最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇專題04 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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專題04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【考點預(yù)測】
知識點一.基本性質(zhì)
設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：
性質(zhì)1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定義域為． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②值域為，函數(shù)在整個定義域上沒有最大值、最小值． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③單調(diào)性和圖像：
性質(zhì)2：三次方程的實根個數(shù)
由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)
其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，
判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：
(1) 若，則恰有一個實根；
(2) 若,且，則恰有一個實根；
(3) 若,且，則有兩個不相等的實根；
(4) 若,且，則有三個不相等的實根.
說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;
(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;
(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.
性質(zhì)3：對稱性
（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；；
（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
圖像
【方法技巧與總結(jié)】
1.其導(dǎo)函數(shù)為對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標也就是導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導(dǎo)為零的點；
2.是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則圖象關(guān)于直線
對稱.
3.若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點對稱.
4.已知三次函數(shù)的對稱中心橫坐標為，若存在兩個極值點，，則有.
【題型歸納目錄】
題型一：三次函數(shù)的零點問題
題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題
題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題
題型四：三次函數(shù)的切線問題
題型五：三次函數(shù)的對稱問題
題型六：三次函數(shù)的綜合問題
題型七：三次函數(shù)恒成立問題
【典例例題】
題型一：三次函數(shù)的零點問題
例1．若，則函數(shù)在區(qū)間上恰好有
A．0個零點B．1個零點C．2個零點D．3個零點
【解析】解：由已知得：，由于，
故當時，
即函數(shù)為區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，
又當時
（2），
故據(jù)二分法及單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點．故選：．
例2．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若恰好有兩個零點，求的值．
【解析】解：（1）令得，
當時，，當時，，當時，，
故，（1）．
（2）當極大值或極小值為零時，恰有兩個零點，
或，解得或．
例3．已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；
（Ⅱ）若，求證：函數(shù)在上恰有一個零點．
【解析】（Ⅰ）解：由已知
令，解得或，
，不在內(nèi)
要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值，只需
解得（6分）
（Ⅱ）證明：，，在上恒成立，
即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
又，
函數(shù)在上恰有一個零點（12分）
例4．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ），
因函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
所以在，恒成立，即，
的最小值為．（5分）（Ⅱ）
，△．
①若，則△，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增．，（3），
當時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點．（9分）
②若，則△，
有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為，，．
，．
當變化時，，的取值情況如下表：
，（12分）
．
同理．
．，
，
0
0
極大值
極小值
令，解得．
而當時，，（3），
故當時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點．
綜上所述，的取值范圍是．（15分）
例5．已知函數(shù)在處有極值．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上有且僅有一個零點，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）
由題意知：，得，
，
令，得或，
令，得，
的單調(diào)遞增區(qū)間是和，
單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
為函數(shù)極大值，為極小值．
函數(shù)在區(qū)間，上有且僅有一個零點，
或或或或，
即，
，即的取值范圍是．
題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題
例6．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個根為
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求證：還有不同于的實根、，且、、成等差數(shù)列；
（Ⅲ）若函數(shù)的極大值小于16，求（1）的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
是極大值點，
，（2分）
（Ⅱ）證明：令，得或
由的單調(diào)性知，
是方程的一個根，則
（4分）
方程的根的判別式△
又，
即不是方程的根，有不同于的根、．
，、、成等差數(shù)列（8分）
（Ⅲ）解：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知是極大值點
，，于是
令（b）（1）
求導(dǎo)（b）時，（b），
（b）在，上單調(diào)遞減
（b）
即（1）（14分）
例7．已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）求在區(qū)間，上的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）的定義域為，且．
當時，，（1），
所以曲線在點，（1）處的切線方程為，
即．
（Ⅱ）解：方程的判別式△，
令，得，或．和的情況如下：
，
，
故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．
①當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間，上的最小值是．
②當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間，上的最小值是．
③當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間，上的最小值是（3）．
綜上，當時，在區(qū)間，上的最小值是；
當時，在區(qū)間，上的最小值是；
當時，在區(qū)間，上的最小值是．
例8．已知函數(shù)在與時都取得極值．
（1）求、的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，求的最大值．
【解析】解：（1），（1分）
由，（1）得（3分）
解得：，（4分），與時，，
時，，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與遞減區(qū)間是（6分）
（2），，0
0
由（1）可知：當時，為極大值（8分），
而（2）（10分），
則（2）是函數(shù)的最大值（12分）．
例9．已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．
【解析】解：（1）當時，，
．令，得，．
當時，，則在上單調(diào)遞增；
當時，，則在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，取得極大值為：；
當時，取得極小值為：．
（2）
問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有解，
（1）或，
解得或，
故的取值范圍為：，，．
（3），△．
①若，則△，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增．，（3），
當時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點．
②若，則△，有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為，，．
，．
當變化時，，的取值情況如下表：
，
．，
同理．
．
令，解得．
而當時，，（3），
故當時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點．
綜上所述，的取值范圍是．
題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題
例10．已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為．
【解析】解：，
函數(shù)在上是增函數(shù)，
恒成立．
判別式△，
整理得，，
解得，，，
，
0
0
極大值
極小值
故答案為：，
例11．三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：對函數(shù)求導(dǎo)，得
函數(shù)在上是減函數(shù)，
在上恒成立
即恒成立，
，解得，
又當時，不是三次函數(shù)，不滿足題意，
故選：．
例12．已知函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【解析】解：函數(shù)，
可得，函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，
可得，在區(qū)間，上恒成立，
可得，，當且僅當，時取等號、
可得．
故選：．
例13．已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為
A．，B．C．D．
【解析】解：依題意，在上恒成立，
△，解得，即實數(shù)的取值范圍為．
故選：．
題型四：三次函數(shù)的切線問題
例14．已知函數(shù)．
求曲線在點，處的切線方程；設(shè)常數(shù)，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)，
．
切線方程為，
即．
（Ⅱ）已知關(guān)于的方程
即有三個不等實根．
令，則．
可知在遞減，
在遞增，在遞減，
的極小值為：，極大值為（a）．
結(jié)合圖象知．
例15．已知函數(shù)．
（Ⅰ）若的圖象在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的取值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若時，過點，，可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ），，得．
（Ⅱ）當時，，
由解得，或，由解得，
所以在區(qū)間，，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
當時，，
由解得
由解得，或．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減．
（Ⅲ）點，不在曲線上，
設(shè)切點為，．則．
，切線的斜率為．
則，即．
因為過點，，可作曲線的三條切線，
所以方程有三個不同的實數(shù)解．
即函數(shù)有三個不同的零點．
則．
令，解得或．
即解得．
例16．已知定義在上的函數(shù)，為常數(shù)，且是函數(shù)的一個極值點．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）過點，可作曲線的三條切線，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ），是函數(shù)的一個極值點，則（1），1
2
0
0
極大值
極小值
，．
又，函數(shù)在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，
．（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
則，令，得，．
隨的變化，與的變化如下：
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．（8分）
（Ⅲ），設(shè)切點為，，則切線的斜率為，（9分）
整理得，依題意，方程有3個根．（10分）
設(shè)，則．
令，得，，則在區(qū)間，，上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減．（11分）
因此，，解得．所以的取值范圍為．（14分）
例17．設(shè)函數(shù)，其中．曲線在點，處的切線方程為．
（1）確定，的值；
（2）若過點可作曲線的三條不同切線，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）因為函數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)，
又因為曲線在點，處的切線方程為，
所以，，即，．
（2）由（1）知，，0
0
極大值
極小值
設(shè)切點為，，
則，
切線的斜率為
所以切線方程為，
因為切線經(jīng)過點，所以，
即
化簡得：①，
因為過點可作曲線的三條不同切線，
所以①有三個不同的實根．
即函數(shù)有三個不同的零點．
導(dǎo)數(shù)得，或
可知只要極小值即，
所以．
故實數(shù)的取值范圍是
例18．已知函數(shù)在處取得極值
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求證：對于區(qū)間，上任意兩個自變量的值，，都有；
（3）若過點，可作曲線的三條切線，求實數(shù)的范圍．
【解析】解：（1），依題意，（1），解得，．
（2），，
當時，，故在區(qū)間，上為減函數(shù)，
，（1）
對于區(qū)間，上任意兩個自變量的值，，
都有
（3），
曲線方程為，點不在曲線上．設(shè)切點為，，切線的斜率為（左邊用導(dǎo)數(shù)求出，右邊用斜率的兩點式求出），
整理得．
過點可作曲線的三條切線，故此方程有三個不同解，下研究方程解有三個時參數(shù)所滿足的條件
設(shè)，則，
由，得或．
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
函數(shù)的極值點為，
關(guān)于方程有三個實根的充要條件是，解得．
故所求的實數(shù)的取值范圍是．
例19．已知函數(shù)
（1）求曲線在點，處的切線方程
（2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：（a）
【解析】解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；．
曲線在點，處的切線方程為：，即；
（2）如果有一條切線過點，則存在，使．
于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根．
記，則．
當變化時，，變化情況如下表：
0
0
0
極大值
極小值
由的單調(diào)性，當極大值或極小值（a）時，方程最多有一個實數(shù)根；
當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；
當（a）時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．
綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則
即（a）．
題型五：三次函數(shù)的對稱問題
例20．已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，、，，且恒有為定值，則的值為．
【解析】解：，
函數(shù)單調(diào)遞增，
則原函數(shù)關(guān)于對稱，，
所以定點，
于是．
故答案為：．
例21．已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，，，，就恒有的定值為，則的值為．
【解析】解：為定點，為定值，
兩點關(guān)于點對稱
，
三次函數(shù)的對稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0
（a）
故點為
故答案為：2
例22．已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，，則
A．6B．8C．10D．12
【解析】解：函數(shù)，
，
函數(shù)關(guān)于對稱
實數(shù)，滿足，，
，
根據(jù)對稱性，得，
解得．
故選：．
例23．已知實數(shù)，分別滿足，，則的值為．
【解析】解：由于已知的兩個等式結(jié)構(gòu)相似，因此可考慮構(gòu)造函數(shù)．
將已知等式變形為，，
構(gòu)造函數(shù)，
，
是奇函數(shù)
單調(diào)遞增
是一個單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
因為，
所以，
從而有，
故答案為2
例24．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題（1）函數(shù)的對稱中心為；
（2）計算．
【解析】解：（1），
，，
令，得，
，
的對稱中心為，，
（2）的對稱中心為，，
，
．
故答案為：，，2012．
例25．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此時，稱為原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．若二階導(dǎo)數(shù)所對應(yīng)的方程有實數(shù)解，則稱點，為函數(shù)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．
設(shè)三次函數(shù)請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題：
①函數(shù)的對稱中心坐標為；
②計算．
【解析】解：①由，得，．
由，得．
所以函數(shù)的對稱中心坐標為．
故答案為．
②因為函數(shù)的對稱中心坐標為．所以．
由．
所以．
故答案為．
題型六：三次函數(shù)的綜合問題
例26．已知函數(shù)在，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是
A．5B．6C．1D．8
【解析】解：，
因為在，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，
所以，此時的另一個根，
所以，
因為方程有3個實數(shù)根，分別是，，2，
所以（2），即，
又，
所以，
則，
則，即最小值為5．
故選：．
例27．已知，，且（a）（b）（c），現(xiàn)給出如下結(jié)論；
①；②；③（1）；④（3）；⑤
其中正確結(jié)論的序號是．
【解析】解：求導(dǎo)函數(shù)可得，
當時，；當，或時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以極大值（1），極小值（3）
要使有三個解、、，那么結(jié)合函數(shù)草圖可知：
及函數(shù)有個零點在之間，所以（1），且（3）
所以
（1），（3）
故答案為：③④⑤．
例28．已知，，且（a）（b）（c）．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①（1）；
②（1）；
③（3）；
④（3）；
⑤；
⑥．
其中正確結(jié)論的序號是
A．①③⑤B．①④⑥C．②③⑤D．②④⑥
【解析】解：求導(dǎo)函數(shù)可得
當時，；當，或時，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和
單調(diào)遞減區(qū)間為
所以極大值（1），
極小值（3）
要使有三個解、、，那么結(jié)合函數(shù)草圖可知：
及函數(shù)有個零點在之間，所以（1），且（3）
所以
（1），（3）
故選：．
例29．已知，，且（a）（b）（c），現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①（3）；②（1）；
③（1）（3）；
④．
其中正確結(jié)論個數(shù)為
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解析】解：求導(dǎo)函數(shù)可得
當時，；當，或時，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和單調(diào)遞減區(qū)間為
所以極大值（1），
極小值（3）
要使有三個解、、，那么結(jié)合函數(shù)草圖可知：
及函數(shù)有個零點在之間，
所以（1），且（3）
所以
，
（3）
（1），（1）（3），
（a）（b）（c），
，
①，②，
把②代入①得：；
故選：．
題型七：三次函數(shù)恒成立問題
例30．已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．
（1）求的極值；
（2）求證：對任意，，都有．
【解析】解：依題意得，知在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
，（1）
（2）法1：易得時，，
依題意知，只要
由知，只要
令，則
注意到（1），當時，；當時，，
即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，（1）
即，綜上知對任意，，都有
法2：易得時，，
由知，，令
則
注意到（1），當時，；當時，，
即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，
（1），所以，
即．
綜上知對任意，，都有．
法3：易得時，，
由知，，令，則
令，則，
知在遞增，注意到（1），
所以，在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，
有，即
綜上知對任意，，都有．
例31．已知函數(shù)，其圖象在點，處的切線方程為．
（1）求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），
，
函數(shù)的圖象在點，（1）處的切線方程為．
（1），（1），
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函數(shù)的單調(diào)遞增為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可得：，．
由表格可知：當時，函數(shù)取得極大值，，又（4）．
函數(shù)在，上的最大值為8．
由，，不等式恒成立，，．
，
解得或．
的取值范圍是．
例32．已知函數(shù)在處取得極值，其圖象在點，（1）處的切線與直線平行．
（1）求，的值；
（2）若對，都有恒成立，求的取值范圍．
【解析】解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得，
由題意①
，
0

2
，

0
0

單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
又②
聯(lián)立得（5分）
（2）依題意得，即，對，恒成立，
設(shè)，則
解得
當時，；當時，；當時，（10分）
則
又，所以；
故只須（12分）
解得或
即的取值范圍是（14分）
例33．已知函數(shù)在與時都取得極值．
（1）求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】解：（1），，
，1時兩個根，
，，
解得，；
，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如下表：
，
1
0
0
極大值
極小值
函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是，．
（2）由（1）可得，
當時，由（1）知在，上的最大值為，
所以只需要，得；
當時，由（1）知在，上的最大值為（c），
只需要（c），解得或
，
綜上所述，的取值范圍為，，
例34．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時取得極值．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明對任意，，不等式恒成立．
【解析】解：（1）由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有，
即
因此，
由條件（1）為的極值，必有（1），故
解得，
因此，，（1）
當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)
當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù)
當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)
所以，在處取得極大值，極大值為
（2）由（1）知，是減函數(shù)，
且在，上的最大值，在，上的最小值（1）
所以，對任意的，，恒有
例35．已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當時，取得極值．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）若對任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若對任意，，，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）是上的奇函數(shù)，
，可得，即，
又當時，取得極值，，即，
解得，故函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，
令解得，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
故當時，取到極大值
（2），對任意，，都有成立，
只需，構(gòu)造函數(shù)，，，，
令，可得或，當時，，單調(diào)遞減
當，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
當時，取到極大值（2），，故的最大值為8，
故實數(shù)的取值范圍為：；
（3）若對任意，，，，都有成立，
即在區(qū)間，上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：當，時，，單調(diào)遞減，
當，時，，單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)取到極小值，
也是該區(qū)間的最小值（1），
而為開口向上的拋物線，對稱軸為，故當時取最大值（3），
由，解得
例36．設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（Ⅱ）已知不等式對，都成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ），
由于函數(shù)在時取得極值，
所以（1），即，
．
（Ⅱ）由題設(shè)知：，對任意，都成立，
即對任意，都成立，
令，
①當時，由解得，顯然時不成立，故；
②當，即時，開口向下，的對稱軸為，
在，上單調(diào)遞減，
（1），解得，與矛盾，故不符合題意；
③當，即時，開口向上，的對稱軸為，
若，即時，或，
；
若，即時，開口向上，
（1），解得，又，
．
綜上所述，．
例37．設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．
（1）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；
（2）已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）
由于函數(shù)在時取得極值，
所以（1）
即，
（2）由題設(shè)知：
對任意都成立即
對任意都成立
于是對任意都成立，
即
于是的取值范圍是．
例38．設(shè)函數(shù)在處取得極值．
（1）設(shè)點，，求證：過點的切線有且只有一條；并求出該切線方程．
（2）若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；
（3）設(shè)曲線在點，，，處的切線都過點，證明：．
【解析】（1）證明：由，得：，
由題意可得，，解得，．
．
經(jīng)檢驗，在處取得極大值．
設(shè)切點為，，則切線方程為
即為
把，代入方程可得，
即，所以．
即點為切點，且切點是唯一的，故切線有且只有一條．
所以切線方程為；
（2）解：因為切線方程為，
把代入可得，
因為有三條切線，故方程得有三個不同的實根．
設(shè)
，令，可得和．當時，，為增函數(shù)，
當時，，為減函數(shù)，
當時，，為增函數(shù)，
所以，當時函數(shù)取得極大值為．
當時函數(shù)取得極小值，
極小值為．
因為方程有三個根，故極小值小于零，，所以．
（3）證明：假設(shè)，則，
所以
因為，所以．
由（2）可得，兩式相減可得．
因為，故．
把代入上式可得，，
所以，．
所以．
又由，這與矛盾．
所以假設(shè)不成立，即證得．
例39．已知在上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，且方程有三個根，它們分別為，2，．
（1）求的值；
（2）求證（1）；
（3）求的取值范圍．
【解析】解：（1）在，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)；
是的根，又，，．
（2）的根為，2，，（2），，又（2），
，，又
（1），（2）
且，
（1）
（3）有三根，2，；
；
又，
例40．已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，且方程的三個根分別為1，，．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）求的取值范圍．
【解析】解：（1），由題設(shè)兩根為，，，
則，所以；
（2）由（1）和條件得（1），，
所以，是方程的兩根，所以△，，
即得，又，，
所以，，
所以的范圍是，
例41．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，為方程的三個根，且，，，，，求證：或．
【解析】（Ⅰ）解：當時，，
因為，
所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方．
（Ⅱ）解：法一、
由，得，
令，解得或，
①當時，由，解得，
所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；
②當時，由，
所以在上是減函數(shù)，與題意不符，舍去；
③當時，由，解得，
所以在上是增函數(shù)，
又在上是增函數(shù)，所以，解得，
綜上，的取值范圍為，．
法二、
由，得，
要使函數(shù)在上是增函數(shù)，
則需對任意恒成立，
即對任意恒成立，
也就是對任意恒成立，
因為在上為增函數(shù)，所以．
所以，的取值范圍為，．（Ⅲ）證明：因為方程最多只有3個根，
由題意，方程在區(qū)間內(nèi)僅有一根，
所以，
方程在區(qū)間內(nèi)僅有一根，
所以（1），
當時，由得，，即，
由得，，即，
因為，所以，即；
當時，由得，，即，
由得，，即，
因為，所以，即；
當時，因為，所以有一根0，
這與題意不符．
或．
例42．已知函數(shù)，且．
（1）試用含的代數(shù)式表示；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）令，設(shè)函數(shù)在、處取得極值，記點，，，．證明：線段與曲線存在異于，的公共點．
【解析】解：解法一：（1）依題意，得
．
由得．
（2）由（1）得，故．
令，則或．
①當時，．
當變化時，與的變化情況如下表：
單調(diào)遞減
由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．
②當時，．此時，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．
③當時，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．
綜上所述：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．
（3）當時，得．
由，得，．
由（2）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，
所以函數(shù)在，處取得極值．故，．
所以直線的方程為．
由得．
令．
易得，（2），而的圖象在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于，的公共點．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）當時，得．
由，得，．
由（2）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在，處取得極值，
故，．
所以直線的方程為．單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
由．
解得，，．
，，
所以線段與曲線有異于，的公共點．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·山東泰安·高三期中）過曲線外一點作的切線恰有兩條，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)出切點，求出切點處的導(dǎo)函數(shù)即切線的斜率，據(jù)點斜式寫出切線的方程，將切點代入，列出關(guān)于切點橫坐標的方程，據(jù)題意此方程有兩個根，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出兩個極值，令極值為0，求出，的關(guān)系.
【詳解】
，過點作曲線C的切線，
設(shè)切點，則切線方程為：，
將代入得：
即（*）由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．
令，，
顯然有兩個極值點與，于是或
當時，；
當時，，此時經(jīng)過與條件不符，所以，
故選：A.
2．（2022·河南洛陽·三模（理））若過點可作出曲線的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，設(shè)出切點，然后寫出切線方程，把點P帶入切線方程中，然后對式子進行整理，分別設(shè)出兩個函數(shù)，與，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后作圖，看兩個函數(shù)圖象的交點情況即可完成求解.
【詳解】
由已知，曲線，即令，則，
設(shè)切點為，切線方程的斜率為，
所以切線方程為：，將點代入方程得：，整理得，
設(shè)函數(shù)，過點可作出曲線的三條切線，
可知兩個函數(shù)圖像與有三個不同的交點，
又因為，由，可得或，
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為，
如圖所示，
當時，兩個函數(shù)圖像有三個不同的交點.
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把題意轉(zhuǎn)化為在內(nèi)應(yīng)有異號實數(shù)根，利用零點存在定理列不等式即可求得.
【詳解】
∵，∴
∵函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)
∴在區(qū)間上有根
∴當a＝0時，x＝－1不滿足條件
當時，∵，∴，
∴.
故選：D．
4．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在R上單週遞增，則（）
A．B．0C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依據(jù)導(dǎo)函數(shù)列出關(guān)于a的不等式，解之即可得到a的值
【詳解】
，
∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
∴在R上恒成立，
∴，且，解得，
故選：A．
5．（2022·吉林·模擬預(yù)測（理））若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（）A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由條件轉(zhuǎn)化為恒成立，即可求解.
【詳解】
恒成立，即，解得：.
故選：A
6．（2022·廣東·廣州市玉巖中學(xué)高三期中）函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上恒成立，參變分離即可得到在恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】
解：因為，所以，依題意可得在上恒成立，
即在恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以，
所以．
即的取值范圍是．
故選：C．
7．（2022·四川省峨眉第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，求的范圍（）
A．(-3，2)B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，從而求出的范圍.
【詳解】由題意得：在R上恒成立，即在R上恒成立，又，故，故的范圍是.
故選：C
8．（2022·全國·高三課時練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減等價與＜0在(0，1)內(nèi)恒成立，據(jù)此即可求解.
【詳解】
，∵在內(nèi)單調(diào)遞減，
∴＜0在(0，1)內(nèi)恒成立，
即在內(nèi)恒成立，
即在內(nèi)恒成立，
∵在單調(diào)遞增，∴，
∴，∴﹒
故選：A﹒
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是（）
A．存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)
B．函數(shù)的對稱中心也是函數(shù)的一個對稱中心
C．存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心
D．若函數(shù)，則
【答案】BCD
【解析】【分析】
根據(jù)題干中三次函數(shù)的對稱中心的定義與性質(zhì)判斷A,C選項；求出的對稱中心，可以驗證此點是的一個對稱中心，即可判斷B；求出函數(shù)的對稱中心，可得，進而求得進而判斷出D.
【詳解】
解：對于A.設(shè)三次函數(shù)，
易知是一次函數(shù)，∴任何三次函數(shù)只有一個對稱中心，故A不正確；
對于B.由，得，由，得，函數(shù)的對稱中心為，
又由，得，∴的對稱中心是函數(shù)的一個對稱中心，故B正確；
對于C.設(shè)三次函數(shù)，
所以
聯(lián)立得，
即當時，存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心，故C正確.
對于D.∵，∴，
令，得，∵，
∴函數(shù)的對稱中心是，∴，
設(shè)，所以所以，故D正確.
故選:BCD.
三、雙空題10．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則__________，當，時，函數(shù)的極值點的個數(shù)為__________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
（1）代入得到，進而代入化簡計算即可；
（2）易得，再將題意轉(zhuǎn)換為與的圖象交點個數(shù)分析即可
【詳解】
由得，所以．由題知，則．作出與的大致圖象如圖所示．由圖可知，的解即為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，記為，，且．當時，，則；當時，，則；當時，，則，所以為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)的極值點的個數(shù)是2．
【點睛】
試題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力．屬于中檔題
四、填空題
11．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知直線與函數(shù)在上的圖象只有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得解.
【詳解】
當時，由可得，令，其中，
則，由，可得，列表如下：
如下圖所示：
因為在內(nèi)有且只有一個零點，則，
所以，，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
則當時，，
又因為，，所以，，
因此，在上的最大值與最小值的和為.
故答案為：.
12．（2022·遼寧·遼師大附中高三階段練習(xí)）已知過點P(0，a)可作出曲線y=2x3–3x2的3條不同的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_______________ .增
極大值
減
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)切點為，寫出切線方程，將點P坐標代入得到，構(gòu)造函數(shù)，由題意函數(shù)的圖象與x軸有三個交點，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性和極值可得答案.
【詳解】
函數(shù),求導(dǎo)得,設(shè)切點為，
可得切線方程為，
又切線過點P(0，a)代入得，即
，由題意可得此方程有三個根，
令，，
當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
可得函數(shù)的極大值為，極小值為，若方程有三個根即函數(shù)的圖象與x軸有三個交點，只需滿足，即，
故答案為：.
13．（2022·陜西·長安一中高三期末（理））已知函數(shù)，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)過M的切線切點為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍．
【詳解】
，
設(shè)過點的直線與曲線相切于點，則，
化簡得，，令，
則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點．
∵，
故當x1時，，g(x)單調(diào)遞增；當0

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