1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題29 空間點、直線、平面之間的位置關系
【考點預測】
知識點一．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)
推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)
（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
知識點二．直線與直線的位置關系
知識點三．直線與平面的位置關系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．位置關系
相交（共面）
平行（共面）
異面
圖形
符號
a∥b
公共點個數(shù)
1
0
0
特征
兩條相交直線確定一個平面
兩條平行直線確定一個平面
兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)
知識點四．平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況．
知識點五．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【題型歸納目錄】
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
題型二：截面問題
題型三：異面直線的判定
題型四：平面的基本性質
題型五：等角定理
【典例例題】
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
例1．（2022·上海·高三專題練習）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點．設AM與平面BB1D1D的交點為O，則（ ）位置關系
包含（面內(nèi)線）
相交（面外線）
平行（面外線）
圖形
符號
∥
公共點個數(shù)
無數(shù)個
1
0
位置關系
平行
相交（但不垂直）
垂直
圖形
符號
∥
，
公共點個數(shù)
0
無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上
無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上
A．三點D1，O，B共線，且OB=2OD1
B．三點D1，O，B不共線，且OB=2OD1
C．三點D1，O，B共線，且OB=OD1
D．三點D1，O，B不共線，且OB=OD1
【答案】A
【解析】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接AD1，BC1，如圖，
，連BD1，平面平面，
因M為棱D1C1的中點，則平面，而平面，即平面，又，則平面，
因AM與平面BB1D1D的交點為O，則平面，于是得，即D1，O，B三點共線，
顯然D1M∥AB且，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，
所以三點D1，O，B共線，且OB=2OD1.
故選：A
例2．（2022·上海·高三專題練習）如圖是長方體，是的中點，直線交平面于點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．，，三點共線
B．，，，四點共面
C．，，，四點共面
D．，，，四點共面
【答案】C
【解析】解：連接，則，
四點共面，
平面，
，平面，
平面，
點在平面與平面的交線上，
同理點在平面與平面的交線上，
三點共線，故A正確；
三點共線，且直線與直線外一點可確定一個平面，
四點共面，四點共面，故B，D正確；
平面，平面，平面且，
和是異面直線，
四點不共面，故C錯誤.
故選：C
例3．（2022·寧夏·固原一中一模（文））在正方體中，是的中點，直線交平面于點，則下列結論正確的是（ ）
①??三點共線；
②???四點共面；
③???四點共面；
④???四點共面.
A．①②B．①②③④C．①②③D．①③④
【答案】A
【解析】解：∵，平面，∴平面.
∵，平面，∴平面，
∴是平面和平面的公共點；
同理可得，點和都是平面和平面的公共點，
∴三點，，在平面與平面的交線上，
即，，三點共線.故①正確.
∵，，∴，，確定一個平面，
又，平面，∴平面，故②正確.
根據(jù)異面直線的判定定理可得與為異面直線，故???四點不共面，故③不正確.
根據(jù)異面直線的判定定理可得與異面直線，故???四點不共面，故④不正確.
故選：A.
例4．（2022·上?！つM預測）已知長方體中，對角線與平面交于點O，則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】解：如圖，平面與平面的交線為，顯然點是的中點，且點在上，故點在的中線上，
同理可得點在，的中線上，
即點是三邊中線的交點，即為的重心．
故選：．
例5．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在長方體中，，分別為，的中點，，分別為，的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．四點，，，在同一平面內(nèi)
B．三條直線，，有公共點
C．直線與直線不是異面直線
D．直線上存在點使，，三點共線
【答案】C
【解析】
利用兩條平行線確定一個平面可判斷A；利用點共線公理可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可判斷C；連接可判斷D.
【詳解】
作出圖象，如圖：
對于A，連接，則，，所以，
所以四點，，，在同一平面內(nèi)，故A正確；
對于B，延長，則相交于點，
又平面，平面，
則平面，平面，
且平面平面，
所以，即三條直線，，有公共點，故B正確；
對于C，直線為正方體的體對角線，所以直線與直線
不可能在同一平面內(nèi)，所以直線與直線是異面直線，故C錯誤；
對于D， 均在平面內(nèi)，連接，則與相交，
所以直線上存在點使，，三點共線，故D正確；
故選：C
例6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）在空間四邊形各邊上分別取四點，如果能相交于點，那么（ ）
A．點必在直線上B．點必在直線BD上
C．點必在平面內(nèi)D．點必在平面外
【答案】A
【解析】如圖所示，
因為EF屬于一個面ABC，而GH屬于另一個面ADC，且EF、GH相交于點P，
所以點P在兩面的交線上，
又AC是兩平面的交線，
所以點P必在線AC上.
故選：A.
例7．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面．
【解析】如圖，
連接EF，BD，．
∵EF是的中位線，
∴．
∵與平行且相等，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴，
∴E，F(xiàn)，D，B四點共面．
例8．（2022·全國·模擬預測（理））圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將該圖形沿，折起使得與重合，連接，如圖2．
證明：圖2中C，D，E，G四點共面；
【解析】證明：∵四邊形和分別是矩形和菱形，
∴，，
∴，
∴，，，四點共面．
例9．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）如圖，等腰梯形中，沿將 折起至與平面BCDE成直二面角得到一四棱錐，為中點，過 作平面 .
請畫出平面截四棱錐的截面，寫出作法，并求其周長；
【解析】
以E為原點，EB為x軸，ED為y軸，EA為z軸，建立空間坐標系如上圖，
平面與線段AB的交點為F，
則有: ， ，
設 ，則向量 與向量 共面，
， ， ，
設
得： …① ，
又 ，
…② ，
由①②得 ，解得 ，即 ，
， ， ，
F點在靠近B點的三分點處；
， ，
， ，
四邊形CDMF的周長為 ；
例10．（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預測（理））四棱錐P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M為PC的中點，．
證明：A，B，M，N四點共面；
【解析】證明：延長CD，BA交于點Q．
因為且，
所以BA＝AQ，CD＝DQ，
連接PQ，在△PQC中，D，M分別為CQ，PC的中點，
故QM與PD的交點為△PQC的重心，設為G，所以，
因為，所以點G與點N重合，
所以A，B，M，N四點都在平面QBM中，
故A，B，M，N四點共面．
例11．（2022·四川眉山·三模（文））如圖，已知在三棱柱中，，，F(xiàn)是線段BC的中點，點O在線段AF上，.D是側棱中點，.
(1)證明：平面；
(2)F，E，三點在同一條直線上嗎？說明理由，求的值.
【解析】(1)連接，并延長交于，連接，
∵，，F(xiàn)是線段BC的中點，
∴，又，
∴是的重心，
∴，又D是側棱中點，
∴，
∴，又平面，平面，
∴平面；
(2)連接，則，，
∴四點共面，又，
∴，平面，
又平面，
∴平面，
又平面平面，
∴，即三點在一條直線上，
所以
例12．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．
【解析】證明：如圖，連接，，
則，
因為，，
所以四邊形為平行四邊形，
又，平面，
則平面，
因為平面平面，
所以．即，，三點共線．
例13．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（文））如圖，在正四面體A-BCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，點G，H分別在CD，AD上，且，．
求證：直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上；
【解析】因為，，所以，又，所以，故E，F(xiàn)，G，H四點共面，且直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，設，因為，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上．
例14．（2022·河南·三模（文））如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．
(1)證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面．
(2)證明：BE，DF，三線共點．
【解析】(1)如圖，
連接EF，BD，．
∵EF是的中位線，
∴．
∵與平行且相等，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，∴E，F(xiàn)，D，B四點共面．
(2)∵，且，
∴直線BE和DF相交．
延長BE，DF，設它們相交于點P，
∵直線BE，直線平面，
∴平面，
∵直線DF，直線平面，
∴平面，
∵平面平面，
∴，
∴BE，DF，三線共點．
例15．（2022·山東棗莊·一模）已知正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，過點作出正方體的截面，使得該截面平行于平面．
作出該截面與正方體表面的交線，并說明理由；
（截面：用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形．）
【解析】
設分別是棱的中點，順次連接，則四邊形即為所求的截面.
理由如下：因為點分別是棱的中點，故，又，所以，而兩平行直線確定一個平面，所以四邊形為平面圖形.
因為點分別是棱的中點，故，又平面，平面，所以平面.因為，所以，又不共線，所以，
又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，
所以平面平面.
【方法技巧與總結】
要證明“點共面”、“線共面”可先由部分直線活點確定一個平面，再證其余直線或點也在該平面內(nèi)（即納入法）；證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線，證明 “線共點”問題是證明三條或三條以上直線交于一點，思路是：先證明兩條直線交于一點，再證明交點在第三條直線上.
題型二：截面問題
例16．（2022·上海黃浦·二模）如圖，已知、、分別是正方體的棱、和的中點，由點、、確定的平面截該正方體所得截面為（ ）．
A．三角形
B．四邊形
C．五邊形
D．六邊形
【答案】D
【解析】如圖，分別取的中點、、，連接，
由正方體性質，所以平面，且，又交于同一點，所以平面，所以點、、確定的平面即為六邊形
故選：D．
例17．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)在側面上運動，且滿足平面.以下命題中，正確的個數(shù)為（ ）
①側面上存在點，使得；
②直線與直線所成角可能為30°；
③設正方體棱長為1，則過點E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】分別取的中點，連接
由，可得四邊形為平行四邊形，
則，又，,
則平面平面，
則當點落在線段上時，平面，則平面
即滿足題意的點F在側面上的軌跡為線段
①取中點P，連接，
△中，,，則
又，則,即當F為中點時，有.判斷正確；
②當點F在線段上運動變化到端點K或H時，
直線與直線所成角取得最大值，
此時直線與直線所成角為（或）
又，
則.則直線與直線所成角不可能為30°.判斷錯誤；
③設正方體棱長為1，當F為與HK交點時，
過點E，F(xiàn)，A的平面交于的中點M，連接
過點E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得截面為菱形
又菱形對角線，
則截面的面積為.判斷錯誤.
故選：B
例18．（2022·福建省廈門集美中學模擬預測）在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】延長交于點，連接交于點，如圖，
在正方體中，面面，
面面，面面
，又
四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.
又，在等腰梯形中，過作，

.故選：C.
例19．（2022·山西·模擬預測（理））如圖，長方體中，，，點為線段的中點，點為棱上的動點（包括端點），平面截長方體的截面為，則（ ）
A．截面可能為六邊形
B．存在點，使得截面
C．若截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．當與重合時，截面將長方體分成體積比為的兩部分
【答案】C
【解析】對于A，截面可能為四邊形或五邊形，不能是六邊形，A錯誤；
對于B，若存在點，使得截面，則，則為中點，
此時與不垂直，不存在點，使得截面，B錯誤；
對于C，當截面為平行四邊形時，在平面內(nèi)過點作的平行線，交于，
過點作的垂線，垂足為，連接，則平面，
斜線在平面的射影為，則；
設，，，，
截面面積為，
當時，，C正確；
對于D，當重合時，截面為梯形；取中點，連接，延長交于點，
，，
棱臺的體積，又長方體體積，
剩余部分的體積，，D錯誤.
故選：C.
例20．（2022·云南曲靖·二模（文））正方體的棱長為1，E、F、G分別為BC，，的中點，有下述四個結論，其中正確的結論是（ ）
①點C與點B到平面AEF的距離相等； ②直線與平面AEF平行；
③平面AEF截正方體所得的截面面積為； ④直線與直線EF所成的角的余弦值為.
A．①④B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】對于①：假設C與B到平面AEF的距離相等，即平面AEF將BC平分，則平面AEF必過BC的中點.由E是BC的中點，所以C與B到平面AEF的距離相等.故①正確
對于②：如圖所示.
取的中點Q，連接、、QE.
因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以∥AE.
因為面AEF，面AEF，所以面AEF.同理可證：面AEF.
因為，面，面，所以平面∥平面AEF.
又因為平面，所以∥平面AEF.故②正確；
對于③：連接，延長，AE交于點S.
因為E，F(xiàn)分別為BC，C1C的中點，所以EF∥AD1，所以A、E、F、D1四點共面，所以截面即為梯形AEFD1.
因為CF=CE，所以，即，所以FS=ES又D1F=AE，所以即，，
所以等腰△的高，梯形的高為，所以梯形的面積為.故③正確
對于④：因為，所以直線與直線EF所成的角即為所求.在三角形中，，由余弦定理得， .
所以直線與直線EF所成的角的余弦值為.故④錯誤.
故選：C
例21．（2022·全國·高三專題練習）已知長方體中，，M為的中點，N為的中點，過的平面與DM，都平行，則平面截長方體所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】過作交延長線于，則，若為中點，連接，
而M為的中點，在長方體中，而且面，
由面，則面，由面，則面，
所以面即為平面，延長交于，
易知：為中點，則且，又且，
故為平行四邊形，則且，故共面，
連接，即面為平面截長方體所得截面，
延長分別交于一點，而在中都為中位線，
由，，則，故交于同一點，
易知：△為等腰三角形且，，則，可得，又.
故選：A
例22．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在正方體ABCD—中，，點E為AB中點，點F為BC中點，則過點A與，都平行的平面α被正方體ABCD—截得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中點G，中點H，則△AGH就是平面a被正方體ABCD—截得的截面，其中，，GH邊上的高為，所以△AGH的面積.
故選：D
例23．（2022·全國·高三專題練習（理））已知正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6B．10C．D．
【答案】D
【解析】取的中點，連接,則,取的中點，連接，則
所以, 則直線平面
延長交于，連接交于點，連接,則為的中點.
則平面截該正方體所得的截面圖形為
由條件可得,則, 則
,
取 的中點，連接，則，所以
所以,則
則
所以截面圖形周長為
故選：D
例24．（2022·貴州·模擬預測（理））在正三棱柱中，，，分別在上，且，則過三點的平面截此棱柱所得截面的面積為（ ）
A．B． C．D．
【答案】C【解析】解：連接，易知，
過三點的截面的面積即等腰梯形的面積.
因為正三棱柱中，，
所以，，
所以，等腰梯形的面積為.
故選：C
例25．（2022·河南·西南大學附中高三期中（文））如圖，在直四棱柱中，，，，，點?分別為棱?的中點，則平面與直四棱柱各側面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如圖，因為在直四棱柱中，，所以平面平面，設平面線段，連接，又因為平面平面，所以，延長，交的延長線于點，則，連接，，則平面平面，易知四邊形為直角梯形，且.
如圖，再將直四棱柱補成一個長方體，
由圖及題中數(shù)據(jù)可得，，，
所以，所以，
故交線圍成的圖形的面積為.
故選:.
例26．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學模擬預測（理））在棱長為1的正方體中，M為底面ABCD的中心，Q是棱上一點，且，，N為線段AQ的中點，給出下列命題：
①與共面；
②三棱錐的體積跟的取值無關；
③當時，；
④當時，過A，Q，M三點的平面截正方體所得截面的周長為.
其中正確的有___________（填寫序號）.
【答案】①②④
【解析】
在中，為的中點，，與共面，①正確；
，到平面的距離為定值，且的面積為定值，三棱錐的體積跟的取值無關，②正確；
時，可得，則，所以不成立，③錯誤；
時，過三點的正方體的截面是等腰梯形，所以平面截正方體所截得的周長為，④正確.
故答案為：①②④.
例27．（2022·全國·高三專題練習（理））正方體的棱長為2．動點P在對角線上．過點P作垂直于的平面．記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y＝f（x），設BP＝x，．下列說法中，正確的編號為 _____．
①截面多邊形可能為四邊形；
②函數(shù)f（x）的圖象關于x＝對稱；
③當x＝時，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為9π．
【答案】②③
【解析】連接AB′，AC，A′D，DC′，分別以DA，DD′為x，y，建立如下圖所示的空間直角坐標系：
∴，，
，
∴，，
所以D′B⊥AC，D′B⊥AB′，又，所以D′B⊥面AB′C，
同理可證：D′B⊥面A′C′D，所以面A′C′D∥面AB′C，如下圖所示，
夾在面A′C′D和面AB′C之間并且與這兩個平面平行的截面為六邊形，
故截面只能為三角形和六邊形，故①錯誤；
由正方體的對稱性，當在中點處時，可得函數(shù)的圖像關于對稱，故②正確；
當時，此時點P在線段BD1的中點，連接AC，如圖，
則，則，
所以PH⊥AC，同理可證：PH⊥BD，BD，AC?面ABCD，所以PH⊥面ABCD，
取PH的中點為，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的球心為O，半徑為，
則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為，故③正確．
故答案為：②③．
例28．（2022·上海靜安·模擬預測）正方體的棱長為1，、分別為、的中點，則平面截正方體所得的截面面積為____________．【答案】
【解析】如圖，連接 則，可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形，
由正方體的棱長為1，得，，，則到的距離為，
∴，
故答案為：.
例29．（2022·全國·高三專題練習）正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，設為的中點，連接，設為的中點，連接，
由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，
故平面截該正方體所得的截面為.
又正方體的棱長為2，，，，，
故的面積為.
故選：D.
例30．（多選題）（2022·湖北·模擬預測）棱長為1的正方體中，P、Q分別在棱BC、上，，，，且，過A、P、Q三點的平面截正方體得到截面多邊形，則（ ）
A．時，截面一定為等腰梯形B．時，截面一定為矩形且面積最大值為
C．存在x，y使截面為六邊形D．存在x，y使與截面平行
【答案】BD
【解析】對A，時，截面為矩形，故A錯；
對B，當時，點與點重合，設過A、P、Q三點的平面交于，則因為平面平面，故，且，此時截面為矩形，當點與點重合時面積最大，此時截面積，B正確；
對C，截面只能為四邊形、五邊形，故C錯；
對D，當，時，延長交延長線于，畫出截面如圖所示.此時因為，，故，則.由面面平行的截面性質可得，，故，此時，故且，故平行四邊形，故，根據(jù)線面平行的判定可知與截面平行，故D正確．
故選：BD
例31．（多選題）（2022·河北衡水·高三階段練習）已知為正方體底面的中心，為棱上動點，，為的中點，則（ ）
A．平面平面
B．過三點的正方體的截面一定為等腰梯形
C．與為異面直線
D．與垂直
【答案】AB
【解析】
連接，易知平面．又平面，所以平面平面，即平面平面，所以A選項正確；
因為，連接，過點作交于點，連接．因為，
所以．又，
且根據(jù)圖形對稱性得，
所以截面必為等腰梯形，所以B選項正確；
因為平面平面，
所以與共面，所以C選項錯誤；
以的正方向分別為軸建立空間直角坐標系，
設正方體的邊長為1，則，
由題設點，則，．又，
所以，則，又，
所以，
因為為的中點，，，
所以，
若，則，整理得．
因為，令，，無解，
故與不垂直，所以D選項錯誤，
故選：AB．
例32．（2022·全國·高三專題練習）正方體的棱長為4，，，用經(jīng)過，，三點的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：如圖所示：
延長交于點，
則，即為中點，
連接，取中點，連接，
則，
，，，四點共面，
，，，
截面如圖所示：
在中，邊上的高，
記邊上的高為，
則，
，
則所截得的截面面積為：.
故選：D.
【方法技巧與總結】
截面問題是平面基本性質的具體應用，先由確定平面的條件確定平面，然后做出該截面，并確定該截面的形狀.
題型三：異面直線的判定
例33．（多選題）（2022·重慶·三模）如圖，在正方體中，為正方形的中心，當點在線段上（不包含端點）運動時，下列直線中一定與直線異面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】對于A，當為的中點時，，故A不正確；

對于B，因為平面，平面，，平面，所以直線與直線一定 是異面直線，故B正確；

對于C，因為平面，平面，，平面，所以直線與直線一定 是異面直線，故C正確；
對于D，因為平面，平面，，平面，所以直線與直線一定 是異面直線，故C正確；
故選：BCD
例34．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學二模（理））如圖，在長方體中，，M、N分別是、的中點.則直線與是（ ）
A．相互垂直的相交直線
B．相互垂直的異面直線
C．相互不垂直的異面直線
D．夾角為60°的異面直線
【答案】B
【解析】設，連接，
因為平面，平面，，
故直線與異面直線.
在矩形中，因為為所在棱的中點，故，
而，故，
故四邊形為平行四邊形，故，所以或其補角為異面直線與所成的角，
在中，，
故，故，
故選：B
例35．（2022·新疆·二模（理））設點為正方形的中心，為平面外一點，為等腰直角三角形，且，若是線段的中點，則（ ）
A．，且直線、是相交直線
B．，且直線、是相交直線
C．，且直線、是異面直線
D．，且直線、是異面直線
【答案】B
【解析】連接，如下圖所示：
由題意，，，，則，
所以，，
因為、分別為、的中點，則，
因為，故四邊形是等腰梯形，
所以，，且直線、是相交直線.
故選：B.
例36．（2022·全國·高三專題練習）已知直線a、b、l和平面、，，，，且．對于以下命題，下列判斷正確的是（ ）
①若a、b異面，則a、b至少有一個與l相交；
②若a、b垂直，則a、b至少有一個與l垂直．
A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題
C．①是假命題，②是假命題D．①是真命題，②是真命題
【答案】D【解析】對于①：倘若a、b都不與交線相交則只有一種可能即a、b均平行于交線，所以當a、b異面時，必有一條直線與交線相交；
對于②：根據(jù)面面垂直的性質定理，若a、b垂直，則至少有，或者，故a、b中至少有一條線垂直于交線.
故選：D
例37．（2022·四川·射洪中學模擬預測（文））“直線與直線沒有公共點”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】直線與直線沒有公共點時，它們可以平行，也可能是異面直線，故“直線與直線沒有公共點”是“”的必要不充分條件，
故選：B
例38．（2022·全國·高三專題練習）學校手工課上同學們分組研究正方體的表面展開圖．某小組得到了如圖所示表面展開圖，則在正方體中，、、、這四條線段所在的直線中，異面直線有（ ）
A．對B．對C．對D．對
【答案】B
【解析】作出正方體的圖形如下圖所示：
則與、與、與是異面直線，共對.
故選：B.
例39．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點，則下列直線中與直線相交的是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【答案】A
【解析】連接，則，
由，可得四邊形為平行四邊形，
∴，，
所以，即四邊形為梯形，
故直線與直線相交，
直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線.
故選：A.
例40．（2022·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面，其中母線，是的中點，是的中點，則（ ）
A．，與是共面直線B．，與是共面直線
C．，與是異而直線D．，與是異面直線
【答案】D【解析】解：由題意，圓柱的軸截面為邊長為2的正方形，
是的中點，是的中點，
所以平面ABC,與平面ABC相交，且與AC無交點，
所以與是異面直線；
又，所以.
故選：D.
例41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）正方體上點P，Q，R，S是其所在棱的中點，則直線PQ與RS異面的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對于A：如圖示 ：
在正方體中，連結，則.
因為點P，Q，R，S是其所在棱的中點，由三角形的中位線定理可得：.
由平行公理可得：.故直線PQ與RS共面.故A錯誤；
對于B：由異面直線的判定定理可以判斷直線PQ與RS異面.故B正確；
對于C：如圖示 ：
在正方體中，連結.則.
因為點P，Q，R，S是其所在棱的中點，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
由三角形的中位線定理可得：.
由平行公理可得：.故直線PQ與RS共面.故C錯誤；
對于D：如圖示 ：
在正方體中，連結.則.
因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為點P，Q，R，S是其所在棱的中點，由三角形的中位線定理可得：.
由平行公理可得：.故直線PQ與RS共面.故D錯誤；
故選：B【方法技巧與總結】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線是異面直線.
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.
題型四：平面的基本性質
例42．（2022·浙江·高三專題練習）如圖所示，點，線，面之間的數(shù)學符號語言關系為（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】由圖可知：，
故選：B
例43．（2022·河南·濮陽市華龍區(qū)高級中學高三開學考試（文））下列命題中正確的是（ ）
A．過三點確定一個平面B．四邊形是平面圖形
C．三條直線兩兩相交則確定一個平面D．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域
【答案】D
【解析】選項A：過不共線的三點有且只有一個平面，故選項A錯誤；
選項B：四邊形可能是平面圖形也可能是空間圖形，故選項B錯誤；
選項C：三條直線兩兩相交可能確定一個平面也可能確定三個平面，故選項C錯誤；
選項D：平面是無限延展的，兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域，故選項D正確.
故選：D.
例44．（2022·江蘇省濱海中學模擬預測）空間中個平面可以把空間最多分成的部分的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】首先：研究條直線最多可將平面分割成多少個部分?（這條直線中，任兩條不平行，任三條不交于同一點），設條直線最多，可將平面分割成個部分，那么當時，易知平面最多可被分為個部分，當時，設條直線條直線將平面分成了個部分，接著當添加上第條直線時，這條直線與前條直線相交有個交點，這的交點將第條直線分割成段，而每一段將它所在的區(qū)域一分為二，從而增加了個K 區(qū)域，故得遞推關系式，即，顯然當時，，當時，我們得到個式子：，，，，，將這個式子相加，得，即條直線最多可將平面分割成個部分。我們來歸納一下解決這個問題的思路：從簡單清新入手確定與的遞推關系，最后得出結論。
現(xiàn)在，我們回到原問題，用剛才的思路來解決空間的問題，設個平面將空間分成個部分，再添加上第個平面，這個平面與前個平面相交有條交線，這條交線，任意三條不共點，任意兩條不平行，因此第個平面就被這第條直線分割成個部分。
而這個部分內(nèi)平面中的每一個都把它所通過的那部分空間分割成兩個較小的空間，所以，添加上這第個平面后，就把原有的空間數(shù)增加了個部分，由此的遞推關系式：，即，當時，我們得到個式子：，，，，，將這和式子相加，得，所以，
所以：個平面最多可將平面分割成個部分，當時，空間內(nèi)個平面最多可將空間分成個部分，
故選：A.
例45．（2022·上海·高三專題練習）空間中三個平面最多可以將空間分為________部分．
【答案】8
【解析】如圖所示，空間中三個平面最多可以將空間分為8部分.
故答案為：8.
例46．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）空間兩個平面最多將空間分成___________部分.（填數(shù)字）
【答案】4
【解析】當兩個平面相交時，可講空間分成最多的部分，分成4部分.
故答案為：4.
例47．（2022·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學高三階段練習（理））設有下列四個命題：
①若點直線a，點平面，則直線平面；②過空間中任意三點有且僅有一個平面；
③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；
④兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)
則上述命題中正確的序號是__________．
【答案】④
【解析】對于①若點直線a，點平面，則直線平面，是錯誤的，
因為直線直線和平面可以相交于點；
對于②過空間中任意三點有且僅有一個平面是錯誤的，
因為當三點共線的時候，能確定無數(shù)平面；
對于③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；是錯誤的，
因為兩條直線還可以是異面的關系；
對于④兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)，是正確的；
直線兩兩相交，可知能確定三個不共線的點，
由課本定理知三個不共線的點可以確定唯一一個平面；
故答案為：④
例48．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，用符號語言可表述為（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】由圖形可知，，，或表示為，.
即A正確.
故選：A
例49．（2022·全國·高三專題練習）下列命題正確的個數(shù)是（ ）
兩兩相交的三條直線可確定一個平面
兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行
過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行
和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線
A．B．C．D．
【答案】D【解析】對于，兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面，故錯誤；
對于，兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面平行或相交，故錯誤；
對于，過平面外一點的直線一定在平面外，且直線與這個平面相交或平行，故正確；
對于，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或相交直線，故錯誤．
正確的命題只有一個．
故選：D
題型五：等角定理
例50．（2022·全國·高三專題練習（理））過正方形的頂點作直線，使得與直線，所成的角均為，則這樣的直線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
由將問題轉化為過點A在空間作直線l，使得與直線，所成的角均為，1條在平面內(nèi)，2條在平面外.
【詳解】
因為，所以作直線，使得與直線，所成的角均為，即過點A在空間作直線l，使得與直線，所成的角均為.
因為，的外角平分線與所成的角相等，均為，所以在平面內(nèi)有一條滿足要求.
因為的角平分線與所成的角相等均為，將角平分線繞點D向上轉動到與面垂直的過程中，存在兩條直線與直線所成的角都等于.
故符合條件的直線有3條.
故選：C
例51．（2022·全國·高三專題練習）已知是兩兩不同的三條直線，下列說法正確的是
A．若直線異面，異面，則異面B．若直線相交，異面，則相交
C．若，則與所成的角相等
D．若，則
【答案】C
【解析】若直線異面，異面，則相交、平行或異面；若相交，相交，則相交、平行或異面；若，則相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．
例52．（2022·全國·高三專題練習）平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，，，則m，n所成角的正切值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，由正方體的性質可知為等邊三角形，
，，，
由面面平行的性質，可得，，
m，n所成角與相等，即m，n所成角為，
則m，n所成角的正切值為.
故選A.
例53．（2022·甘肅·嘉峪關市第一中學三模（文））空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行，且α=60°，則β為（ ）
A．60°B．120°C．30°D．60°或120°
【答案】D
【解析】
【詳解】
試題分析：根據(jù)等角定理，兩個角的兩邊分別對應平行，則兩個角相等或互補，所以為或，故選D.考點：等角定理
例54．（2022·全國·高三課時練習）已知二面角的大小為，為空間中任意一點，則過點且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【詳解】
設是度數(shù)為的二面角的一個平面角，的平分線，當過P的直線與平行時，滿足條件，第二條作與在同一平面內(nèi)且與垂直的直線FC,此時FC與直線FA和直線FB所成角都為65度,將FC向外旋轉,所成角遞減到與棱重合時是0度,在重合之前必有一條與兩面都成25度的直線,第三條:向內(nèi)旋轉得到, 過P的直線與它們分別平行，所以滿足條件共有3條．
例55．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）設和的兩邊分別平行，若，則的大小為___________.
【答案】45°或135°
【解析】根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.
故答案為：45°或135°.
例56．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是_________.
【答案】正方形
【解析】解：連接、，
、、、分別為各邊的中點，
，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，且，
，且，
四邊形是正方形；
故答案為：正方形．
【方法技巧與總結】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【過關測試】
一、單選題
1．（2022·上海·模擬預測）如圖正方體中，分別為棱的中點，連接.空間任意兩點，若線段上不存在點在線段上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為（ ）
A．點PB．點BC．點RD．點Q
【答案】D
【解析】如圖連接，
因為分別為的中點，
所以, ∥，
所以四邊形為平行四邊形，
所以∥,
因為∥，
所以∥，
所以四點共面，所以與相交，所以點與點不可視，所以排除A，
因為∥，
所以共面，
所以由圖可知與相交，與相交，
所以點，點都與點不可視，所以排除BC，
故選：D
2．（2022·四川·石室中學模擬預測（理））如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：
①直線BE與直線CF異面；
②直線BE與直線AF異面；
③直線EF平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】畫出該幾何體，如圖所示，①因為E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，所以EFAD，所以EFBC，直線BE與直線CF是共面直線，故①不正確；
②直線BE與直線AF滿足異面直線的定義，故②正確；③由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，因為EF平面PBC，BC平面PBC，所以直線EF平面PBC，故③正確；
④因為BE與PA的關系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確.
所以正確結論的個數(shù)是2.
故選：B
3．（2022·山西大同·高三階段練習）如圖，在四棱柱中，，，，，M，N分別是棱和的中點，則下列說法中不正確的是（ ）
A．四點共面B．與共面
C．平面D．平面
【答案】B
【解析】連接MN，則因為，M，N分別是棱和的中點，
所以，
因為，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
所以，
所以四點共面，A說法正確；
因為，，，
所以平面，C正確；
連接，因為，，
所以是等邊三角形，
所以，
因為平面，平面，
所以，
因為，所以平面，D說法正確；
若與共面，則共面，故在平面中，
這與題設矛盾，B說法錯誤
故選：B
4．（2022·上海長寧·二模）如圖，已知分別是正方體所在棱的中點，則下列直線中與直線相交的是（ ）．
A．直線 B．直線
C．直線 D．直線．
【答案】A
【解析】如圖，易知，所以，且，所以為梯形，故與EF相交，A正確；
因為，所以，故B錯誤；
因為平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，
所以直線CD與直線EF無公共點，故C錯誤；
因為平面ADF，平面，故AD與EF異面，D錯誤.
故選：A
5．（2022·河南安陽·三模（文））以三棱柱的任意三個頂點為頂點作三角形，從中任選兩個三角形，則這兩個三角形共面的情況有（ ）
A．6種B．12種C．18種D．30種
【答案】C
【解析】兩個三角形共面，則這兩個三角形必須在同一個側面中，每個側面有4個頂點，可以作4個三角形，任選兩個三角形有種選法，三個側面則可以選出對共面的三角形．
故選：C.
6．（2022·全國·高三專題練習）在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】延長交的延長線于，連接交于，
∵平面，平面，平面平面，
∴，故直線即為直線，
取的中點，連接，又點，分別是棱，的中點，
∴，
∴，，
∴，即.
故選：B.
7．（2022·全國·高三專題練習）如果直線平面，，那么過點P且平行于直線a的直線（ ）
A．只有一條，不在平面內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)
C．只有一條，且在平面內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在平面內(nèi)
【答案】C
【解析】過與作一平面，由于
故可設平面與平面的交線為，且 ，
由平面的公理2可知兩平面的交線b是唯一的，
因為直線平面，所以，
即過點P和已知直線a平行的直線有且只有一條，且在平面內(nèi)
故選：．
8．（2022·貴州貴陽·模擬預測（理））已知正方形ABCD中E為AB中點，H為AD中點，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點，，，將沿著BD折起得到空間四邊形，則在翻折過程中，以下說法正確的是（ ）．
A．B．EF與GH相交C．EF與GH異面D．EH與FG異面
【答案】B
【解析】由，，則且
由E為AB中點，H為AD中點，則且
所以且，則四邊形為梯形.
梯形的兩腰延長必交于一點
所以相交， EH與FG平行
故選項A，C，D不正確，選項B正確.
故選：B
9．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在棱長為4的正方體，中，，分別為棱，的中點，過，，三點作正方體的截面，則以點為頂點，以該截面為底面的棱錐的體積為（ ）
A．B．8C．D．
【答案】B【解析】
延長交于點，連接交于，則平面為所求截面，
故，
故選：B.
10．（2022·全國·高三專題練習）已知長方體中，，點在線段上，平面過線段的中點以及點、，現(xiàn)有如下說法：
（1），使得；
（2）若，則平面截長方體所得截面為平行四邊形；
（3）若，，則平面截長方體所得截面的面積為
以上說法正確的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則、、，
，，
若，則，解得，
（1）正確；
對于（2），在棱找點，由面面平行的性質可知，設點，
，，
因為，可設，則，則，則，
當時，，此時點在棱上，且有，
故四邊形為平行四邊形，（2）正確；
對于（3），設截面交棱于點，連接、，
因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
由圖可知，，則，故，
所以，點為的中點，則、、、，
可求得，，，，
取的中點，連接，則，且，
，
，故，故，
所以，截面面積為，（3）正確.
故選：D.11．（2022·全國·高三專題練習）用平面截棱長為1的正方體，所得的截面的周長記為，則當平面經(jīng)過正方體的某條體對角線時，的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：假設截面α過體對角線BD1，(過其他體對角線結論一樣)
如圖所示，
因為一平面與兩平行平面相交，交線平行，
∴，且，
故四邊形為平行四邊形，
∴，
設，則，
∴，
記
其幾何意義可以看成x軸上的點，其中到定點和的距離之和，如圖示：
顯然，當M經(jīng)過點時，P、M、Q三點共線，距離之和最小，此時
最小，.
所以
故選：D.
二、多選題
12．（2022·廣東惠州·高三階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，則（ ）
A．M，N，B，四點共面
B．異面直線與MN所成角的余弦值為
C．平面BMN截正方體所得截面為等腰梯形
D．三棱錐的體積為
【答案】BCD
【解析】對于A，易知MN與為異面直線，所以M，N，B，不可能四點共面，故A錯誤；
對于B，連接，CP，易得，所以為異面直線與MN所成角，設，則，
所以，
所以異面直線與MN所成角的余弦值為，故B正確；
對于C，連接，，易得，
所以平面BMN截正方體所得截面為梯形，故C正確；
對于D，易得，因為平面MNB，平面MNB，
所以平面MNB，
所以，故D正確.
故選：BCD
13．（2022·全國·模擬預測）如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則（ ）
A．，，三條直線不可能交于一點，平面平面
B．，，三條直線一定交于一點，平面平面
C．直線與直線異面，平面平面
D．直線與直線相交，平面平面【答案】BC
【解析】在正方體中，平面，
則.又，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
因為，分別為，的中點，所以，
，，，
，，所以多面體為三棱臺，
所以，，三條直線一定交于一點，故A錯誤，B正確；
由題意知與相交，所以與異面，
因為平面，平面，
所以平面平面，又平面與平面不平行，
所以平面與平面不垂直，故C正確，D錯誤.
故選：BC.
14．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點（不與各邊的端點重合），且AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.則下列結論正確的是（ ）
A．E，F(xiàn)，G，H一定共面
B．若直線EF與GH有交點，則交點一定在直線AC上
C．AC∥平面EFGH
D．當m=n時，四邊形EFGH的面積有最大值6
【答案】ABD
【解析】因為，則，又，則.
所以，即四點共面，A正確；
因為，所以，同理.
當時又，此時四邊形EFGH為梯形，即直線EF與GH有交點，
交點在面ABC內(nèi)，又在面ADC內(nèi)，而面面，所以直線EF與GH的交點在直線AC上，B正確，C錯誤；
因為及得：，四邊形EPGH為平行四邊形，
又，所以，故平行四邊形EFGH為矩形.
設，因為，所以，而，
所以，
所以，則矩形EFGH的面積，可得，D正確.
故選：ABD
15．（2022·全國·模擬預測）在正方體中，下列說法正確的是（ ）
A．若，，分別為，，的中點，則與平面平行
B．若平面，正方體的棱長為2，則截此正方體所得截面的面積最大值為
C．點在線段上運動，則三棱錐的體積不變
D．是的中點，直線交平面于點，則，，三點共線
【答案】ACD
【解析】解：對于選項A，連接，則，連接，，，，，四點共面，且，
∴平面，故選項A正確；
對于選項B，如圖截得正六邊形，截面面積最大，，，
，∴截面面積，故選項B錯誤；
對于選項C，．∵點到平面的距離不變，且的面積不變，∴三棱錐的體積不變，故選項C正確；
對于選項D，連接，．∵，∴，，，四點共面，∴平面．
∵，∴平面．又平面，∴在平面與平面的交線上．同理可得在平面與平面的交線上，∴，，三點共線，故選項D正確．

故選：ACD．
三、填空題
16．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，平面平面，所在的平面與，分別交于和，若，，，則______．
【答案】
【解析】由題意，平面平面，所在的平面與，分別交于和，
根據(jù)面面平行的性質，可得，所以，
因為，，，所以.故答案為：.
17．（2022·浙江·高三專題練習）如圖，在邊長為的正方體中，、分別為棱、的中點，則平面截該正方體所得截面的面積為__________.
【答案】
【解析】連接、、，如下圖所示：
在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，
所以，，
、分別為、的中點，則且，，
因為平面平面，平面平面，設平面平面，則，
因為為平面與平面的一個公共點，且，，故直線與直線重合，
且，故梯形為截面截正方體所得截面，
過點、在平面內(nèi)作，，垂足點分別為、，
因為，同理可得，則梯形為等腰梯形，
因為，，，則，
所以，，在平面內(nèi)，，，，則，故四邊形為矩形，
所以，，則，，
因此，截面面積為.
故答案為：.
18．（2022·全國·高三專題練習（理））下列說法正確的是______.
①平面的厚度是；
②經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面；
③兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面；
④經(jīng)過三點確定一個平面.
【答案】③
【解析】對于①，由于平面是可以無限延伸的，故①說法錯誤.對于②，這個必須在直線外，故②判斷錯誤.對于③，由于三個交點各不相同，根據(jù)公理2可知，③說法正確.對于④，這三個點必須不在同一條直線上，故④判斷錯誤.故本小題答案為：③.
19．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）空間不共線的四點，可能確定___________個平面．
【答案】或
【解析】
【詳解】
空間四點中，任意三點都不共線時，可確定個平面，當四點共面時，可確定個平面，故空間不共線四點，可確定個或個平面．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知正方體的棱長為，點分別為棱的中點，則下列結論中正確的序號是___________.
①過三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；
②平面；
③平面；④四面體的體積等于
【答案】①③
【解析】延長，分別交的延長線交于，連接交于，設與的延長線交于，連接交于，交于，連接，則截面六邊形為正六邊形，故①正確；
與相交，故與平面相交，故②錯誤；
因為正方體中，平面，所以，因為，,所以平面，所以，同理可得，因為，所以平面，故③正確；
四面體的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，即為，故④錯誤.
故答案為：①③.
21．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））已知正方體的長為2，直線平面，下列有關平面截此正方體所得截面的結論中，說法正確的序號為______．
①截面形狀一定是等邊三角形：
②截面形狀可能為五邊形；
③截面面積的最大值為，最小值為；
④存在唯一截面，使得正方體的體積被分成相等的兩部分．
【答案】④
【解析】如圖可知，截面形狀可以是等邊三角形、六邊形、正六邊形，
∴①②明顯錯誤；
截面面積的最小值可以趨向于零，故③錯誤；
當截面為正六邊形時，截面過正方體的中心，此時正方體的體積被分成相等的兩部分．
故④正確.
故答案為：④
22．（2022·全國·高三專題練習）在平行六面體的所有棱中，既與共面，又與共面的棱的條數(shù)為___________.
【答案】5
【解析】解：如圖，滿足條件的有，，，，，
故答案為：5.
23．（2022·上海·高三專題練習）已知，，則與的位置關系是__________.
【答案】平行或異面或相交或重合
【解析】由題設可得如下四種情況：
∴與的位置關系是平行、異面、相交、重合都有可能.
故答案為：平行或異面或相交或重合

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