1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題30 直線、平面平行的判定與性質(zhì)
【考點預(yù)測】
知識點一：直線和平面平行
1．定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
3．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
知識點二：兩個平面平行
1．定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言
圖形語言
符號語言
線∥線線∥面
如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面
如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面
文字語言
圖形語言
符號語言
線∥面線∥線
如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
文字語言
圖形語言
符號語言
3．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
【方法技巧與總結(jié)】
線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．
判定定理線∥面面∥面
如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面
如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行
∥
文字語言
圖形語言
符號語言
面//面
線//面
如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面
線面
如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
【題型歸納目錄】
題型一：平行的判定
題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行
題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
題型六：面面平行的證明
題型七：面面平行的性質(zhì)
【典例例題】
題型一：平行的判定
例1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，，，則
例2．（2022·上海靜安·二模）在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（ ）．（1）、都垂直于平面r，那么∥．
（2）、都平行于平面r，那么∥．
（3）、都垂直于直線l，那么∥．
（4）如果l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0B．1C．2D．3
例3．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））如圖，在下列四個正方體中，、為正方體的兩個頂點，、、為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線不平行于平面的是（ ）
A．B．
C．D．
例4．（2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測）已知是不全平行的直線，是不同的平面，則下列能夠得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是空間兩個不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說法中正確的是（ ）
A．，則
B．，，則
C．平面內(nèi)的不共線三點到平面β的距離相等，則與平行
D．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行
例6．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在正方形中，M，N分別是，的中點，則直線AM與平面BND的位置關(guān)系是（ ）．
A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．無法確定
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三條直線a，b，c和兩個平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【方法技巧與總結(jié)】
排除法：畫一個正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進行排除．
題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
例8．（2022·山西呂梁·三模（文））如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側(cè)面是矩形，為的中點，．
（1）證明：平面；
（2）求三棱錐的體積．
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，O，M分別為AB，VA的中點．求證：平面MOC．
例10．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，是棱上一點．
若，求證：平面．
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面，且，若、分別為、的中點，求證：側(cè)面；
例12．（2022·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點M，N分別為和的重心．
證明：∥平面；
又平面，平面，
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．
證明：平面；
【方法技巧與總結(jié)】
（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；
（3）此時剛好經(jīng)過點（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點，連接，如圖三；
（4）此時長度有長有短，連接并延長剛好交于一點，剛好構(gòu)成型模型（為中點，則也為中點，若為等分點，則也為對應(yīng)等分點），，如圖四．
圖一圖二圖三圖四
題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
例14．（2022·河南開封·模擬預(yù)測（理））如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．
證明；平面；
例15．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點E為棱BC的中點．
求證：平面；
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點分別為線段的中點．
證明：平面；
例17．（2022·全國·模擬預(yù)測）在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點．
求證：平面；
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，，，．求證：平面；
例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，P在以AD為直徑的圓O上，平面平面PAD．設(shè)點Q是AP的中點，求證：BQ平面PCD；
例20．（2022·江蘇·礦大附中高三階段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點．
求證：平面；
例21．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)一模（文））如圖，在四棱錐中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等邊的中線．
證明：平面．
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
（1）證明：平面；
（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置，如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；
（3）此時剛好經(jīng)過點（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點O，連接， 如圖三；
（4）此時長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構(gòu)成平行四邊形型模型（為中點，O也為中點，為三角形中位線），，如圖四．
圖一 圖二 圖三 圖四
題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．
求證：平面；
例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F(xiàn)分別為，的中點．
證明：面ABCD；
例25．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．
當(dāng)為多少時，直線平面？
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且分別為的中點，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接

證明：平面；
例27．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．
是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別是上的點，H是的中點，與交于點O，．
求證：平面；
例29．（2022·河北·高三專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點．且，求：
（1）正四棱錐的表面積；
（2）側(cè)棱上是否存在一點E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，、、都是圓柱的母線．
求證：平面；
【方法技巧與總結(jié)】本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行
題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
例31．（2022·福建·三模）如圖，在三棱錐中，和均是邊長為4的等邊三角形．是棱上的點， ，過的平面與直線垂直，且平面平面．
在圖中畫出，寫出畫法并說明理由；
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是直角梯形，，底面，過的平面交于，交于（與不重合）．求證：；
例33．（2022·山東青島·二模）如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．
設(shè)平面平面，證明：；
例34．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（理））正方體中，點在棱上，過點作平面的平行平面，記平面與平面的交線為，則與所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，己知三棱錐中，為正三角形，，D，E分別為，的中點，經(jīng)過的平面與分別交于點G，F(xiàn)，且．求證：四邊形是平行四邊形；
例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)） 如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是，的中點．
記平面與平面的交線為，求證：直線平面；
例37．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為直線．
證明：∥平面；
例38．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點．
若平面，求的值；
【方法技巧與總結(jié)】
如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
題型六：面面平行的證明
例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．
證明：平面BMN∥平面PCD；
例40．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點，分別是棱，的中點．求證：平面平面．
例41．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點．
證明：平面平面；
例42．（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點．
求證：平面平面BDF；
【方法技巧與總結(jié)】
常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時垂直于這兩個平面．證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行．
題型七：面面平行的性質(zhì)
例43．（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)（理））四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，底面，，，分別是，的中點．
已知，若平面平面，求的值；
例44．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（文））在長方體中，，P為的中點．
已知過點的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點M，N，請確定點M，N的位置；
例45．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））如圖，在直棱柱中，點E，F(xiàn)分別為，BC的中點，點G是線段AF上的動點．
確定點G的位置，使得平面平面，并給予證明；
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，點E，F(xiàn)分別為，BC的中點，點G是線段AF上的動點．確定點G的位置，使得平面平面，并給予證明
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，則n∥αB．若m∥α，α∥β，則m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，則m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知長方體中，，，，分別為棱和的中點，為長方體表面上任意一點．若平面，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．6
3．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））若，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，則下列4個推斷中正確的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，，D．，，
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））下列四個命題，真命題的個數(shù)為（ ）
（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；
（2）過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；
（3）平行于同一個平面的兩條直線平行；
（4）a與b為空間中的兩條異面直線，點A不在直線a，b上，則過點A有且僅有一個平面與直線a，b都平行．
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·廣東廣州·三模）一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形為正方形，分別為的中點，在此幾何體中，下面結(jié)論錯誤的是（ ）
A．直線與直線異面
B．直線與直線異面
C．直線平面
D．直線平面
6．（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有（ ）
A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條
8．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點D，與BC交于點E，該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正四面體A－BCD中，，點O為的重心，過點O的截面平行于AB和CD，分別交BC，BD，AD，AC于E，F(xiàn)，G，H，則 （ ）
A．四邊形EFGH的周長為8
B．四邊形EFGH的面積為2
C．直線AB和平面EFGH的距離為
D．直線AC與平面EFGH所成的角為
11．（2022·河北石家莊·高三階段練習(xí)）已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，則（ ）
A．
B．
C．與相交，且交線平行于l
D．與相交，且交線垂直于l
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在，使得
B．對任意的，都有
C．對任意的，都有平面
D．當(dāng)時，直線與平面所成角的正切值為
三、填空題
13．（2022·安徽省含山中學(xué)三模（文））三棱錐中，，過線段中點E作平面與直線、都平行，且分別交、、于F、G、H，則四邊形的周長為_________．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖所示，為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，為上一點，若平面，則_______
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x（0

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