1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題27 數(shù)列求和
【考點預測】
一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．
【方法技巧與總結】
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數(shù)型（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數(shù)型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．（14）．
【題型歸納目錄】
題型一：通項分析法
題型二：公式法
題型三：錯位相減法
題型四：分組求和法
題型五：裂項相消法
題型六：倒序相加法
題型七：并項求和
題型八：先放縮后裂項求和
題型九：分段數(shù)列求和
【典例例題】
題型一：通項分析法
例1．（2022·全國·高三專題練習）求和．
例2．數(shù)列9，99，999，的前項和為
A．B．C．D．
例3．求數(shù)列1，，，，，的前項之和．
【方法技巧與總結】
先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應該強化的意識．
題型二：公式法
例4．已知等差數(shù)列中，，．
（1）求的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和．
例5．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：，；，；，，記點的坐標為，，2，，．
（Ⅰ）試求與的關系；
（Ⅱ）求．
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【方法技巧與總結】
針對數(shù)列的結構特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應公式求解．
題型三：錯位相減法
例6．（2022·全國·高三專題練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.
例7．（2022·內蒙古·海拉爾第二中學模擬預測（理））已知數(shù)列的前n項和，記，則數(shù)列的前n項和_______.
例8．（2022·全國·高三專題練習）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又數(shù)列滿足，當時，恒有，設的前項和為，則所有正確結論的序號是___________.
①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④
例9．（2022·云南師大附中高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
例10．（2022·全國·模擬預測（文））若數(shù)列滿足，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
例11．（2022·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
例12．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項和為，且滿足．
(1)求{}和{}的通項公式；
(2)若，數(shù)列{}的前n項和為，且對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【方法技巧與總結】
錯位相減法求數(shù)列的前n項和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．
（2）基本步驟
（3）注意事項
①在寫出與的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；
②作差后，應注意減式中所剩各項的符號要變號．
等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
題型四：分組求和法
例13．（2022·廣西柳州·模擬預測（理））已知數(shù)列{}滿足，．
(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
例14．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
例15．（2022·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
【方法技巧與總結】
（1）分組轉化求和
數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．
（2）分組轉化法求和的常見類型
題型五：裂項相消法
例16．（2022·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
例17．（2022·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前項和，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項和，證明：．
從① ②兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上并作答.
例18．（2022·全國·高三專題練習（理））已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足
(1)求數(shù)列{}的通項公式：
(2)已知數(shù)列{}滿足，設數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.
例19．（2022·浙江·模擬預測）已知數(shù)列的首項為正數(shù)，其前項和滿足．
(1)求實數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
例20．（2022·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足，.
(1)求與；(2)設，，求的前項和.
例21．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列前n項和為，且，記.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求.
例22．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前n項和．
例23．（2022·山西大同·高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求證：.
例24．（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項和.
例25．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高三階段練習）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前4項和為10，且是等比數(shù)列的前3項.
(1)求；
(2)設，求的前n項和.
例26．（2022·全國·高三專題練習）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．
例27．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，；數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的，．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足：，當時，求證：．
例28．（2022·廣東惠州·高三階段練習）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，若，是和的等比中項.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前20項和.
例29．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設，且數(shù)列的前n項和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.
例30．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項和為，且.數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項公式：
(2)求證：.
例31．（2022·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項和為，且滿足
(1)求、的值及數(shù)列{}的通項公式：
(2)設，求數(shù)列{}的前n項和
例32．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．
(1)求出，的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求證：．
例33．（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．
(1)求和的通項公式；
(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；
(3)設，求數(shù)列的前n項和．
【方法技巧與總結】
題型六：倒序相加法
例34．（2022·河北·高三階段練習）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足裂裂
項相
消法
求和
（1）基本步驟
（2）裂項原則
一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．
（3）消項規(guī)律
消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．
，若，則的前n項和_________．
例35．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項和為，且，設函數(shù)，則______．
例36．（2022·全國·高三專題練習（文））已知數(shù)列，滿足，，.
（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項公式；
（2）求.
例37．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項和.
例38．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.
例39．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.
例40．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．
【方法技巧與總結】
將一個數(shù)列倒過來排列，當它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導即用此方法）．
題型七：并項求和
例41．（2022·全國·高三專題練習）已知的通項公式為，求的前n項和．
例42．（2022·福建·廈門一中模擬預測）已知數(shù)列的前項和，，，．
(1)計算的值，求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
例43．（2022·河北·滄縣中學模擬預測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前18項和．
例44．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和中插入個相同的數(shù)，構成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項和．
例45．（2022·河南·汝州市第一高級中學模擬預測（理））在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
例46．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前n項和.
【方法技巧與總結】
兩兩并項或者四四并項
題型八：先放縮后裂項求和
例47．（2022·天津市寶坻區(qū)第一中學二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前8項和；
(3)證明：．
例48．（2022·浙江·效實中學模擬預測）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數(shù)列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數(shù)，有.
例49．（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；
(2)設，證明：.
例50．（2022·浙江紹興·模擬預測）已知等差數(shù)列的首項為，且，數(shù)列滿足．
(1)求和；
(2)設，記，證明：當時，．
例51．（2022·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和；
(3)求證：.
例52．（2022·全國·高三專題練習）求證: .
【方法技巧與總結】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．
題型九：分段數(shù)列求和
例53．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前15項的和.
例54．（2022·山東師范大學附中模擬預測）已知是數(shù)列的前n項和，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
例55．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知數(shù)列滿足，.
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
例56．（2022·遼寧·撫順市第二中學三模）已知數(shù)列中，滿足對任意都成立，數(shù)列的前n項和為．
(1)若是等差數(shù)列，求k的值；
(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．
例57．（2022·湖南·高三階段練習）已知數(shù)列中，，，令.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前14項和.
例58．（2022·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，
(1)令，求，及的通項公式；
(2)求數(shù)列的前2n項和.
例59．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且
（1）求的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前20項和．
例60．（2022·重慶·高三階段練習）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【方法技巧與總結】
（1）分奇偶各自新數(shù)列求和
（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應的項：
①可構建新數(shù)列；②可“跳項”求和
【過關測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的前2022項和等于（ ）
A．B．2022C．D．2019
2．（2022·江西·臨川一中模擬預測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
3．（2022·四川·射洪中學模擬預測（文））已知首項為1的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高三專題練習）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．178B．191C．206D．216
5．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．360B．480C．600D．100
7．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的首項為2，前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，若，則的值可以為（ ）
A．543B．542
C．546D．544
11．（2022·全國·高三專題練習）我們把()叫作“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀法國數(shù)學家).設，，表示數(shù)列的前項和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．（2022·河北·模擬預測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（ ）
A．數(shù)列為等差數(shù)列B．數(shù)列為等比數(shù)列
C．D．數(shù)列的前n項和為
三、填空題
13．（2022·四川成都·模擬預測（理））楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學史上的又一個偉大成就.其實，中國古代數(shù)學家在數(shù)學的許多重要領域中處于遙遙領先的地位.中國古代數(shù)學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號記為，比如，則數(shù)列的前10項和為___________.
第1行 1 1
第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
14．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項和為___________.
15．（2022·上?！つM預測）設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和為_________．
16．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，已知，則_________.
四、解答題
17．（2022·湖北·模擬預測）已知數(shù)列，滿足，，且，．
(1)若為等比數(shù)列，求值；
(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和．
18．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足， .
(1)若，求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
19．（2022·山東·肥城市教學研究中心模擬預測）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值．
20．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求證：數(shù)列的前項和.
21．（2022·寧夏·銀川一中模擬預測（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，求．
22．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為．
(1)求，并求數(shù)列的通項公式；
(2)抽去數(shù)列中點第1項，第4項，第7項，…，第項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，求證：．

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