1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題33 直線的方程
【考點預(yù)測】
知識點一：直線的傾斜角和斜率
1．直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2．直線的斜率
設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當(dāng)時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關(guān)系
當(dāng)時，直線平行于軸或與軸重合；
當(dāng)時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當(dāng)時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；
3．過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān)．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4．三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
知識點二：直線的方程1．直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2．直線方程的五種形式
3．求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）
4．線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．
5．兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
【題型歸納目錄】
題型一：傾斜角與斜率的計算
題型二：三點共線問題
題型三：過定點的直線與線段相交問題名稱
方程
適用范圍
點斜式
不含垂直于軸的直線
斜截式
不含垂直于軸的直線
兩點式
不含直線和直線
截距式
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用
題型四：直線的方程
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題
題型六：兩直線的夾角問題
題型七：直線過定點問題
題型八：軌跡方程
題型九：中點公式
【典例例題】
題型一：傾斜角與斜率的計算
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍．
【解析】由題意，當(dāng)時，傾斜角，
當(dāng)時，，即傾斜角為銳角；
綜上得：．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點的直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】過A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為，
故選：A．
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且為第二象限角，則角的終邊落在直線（ ）上.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由為第二象限角可得，則，
則角的終邊落在直線即上.
故選：B.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由斜率的定義可知，.
故選：A．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若一次函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的斜率為即
故選：D．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為直線的斜率為，且，
，因為，
.
故選：A.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由直線的方程為，
所以，
即直線的斜率，由.
所以 ，又直線的傾斜角的取值范圍為，
由正切函數(shù)的性質(zhì)可得：直線的傾斜角為.
故選：B
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的方程是傾斜角為.若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直線的方程是傾斜角為，
當(dāng)時，直線的斜率不存在，則；
當(dāng)時，.
若，則，求得；
若，則，求得.
綜上可得，的取值范圍為.
故選：B.
例9．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個命題中，錯誤的有（ ）A．若直線的傾斜角為，則
B．直線的傾斜角的取值范圍為
C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
【答案】ACD
【解析】因為直線的傾斜角的取值范圍是，即，所以，
當(dāng)時直線的斜率，故A、C均錯誤；B正確；
對于D：若直線的斜率，此時直線的傾斜角為，故D錯誤；
故選：ACD
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，兩點，則直線l的斜率為______；若，則直線l的傾斜角的取值范圍為______．
【答案】 或.
【解析】由題易知直線l的斜率存在，故.
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以或，即直線l的傾斜角的取值范圍是或.
故答案為：；或.
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角為α，則sin2α的值為___________.
【答案】
【解析】由題可知，，
則.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當(dāng)時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認識．
題型二：三點共線問題
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若三點共線，則a的值為_________．
【答案】
【解析】由三點共線
故
故答案為：.
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，三點共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于、、三點共線，
則，即，解得.
故選：A.
例14．（2022·北京·高三期末）已知、、三點共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用可得出關(guān)于的等式，由此可求得實數(shù)的值.
【詳解】
由于、、三點共線，則，即，解得.
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】
斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．
題型三：過定點的直線與線段相交問題
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，求直線l的傾斜角和斜率k的取值范圍．
【解析】因為，，由與線段相交，
所以，
所以或，
由于在及均為增函數(shù)，
所以直線的傾斜角的范圍為：.
故傾斜角的范圍為，斜率k的范圍是.
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直線方程變形得：.
由得，∴直線恒過點，
，，
由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，
又，
∴或，即或，
又時直線的方程為，仍與線段相交，∴的取值范圍為.
故選：C.
例17．（2022·陜西·西安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知點在直線上，且滿足，則的取值范圍為_______．
【答案】
【解析】如圖，作出直線及，它們的交點為，
直線上滿足的點在點右下方，
，又直線的斜率為，，
由圖可得的范圍是．
故答案為：．
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是 ________．
【答案】[1，2]
【解析】設(shè)，則可以看成過點與坐標原點的直線的斜率.
當(dāng)點在線段上由點運動到點時，直線的斜率由增大到，如圖所示.
又，，所以，即的取值范圍是[1，2].
故答案為：[1，2]
例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為點在函數(shù)的圖象上，所以時， ；當(dāng)時，；
故設(shè)
而可看作函數(shù)的圖象上的點與點 （-1，-2）連線的斜率，
故時，,
而 ,所以
故選：B.
例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】如下圖示，
當(dāng)直線過A時，，
當(dāng)直線過B時，，
由圖知：或.
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時，在與的兩邊．
題型四：直線的方程例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個命題中真命題有_________個．
①經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示；
②經(jīng)過任意兩點的直線都可以用方程表示；
③不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示；
④經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示．
【答案】1
【解析】①由于直線過定點，當(dāng)直線斜率存在時，可用方程表示，
當(dāng)直線斜率不存在時，方程是，①不正確；
②當(dāng)時，經(jīng)過任意兩個不同的點的直線方程是，滿足方程，
當(dāng)時，經(jīng)過任意兩個不同的點的直線的斜率是，
則直線方程是，整理得，②正確；
③當(dāng)直線斜率不存在時，不經(jīng)過原點的直線方程是，不可以用方程表示，
當(dāng)直線的斜率存在時，不經(jīng)過原點的直線可以用方程表示，③不正確；
④當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)過點的直線方程是，不可以用方程表示，
當(dāng)直線的斜率存在時，經(jīng)過點的直線可以用方程表示，④不正確，
所以給定的4個命題中，真命題只有1個.
故答案為：1
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線l過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為______條．
【答案】3
【解析】當(dāng)坐標軸截距為0時，設(shè)方程為，
將代入得：，所以方程為；
當(dāng)坐標軸截距不為0時，設(shè)方程為，
則有，解得：，或，
從而方程為或
所以滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為3條.故答案為：3
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.
故選：C.
例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過兩點和的直線在y軸上的截距為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可知直線方程為：，即，
令x=0，則，故直線在y軸上的截距為.
故選：C.
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直線的兩點式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
例26．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】把坐標代入兩條直線和,得
,,
,
過點,的直線的方程是：,
,則,
,,所求直線方程為：．
故選 ：A.
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
【答案】D
【解析】當(dāng)時，直線，此時不符合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；
當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.
由，解得：.
故的值是2或1.
故選：D
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點且與兩坐標軸上的截距相等的直線共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】B
【解析】①當(dāng)直線的兩坐標軸上的截距為0時，設(shè)直線方程為，由題意有，則，∴直線方程為滿足條件；
②當(dāng)直線的兩坐標軸上的截距不為0時，設(shè)的方程為．把點代入直線方程得．解得，從而直線方程為.
故滿足條件的直線方程為和．
故選：B．
例29．（2022·北京西城·高三階段練習(xí)（理））已知直線不通過第一象限，則實數(shù)的取值范圍__________．
【答案】
【解析】
由題意得直線恒過定點，且斜率為，
∵直線不通過第一象限，
∴，解得，
故實數(shù)的取值范圍是．答案：
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線l的方程中，，，則此直線必不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【解析】由，，，
知直線斜率，在軸上截距為，
所以此直線必不經(jīng)過第三象限.
故選：C
例31．（2022·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因為直線經(jīng)過第一、二、四象限，則該直線的斜率，可得，
該直線在軸上的截距，可得.
故選：C.
例32．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】當(dāng)截距為0時，過點和原點，直線方程為，即，
當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為，可得，
∴，所以直線方程為,
故選：AC.
例33．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點，并且在兩軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．【答案】AB
【解析】若直線過原點，則直線的方程為，
將點代入得，所以直線方程為，即；
若直線不過原點，根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，
將點代入得，故直線的方程為；
所以直線的方程為：或．
故選：AB．
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題
例35．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，直線與坐標軸分別交于點，，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有一條
B．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有二條
C．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有三條
D．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有四條
【答案】A
【解析】由題意，直線與軸、軸交點分別為，，
∴，作出其圖象如圖所示，

由圖知，當(dāng)時，有兩解；當(dāng)時，有三解；當(dāng)時，有四解.
故選：A
例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直線可變?yōu)?，所以過定點，又因為直線在兩坐標軸上的截距都是正值，可知，
令，所以直線與軸的交點為，
令，所以直線與軸的交點為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以此時直線為：.
故選：C.
例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點P(4，3)，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O為坐標原點.
（1）若點O到直線l的距離為4，求直線l的方程；
（2）求△OAB面積的最小值.
【解析】】（1）由題意可設(shè)直線的方程為，即，
則，解得．
故直線的方程為，即；
（2）直線的方程為，，，依題意，解得，
則的面積為．
則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．
故面積的最小值為．
例38．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點、，設(shè)過點的直線l與的邊AB交于點M（其中點M異于A、B兩點），與邊OB交于N（其中點N異于O、B兩點），若設(shè)直線l的斜率為k．
(1)試用k來表示點M和N的坐標；
(2)求的面積S關(guān)于直線l的斜率k的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)k為何值時，S取得最大值？并求此最大值．
【解析】(1)由已知得直線l斜率存在，設(shè)．
由，得；又，所以.
由，得．
(2).
(3)設(shè)，則．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
例39．（2022·湖北孝感·高二期中）已知直線的方程為點的坐標為.
(1)證明：直線一定經(jīng)過第一象限；
(2)設(shè)直線與軸?軸分別交于，兩點，當(dāng)點到直線的距離取得最大值時，求的面積.
【解析】(1)直線：，整理可得：，
∴直線恒過和的交點，即直線恒過定點在第一象限，
∴直線一定經(jīng)過第一象限；
(2)由（1）可得：直線恒過定點，
當(dāng)與垂直時，到直線的距離最大，為，又，故直線的斜率為，即，可得，
直線的方程為：，
令得：；令得：，即，，
∴，
∴.
例40．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)直線的方程為．
(1)若在兩坐標軸上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，求為坐標原點）面積的最小值．
【解析】(1)對于直線的方程為，
當(dāng)直線經(jīng)過原點時，，求得，此時它的方程為；
當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，它的方程即，由于它兩坐標軸上的截距相等，
故有，求得，它的方程為，
綜上可得，的一般式方程為，或．
(2)因為，令，則，令，則，所以，，
與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，
的橫坐標，的縱坐標，求得．
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故為坐標原點）面積的最小值為6．
例41．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線，相交于點，其中.
（1）求證：、分別過定點、，并求點、的坐標；
（2）求的面積；
（3）問為何值時，最大？
【解析】（1）在直線的方程中令可得，則直線過定點，
在直線的方程中令可得，則直線過定點；（2）聯(lián)立直線、的方程，解得，即點.
，
，
，所以，；
（3）且，因此，當(dāng)時，取得最大值，即.
例42．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二期中）已知，為實數(shù)，過原點分別作直線，的垂線，垂足分別為， .
（1）若，且直線與軸、軸交于,兩點，當(dāng)面積最小時，求實數(shù)的值；
（2）若直線過點，設(shè)直線與的交點為，求證：點在一條直線上.
【解析】（1）
直線，
令，
令，
，
，
當(dāng)時，，
面積最小時，實數(shù)的值為；
（2）原點的直線距離為，
同理原點的直線距離為，所以為圓的切線，為切點，直線過點，且直線與相交于，
不在軸上，設(shè)，
所以直線化為，整理得，
同理方程為，設(shè)與的交點為，
所以有，
所以直線方程為，且過點，
，即點在直線上.
例43．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
【解析】(1)因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，
所以直線l的傾斜角為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即；
(2)設(shè)，，直線l的方程為，代入點可得，
若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即；
若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，即面積最小為4，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即.
例44．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過點.
(1)若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若直線與x，y軸分別交于A，B兩點且斜率為負，O為坐標原點，求的最小值.
【解析】(1)當(dāng)直線過原點時，
則直線的方程為在兩坐標軸上的截距相等；
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線l的方程為，
將點代入得，解得，
所以直線的方程為，
綜上所述直線的方程為或；
(2)設(shè)直線的方程為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
例45．（2022·全國·高二）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．
(1)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；
(2)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．
【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為,則,
直線l過點,,
又(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號),
,即,
的最小值為8,此時直線l的截距式方程為.
(2)由（1）可知,,則,
(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號).
的最小值為4,此時直線l的截距式方程為.
例46．（2022·浙江·紹興一中高二期中）如圖，過點的直線l交x軸，y軸正半軸于A?B兩點，求使：
(1)面積最小時l的方程；
(2)最小時l的方程.
【解析】(1)設(shè)直線的方程為，
直線過點，
．
，
．．
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取最小值4，
此時直線的方程為，即．
(2)由，得，
變形得，
．當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時，取最小值4．
此時直線的方程為．
例47．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中）直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.
(1)當(dāng)面積最小時，求直線l的方程；
(2)求的最小值及此時直線l的方程.
【解析】(1)設(shè)直線，且
∵直線過點
則
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
所以的最小值為，
直線1即.
(2)由
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
∴此時直線,
故的最小值為9，此時直線l的方程.
例48．（2022·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知直線：．
（1）求經(jīng)過的定點坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②當(dāng)取最小值時，求直線的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以經(jīng)過的定點坐標；
（2）直線：，令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，的最小值為，
此時直線的方程為：即；
②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，
所以，
令，
因為，可得，，
，
將兩邊平方可得：，
所以，
所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以
，所以，此時，
可得，所以，
所以直線的方程為.【方法技巧與總結(jié)】
（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．
（2）在求直線方程時，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．
題型六：兩直線的夾角問題
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與的夾角為________．
【答案】
【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，
直線的斜率，即傾斜角滿足，
所以，
所以，
又兩直線夾角的范圍為，
所以兩直線夾角為，
故答案為：.
例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為___________.
【答案】3
【解析】直線的斜率，直線的斜率，
設(shè)底邊所在直線為，
由題意，與的夾角等于與的夾角，
于是有，即，
化簡得，解得或，因為原點在等腰三角形的底邊上，所以.
故答案為：3.
例51．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是________．
【答案】
【解析】因為直線的傾斜角為，的傾斜角為，且
由解得兩直線的交點坐標為，所以可設(shè)兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
∴，解得，即兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
故答案為：．
例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，，若直線l過且與直線m?n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線的斜率為，
直線，，兩直線相交于點，設(shè)，
點在直線上，直線與直線相交于點，
為等腰銳角三角形，
則，則，
故必為頂點，必有
則有，
必有，解可得：或，
則，
故選：．
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，則斜邊所在直線的斜率為（ ）
A．或2B．或3C．或4D．或5
【答案】C
【解析】因為等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，即，
設(shè)其傾斜角為，則，
因為斜邊與直角邊的傾斜角相差45°，則斜邊的傾斜角為或，
所以，
，
所以斜邊所在直線的斜率為或4．
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
若直線與直線的夾角為，則.
題型七：直線過定點問題
例54．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）直線經(jīng)過的定點坐標是______．
【答案】
【解析】把直線的方程改寫成：，由方程組，解得：，所以直線總過定點，
故答案為：
例55．（2022·上海市中國中學(xué)高三期中）動直線，恒過的定點是________
【答案】
【解析】∵，
∴
∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點（2，2）．
故答案為：．
例56．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)m，n滿足，則直線必過定點________________．
【答案】
【解析】由已知得，
代入直線得，
即，
由，解得，
直線必過定點，
故答案為:.
例57．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）對任意的實數(shù)，，直線恒經(jīng)過的一個定點的坐標是________．
【答案】
【解析】由直線整理得
對任意的實數(shù)，，直線恒經(jīng)過的一個定點.
所以，解得
由點代入直線，
滿足
所以點在直線上，即直線恒過定點
故答案為:
例58．（2022·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線恒過定點A，點A在直線上，其中m、n均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【解析】由，得．
∴直線恒過定點，即，
∵點A在直線上，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．∴的最小值為：8．
故選:C．
例59．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模（理））已知向量，，且.若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為，故，整理得到：，
故定點為：.
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
合并參數(shù)
題型八：軌跡方程
例60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，動點M與A，B兩點連線的斜率分別為、，若，求動點M的軌跡方程
【解析】設(shè)，則，，又，
∴，
當(dāng)，且時，恒成立；當(dāng)時，；綜上，M的軌跡方程為(且)或().
例61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作兩條互相垂直的直線，若交軸于點，交軸于點，求線段的中點的軌跡方程.
【解析】設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形，
化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程.
綜上可知，點M的軌跡方程為x＋2y－5＝0.
例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是坐標原點，.若點滿足，其中，且，求點的軌跡方程.
【解析】設(shè)，則，，
即，解得
即
例63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線＝1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是________．
【答案】x＋y＝1(x≠0，x≠1)
【解析】
【詳解】直線＋＝1與x，y軸的交點為A(a,0)，B(0,2－a)，
設(shè)AB的中點為M(x，y)，
則x＝，y＝1－，
消去a，得x＋y＝1．
∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．
例64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，設(shè)三角形ABC的頂點坐標分別為，點在線段OA上（異于端點），設(shè)均為非零實數(shù)，直線分別交于點E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．
【答案】
【解析】由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點F滿足此方程，又原點O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程．
例65．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直角坐標系中，已知兩點，，點滿足，其中，且．則點的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，且λ+μ＝1，
得，
∴，即，則C、A、B三點共線．
設(shè)C（x，y），則C在AB所在的直線上，
∵A（2，1），B（4，5），
∴AB所在直線方程為 ，整理得：．
故的軌跡方程為：．
故選：A
【方法技巧與總結(jié)】
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）題型九：中點公式
例66．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_________．
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】
設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，求得關(guān)于的對稱點坐標，利用對稱點在直線上求得，即得點坐標，從而得直線方程．
【詳解】
設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
故答案為：x＋4y－4＝0.
例67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.
【解析】設(shè)l1與l的交點為A(a，8-2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即點A(4，0)在直線l上，
∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.
例68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線 ：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.
【解析】
則直線過定點
設(shè)直線與直線交于點，與軸交于點，依題意為中點
在中令，則，即所以，
即，將其代入直線中可得
解之得
【方法技巧與總結(jié)】
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.
直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故選:D.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】A
【解析】直線的傾斜角為，
所以直線的斜率為，因為，
則.
故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過點，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】B
【解析】由題，，直線的傾斜角為，故
故選：B
4．（2022·上海市實驗學(xué)校模擬預(yù)測）已知點與點在直線的兩側(cè)，給出以下結(jié)論：
①；
②當(dāng)時，有最小值，無最大值；
③；
④當(dāng)且時，的取值范圍是.
正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】將代入有，
而與在的兩側(cè)，則，①錯誤；
由上知：且，則在直線上方與y軸右側(cè)部分，
所以，故無最值，②錯誤；
由上圖知：在直線左上方，則，③正確；
由過且且，即在直線上方與y軸右側(cè)部分，
而表示與連線的斜率，由圖知：，④正確.故選：B
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，三個數(shù)成等差數(shù)列，直線恒過定點，且在直線上，其中，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】易知，則，整理得，由解得，
則，則，即，又，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，故的最小值為.
故選：B.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過點，且軸正半軸?軸正半軸交于兩點，當(dāng)面積最小時，直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，直線不與軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為， 則，
因此，直線，
令則有，則，
令則有，則.
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等（舍去），
故面積最小值為4，此時，即.
故選：C.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，，則的取值范圍是（ ）
A．B．且
C．且D．且且
【答案】C
【解析】集合表示直線上去掉點所構(gòu)成的兩條射線，
在方程中，令可得，
集合表示過定點且斜率存在的直線，
由得兩直線斜率不同，則，解得．
故選：C.
8．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知直線過定點，直線過定點，與的交點為，則面積的最大值為（ ）
A．B．
C．5D．10
【答案】C
【解析】由直線的方程是得直線過定點，同理直線方程為，即，所以定點，
又，所以，即在以為直徑的圓上，
，由圓的性質(zhì)知點到的距離最大值等于圓半徑，即，
所以面積的最大值為．
故選：C．
二、多選題
9．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）設(shè)直線系：，則下面四個命題正確的是（ ）
A．直線系中包含傾斜角為和的直線B．點到直線系中的所有直線的距離恒為定值
C．直線系中能構(gòu)成三角形的任意三條直線所圍成的三角形面積都相等
D．存在點不在直線系中的任意一條直線上
【答案】ABD
【解析】當(dāng)時，直線系：，傾斜角為；當(dāng)時，直線系：，傾斜角為，故A正確；
點到直線系中的所有直線的距離為，故B正確；
因為點到直線系中的所有直線的距離恒為定值1，
所以直線系中的所有直線均為圓的切線，
取其中4條直線分別為，，，
如圖所示，直線所圍成的與的面積不相等，故C錯；
存在點不在直線系中的任意一條直線上，D正確．
故選：ABD
10．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知兩點，，曲線C上存在點P滿足，則曲線的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
由，知點一定在AB的垂直平分線上，
，
因為線段AB的中點坐標為，
所以的方程為.
則滿足條件的曲線要與有交點.
與平行，故無交點，選項A錯誤；
是圓心為，半徑的圓，圓心到直線的距離為，故直線與圓相交，故B正確；
把直線與雙曲線進行聯(lián)立，，得，，
所以與雙曲線存在交點.故選項C正確；
將直線的方程代入，得，方程無實數(shù)解.
故拋物線與直線無交點.故選項D錯誤；
故選：BC.
11．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知直線的方程為，則下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)變化時，直線始終經(jīng)過第二、第三象限
B．當(dāng)變化時，直線恒過一個定點
C．當(dāng)變化時，直線始終與拋物線相切
D．當(dāng)在內(nèi)變化時，直線可取遍第一象限內(nèi)所有點
【答案】AC【解析】由題斜率時，軸截距，此時直線經(jīng)過第一、第二、第三象限；
斜率時，軸截距，此時直線經(jīng)過第二、第三、第四象限；故A正確；
當(dāng)變化時，直線顯然不恒過一個定點，故B錯誤；
聯(lián)立方程，可得，所以，所以直線與拋物線只有一個交點，
又，所以當(dāng)變化時，直線始終與拋物線相切，故C正確；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)在內(nèi)變化時，直線不可以取遍第一象限內(nèi)所有點，故D錯誤．
故選：AC.
12．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高三階段練習(xí)）以下命題正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角為，則其斜率為
B．已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面
C．不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示
D．若點在線段（）上運動，則的最大值為
【答案】BD
【解析】對于A：因為傾斜角的取值范圍為，當(dāng)，斜率不存在，故A錯誤；
對于B：由，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，即，則，，，四點共面，故B正確；
對于C：平行于軸或軸的直線不能用方程表示，故C錯誤；
對于D：因為點在線段上運動，所以，因為，所以，，所以，故的最大值為，故D正確；
故選：BD三、填空題
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線l過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為______條．
【答案】3
【解析】當(dāng)坐標軸截距為0時，設(shè)方程為，
將代入得：，所以方程為；
當(dāng)坐標軸截距不為0時，設(shè)方程為，
則有，解得：，或，
從而方程為或
所以滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為3條.
故答案為：3
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)直線l的斜率為，因為直線l過，
所以直線方程為，
由，
由，由題意可知：是截得的線段的中點，
所以，即，
故答案為：
15．（2022·上海市延安中學(xué)高三階段練習(xí)）直線：與直線：夾角的正切值為______．
【答案】．
【解析】直線：的斜率為，直線：的斜率為，
設(shè)直線：與直線：的夾角為，則，
故答案為：．16．（2022·上海虹口·二模）設(shè)，，三條直線：，：，：，則與的交點到的距離的最大值為_________.
【答案】
【解析】因為，所以，
而直線：即過定點，
：即過定點，
所以與的交點在以為直徑的圓上，
圓方程為，即，
所以到的距離的最大值為．
故答案為：．
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍．
【解析】由題意，當(dāng)時，傾斜角，
當(dāng)時，，即傾斜角為銳角；
綜上得：．
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，，，若直線與線段恒有公共點，求的取值范圍.
【解析】
故直線過定點
如下圖所示：
，若直線與線段恒有公共點，則或
即
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知的斜邊為，且.求：
(1)直角頂點的軌跡方程；
(2)直角邊的中點的軌跡方程.
【解析】(1)設(shè)，因為三點不共線，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
整理得，即，
所以直角頂點的軌跡方程為.
(2)設(shè)，
因為，是線段的中點，
由中點坐標公式得，所以，
由（1）知，點的軌跡方程為，
將代入得，即
所以動點的軌跡方程為.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)所給條件求直線的方程：
（1）過點P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直線過點(－3，4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12.
【解析】（1）由題設(shè)知，直線l的方程為y－4＝3(x＋2)，即3x－y＋10＝0.
（2）由題設(shè)知：橫、縱截距均不為0，故可設(shè)直線方程為.
∵直線過點(－3，4)，
∴，解得a＝－4或9.
故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線的交點為.
（1）若直線過點，且點和點到直線的距離相等，求直線的方程；
（2）若直線過點且與軸和軸的正半軸分別交于，兩點，的面積為，求直線的方程．
【解析】（1）由 得 即交點．由直線過點，且點和點到直線的距離相等，
可知或過的中點．
當(dāng)由得，
所以直線的方程為即.
當(dāng)直線過的中點時，直線的方程為.
綜上所述：直線的方程為或．
(2)由題可知直線的橫、縱截距，都存在，且，，
則.又直線過點，的面積為，
所以，解得，
故直線的方程為，即.
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，求的最大值.
【解析】將變形，得，
顯見是直線（，）過定點.
如圖.
設(shè)
顯然有：，，
，，其中.∴
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值.

相關(guān)試卷

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題35 圓的方程：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題35 圓的方程，文件包含專題35圓的方程教師版docx、專題35圓的方程學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共56頁， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題27 數(shù)列求和：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題27 數(shù)列求和，文件包含專題27數(shù)列求和教師版docx、專題27數(shù)列求和學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共85頁， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題26 數(shù)列的通項公式：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題26 數(shù)列的通項公式，文件包含專題26數(shù)列的通項公式教師版docx、專題26數(shù)列的通項公式學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共112頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題16 極值與最值

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題16 極值與最值
最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題12 函數(shù)與方程

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題12 函數(shù)與方程
最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題01 集合

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題01 集合
最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第01講 直線的方程（練透）

最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第01講 直線的方程（練透）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部