1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調整及考后心理的調整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題41 直線與圓錐曲線
【考點預測】
知識點一、直線和曲線聯立
（1）橢圓與直線相交于兩點，設，
，
橢圓與過定點的直線相交于兩點，設為，如此消去，保留，構造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直線沒有過橢圓內部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦點在軸上的橢圓與直線的關系，雙曲線與直線的關系和上述形式類似，不在贅述．
（2）拋物線與直線相交于兩點，設，
聯立可得，時，
特殊地，當直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據此時A、B坐標來記憶．
拋物線與直線相交于兩點，設，
聯立可得，時，
注意：在直線與拋物線的問題中，設直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設；開口向右，選擇反設；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．
總結：韋達定理連接了題干條件與方程中的參數，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點共線問題，角度問題等?？純热莸臅r候，要把題目中的核心信息，轉化為坐標表達，轉化為可以使用韋達定理的形式，這也是目前考試最常考的方式．
知識點二、根的判別式和韋達定理
與聯立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為可簡單記．
同理和聯立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達定理寫出，，注意隱含條件．
（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；
焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯立消元，利用判斷根的關系，因為此情況下往往會有增根，根據題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標．
知識點三、弦長公式
設，根據兩點距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡，得
（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
注意：（1）上述表達式中，當為，時，；
（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯立后才能用．
（3）直線和曲線聯立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．
（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關系求解弦長會更加簡單．
（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式．
知識點四、已知弦的中點，研究的斜率和方程（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，
運用點差法求的斜率；設，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．
【題型歸納目錄】
題型一：直線與圓錐曲線的位置關系
題型二：中點弦問題
方向1：求中點弦所在直線方程問題；
方向2：求弦中點的軌跡方程問題；
方向3：對稱問題
方向4：斜率之積問題
題型三：弦長問題
題型四：面積問題
方向1：三角形問題
方向2：四邊形問題
【典例例題】
題型一：直線與圓錐曲線的位置關系
例1．（2022·四川達州·二模（理））函數的最小值為，則直線與曲線的交點個數為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當時，（當且僅當時取等號），，即，曲線方程為：；
當，時，曲線為：，
由得：或，即交點為，；
當，時，曲線為：；
由得：，即交點為；
當，時，曲線為：，曲線不存在；
當，時，曲線為：；
由得：，即交點為；
綜上所述：直線與曲線的交點為，，共個.
故選：B.
【方法技巧與總結】
（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．
（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．
例2．（2022·全國·高三專題練習）直線與橢圓的交點個數為（ ）．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【解析】由題意，橢圓，可得，
則橢圓的右頂點為，上頂點為，
又由直線恰好過點，所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.
故選：C.例3．（2022·全國·高三專題練習）若直線與圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點的個數為（ ）
A．0或1B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】由題意，得，故點在以原點為圓心，2為半徑的圓內，即在橢圓內部，過點的直線與該橢圓必有2個交點．
故選：B
例4．（2022·全國·高三專題練習）橢圓：的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，橢圓：的左、右頂點分別為，
設，則，
又由，可得，
因為，即，可得，
所以直線斜率的取值范圍.
故選：A.
例5．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】聯立直線和雙曲線：，消去得，
當，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；當，此時，
解得或，所以時直線與雙曲線無交點；
故選：A
例6．（2022·全國·高三專題練習）若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】斜率為，
過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，
則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過雙曲線右頂點(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．
故選：D．
例7．（2022·全國·高三專題練習）過點作直線l與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．無數條
【答案】B
【解析】由題意，拋物線方程，點恰好再拋物線上，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與拋物線有兩個交點，不滿足題意；
當直線與軸平行時，此時直線與拋物線只有一個公共點，滿足題意；
因為點在拋物線上，過點有且僅有一條切線，滿足與拋物線只有一個公共點，
所以與拋物線只有一個公共點的直線只有2條.
故選：B.
例8．（2022·全國·高三專題練習）過點作直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）條
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】當直線斜率不存在時，，與拋物線無交點，不合同意；
當直線斜率為零時，，與拋物線有且僅有一個交點，滿足題意；
當直線斜率不為零時，，即，由得：，
則，解得：，滿足題意的直線有兩條；
綜上所述：過點與拋物線只有一個交點的直線有條.
故選：C.
例9．（2022·上海市吳淞中學高三開學考試）若方程恰有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【解析】即，表示雙曲線的一支，
表示過點斜率為的直線，
由題意得與的圖象恰有兩個交點，即直線與雙曲線的兩個交點都在軸上方，
當直線與雙曲線相切時，，聯立后由解得，當時，切點在軸下方，舍去，
當時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點，
當直線與雙曲線的兩個交點都在軸上方時，
故答案為：
例10．（2022·全國·高三專題練習）已知F是雙曲線的右焦點，若直線與雙曲線相交于A，B兩點，且，則k的范圍是___________.【答案】
【解析】
焦點在x上

焦點坐標為
由雙曲線的對稱性可得，設，，
又∵，，
，
，
又 ，
，
又，
而，
，
當時，，
，，
，整理得 ，
又 ， ，
又的漸近線方程為 ，，
又，
的取值范圍為 ．故答案為： ．
題型二：中點弦問題
方向1：求中點弦所在直線方程問題；
例11．（2022·全國·高三專題練習）若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在的直線方程為______．
【答案】
【解析】設直線與橢圓的交點為
為的中點， ；
兩點在橢圓上，則
兩式相減得 ；
則 ； ；
故所求直線的方程為 ，即 ；
故答案為：
例12．（2022·全國·高三開學考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【解析】法一：設，則，
所以，又AB的中點為，
所以，所以，由題意知，
所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.
故選：C.
法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，
代入并整理得，
因為為線段AB的中點，所以，整理得，
所以C的離心率.故A，B，D錯誤.
故選：C.
例13．（2022·江蘇·南京市第一中學高三開學考試）已知雙曲線，
(1)過點的直線交雙曲線于兩點，若為弦的中點，求直線的方程；
(2)是否存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設 ，則 ，兩式相減得 ，所以 ，又因為為弦的中點,故 ，所以，所以直線的方程為，即，由方程組得，其 ，說明所求直線存在，故直線的方程為.
（2）假設存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點，設該直線與雙曲線交于C,D兩點，設 ，則 ，兩式相減得 ，所以 ，又因為為弦的中點,故 ，所以，所以直線的方程為，即，由方程組 ,得 ，根據 ，說明所求直線不存在,故假設不成立，即不存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點.
例14．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點，且的中點的縱坐標為2．求C的方程.
【解析】設點，則，所以，
又因為直線AB的斜率為1，所以，
將A、B兩點代入拋物線方程中得：，將上述兩式相減得，
，即，
所以，即，所以，
因此，拋物線的方程為.
例15．（2022·全國·高三專題練習）斜率為1的直線交拋物線于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.求拋物線的標準方程；
【解析】設，，
，兩式相減并化簡得，，
所以拋物線方程為.
例16．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．
【答案】
【解析】解法一：（弦中點問題：點差法）
令的中點為，設，，利用點差法得到，
設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；
令的中點為，因為，所以，
設，，則，，
所以，即
所以，即，設直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
解法二：（直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法）
由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，
設，，設直線，，，
則，，，因為，所以聯立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點E的橫坐標,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直線，即
解法三：令的中點為，因為，所以，
設，，則，，
所以，即
所以，即，設直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
例17．（2022·全國·高三專題練習）已知動點與平面上點，的距離之和等于.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)若經過點的直線與曲線交于，兩點，且點為的中點，求直線的方程.
【解析】（1）設點的坐標為，，由橢圓定義可知，點軌跡是以，為焦點的橢圓，，，，動點的軌跡的方程為．
（2）顯然直線的斜率存在且不等于，設，，則，，又、在橢圓上，所以，，兩式相減得，即所以，即，即，所以直線的方程為，即；
方向2：求弦中點的軌跡方程問題；
例18．（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．
【答案】
【解析】設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設中點坐標為，則，
所以，兩式相減可得，
，即，
由于在橢圓內部，由得，
所以時，即直線與橢圓相切，
此時由解得或，
所以，
所求得軌跡方程為．
故答案為：．
方向3：對稱問題
例19．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）過點，直線：與橢圓交于，兩點，且線段的中點為，為坐標原點，直線的斜率為-0.5.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，橢圓上是否存在，兩點，使得，關于直線對稱，若存在，求出，的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設，，則，
即．
因為，在橢圓上，所以，，
兩式相減得，即，
又，所以，即．又因為橢圓過點，所以，解得，，
所以橢圓的標準方程為；
（2）由題意可知，直線的方程為．
假設橢圓上存在，兩點，使得，關于直線對稱，
設，，的中點為，所以，，
因為，關于直線對稱，所以且點在直線上，即．
又因為，在橢圓上，所以，，
兩式相減得，
即，所以，即．
聯立，解得，即．
又因為，即點在橢圓外，這與是弦的中點矛盾，
所以橢圓上不存在點，兩點，使得，關于直線對稱．
例20．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，長軸長為4．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知直線的過定點，若橢圓上存在兩點，關于直線對稱，求直線斜率的取值范圍．
【解析】（1）因為橢圓的離心率為，長軸長為，
解得，則，
所以橢圓的標準方程是；
（2）易知直線的斜率存在，設直線方程為：，，
AB中點的坐標為，則，兩式相減得，
即，又，
解得，
因為線段AB的中點在橢圓內部，
所以，即，
解得，
所以直線斜率的取值范圍
例21．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得圓E上存在不同的兩點關于直線對稱.
【解析】設、是橢圓E上關于直線的兩個對稱點，則應有：
①-②并把③代入得.
.⑥
聯立④⑥得代入⑤得，解得.
例22．（2022·浙江·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點.
(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個不同的點M，N關于直線l對稱，求a的取值范圍.
【解析】（1）拋物線的焦點為，
時，直線，
聯立，可得，
設，，，，
則，．
，
點到直線的距離距離，
的面積．
（2）∵點，關于直線對稱，∴直線的斜率為，
∴可設直線的方程為，
聯立，整理可得，
由，可得，
設，，，，則，
故的中點為，
∵點，關于直線對稱，∴的中點，在直線上，
∴，得，∵，∴．
綜上，的取值范圍為．
例23．（2022·四川內江·模擬預測（理））若雙曲線上存在兩個點關于直線對稱，則實數的取值范圍為______.
【答案】
【解析】依題意，雙曲線上兩點，，，，
若點A、B關于直線對稱，則
設直線的方程是，代入雙曲線方程化簡得：，
則，且，解得，且
又，設的中點是，，
所以，．
因為的中點在直線上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
實數的取值范圍為：
故答案為：.
方向4：斜率之積問題
例24．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為F，直線與橢圓C交于A，B兩點，AB的中點為P，若O為坐標原點，直線OP，AF，BF的斜率分別為，，，且，則k＝______．
【答案】
【解析】設，，，
則，，．
由，得，即，
所以，得．
聯立方程組，得，則，．
因為
，
所以，故．
故答案為：．
例25．（2022·河北·高三階段練習）離心率為的橢圓與直線的兩個交點分別為A，B，P是橢圓不同于A、B、P的一點，且、的傾斜角分別為，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設，，，
∴，，相減整理得，
即，，
∵，
∴，
故選：A.
例26．（2022·河南·模擬預測（文））已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設，，，
則，兩式作差，并化簡得，，
所以，
因為為線段的中點，即
所以，
即，由，得.
故選：B.
例27．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C∶經過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.求橢圓C的標準方程；
【解析】因為橢圓經過點，
所以（1），
設，因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，
所以，兩式相減得，
因為線段AB的中點為M，且直線l與直線OM的斜率乘積為-，
所以 （2），由（1）（2）解得，
所以橢圓方程為：；
【方法技巧與總結】
直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題．這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）對稱問題，但凡涉及到弦的中點斜率的問題．首先要考慮是點差法．
即設出弦的端點坐標，根據端點在曲線上，結合中點坐標公式，尋找中點坐標與弦的斜率之間的聯系．除此之外，最好也記住如下結論：在橢圓中，中點弦的斜率為，滿足．
在雙曲線中，中點弦的斜率為，滿足．（其中為原點與弦中點連線的斜率）．
在拋物線中，中點弦的斜率為，滿足（為中點縱坐標）．
題型三：弦長問題
例28．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設直線AB方程為，聯立橢圓方程
整理可得：，設，
則，，根據弦長公式有：
=．故B，C，D錯誤.
故選：A.
【方法技巧與總結】
在弦長有關的問題中，一般有三類問題：
（1）弦長公式：．
（2）與焦點相關的弦長計算，利用定義；
（3）涉及到面積的計算問題．
例29．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左焦點作傾斜角60°的直線，直線與橢圓交于A，B兩點，則______．
【答案】
【解析】∵橢圓方程為，∴焦點分別為，，
∵直線AB過左焦點的傾斜角為60°，∴直線AB的方程為，將AB方程與橢圓方程聯立消去y，得．設，，可得，，
∴，因此，．
故答案為:．
例30．（2022·陜西·安康市教學研究室三模（文））過拋物線的焦點F的直線交C于A，B兩點，若在其準線上的投影長為6，則（ ）
A．B．C．12D．
【答案】C
【解析】，當直線的斜率不存在時，不滿足題意，
所以直線的斜率存在，設，
將代入直線方程整理得，
所以，，
所以，
所以，
故選：C
例31．（2022·福建泉州·模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于、兩點，點在上的投影為．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】過點作，垂足為點，作，垂足為點，
，所以，四邊形為矩形，所以，，
因為，所以，，故，
由拋物線的定義可得，，所以，，即.
故選：B.
例32．（2022·山東·汶上縣第一中學高三開學考試）已知拋物線（）的焦點為F.若直線與C交于A，B兩點，且，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】將代入，解得，
則、，
所以，解得，
則.
故選：C.
例33．（2022·湖南·高三階段練習）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關于x軸的對稱點S，設線段與線段的中垂線交于點Q．
(1)當時，求；
(2)當時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．
【解析】（1）設，線段的中點M坐標為，聯立得消去y可得：，所以
所以，代入直線方程，求得，
因為Q為三條中垂線的交點，所以，
有，直線方程為.
令，所以.
由橢圓可得右焦點，故．
（2）設，中點M坐標為．
相減得，.
又Q為的外心，故，
所以，直線方程為，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以當t變化時，為定值．
例34．（2022·四川省巴中中學模擬預測（文））已知橢圓：的左、右頂點分別為、，點在橢圓上，且直線的斜率與直線的斜率之積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若圓的切線與橢圓交于、兩點，求的最大值及此時直線的斜率．【解析】（1）由橢圓可得，所以，解得，
因為橢圓經過點，故得到，解得，
所以橢圓的方程為
（2）當切線垂直軸時，的橫坐標為1或-1，由于橢圓的對稱性，不妨設的橫坐標為1，
代入橢圓得解得，所以；
當切線不垂直軸時，設切線方程為即，
所以圓心到切線的距離，得，
把代入橢圓方程，整理得
設，則，
設，則，則
，
所以，
綜上所述，，此時，因為，所以直線的斜率為
例35．（2022·安徽·高三開學考試）已知為坐標原點，橢圓過點 ，記線段的中點為．
(1)若直線的斜率為 3 ，求直線的斜率;
(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．【解析】（1）設，則，
兩式相減可得，，而，
則有，又直線斜率，因此
所以直線的斜率.
（2）當直線不垂直于x軸時，設直線，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四邊形為平行四邊形，即，則點，
而，即，
又點P在橢圓上，則，化簡得，滿足，
于是得，，，
則
，
當直線垂直于x軸時，得點或，若點，點M，N必在直線上，
由得，則，若點，同理可得，
綜上，的取值范圍為．
例36．（2022·北京八中高三階段練習）已知為橢圓上任意一點，為左?右焦點，為中點.如圖所示：若，離心率.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知直線經過且斜率為與橢圓交于兩點，求弦長的值.
【解析】（1）由題意知，為中點，O為的中點，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因為，故，所以 ，
故橢圓的標準方程為 ；
（2）由直線經過且斜率為可知直線方程為，即，
聯立，消去y可得 ，解得 ，
則兩點不妨取為，
故.
例37．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求的方程；
(2)若是上兩點，直線與圓相切，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，
，解得，
所以的方程為.
（2）圓的圓心為，半徑圓.①當直線的斜率不存在時，方程為或，
于是有或
解得，
所以.
②當直線的斜率為時，方程為或，
于是有或
解得，
所以.
③當直線的斜率不為時，設斜率為，方程為，
因為直線與圓相切，所以，得
建立方程組，消并化簡得，
.
設,,則,，
所以=
而，當且僅當，即時，等號成立.
所以 ，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
例38．（2022·陜西·安康市教學研究室三模（文））已知橢圓長軸的頂點與雙曲線實軸的頂點相同，且的右焦點到的漸近線的距離為．
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經過點，與交于、兩點，與交于、兩點，求．
【解析】（1）由題意可得，則．
因為的漸近線方程為，即，
橢圓的右焦點為，由題意可得，，解得，
故橢圓的方程為，雙曲線的方程為．
（2）設直線的傾斜角為，
所以，直線的斜率為，
所以直線的方程為，
聯立得，則，
設、，則，，
所以,
聯立可得，，
設點、，則，，所以，，故．
例39．（2022·全國·高三專題練習）設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.
【解析】（1）拋物線的焦點為，
所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，
所以，即，又，所以，
所以雙曲線方程為.
（2）依題意設，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
題型四：面積問題
方向1：三角形問題
例40．（2022·上海市復興高級中學高三開學考試）已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點，求的面積關于的函數關系式，并求面積最大時直線的方程．
【解析】（1）由題意得：，且，解得：，
所以，
所以橢圓方程為；
（2）聯立與橢圓方程可得：
，
由，解得：；
設，
則，，
由弦長公式可得：，
點到直線的距離為，
則的面積為，
其中，
令，，
則，
由于，所以，,
令得：，
令得：，
即在上單調遞增，
在上單調遞減，
所以在處取得極大值，也是最大值，
，
所以當時，面積取得最大值，此時直線的方程為．
例41．（2022·陜西·安康市教學研究室三模（理））已知橢圓：的離心率為，且過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線被圓截得的弦長為，設直線與橢圓交于A，兩點，為坐標原點，求面積的最大值.
【解析】（1），，
由橢圓過點得，解得，，
∴橢圓的方程為.
（2）直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線l的距離d滿足，解得，
當的斜率存在時，設：，，，圓心為原點
則有，∴.
將方程代入橢圓方程中整理得：，
∴，，
，
∴，當且僅當，即時取等號.
當的斜率不存在時，則：，過橢圓的左、右頂點，此時直線與橢圓只有一個交點，不符合題意.
∴面積的最大值為2.
例42．（2022·全國·清華附中朝陽學校模擬預測）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
∴橢圓的方程為：.
（2）∵，
設的直線方程為：，，，
聯立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，，
∴，
令，
則，
由對勾函數單調性知，，
所以，當且僅當時，即時等號成立，
此時最大值為.
例43．（2022·廣東汕頭·高三階段練習）已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構成的三角形面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
①求證：直線恒過定點；
②設和的面積分別為，求的最大值.
【解析】（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．
（2）①依題意，設，
若直線的斜率為0則P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意．
所以直線斜率必不為0，設其方程為，
與橢圓C聯立，整理得：，所以，且
因為是橢圓上一點，即，
所以，則，即
因為
，
所以，此時，
故直線恒過x軸上一定點．
②由①得：，
所以
，
而，當時的最大值為．
例44．（2022·全國·高三專題練習）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
【解析】（1）因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．
易知直線l的斜率存在，設，，聯立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡得，，即，
所以或，
當時，直線過點，與題意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉化
不妨設直線的傾斜角為，因為，所以，由（1）知，，
當均在雙曲線左支時，，所以，
即，解得（負值舍去）
此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；
當均在雙曲線右支時，
因為，所以，即，
即，解得（負值舍去），
于是，直線，直線，
聯立可得，，
因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．
所以，，點到直線的距離，
故的面積為．
［方法二］：
設直線AP的傾斜角為，，由，得，
由，得，即，
聯立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整體點評】（2）法一：由第一問結論利用傾斜角的關系可求出直線的斜率，從而聯立求出點坐標，進而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
法二：前面解答與法一求解點坐標過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．
例45．（2022·浙江·高三開學考試）如圖，已知雙曲線，經過點且斜率為的直線與交于兩點，與的漸近線交于兩點（從左至右的順序依次為），其中.
(1)若點是的中點，求的值；
(2)求面積的最小值.
【解析】（1）設
聯立直線與雙曲線方程，消去得，
由韋達定理可知，
聯立直線與其中一條漸近線方程，解得
即，同理可得，
則，
則可知的中點與中點重合.
由于是的中點，所以，解得；
（2）與聯立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直線的距離，所以
整理得，
令，則，
當，即時，
的最大值為2，所以的最小值為.
例46．（2022·江蘇·南京市第一中學高三階段練習）已知A，B，C為橢圓上不同的三點，則△ABC的面積最大為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】①當中一條邊垂直于軸時，不妨設，直線方程為，易得當面積最大時，為橢圓右頂點.
此時，，故，設，則恒成立，此時的最大值為.
②當中不存在垂直于軸的邊時，根據題意，當面積最大時，不妨設，此時過的切線與平行，設為，此時必有.
聯立，則，設，則.故，
聯立，則，判別式可得，即，因為，，
故到距離，
.
設，由題意，，則，則當時，取最大值，此時.
綜上△ABC的面積最大為.
故選：D
例47．（2022·廣東茂名·高三階段練習）已知拋物線：的準線為，與軸交于點，直線與拋物線交于，兩點，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知：，點，由，得，
所以的面積為.
故選:B.例48．（2022·全國·高三專題練習）設，是雙曲線：的兩個焦點，為坐標原點，點P在的右支上，且，則的面積為________.
【答案】8
【解析】由，得，
所以，可得.
不妨設，，所以，
所以點在以為直徑的圓上，
所以是以為直角頂點的直角三角形.
故．
又因為點在雙曲線的右支上，所以，
所以，解得，
所以．
故答案為:8.
例49．（2022·全國·高三階段練習（理））已知點為拋物線的焦點，過作直線與拋物線交于兩點，以為切點作兩條切線交于點，則的面積的最小值為___________.
【答案】4
【解析】由題意，得，設直線的方程為，
，，且，
聯立，得，
則，，且，
當時，由，得，，
即在點處的切線斜率為，
方程為；當時，由，得，，
即在點處的切線斜率為，
方程為；聯立、的方程，
解得 ，即；
因為，，
所以，所以，
則，
，
所以
因為，，（當且僅當時取等號）
所以的面積的最小值為4.
故答案為：4.
方向2：四邊形問題
例50．（2022·全國·模擬預測（文））已知A、B分別為橢圓：）的上、下頂點，F是橢圓的右焦點，C是橢圓上異于A、B的點，點D在坐標平面內．
(1)若，求橢圓的標準方程；
(2)若，且，，求四邊形CADB面積S的最大值．
【解析】（1）由已知是等邊三角形，
因為，，所以，
得橢圓的標準方程為．
（2）設，，
因為，，所以，
則,所以，
，
所以，，
兩式相減得，帶回原式得，
因為，所以，
（當時取等）
所以四邊形CADB面積S的最大值為．
例51．（2022·全國·高三專題練習）已知點是橢圓：上異于頂點的動點，，分別為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為的中點，的平分線與直線交于點，則四邊形的面積的最大值為________.
【答案】2
【解析】由橢圓的方程可得，，所以，
故，，又平分，則到、的距離相等，設為，則，
設，則，，由是的中位線，易得，
即，由橢圓性質易知，存在點為橢圓上異于頂點的動點，使，此時最大，且為.
故答案為：
例52．（2022·陜西·三模（文））已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓E的離心率為，且通徑長為1．
（1）求E的方程；
（2）直線l與E交于M，N兩點（M，N在x軸的同側），當時，求四邊形面積的最大值．
【解析】（1）依題意可知，解得
故橢圓的方程為．
（2）延長交E于點，由（1）可知，
設，設的方程為，
由得，故．
設與的距離為d，則四邊形的面積為S，
，
又因為
，
當且僅當，即時，等號成立，
故四邊形面積的最大值為2．
例53．（2022·湖南·武岡市第二中學模擬預測）已知橢圓，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，直線與橢圓交于M、N兩點，且M點位于第一象限．
（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；
（2）若，求四邊形的面積的最大值．
【解析】（1）證明：設，則，
∵，，∴，，
∵在橢圓上，∴
∴為定值．
（2）設，依題意：，點在第一象限，∴．
聯立：得：，
∴，，設到的距離為，到的距離為，
∴，，
∴．
又∵
（當時取等號），
∴．
∴四邊形的面積的最大值為
例54．（2022·四川·綿陽中學實驗學校模擬預測（文））已知在平面直角坐標系中有兩定點，，平面上一動點到兩定點的距離之和為．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，分別與交于，，，四點，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）因為（），
所以點軌跡是以為焦點，為長軸長的橢圓，
所以，，，
所以軌跡方程為；
（2）當一條直線斜率不存在時，代入橢圓方程得，，因此弦長，另一直線斜率為0，，
；
當兩條直線斜率都存在且不為0時，設直線方程為，，，
由，得，
所以，，
，由于，所以直線斜率為，同理，
，
令，則，，
因為，所以，，
綜上，，
的最小值為．
【方法技巧與總結】
三角形的面積處理方法：底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）
四邊形或多個圖形面積的關系的轉化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點（尤其是有平行條件的時候），可將面積的關系轉化，降低計算量．特殊的，對角線互相垂直的四邊形，面積=對角線長度乘積的一半．
【過關測試】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測（理））已知拋物線E:的準線交y軸于點M，過點M作直線l交E于A，B兩點，且，則直線l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】拋物線的準線為，所以，
由題意可知直線的斜率存在，
故設直線為，，，
則，即，
所以，，
因為，即，所以，
所以或，
所以.
故選：B
2．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（理））雙曲線，已知O是坐標原點，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點，F是雙曲線C的右焦點，D是線段OF的中點，若B是圓上的一點，則△ABD的面積的最大值為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】根據題意，雙曲線斜率為正的漸近線方程為，
因此點A的坐標是，點D是線段OF的中點，
則直線AD的方程為，
點B是圓上的一點，
點B到直線AD距離的最大值也就是圓心O到直線AD的距離d加上半徑，即，，
則
故選：A
3．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知點是雙曲線的左焦點，直線與該雙曲線交于兩點，，則的重心到軸的距離為（ ）
A．1B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】由題意得：
不妨設，聯立雙曲線方程與直線方程
消去得: ，故
因為，所以點到軸的距離為．
故選：C
4．（2022·全國·模擬預測（理））過雙曲線的右焦點且斜率為的直線分別交雙曲線的漸近線于，兩點，在第一象限，在第二象限，若，則（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】由題意得：
由雙曲線的方程，可知，
過雙曲線的右焦點且斜率為的直線方程為
聯立，得：
聯立，得：
則 ，
，整理得：，解得：
故選：A
5．（2022·山東煙臺·三模）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】不妨設過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得
則，
則，由，可得
則有，即，則雙曲線的離心率
故選：D
6．（2022·湖北·襄陽四中模擬預測）設，是雙曲線：的兩個焦點，為坐標原點，點P在雙曲線C上且，則的面積為（ ）
A．3B．9C．12D．16
【答案】B
【解析】由已知，因為，
所以點在以為直徑的圓上，
即是以P為直角頂點的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故選：B
7．（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知圓，若拋物線上存在點，過點作圓的兩條切線，切點滿足，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
設點，則

即 有非負實根

解得
故選：A
8．（2022·湖南·模擬預測）已知雙曲線，若過點能作該雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率取值范圍為（ ）
A．B．C．D．以上選項均不正確
【答案】D
【解析】設切線方程是，
由得，
顯然時，所得直線不是雙曲線的切線，所以，
由得，整理為，
由題意此方程有兩不等實根，
所以，，則（為雙曲線的半焦距），，即，
代入方程，得，此時，綜上，的范圍是．
故選：D．
二、多選題
9．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）已知點，，若某直線上存在點P，使得，則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】因為，，，所以點在以，為焦點的雙曲線的右支，
且，，即，，
所以，
所以其標準方程為：，雙曲線的漸近線為．
對于A，即為雙曲線的一條漸近線，故與雙曲線沒有交點，故不是“好直線”；
對于B，聯立直線與雙曲線得，
解得則，即，所以直線是“好直線”；
對于C：消去整理得，，但是，
故直線與雙曲線的左支有兩個交點，與右支沒有交點，故不是“好直線”；
對于D，消去整理得，，且，
故直線與雙曲線的右支有兩個交點，故是“好直線”；
故選：BD．
10．（2022·湖南常德·一模）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則（ ）
A．焦點的坐標為
B．過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點
C．直線與拋物線相交所得弦長為8
D．拋物線與圓交于兩點，則
【答案】ACD
【解析】由題可知拋物線方程為對于A，焦點的坐標為，故A正確
對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤
對于C，，弦長為，故C正確
對于D，，解得（舍去），交點為，有，故D正確
故選：ACD
11．（2022·福建·上杭一中模擬預測）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，為線段的中點，為坐標原點，則下列結論中成立的有（ ）
A．的坐標可能為B．坐標原點在以為直徑的圓內
C．與的斜率之積為定值D．線段的最小值為4
【答案】BC
【解析】拋物線：的焦點為，設過焦點的直線方程為：與拋物線方程聯立可得：
，設，，，，
若的坐標為，則，，
而，即，方程組無解，所以A錯誤，
又
，即，所以坐標原點在以為直徑的圓內，所以B正確，
，故C正確；
拋物線的通徑為，所以線段的長度的最小值為2，故D錯誤，
故選：BC
12．（2022·福建省漳州第一中學模擬預測）已知橢圓的上下焦點分別為，，左右頂點分別為，，是該橢圓上的動點，則下列結論正確的是（ ）
A．該橢圓的長軸長為
B．使為直角三角形的點共有6個
C．的面積的最大值為1
D．若點是異于?的點，則直線與的斜率的乘積等于-2
【答案】BCD
【解析】依題意作下圖：
對于A，由題可知 ，所以長軸長為 ，A錯誤；
對于B， ，分別過 作平行于x軸的直線與橢圓有4個交點 ，當點P與這4個點重合時， 為直角三角形；
以原點O為圓心， 為半徑作圓，與橢圓有2個交點，證明如下：
聯立方程： ，解得 ，故交點為 ，即當點P與 重合時，
為直角三角形，共有6個直角三角形，B正確；
對于C，當點P與 或 重合時，面積最大 ，C正確；
對于D，運用參數方程，設 ，同時有： ，則有：
， ，D正確；
故選：BCD.
三、填空題
13．（2022·四川·模擬預測（文））已知拋物線：的焦點是，是的準線上一點，線段與交于點，為坐標原點，且，則______．
【答案】3【解析】拋物線：的焦點是，
不妨設在第一象限，則，所以，則直線的方程為，
令，得，由，解得．
故答案為：
14．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，則k的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】聯立消去y：，，
得到，又直線不與漸近線平行，
所以.
故答案為：.
15．（2022·遼寧·二模）寫出滿足下列條件的一個拋物線方程_____．
（1）該拋物線方程是標準方程；
（2）過的任意一條直線與該拋物線C有交點，且對于C上的任意一點P，的最小值為2．
【答案】（答案不唯一）
【解析】設拋物線：， ，由題知：
，
當時，，解得.
拋物線：，將代入，，在拋物線內，
滿足過的任意一條直線與該拋物線C有交點.
故答案為：（答案不唯一）
16．（2022·湖南益陽·模擬預測）已知直線與拋物線交于A、兩點，為拋物線的準線上一點，且，過且垂直軸的直線交拋物線于點，交直線于點，若，則__________．【答案】
【解析】設，，，
由得：，
∵，，，
∴，，
，
，，，
則取時，，，，，
，，
，
即，
即，
即
故，
將x＝2代入l方程得，
將代入拋物線方程得，
故，
根據拋物線的對稱性可知，當k＝－1時，．
綜上，．
故答案為：2
四、解答題17．（2022·天津市寶坻區(qū)第一中學二模）已知橢圓的左焦點為，右頂點為A，點E的坐標為，的面積為．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設點Q在線段上，，延長線段與橢圓交于點P，若．
（?。┣笾本€的斜率；
（ⅱ）求橢圓的方程．
【解析】（1）設橢圓的離心率為e．由已知，可得．又由，可得，即．
又因為，解得．所以，橢圓的離心率為
（2）（?。┮李}意，設直線的方程為，則直線的斜率為．
由（Ⅰ）知，可得直線的方程為，即，與直線的方程聯立，
可解得，即點的坐標為．
由已知，有，整理得，所以，即直線的斜率為．
（ⅱ）由，可得，故橢圓方程可以表示為．
由（?。┑弥本€的方程為
與橢圓方程聯立 消去整理得
解得（舍去）或．
因此可得點，
進而可得所以．得．
所以，橢圓的方程為
18．（2022·湖南·模擬預測）已知橢圓：的左、右頂點分別為A，，右焦點為點，點是橢圓上一動點，面積的最大值為2，當軸時，.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線，交直線于點.求證：為定值.
【解析】(1)設橢圓的半焦距為，，
將代入得，
所以，
因為點是橢圓上一動點，所以，
所以面積，
由，求得，
所以橢圓的方程為：.
(2)由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立，
整理可得，
因為直線與橢圓相切，
所以，得，
因為橢圓的右焦點為，將代入直線得，所以，
所以，將代入直線可得，所以，
所以，
，將代入上式，
得，所以為定值.
19．（2022·重慶·模擬預測）已知拋物線：的焦點為F，直線過F且與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M，當時，點M的橫坐標為2.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線的準線交于點D，點D關于x軸的對稱點為E，當的面積取最小值時，求直線的方程.
【解析】（1）設，由題知時，，故拋物線方程為；
（2）設，聯立拋物線方程得，∴，，而，，
所以，
當且僅當時等號成立，故直線的方程為．
20．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．
(1)求點M的軌跡方程；
(2)求面積的最大值．
【解析】(1)設，則，
設，則，，
設，則，
故即，所以即
所以即的軌跡方程為：.
(2)由（1）可得，故直線.
到的距離為，
故面積，
因為，故即，
當且僅當時等號成立，故面積的最大值為.
21．（2022·甘肅武威·模擬預測（文））已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且．
(1)求此橢圓的方程；
(2)若點P在第二象限，，求的面積．
【解析】（1）設橢圓的標準方程為，焦距為，
由題可得，，

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