心，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且，，由得D是BC的四等分點(diǎn)，則
，又，則，所以，
故答案為：．
例23．（2022·重慶·三模）已知為的重心，記，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因?yàn)闉榈闹匦?，所以，表示出，則，代入即可得出答案.
【詳解】
因?yàn)闉榈闹匦模?，所以，?
故選：A.
例24．（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測（理））已知點(diǎn)P是的重心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)重心性質(zhì)和平面向量基本定理判斷．
【詳解】
如圖，是邊中點(diǎn)，則共線且，
，
所以，D正確，由于選項(xiàng)ABC均不能保證系數(shù)相等，故不正確．
故選：D．
例25．（2022·遼寧·二模）已知點(diǎn)P為△ABC的重心，，點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)，則||為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)中點(diǎn)及重心的性質(zhì)，利用基底表示,平方后根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算求解即可.
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)，P為△ABC的重心，
所以，即，
故平方可得，可得，
故選：C.
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)條件得，然后可知.
【詳解】
因?yàn)?，所以，記BC中點(diǎn)為D，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡為射線AD，所以P的軌跡一定通過的重心.
故選：C
例27．（2022·寧夏石嘴山·一模（理））已知G是△ABC重心，若，，則的值為（ ）
A．4B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
延長交于，則可得為的中點(diǎn)，再將用表示，然后求兩向量的數(shù)量積，化簡可求得答案
【詳解】
延長交于，
因?yàn)镚是△ABC重心，所以為的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?
所以,
故選：D
例28．（2022·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（理））數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，然后結(jié)合歐拉線、向量運(yùn)算的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】
是三角形的重心，所以，
，A錯(cuò)誤.
根據(jù)歐拉線的知識可知，B選項(xiàng)正確.
，所以C選項(xiàng)正確.
，所以D選項(xiàng)正確.
故選：A
例29．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由條件判定為等邊三角形，再求得的邊長，以正弦定理去求外接圓的半徑即可解決.【詳解】
由，可得，則有
又在中，，為的重心，則為等邊三角形.
則
解之得，則外接圓的半徑為
故選：C
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在△ABC中，，O為△ABC的重心，若，則△ABC外接圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由所給條件變形可得，即三角形為正三角，由數(shù)量積的運(yùn)算可求出三角形邊長，再由正弦定理求外接圓半徑即可.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，即.
因?yàn)镺為△ABC的重心，且，
所以△ABC為等邊三角形.
因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)椋?br>所以△ABC外接圓的半徑為.
故選：B
例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理及向量的線性運(yùn)算可判斷.
【詳解】
在中，令線段的中點(diǎn)為，由正弦定理，
得，由，
得
即，而，
則，于是得與同向共線，而它們有公共起點(diǎn)，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是射線除點(diǎn)A外),又重心在線段上，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心．
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
三角形的重心一定在三角形的中線上，所以，在等式中顯示出的現(xiàn)象是兩個(gè)相加的向量，前面的系數(shù)相同，還需注意兩個(gè)系數(shù)相同的向量相加的同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生中點(diǎn)．
題型三：內(nèi)心定理
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（ ）
A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心
【答案】C
【解析】
【分析】，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，
則，則當(dāng)時(shí)，即，
點(diǎn)在的角平分線上，同理證明即可求解.
【詳解】
，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，
則，則當(dāng)時(shí)，即，點(diǎn)在的角平分線上；
，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，
則，則當(dāng)時(shí)，即，
點(diǎn)在的角平分線上；
，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，
則，則當(dāng)時(shí)，即，
點(diǎn)在的角平分線上，故是的內(nèi)心.
故選：C.
例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合已知條件，即可判斷點(diǎn)軌跡.
【詳解】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量?br>則的方向?yàn)椤螧AC的平分線的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向與的方向相同.
而＝＋λ，
所以點(diǎn)P在上移動(dòng)，所以點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.
故選：.
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若（，），則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示出，根據(jù)是內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，求得的取值范圍.
【詳解】
解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則
，
因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)心，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，
則，解得.
所以，.
依題意點(diǎn)在三角形的內(nèi)部（不含邊界）.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
令，則，
由圖可知，當(dāng)過時(shí)，.
當(dāng)，過，即為直線時(shí)，.
所以的取值范圍時(shí).
故答案為：
例35．（2022·廣西柳州·高一期中）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則_______________
【答案】
【解析】
【分析】
取中點(diǎn)，作，根據(jù)內(nèi)心的特征可知；利用內(nèi)切圓半徑的求法可求得，由長度關(guān)系可求得，利用向量線性運(yùn)算可表示出，由此可得.
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，作，垂足分別為，
，為的角平分線，；
又，，，則；
周長，面積，
內(nèi)切圓半徑，，
又，，
，，
，，.
故答案為：.
例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中，a?b?c分別是BC?AC?AB的長度，若，則O是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
，因?yàn)?，故得到，，變形得到，故得到在的角平分線上，同理在的角平分線上，進(jìn)而得到答案.
【詳解】





在的角平分線上，同理在的角平分線上，
點(diǎn)為三角形的角平分線的交點(diǎn)
故點(diǎn)是三角形的內(nèi)心.故選：B.
例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則直線AM一定經(jīng)過的（ ）
A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心
【答案】B
【解析】
【分析】
延長AC，使得AC=CD，則，由，得，從而可得AM平分，即可得出結(jié)論.
【詳解】
解：延長AC，使得AC=CD，
則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以是等腰三角形，
所以點(diǎn)M在BD的中垂線上，所以AM平分，
直線AM一定經(jīng)過的內(nèi)心.
故選：B.
例38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.△ABC內(nèi)一點(diǎn)M滿足：，則M一定為△ABC的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】D【解析】
【分析】
由題意可設(shè)，，，其中，，分別為，，方向上的單位向量，把已知向量等式變形，即可證明M在三個(gè)內(nèi)角的角分線上，則答案可求.
【詳解】
解：由題意可設(shè)，，，
其中，，分別為，，方向上的單位向量，
∵，
∴，
則，
∴=.
∴M在∠BAC的角分線上，同理M在∠ABC與∠ACB的角分線上.
∴M為△ABC的內(nèi)心.
故選：D.
例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知O是所在平面上的一點(diǎn),角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
將所給向量表達(dá)式進(jìn)行變形,表示成與方向上的單位向量的形式,由向量加法運(yùn)算的性質(zhì)即可知O在角平分線上,即可得解.
【詳解】
因?yàn)?br>則,即
移項(xiàng)可得
即
則
因?yàn)?所以
化簡可得,即
設(shè)為方向上的單位向量,為方向上的單位向量
所以,
則
所以
則在的角平分線上
同理可知 在的角平分線上
因而為的內(nèi)心
故選:B
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量線性運(yùn)算的化簡及應(yīng)用,三角形內(nèi)心的向量表示形式,化簡過程較為復(fù)雜,屬于中檔題.
【方法技巧與總結(jié)】
角平分線定理：若，，則平分線上的向量為，由決定．
角平分線定理證明：令和分別為和方向上的單位向量，是以和為一組鄰邊的平行四邊形過點(diǎn)的的一條對角線，而此平行四邊形為菱形，故在平分線上，但平分線上的向量終點(diǎn)的位置由決定．當(dāng)時(shí)，四邊形構(gòu)成以的菱形．
題型四：外心定理
例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)為的外心，若，、，則____________.
【答案】
【解析】
【分析】
令邊AB，AC中點(diǎn)分別為D，E，將分別用和表示，再與求數(shù)量積即可列式計(jì)算作答.【詳解】
如圖，令邊AB，AC中點(diǎn)分別為D，E，連接DO，EO，因點(diǎn)為的外心，于是得，，
，
，，
，，
依題意，，
，
解得，
所以.
故答案為：
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)的中點(diǎn)為，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，由可得答案.
【詳解】
設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以，
即，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，
所以
，
所以，
所以點(diǎn)在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心.
故選：B.
例42．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，，，，點(diǎn)為的外心，則______，是三角形外接圓圓心上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.
【答案】 4 0
【解析】
【分析】
以是中點(diǎn).以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，從而可求出的值，設(shè)，則可表示出，由于點(diǎn)是上任一點(diǎn)，所以設(shè)，，代入化簡可求得結(jié)果
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以是中點(diǎn).以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，
所以；
圓的方程為.
設(shè)，則，，，
所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，可設(shè)，，，
所以，
當(dāng)時(shí)，的最小值為0.
故答案為：4，0
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)外接圓的半徑為，由已知條件可得，即且，取的中點(diǎn)，連接可得，計(jì)算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【詳解】
設(shè)外接圓的半徑為，
因?yàn)椋?，所以，且?br>取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)椋?，即?br>所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案為：.
例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)為的外心，，則______.
【答案】18
【解析】
【分析】
結(jié)合圖象，利用轉(zhuǎn)化法求得.
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，
取點(diǎn)為的中點(diǎn)，
則，
所以.
故答案為：
例45．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)二模（理））已知△ABC中，，點(diǎn)O是△ABC的外心，則________.
【答案】##
【解析】
【分析】
首先判斷的位置，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解向量的數(shù)量積即可．
【詳解】
解：在中，，，點(diǎn)是的外心，又，所以是等腰直角三角形，所以是三角形的斜邊中點(diǎn)，所以．
故答案為：．
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若，則有序?qū)崝?shù)對為________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根據(jù)向量數(shù)量積的定義及余弦定理求出，再根據(jù)外心的性質(zhì)得到、，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程組，解得即可；
【詳解】
解：
，
∵O為的外心，
∴，，
由可得：，
解得，所以為.故答案為：
例47．（2022·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為的外心和垂心，，則________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根據(jù)H為垂心，得到，設(shè)，外接圓的半徑為，再分別利用余弦定理得到，然后由求解.
【詳解】
解：，
，
因?yàn)镠為垂心，
所以，，
設(shè)，外接圓的半徑為，
由余弦定理得，
，
，
同理，
，
，
所以，
，
，
，
，
，
所以8，
故答案為：8
例48．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（文））已知的外心為，若，且，則___________.
【答案】60°##
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的運(yùn)算，結(jié)合條件，可知O為BC的中點(diǎn)，再結(jié)合，可得 為等邊三角形，由此可求答案.
【詳解】
設(shè)的邊BC的中點(diǎn)為D,
則 ,又，
即O,D兩點(diǎn)重合，O為BC的中點(diǎn)，即BC為外接圓直徑，
則,又，
故 為等邊三角形，故 ,即，
故答案為：60°
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，（其中）.
(1)若點(diǎn)C在直線AB上，且，求的值.
(2)若點(diǎn)C為的外心，求點(diǎn)C的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用向量平行的條件和向量垂直的條件列出x,y之間的方程，解方程可得答案.
（2）利用三角形外心的幾何性質(zhì)可得到，進(jìn)而推得，再根據(jù)得到，聯(lián)立可解得答案..
(1)
因點(diǎn)在直線上，所以，
于是存在，使，即，
又，所以；
因?yàn)椋裕?br>即，
整理得：，
所以.
(2)
因點(diǎn)為的外心，所以，
整理得：
同理由，得，所以，
所以，
又，于是，
解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，，，分別為角，，的對邊，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)為的外心，過點(diǎn)作，，得到分別為的中點(diǎn)，由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得,，結(jié)合，代入即可求解.
【詳解】
如圖所示，因?yàn)闉榈耐庑模^點(diǎn)作，，
則點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
可得,同理可得，
又由，
因?yàn)?，，可?
故選：A.
例51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的外心為，，則（ ）
A．11B．10C．20D．21
【答案】D
【解析】
【分析】
首先過作，垂足分別為，，得到，，分別為，的中點(diǎn)，化簡，即可得到答案.
【詳解】
過作，垂足分別為，，如圖所示：
因?yàn)榈耐庑臑?，所以，，分別為，的中點(diǎn).
因?yàn)?，所以，?br>所以
.
故選：D例52．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在中，，為的外心，，，則（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)的中點(diǎn)為D,E，將，變?yōu)椋鶕?jù)數(shù)量積的幾何意義可得，同理求得，根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得答案.
【詳解】
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為D,E，連接OD,OE,則 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故選：B
例53．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，為的外心，則（ ）
A．－4B．4C．－6D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)的外接圓半徑為r，，由余弦定理得到，和．把整理為，整體代入即可．
【詳解】
設(shè)的外接圓半徑為r，．
由余弦定理得：，即，所以
，即，所以．
所以
因?yàn)椋?br>所以．
故選：C．
例54．（2022·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先用、表示，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及基本不等式求出的最大值，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：因?yàn)椋裕?br>所以
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號；
故選：C
例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的邊長分別為，點(diǎn)為的外心，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出輔助線，對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到，求出的取值范圍，進(jìn)而求出答案.
【詳解】
取的中點(diǎn)，則，所以.
因?yàn)椋瑒t，即.
所以，
故選：D.
例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，滿足，，D為線段OA上一點(diǎn)，E為△AOB的外心，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得的值.
【詳解】
由得，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，，，則，
∴，
∴.
故選：D.
例57．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的（ ）
A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)的中點(diǎn)是，根據(jù)題意化簡可得，即可確定的軌跡.
【詳解】
設(shè)的中點(diǎn)是，
，
即，所以，
所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的外心，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的運(yùn)算法則，熟練掌握向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積與垂直的關(guān)系，三角形的外心定義是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.
【方法技巧與總結(jié)】
外心定理：垂直平分線的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
（1），；；
（2），，；
（3），，．
題型五：垂心定理
例58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為的垂心，且，則角A的值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如圖建系，可得各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，可得坐標(biāo)間關(guān)系，根據(jù)O為垂心，可得，化簡整理，可得，，即可求得答案.
【詳解】
建立如圖坐標(biāo)系，
設(shè)，，，，
∵，
∴，∴①，
∵為的垂心，∴，
∴，∴②，
由①②得，，
∴，，
∴，
故選：B．
例59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過的（ ）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
由得出，結(jié)合三角形的性質(zhì)得出答案.
【詳解】
則，即，故
即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過的垂心
故選：C
例60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若是的垂心，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【分析】
利用垂心的性質(zhì)，連接并延長交于，得到，把已知條件中的式子化簡，得到，再兩邊同乘以，利用數(shù)量積、正弦定理進(jìn)行整理化簡，得到，再把化為，整理后得到值.
【詳解】
在中，，
由，
得，
連接并延長交于，
因?yàn)槭堑拇剐?，所以，?br>所以
同乘以得，
因?yàn)?，所以?br>由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，而，所以得到，
故選：C.
例61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則下列說法正確的是（ ）
A．是的外心B．是的內(nèi)心
C．是的重心.D．是的垂心
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用數(shù)量積的運(yùn)算公式變形，判斷選項(xiàng).
【詳解】
∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴點(diǎn)是的三條高的交點(diǎn).
故選：D
例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則O一定為△ABC的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
利用向量的等式關(guān)系，轉(zhuǎn)化成，利用向量加減法運(yùn)算化簡得到，即證，再同理證得，即得是的垂心．
【詳解】
由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．
故選：C.例63．（2022·上海·高三專題練習(xí)）三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，那么點(diǎn)P是三角形的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心
【答案】B
【解析】
先化簡得，即得點(diǎn)P為三角形的垂心.
【詳解】
由于三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，
則
即有，
即有，
則點(diǎn)P為三角形的垂心.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查向量的運(yùn)算和向量垂直的數(shù)量積，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
例64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則點(diǎn)P的軌跡通過的
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】C
【解析】
【分析】
對題目的式子兩邊乘以，得到所在直線為高所在直線，即可．
【詳解】
處理原式得到
故所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過垂心，故選C．
例65．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】D
【解析】【分析】
由得到，從而得到，同理證明即可.
【詳解】
，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以為的垂心.
故選：D.
例66．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)，設(shè)設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)平面幾何性質(zhì)表示出相關(guān)邊的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則即可得出.
【詳解】
如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則.因?yàn)椋瑒t，則，，由此可得.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】，即

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