最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】專(zhuān)題26 數(shù)列的通項(xiàng)公式-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專(zhuān)題26 數(shù)列的通項(xiàng)公式
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
類(lèi)型Ⅰ 觀察法：
已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．
類(lèi)型Ⅱ 公式法：
若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．
類(lèi)型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．
類(lèi)型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類(lèi)型Ⅴ 構(gòu)造數(shù)列法：
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出，再用類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決．
（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：
在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類(lèi)型Ⅵ 對(duì)數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類(lèi)型Ⅶ 倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．
類(lèi)型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式
【題型歸納目錄】題型一：觀察法
題型二：疊加法
題型三：疊乘法
題型四：待定系數(shù)法
題型五：同除以指數(shù)
題型六：取倒數(shù)法
題型七：取對(duì)數(shù)法
題型八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題
題型九：周期數(shù)列
題型十：前n項(xiàng)積型
題型十一：“和”型求通項(xiàng)
題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型
題型十三：因式分解型求通項(xiàng)
題型十四：其他幾類(lèi)特殊數(shù)列求通項(xiàng)
題型十五：雙數(shù)列問(wèn)題
題型十六：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)
【典例例題】
題型一：觀察法
例1．（2022·山東聊城·高三期末）某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類(lèi)似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類(lèi)推不斷得到新的數(shù)列.如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1，2；第二行得到數(shù)列；第三行得到數(shù)列，則第5行從左數(shù)起第6個(gè)數(shù)的值為_(kāi)_______.用表示第行所有項(xiàng)的乘積，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.
例2．（2022·河南商丘·高三階段練習(xí)（理））將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則其通項(xiàng)___________.
例3．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））2022北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，每個(gè)代表團(tuán)都擁有一朵專(zhuān)屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一個(gè)“雪花”狀的圖案．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為3，把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長(zhǎng)依次記為，，，，…，得到數(shù)列．
(1)直接寫(xiě)出，的值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
例4．（2022·寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））一種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成，圖①，②，③，④分別是制作該作品前四步時(shí)對(duì)應(yīng)的圖案，按照此規(guī)律，第步完成時(shí)對(duì)應(yīng)圖案中所包含小正方形的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列記為．
(1)寫(xiě)出，，，的值；
(2)猜想數(shù)列的表達(dá)式，并寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程；
(3)求證：．
例5．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高二期末）如圖，第1個(gè)圖形需要4根火柴，第2個(gè)圖形需要7根火柴，，設(shè)第n個(gè)圖形需要根火柴．
(1)試寫(xiě)出，并求；(2)記前n個(gè)圖形所需的火柴總根數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將1，3，6，10等數(shù)稱(chēng)為三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)總可以擺成一個(gè)三角形，如圖所示.把所有的三角形數(shù)按從小到大的順序排列，就能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，寫(xiě)出以及.
例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）觀察數(shù)列的特點(diǎn)，在每個(gè)空白處填入一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，并寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)1，3，7，____，31，____，127；
(2)2，5，____，17，26，____，50；
(3)，，____，，，____，；
(4)1，，____，2，，____，．
例8．（2022·廣東·廣州市培正中學(xué)三模）設(shè)是集合{且}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即，，，，，，…．將各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫(xiě)成如下的三角形數(shù)表．
（1）寫(xiě)出該三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)（不必說(shuō)明理由）；
（2）設(shè)是該三角形數(shù)表第行的個(gè)數(shù)之和所構(gòu)成的數(shù)列，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式；
（3）求的值.
【方法技巧與總結(jié)】
觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過(guò)觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng)．使用觀察法時(shí)要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有或者部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考慮各項(xiàng)的變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．
題型二：疊加法
例9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，求通項(xiàng)________.
例10．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿足則求___________
例11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)__________.
例12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列中，，則__________.
例13．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知，，.
(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，若在數(shù)列中，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
數(shù)列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和
題型三：疊乘法
例14．（2022·浙江浙江·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值．
例15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前n項(xiàng)和.
例16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
例17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
例18．（2022·福建南平·三模）已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若滿足，.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
例19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.
例20．（2022·山西太原·二模（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和______．
例21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.
例22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．
例23．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，若，且對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
數(shù)列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項(xiàng)公式
題型四：待定系數(shù)法
例24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，設(shè)，．則__________．
例25．（2022·四川宜賓·二模（理））在數(shù)列中，，，且滿足，則___________.
例26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.
例27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例28．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例29．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng).
例30．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，求的通項(xiàng)公式.
例31．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例32．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）(1)已知數(shù)列，其中，，且當(dāng)時(shí)，，求通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列中，，，，求．
例33．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和
例34．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.
【方法技巧與總結(jié)】
形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類(lèi)比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．
題型五：同除以指數(shù)
例35．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，
（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例36．（2022·天津·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列滿足，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(3)求證：對(duì)任意的，.
例37．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
例38．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【方法技巧與總結(jié)】
形如，）的遞推式，當(dāng)時(shí)，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．
題型六：取倒數(shù)法
例39．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________
例40．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列中，，，則（）
A．B．C．D．
例41．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．若，則______；若，則______．
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)于，取倒數(shù)得．
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，令，則，可用待定系數(shù)法求解．
題型七：取對(duì)數(shù)法例42．已知數(shù)列的首項(xiàng)為9，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和．
例43．（2022?蚌埠三模）已知數(shù)列滿足，若，則的最大值為．
例44．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則________
【方法技巧與總結(jié)】
形如的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．
題型八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題
例45．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
例46．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
例47．（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例48．（2022·福建·福州三中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例49．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求正整數(shù)m．
例50．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
(2)若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值．
例51．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例52．（2022·全國(guó)·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例53．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例54．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
例55．（2022·福建·廈門(mén)一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，，．
(1)計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例56．（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.
（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，令
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
例57．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．
例58．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列滿足，求證：．
例59．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，，則___________.
例60．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足，則___________.
例61．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（）
A．B．C．D．
例62．（2022·陜西省神木中學(xué)高一期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
例63．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，，則的值為( )
A．B．C．D．無(wú)法確定
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問(wèn)題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理選擇．一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類(lèi)比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項(xiàng)的和的形式相對(duì)獨(dú)立的情形；另一個(gè)方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問(wèn)題，這種情形的解決方法稱(chēng)為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況．
簡(jiǎn)而言之，求解與的問(wèn)題，方法有二，其一稱(chēng)為類(lèi)比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨(dú)立的情形，其二稱(chēng)為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨(dú)立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過(guò)程中對(duì)的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時(shí)加注的范圍．
題型九：周期數(shù)列
例64．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足，若的前n項(xiàng)積的最大值為3，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
例65．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（）
A．B．C．D．
例66．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）已知數(shù)列中，，，，則（）
A．4B．2C．-2D．-4
例67．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則______；的前2022項(xiàng)和為_(kāi)_____．
例68．（2022·上海靜安·二模）數(shù)列滿足，，若對(duì)于大于2的正整數(shù)，，則__________.
例69．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則______.
例70．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，則______．
例71．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，則___．
例72．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知正整數(shù)數(shù)列滿足,則當(dāng)時(shí)，___________.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）周期數(shù)列型一：分式型
（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型
（3）周期數(shù)列型三：乘積型
（4）周期數(shù)列型四：反解型
題型十：前n項(xiàng)積型
例73．（2022?徐州模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，若對(duì)，，都有成立，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為．
例74．（2022?重慶模擬）若數(shù)列滿足其前項(xiàng)的積為，則．
例75．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求n的最小值.
例76．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，且
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求證：對(duì)于任意的正整數(shù)是與的等比中項(xiàng)．
例77．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在，求出相應(yīng)的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．
例78．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
【方法技巧與總結(jié)】
類(lèi)比前項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程：
（1），得
（2）時(shí)，
題型十一：“和”型求通項(xiàng)
例79．（2022秋?河南月考）若數(shù)列滿足為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為等比和數(shù)列，稱(chēng)為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則．
例80．（2022秋?南明區(qū)校級(jí)月考）若數(shù)列滿足，則．
例81．（2022·青海西寧·二模（理））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）
A．2020B．2021C．2022D．2024
例82．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足，，且其前項(xiàng)和為.若，則正整數(shù)（）
A．99B．103C．107D．198
例83．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為
A．－8B．6C．－5D．4
例84．（2022·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足，定義使為整數(shù)的叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)"的和.
例85．（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列{}滿足
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，并求的最大值.
【方法技巧與總結(jié)】
滿足，稱(chēng)為“和”數(shù)列，常見(jiàn)如下幾種：
（1）“和”常數(shù)型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”換元型題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型
例86．?dāng)?shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則．
例87．（2022?夏津縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為508，則．
例88．（2022秋?舒城縣校級(jí)月考）已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前40項(xiàng)和．
例89．（2022春?漳州期末）已知數(shù)列滿足，則的前40項(xiàng)和為．
例90．（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則．
例91．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列中，，，則．
例92．（2022春?東安區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列滿足：，則的前40項(xiàng)的和為
A．860B．1240C．1830D．2420
例93．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則_________.
例94．（2022·遼寧·盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列，滿足且，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（）
A．B．C．D．
例95．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答．
若數(shù)列滿足______，求的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）利用n的奇偶分類(lèi)討論，觀察正負(fù)相消的規(guī)律
（2）分段數(shù)列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列
題型十三：因式分解型求通項(xiàng)
例96．（2022秋?安徽月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，．
（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若，設(shè)．，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例97．（2022?懷化模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．
（1）求，；
（2）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．
例98．（2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例99．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，數(shù)列滿足，且．
（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
例100．（2022?四川模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足．
（1）求，及的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/7/10 10:14:40；用戶：18316341968；郵箱：18316341968；學(xué)號(hào)：32362679
【方法技巧與總結(jié)】
利用十字相乘進(jìn)行因式分解
題型十四：其他幾類(lèi)特殊數(shù)列求通項(xiàng)
例101．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．B．
C．D．
例102．（2022?遼寧三模）在數(shù)列中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，，求的通項(xiàng)公式．
例103．（2022?全國(guó)模擬）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足．
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，，求的通項(xiàng)公式．
例104．（2022?虹口區(qū)一模）（1）定義：若數(shù)列滿足，則稱(chēng)為“平方遞推數(shù)列”．已知：數(shù)列中，，．
①求證：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”；
②求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
③求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）已知：數(shù)列中，，，求：數(shù)列的通項(xiàng)．
例105．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）證明：．
例106．（2022?湖南一模）在數(shù)列中，已知，，．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，的前項(xiàng)和為，求證．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）二次型：形如
（2）三階遞推：形如型，多在大題中，有引導(dǎo)型證明要求
（3）“糾纏數(shù)列”：兩個(gè)數(shù)列，多為等差和等比數(shù)列，通項(xiàng)公式組成“方程組”
（4）數(shù)學(xué)歸納型：可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，猜想，證明（小題省略證的過(guò)程）
題型十五：雙數(shù)列問(wèn)題
例107．（2022·河北秦皇島·三模）已知數(shù)列和滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式以及的前項(xiàng)和．
例108．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）兩個(gè)數(shù)列?滿足，，，（其中），則的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.
例109．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，，，.則＝_______.
例110．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數(shù)列;
(2)求,的通項(xiàng).
例111．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列和滿足，，，，則______，______．
例112．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（文））若數(shù)列和滿足，，，，則（）A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
消元法
題型十六：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)
例113．（2022·青海西寧·一模）如圖所示，矩形的一邊在軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，記矩形的周長(zhǎng)為，則
A．220B．216C．212D．208
例114．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，曲線y2＝x（y≥0）上的點(diǎn)P1與x軸的正半軸上的點(diǎn)Qi及原點(diǎn)O構(gòu)成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…設(shè)正三角形Qn﹣1PnQn的邊長(zhǎng)為an，n∈N*（記Q0為O），Qn（Sn，0）.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝_____.
例115．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則______．
例116．（2022·山東·日照青山學(xué)校高三階段練習(xí)）有一種被稱(chēng)為漢諾塔的游戲，該游戲是一塊銅板裝置上，有三根桿（編號(hào)A，B，C），在A桿自下而上?由大到小按順序放置若干個(gè)有孔金盤(pán)（如下圖）.游戲的目標(biāo)：把A桿上的金盤(pán)全部移到C桿上，并保持原有順序疊好.操作規(guī)則如下：每次只能移動(dòng)一個(gè)盤(pán)子，并且在移動(dòng)過(guò)程中三根桿上都始終保持大盤(pán)在下，小盤(pán)在上，操作過(guò)程中盤(pán)子可以置于A，B，C任一桿上.記n個(gè)金盤(pán)從A桿移動(dòng)到C桿需要的最少移動(dòng)次數(shù)為.則___________.
例117．（2022·安徽馬鞍山·二模（理））為保護(hù)長(zhǎng)江流域漁業(yè)資源，2020年國(guó)家農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布《長(zhǎng)江十年禁漁計(jì)劃》.某市為了解決禁漁期漁民的生計(jì)問(wèn)題，試點(diǎn)推出面點(diǎn)?汽修兩種職業(yè)技能培訓(xùn)，一周內(nèi)漁民可以每天自由選擇其中一個(gè)進(jìn)行職業(yè)培訓(xùn)，七天后確定具體職業(yè).政府對(duì)提供培訓(xùn)的機(jī)構(gòu)有不同的補(bǔ)貼政策：面點(diǎn)培訓(xùn)每天200元/人，汽修培訓(xùn)每天300元/人.若漁民甲當(dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，第二天他會(huì)有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn).假定漁民甲七天都參與全天培訓(xùn)，且第一天選擇的是汽修培訓(xùn)，第天選擇汽修培訓(xùn)的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）證明：(，2，3，…，7)為等比數(shù)列；
（3）試估算一周內(nèi)政府漁民甲對(duì)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望(近似看作0).
例118．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，已知.用表示，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·山西大同·高三階段練習(xí)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）
A．B．2C．1D．
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意的都有，則（）
A．B．C．D．3．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿足，，則（）
A．30B．31C．22D．23
4．（2022·新疆喀什·高三期末（文））已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）
A．B．C．D．
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則= （）
A．B．C．D．
6．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（理））大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此規(guī)律得到的數(shù)列記為，其前n項(xiàng)和為，給出以下結(jié)論：①；②182是數(shù)列中的項(xiàng)；③；④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．其中正確的序號(hào)是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列第2022項(xiàng)為（）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·三模）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（）
A．B．存在，使
C．D．?dāng)?shù)列不具有單調(diào)性
二、多選題
9．（2022·山東淄博·高三階段練習(xí)）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）
A．B．
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．
10．（2022·遼寧大連·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（）
A．B．
C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則（）
A．a(chǎn)n＝－
B．a(chǎn)n＝
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
D．－5050
12．（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)列滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的為（）
A．和均為數(shù)列中的項(xiàng)
B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．僅有有限個(gè)整數(shù)使得成立
D．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則恒成立
三、填空題
13．（2022·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______．
14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿足，，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．
15．（2022·安徽·壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且滿足，則________
16．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足且，其前項(xiàng)和為，則滿足不等式的最小整數(shù)為_(kāi)_____．
四、解答題
17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，是的前n項(xiàng)和．
（1）求；
（2）若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．
18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．
19．（2022·全國(guó)·河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)和恰是方程的兩個(gè)根，且．
（1）求的值；
（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
20．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)數(shù)列滿足，．
（1）求證：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
21．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，；數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．?dāng)?shù)列滿足，．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．

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