1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題36 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
【考點預測】
一．直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
二．直線與圓的位置關(guān)系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三．兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
位置關(guān)系
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征
無實數(shù)解
一組實數(shù)解
兩組實數(shù)解
一組實數(shù)解
無實數(shù)解
公切線條數(shù)
4
3
2
1
0
【方法技巧與總結(jié)】
關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
【題型歸納目錄】
題型一：直線與圓的相交關(guān)系（含弦長、面積問題）
題型二：直線與圓的相切關(guān)系、切點弦問題
題型三：直線與圓的相離關(guān)系
題型四：圓與圓的位置關(guān)系
題型五：兩圓的公共弦問題
【典例例題】
題型一：直線與圓的相交關(guān)系（含弦長、面積問題）
例1．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））已知直線與圓C：相交于點A，B，若是正三角形，則實數(shù)（ ）
A．－2B．2C．D．
【答案】D
【解析】設圓的半徑為，由可得，
因為是正三角形，所以點到直線的距離為
即，兩邊平方得，
故選：D例2．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與圓相交于A，B兩點，則k＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圓的圓心，
所以圓心到直線的距離為，則，
而，所以，解得：.
故選：B.
例3．（多選題）（2022·山東青島·二模）已知，則下述正確的是（ ）
A．圓C的半徑B．點在圓C的內(nèi)部
C．直線與圓C相切D．圓與圓C相交
【答案】ACD
【解析】由，得，則圓心，半徑，
所以A正確，
對于B，因為點到圓心的距離為，所以點在圓C的外部，所以B錯誤，
對于C，因為圓心到直線的距離為，
所以直線與圓C相切，所以C正確，
對于D，圓的圓心為，半徑，
因為，，
所以圓與圓C相交，所以D正確，
故選：ACD
例4．（多選題）（2022·全國·南京外國語學校模擬預測）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線與圓相離
B．若直線是圓的一條對稱軸，則C．已知點為圓上的動點，若直線上存在點，使得，則的最大值為
D．已知，，為圓上不同于的一點，若，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】當時，直線：，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓心相離，故A正確；
若直線是圓的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，即，解得，故B正確；
當與圓相切時，取得最大值，只需此時，即時，故圓心到直線的距離，解得，故C錯誤；
設的中點為，，則，，故，當且僅當且點在點正上方時，等號成立，故D正確．
故選：ABD．
例5．（多選題）（2022·江蘇·高二單元測試）設有一組圓，下列命題正確的是（ ）
A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上
B．存在圓經(jīng)過點（3，0）
C．存在定直線始終與圓相切
D．若圓上總存在兩點到原點的距離為1，則
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑為2，依次分析選項：
對于A，圓心為，其圓心在直線上，A正確；
對于B，圓，
將代入圓的方程可得，
化簡得，，方程無解，
所以不存在圓經(jīng)過點，B錯誤；
對于C，存在直線，即或，
圓心到直線或的距離，
這兩條直線始終與圓相切，C正確，
對于D，若圓上總存在兩點到原點的距離為1，
問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個交點，
圓心距為，
則有，
解可得：或，D正確．
故選：ACD．
例6．（多選題）（2022·河北滄州·二模）已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則直線恒過定點
B．若，則圓可能過點
C．若，則圓關(guān)于直線對稱
D．若，則直線與圓相交所得的弦長為2
【答案】ACD
【解析】當時，點恒在上，故選項正確；
當時，將點代入，得，該方程無解，故選項錯誤；
當時，直線恒過圓的圓心，故選項C正確；
當時，與相交所得的弦長為2，故選項D正確.
故選：ACD
例7．（多選題）（2022·河北·高三階段練習）已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓M的切線，切點為A，B，則下列說法正確的是（ ）A．四邊形面積的最小值為4
B．當直線的方程為時，最小
C．已知圓上有且僅有兩點到直線l的距離相等且為d，則
D．若動直線，且交圓M于C、D兩點，且弦長，則直線縱截距的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】四邊形面積的最小值即為時，而，，所以，A正確；
當直線的方程為時，此時最小，最大，且為，B錯誤；
圓上點到直線l的距離取值范圍為，除去最遠以及最近距離外均有兩點到直線的距離相等，即為，C正確；
設M到直線的距離為d，因為，且，所以，則，
設，即，所以，D正確，
故選：ACD．
例8．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知圓的方程為，則（ ）
A．若過點的直線被圓截得的弦長為，則該直線方程為
B．圓上的點到直線的最大距離為
C．在圓上存在點，使得到點的距離為
D．圓上的任一點到兩個定點、的距離之比為
【答案】BD
【解析】圓的圓心為，半徑為.
對于A選項，若過點的直線的斜率不存在，則該直線的方程為，
由勾股定理可知，圓心到直線的距離為，
而圓心到直線的距離為，合乎題意.
若所求直線的斜率存在，設直線的方程為，
則圓心到直線的距離為，解得，此時直線的方程為.
綜上所述，滿足條件的直線的方程為或，A錯；
對于B選項，圓心到直線的距離為，
因此，圓上的點到直線的最大距離為，B對；
對于C選項，記點，，即點在圓內(nèi)，
且，如下圖所示：
當、、三點不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，即，
當、、三點共線且當點在線段上時，，
當、、三點共線且當點在線段上時，.
綜上所述，，C錯；
對于D選項，設點，則，即，
整理可得，即點的軌跡為圓，D對.
故選：BD.
例9．（多選題）（2022·全國·模擬預測）（多選）已知圓，直線.則以下幾個命題正確的有（ ）
A．直線恒過定點B．圓被軸截得的弦長為
C．直線與圓恒相交D．直線被圓截得最長弦長時，直線的方程為
【答案】ABC
【解析】直線方程整理得，由，解得，∴直線過定點，A正確；
在圓方程中令，得，，∴軸上的弦長為，B正確；
，∴在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，C正確；直線被圓截得弦最長時，直線過圓心，則，，直線方程為，即．D錯．
故選：ABC．
例10．（多選題）（2022·遼寧·一模）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點，過點作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結(jié)論正確的是( )
A．圓的方程為：
B．弦AE的長度的最大值為
C．四邊形ABEF面積的最大值為
D．該線段AE、BF的中點分別為M、N，直線MN恒過定點
【答案】AD
【解析】設圓心為C，圓的半徑為r，
由題可知，，
∴圓的方程為：，故A正確；
當AE過圓心C時，AE長度最長為圓的直徑4，故B錯誤；
如圖，
線段AE、BF的中點分別為M、N，設，
則，
，，，
∴時，四邊形ABEF面積有最大值，故C錯誤；
∵四邊形MDNC為矩形，則MN與CD互相平分，即MN過CD中點()，故D正確.
故選：AD.
例11．（2022·全國·高二專題練習）若圓上至少有三個不同點到直線的距離為，則的取值范圍__．
【答案】
【解析】由圓的標準方程，
可得圓心坐標為，半徑為，
圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，
則圓心到直線的距離應不大于等于，即，
整理得，解得，
即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
例12．（2022·山東煙臺·三模）已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，記點的軌跡為，直線交于，兩點，，若的面積為2，則實數(shù)的值為___________.
【答案】或1
【解析】設，則有
整理得，即點的軌跡為以為圓心以2為半徑的圓
點到直線的距離
直線交于，兩點，則
則的面積
解之得或
故答案為：或1例13．（2022·河南·高三階段練習（文））直線與圓C：相交于M，N兩點，則______．
【答案】4
【解析】圓C：，其圓心坐標為，半徑為3．
圓心到直線2x－y＋1＝0的距離，
則．
故答案為:4.
例14．（2022·天津·高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則_____．
【答案】
【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因為，解得.
故答案為：.
例15．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為__________.
【答案】
【解析】由題意得，直線的斜率存在，設，，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，，得，，.因為，所以，則，于是，（由點A及C在y軸上可判斷出，同號）
所以，兩式消去，得，滿足，所以.
故答案為：例16．（2022·全國·高三專題練習（文））已知曲線y=與直線kx?y+k?1=0有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】由曲線可得
為以為圓心，半徑為1的上半圓
直線kx?y+k?1=0過點，如圖
過和兩點的直線斜率；
設過的直線與半圓相切，結(jié)合圖像可知，顯然斜率存在，故圓心到直線的距離等于半徑，即
解得或（舍去，與下半圓相切）
結(jié)合圖像，故要使曲線y=與直線kx?y+k?1=0有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是
故答案為：
例17．（2022·全國·高三專題練習）已知直線：和圓：.
（1）求圓的圓心、半徑
（2）求證：無論為何值，直線總與圓有交點；
（3）為何值時，直線被圓截得的弦最短？求出此時的弦長.
【解析】（1）因為
所以，，所以，
所以半徑.
（2）由得，由得，所以直線經(jīng)過定點，
因為，所以定點在圓內(nèi)，
所以無論為何值，直線總與圓有交點.
（3）設圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦為，
則，則當最大值時，弦長最小，
因為，當且僅當時，取最大值，
取最小值，此時，所以.
所以時，直線被圓截得的弦最短，弦長為.
例18．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，直線-1），動點滿足，則動點的軌跡的方程為______，若的對稱中心為與交于兩點，則的方程為面積的最大值為______．
【答案】
【解析】設，由題意得，
化簡得的方程為，；
直線的方程可化為，由
解得，所以直線過定點，
又，所以點在圓的內(nèi)部；
作直線，垂足為，
設，易求，所以，
所以，
所以，
所以當，即時，；
故答案為：，.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）研究直線與圓的相交問題，應牢牢記住三長關(guān)系，即半徑長、弦心距和半徑之間形成的數(shù)量關(guān)系．
（2）弦長問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．
題型二：直線與圓的相切關(guān)系、切點弦問題
例19．（2022·湖北·模擬預測）已知圓：，為過的圓的切線，為上任一點，過作圓：的切線，則切線長的最小值是__________.
【答案】
【解析】由題，直線的斜率為，故直線的斜率為，故的方程為，即.又到的距離，故切線長的最小值是
故答案為：例20．（2022·天津市第四十七中學模擬預測）過點與圓相切的直線是_________．
【答案】
【解析】由題意，因為，所以點在圓上，
所以過點與圓相切的直線的斜率，
所以切線方程為，即，
故答案為：.
例21．（2022·全國·高三專題練習）已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________.
【答案】或.
【解析】由題意：當切線斜率不存在時，方程為：，滿足與圓相切，
當斜率存在時，設切線方程為：，
則：，解得，此時切線方程為：，即，
故答案為：或
例22．（2022·廣東·高三開學考試）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．
【答案】
【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，
所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，
所以，
所以直線的方程為，即；
方法2：設，，則由，可得，
同理可得，
所以直線的方程為.
故答案為：
例23．（2022·河南·鄭州四中高三階段練習（文））已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．
【答案】【解析】圓，即，
由于PA，PB分別切圓C于點A，B，則，
，，所以，
因為，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短時，最短，
點C到直線的距離即為的最小值，
所以，所以的最小值為
故答案為：
例24．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，若P為l上的動點，過點P作的切線，切點為A、B，當最小時，直線的方程為__________.
【答案】
【解析】的圓心，半徑，
四邊形面積，要使最小，則需最小，
當與直線垂直時，最小，此時直線的方程為，
聯(lián)立，解得，
則以為直徑的圓的方程為，
則兩圓方程相減可得直線的方程為．
故答案為：．
例25．（2022·全國·高三專題練習）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.
【答案】(1，－1)
【解析】由題意可設Q的坐標為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，過點Q作圓O：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，則直線AB的方程變形可得nx＋ny＋4x－4＝0，則有，解得，則直線AB恒過定點(1，－1).
故答案為：(1，－1).
例26．（多選題）（2022·江蘇省贛榆高級中學模擬預測）已知點在直線上，點在圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．點到的最大距離為
B．若被圓所截得的弦長最大，則
C．若為圓的切線，則的取值范圍為
D．若點也在圓上，則到的距離的最大值為
【答案】ABD
【解析】對于A選項，由題意可知，直線過定點，
圓的圓心為原點，半徑為，設圓心到直線的距離為.
當時，，
當與直線不垂直時，.
綜上所述，，所以，點到的最大距離為，A對；
對于B選項，若被圓所截得的弦長最大，則直線過圓心，可得，所以，B對；
對于C選項，若為圓的切線，則，解得，C錯；對于D選項，若也在圓上，則直線與圓相切或相交，
當直線與圓相切時，到的距離取最大值，D對.
故選：ABD.
例27．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（理））設P為直線上的動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】圓的方程為：，
圓心、半徑.
根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為，要使四邊形面積最小，則最需最小，即最小時為圓心到直線，
所以四邊形PACB的面積的最小值為.
故選：B.
例28．（2022·全國·高三專題練習）已知是半徑為1的動圓上一點，為圓上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，，則當取最大值時，△的外接圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，則動圓心的軌跡方程為.
為圓上的動點，又，
∴，
∵，，，
∴，∴當最小時，最小，當最大時，最大.
當時，取最大值，△的外接圓以線段為直徑，而中點，即中點為，
∴外接圓方程為，即.
故選：A
例29．（多選題）（2022·全國·模擬預測）已知直線，過直線上任意一點M作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則有（ ）
A．四邊形MACB面積的最小值為B．最大度數(shù)為60°
C．直線AB過定點D．的最小值為
【答案】AD
【解析】對于A選項，由題意可知，當時，有最小值，即，此時，所以四邊形MACB面積的最小值為，故選項A正確；
對于B選項，當時，最大，此時，此時，故選項B錯誤；
對于C選項，設點，，，則，易知在點A、B處的切線方程分別為，，將點分別代入兩切線方程得，，所以直線方程為，整理得，代入，得，
解方程組得所以直線AB過定點，故選項C錯誤；
對于D選項，設直線AB所過定點為P，則，當時，弦長最小，此時，則的最小值為，故選項D正確，故選：AD.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）圓的切線方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．
題型三：直線與圓的相離關(guān)系
例30．（2022?荔灣區(qū)校級模擬）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為
A．B．C．D．
【解析】要使切線長最小，需直線上的點和圓心之間的距離最短，此最小值即為圓心到直線的距離，，故切線長的最小值為，故選：．
例31．已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為 ．
【解析】圓心到直線的距離等于，
故圓上的動點到直線的距離的最小值為．
故答案為．
例32．（2022?洛陽二模）已知點是直線上一動點，、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是2，則的值為 2 ．
【解析】圓的圓心，半徑是，
由圓的性質(zhì)知：，四邊形的最小面積是2，
的最小值是切線長）
圓心到直線的距離就是的最小值，
，
故答案為：2
例33．（2022春?個舊市校級期末）已知圓和定點，由圓外一點向圓引切線，切點為，且滿足．
（1）求實數(shù)、間滿足的等量關(guān)系；
（2）求線段長的最小值．
【解析】（1）連，為切點，，由勾股定理有
又由已知，故：
化簡得實數(shù)、間滿足的等量關(guān)系為：．
（2）由（1）知，點在直線上．
，即求點到直線的距離．
例34．（多選題）（2022·全國·模擬預測）已知點在圓上，點，，則（ ）
A．點到直線的距離最大值為
B．滿足的點有3個
C．過點作圓的兩切線，切點分別為?，則直線的方程為
D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】對A，，則圓心到直線的距離，所以點P到該直線距離的最大值為．A正確；
對B，設點，則，且，由題意，
兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿足這樣條件的點P有2個．B錯誤；對C，設，則直線MB，NB分別為，因為點B在兩條直線上，所以，于是都滿足直線方程，即直線MN的方程為．C正確；
對D，即求的最小值，設存在定點，使得點在圓上任意移動時均有，設，則有，化簡得，∵，
則有，即，∴，則，
所以，所以D正確．
故選：ACD．
【方法技巧與總結(jié)】
關(guān)于直線與圓的相離問題的題目大多是最值問題，即直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．
題型四：圓與圓的位置關(guān)系
例35．（2022·全國·高三專題練習）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為_________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意作出如下圖形：
AB為兩圓的公切線，切點分別為A,B.
當公切線AB與直線平行時，公切線AB斜率不為7，即不妨設
過作AB的平行線交于點E，則：，且
,
直線的斜率為：，
所以直線AB與直線的夾角正切為：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
例36．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當切線為l時，因為，所以，設方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當切線為m時，設直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當切線為n時，易知切線方程為，
故答案為：或或.
例37．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三開學考試（文））若圓與圓外切，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．24D．16
【答案】D
【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為
兩個圓的圓心距為.由于兩個圓外切，所以，解得.
故選：D
例38．（2022·廣西桂林·模擬預測（文））圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．相離
【答案】A
【解析】由與圓，
可得圓心，半徑，
則，且，
所以，所以兩圓相交.
故選：A.
例39．（2022·陜西·西安中學一模（理））在平面直角坐標系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數(shù)是（ ）
A．4條B．3條C．2條D．1條
【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
，顯然，即圓與圓外離，
所以兩圓的公切線的條數(shù)是4.
故選：A
例40．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】將化為標準方程得，即圓心為半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為圓與圓至少有三條公切線，
所以兩圓的位置關(guān)系為外切或相離，
所以，即，解得.
故選：D
例41．（2022·云南師大附中高三階段練習（文））已知圓：，圓：（且），則圓與圓的公切線有（ ）
A．4條B．1條C．2條D．3條
【答案】C
【解析】解法一：圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
所以，圓心之間的距離，
因為，
故兩圓相交，有兩條公切線；
解法二：
兩圓有，兩個公共點，故兩圓相交，有兩條公切.
故選:C．例42．（2022·山東聊城·二模）已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】設點，則，
且，由，得
，
即，
故點P的軌跡為一個圓心為、半徑為的圓，
則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，
有，所以兩圓相交，滿足這樣的點P有2個.
故選：B.
例43．（2022·云南省下關(guān)第一中學高三開學考試）若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】到點的距離為2的點在圓上，
所以問題等價于圓上總存在兩個點也在圓上，
即兩圓相交，故，
解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍為，
故選：A．
例44．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則，
在中，，
所以點在圓上，
由于點P也在圓M上，故兩圓有公共點.
又圓M的半徑等于1，圓心坐標，
，
∴，
∴.
故選：D.
例45．（2022·全國·高三專題練習）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（ ）
A．3B．8C．4D．9
【答案】D
【解析】因為圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，
所以兩圓相內(nèi)切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設可知，
當且僅當a2＝2b2時等號成立．
故選：D.
例46．（2022·河南·模擬預測（文））下列方程中，圓與圓的公切線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可知，，
如圖，設公切線l與圓，圓分別相切于第一象限的A，B兩點，與x軸相交于點P，
由幾何關(guān)系可知，，，，
所以，，，，l的斜率為，則l的方程為，即，
根據(jù)對稱可得出另一條公切線方程為.
故選：B．
【方法技巧與總結(jié)】
已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內(nèi)切；
（5）兩圓內(nèi)含；
題型五：兩圓的公共弦問題
例47．（2022·全國·高三專題練習）設點P為直線上的點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由于PA，PB是圓C：的兩條切線，A，B是切點，
所以，
當最小時，四邊形PACB的面積取得最小，
此時PC：，即，
聯(lián)立得所以，PC的中點為，，
以PC為直徑的圓的方程為，
即，
與圓C：兩圓方程相減可得直線AB的方程．
故選：B．
例48．（2022·河南·二模（文））已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
兩式相減得公共弦所在直線方程為：，
分別取，得，解得，即
故選：A
例49．（2022·浙江省普陀中學高三階段練習）圓與的公共弦長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知圓，圓，
兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，
而圓心到直線的距離為，
圓的半徑為，所以，所以.
故選：D.
例50．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將兩圓的方程相減得到兩個圓公共弦所在直線方程為
故選：D.例51．（2022·全國·高三專題練習）已知圓與圓交于不同的，兩點，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】兩圓方程相減可得直線的方程為，即，故C不正確；
連立可得中點，易知A、B錯誤.
∴，兩式相減可得，故D正確.
故選：D
例52．（2022·全國·高三專題練習）已知圓與圓相交于點，，則四邊形的面積是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根據(jù)條件易知，，所以，
圓的半徑為2，
圓與圓相交于點，，
的方程為：.即，圓到的距離為：
于是，
因為，
所以四邊形的面積為：.
故選：B.
【方法技巧與總結(jié)】
兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】， ，∴直線恒過點P（—4，1） ，
對于A，圓心為（2，-1），半徑為5，P到圓心的距離為： ，
即P點不在該圓內(nèi)；
對于B，圓心為（-1，-2），半徑為5，P到圓心的距離為 ，
故點P在該圓內(nèi)；
對于C，圓心為（3，-4），半徑為5，P點到圓心的距離為 ，
故點P不在該圓內(nèi)；
對于D，圓心為（-1，-3），半徑為5，點P到圓心的距離為 ，
點P該在圓上，可能相切也可能相交；
故選：B.
2．已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點分別M，N，當直線l被圓O截得的弦長最小時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直線l：，即，所以直線過定點，，圓半徑，
點在圓內(nèi)，所以當直線與垂直的時候，最短，
此時．
故選：C．
3．過點的直線與圓：交于，兩點，當弦取最大值時，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圓：化為
所以圓心坐標
要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心由直線方程的兩點式得： ，即
故選：A
4．若直線與圓交于不同的兩點A、B，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設圓心O到直線l的距離為d，
∵，則以為鄰邊的平行四邊為菱形，即
由，即，則
又由垂徑定理可知，即
解得
則，解得．
故選：A．
5．若點到直線的距離分別為1和4，則這樣的直線共有（ ）條
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】到點距離為1的直線，可看作以為圓心1為半徑的圓的切線，
同理到點距離為的直線，可看作以為圓心為半徑的圓的切線，
故所求直線為兩圓的公切線，
又，所以，故兩圓相交，公切線有條，
故選：C．
6．已知圓截直線所得的弦長為，則圓C與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】C
【解析】圓C的圓心為，半徑為a，其圓心到直線的距離為，
所截得的弦長為，解得．
所以，C的圓心為，半徑為2；
又的圓心為，半徑為1，
，
故可得，則兩圓的位置關(guān)系是相交．
故選：．
7．設，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設，
，，即．
點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．
若直線上存在點Q使得，
則PQ為圓的切線時最大，如圖，
，即．
圓心到直線的距離，
或．
故選：B．
8．點M為直線上一點，過點M作圓O：的切線MP，MQ，切點分別為P，Q，當四邊形MPOQ的面積最小時，直線PQ的方程為（ ）
A．x＋y－2＝0B．
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
【答案】A
【解析】因為直線MP，MQ與圓O：相切，切點為，
所以，，
所以四邊形MPOQ的面積，
又，
所以，所以當取最小值時，四邊形MPOQ的面積最小，
又當且僅當與直線垂直時，取最小值，
所以當與直線垂直時，四邊形MPOQ的面積最小，
此時直線的方程為，聯(lián)立可得，
所以點的坐標為，因為，所以四點共圓，圓的直徑為,
該圓的圓心為，半徑為，
所以該圓的方程為：，
又在圓上，所以為兩圓的公共弦，
所以的方程為：
故選：A.
二、多選題
9．已知圓和直線，則（ ）
A．直線與圓的位置關(guān)系無法判定
B．當時，圓上的點到直線的最遠距離為
C．當圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1時，
D．如果直線與圓相交于兩點，則弦的中點的軌跡是一個圓
【答案】BCD
【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為，
直線，故直線過定點，
對于A選項，由于點在圓內(nèi)，故直線與圓相交，A錯誤；
對于B選項，當時，直線，圓心到直線的距離為，故圓上的點到直線的最遠距離為，B正確；
對于C選項，當圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1時，圓心到直線的距離為
，解得，C正確；
對于D選項，由于直線過定點，設弦的中點為，則，即點的軌跡為以為直徑的圓，故D正確.
故選：BCD
10．已知圓C：，直線l過點，若將圓C向上平移4個單位長度，再向右平移3個單位長度得到圓，則下列說法正確的有（ ）
A．若直線l與圓C相切，則直線l的方程為3x＋4y－10＝0
B．若直線l與圓C交于A，B兩點，且ABC的面積為2，則直線l的方程為x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0
C．若過點的直線與圓C交于M，N兩點，則當CMN面積最大時，直線的斜率為1或－1
D．若Q是x軸上的動點，QR，QS分別切圓于R，S兩點，則直線RS恒過一個定點
【答案】BCD
【解析】對于A，圓的方程為，圓心，當直線l垂直于x軸時，其方程為x＝－2，符合題意．當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為，即kx－y＋2k＋4＝0，則，解得，所以直線l的方程為，即3x＋4y－10＝0．綜上，直線l的方程為x＝－2或3x＋4y－10＝0，所以A不正確．
對于B，由題意知直線l的斜率存在且不為0，故設直線l的方程為，即．設圓心C到直線l的距離為d，則，即，解得，則，解得或．所以直線l的方程為x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0，所以B正確．
對于C，可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離．因為（當且僅當，即時取等號）．由，得，解得或，所以C正確．
對于D，由題意知圓的方程為，圓心．設，則以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則圓D的方程為，整理得，圓與圓D的公共弦所在直線即為直線RS，將兩式相減，可得直線RS的方程為，即．令解得即直線RS恒過定點，所以D正確．
故選：BCD．
11．已知點是圓上的任意一點，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種
B．圓的圓心到直線距離的最大值為
C．點到直線距離的最小值為
D．點可能在圓上
【答案】ACD
【解析】對于A選項，因為直線的方程可化為．
令解得，所以直線過定點，
直線是過點的所有直線中除去直線外的所有直線，
圓心到直線的距離為，即直線與圓相交，
又點在圓上，所以直線與至少有一個公共點，
所以直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種，A正確；
對于B選項，當直線為圓的切線時，點到直線的距離最大，且最大值為，B錯誤；
對于C選項，因為圓心到直線的距離，
所以圓上的點到直線距離的最小值為，C正確；
對于D選項，圓的圓心為原點，半徑為，
因為，所以，圓與圓內(nèi)切，故點可能在圓上，D正確.
故選：ACD.
12．若實數(shù)x，y滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．x的最小值是4
B．x的最大值是20
C．若關(guān)于y的方程有一解，則x的取值范圍為D．若關(guān)于y的方程有兩解，則x的取值范圍為
【答案】BD
【解析】當時，解得，符合題意；當時，令，則，又，則，即，則原方程可化為．設，，，則的圖象是斜率為的直線的一部分，的圖象是以原點為圓心，半徑為的四分之一圓，則問題等價于的圖象和的圖象有公共點，觀察圖形可知，
當直線與圓相切時，由，解得；當直線過點時，，解得；當直線過點時，，解得．因此，要使直線與圓有公共點，則有，綜上，，故x的最大值為20，最小值為0．顯然當或或時，y有一解；當時，y有兩解．
故選：BD．
三、填空題
13．已知直線與圓O：相交于A，B兩點（O為坐標原點），且為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為___________.
【答案】
【解析】如圖：
因為 是等于直角三角形，所以圓心（0,0）到直線的距離為 ，
應用點到直線的距離公式得： ；
故答案為： .
14．設與相交于兩點，則________．
【答案】
【解析】將和兩式相減：
得過兩點的直線方程： ，
則圓心到的距離為，
所以 ，
故答案為：
15．已知點，，動點滿足，則點M到直線的距離可以是___________.（寫出一個符合題意的整數(shù)值）
【答案】1(答案不唯一)
【解析】由題設知，即在以為直徑的圓上，且圓心為，半徑為2，
所以的軌跡為，
而到的距離為，即直線與圓相離，
所以M到直線的距離范圍，
由，故1滿足.
故答案為：1(答案不唯一)16．已知點為圓與圓公共點，圓+1，圓+1 ，若，則點與直線：上任意一點之間的距離的最小值為_________．
【答案】2．
【解析】設，則，令，則，同理可得，因此為方程
兩根，由韋達定理得，從而點與直線：上任意一點之間的距離的最小值為
四、解答題
17．試運用數(shù)形結(jié)合解下列問題：求函數(shù)的值域.
【解析】如圖所示，
設A的坐標為，B的坐標為，則直線的斜率為，
∴函數(shù)的值域為直線的斜率的取值范圍.
如圖，點B的軌跡為以O為圓心，半徑為1的圓，方程為①，
過點A作圓的切線和，設切線方程為②，
將②代入①，得，整理得.
∵直線和圓相切，
∴，即③，
又A在切線上，∴④，由③、④得：，.
∴直線的斜率的取值范圍是，則函數(shù)的值域是.
18．已知圓C經(jīng)過點，圓C的圓心在圓的內(nèi)部，且直線被圓C所截得的弦長為.點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N.
(1)求圓C的方程；
(2)若直線與圓C交于A1，A2兩點，求.
【解析】(1)由題意，圓C的圓心在圓，可得圓心C在線段AB的中垂線上，
可設，圓C的半徑為，
因為直線被圓C所截得的弦長為，且，
所以到直線的距離，
解得或，
又圓C的圓心在圓的內(nèi)部，所以，此時，
所以圓C的方程為.
(2)將代入，整理得，
設，則，
所以 .
19．已知圓C：．
(1)求圓心C的坐標及半徑長；
(2)求直線：被圓C所截得的弦AB的長．
【解析】(1)因為圓C：，所以圓心，半徑；
(2)圓心到直線：的距離為，
所以直線：被圓C所截得的弦AB的長為，
所以直線：被圓C所截得的弦AB的長為.
20．已知動圓E過定點，且y軸被圓E所截得的弦長恒為4．
(1)求圓心E的軌跡方程．
(2)過點P的直線l與E的軌跡交于A，B兩點，，證明：點P到直線AM，BM的距離相等．【解析】(1)設，圓E的半徑，圓心E到y(tǒng)軸的距離，
由題意得，
化簡得，經(jīng)檢驗，符合題意．
(2)當直線斜率存在時，設，與E的方程聯(lián)立，消去y得，．
設，，則，
∵，
∴，則直線PM平分，
當直線l與x軸垂直時，顯然直線PM平分．
綜上，點P到直線AM， BM的距離相等．
21．已知在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．
【解析】(1)聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.
若切線的斜率不存在，則切線的方程為，此時直線與圓相離，不合乎題意；
所以，切線的斜率存在，設所求切線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，解得或.
故所求切線方程為或，即或.
(2)設圓心的坐標為，則圓的方程為，
設點，由可得，
整理可得，
由題意可知，圓與圓有公共點，所以，，
即，解得.
所以，圓心的橫坐標的取值范圍是.22．已知動圓M經(jīng)過定點，且與圓相內(nèi)切．
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設點T在上，過點T的兩條直線分別交軌跡C于A，B和P，Q兩點，且，求直線AB的斜率和直線PQ的斜率之和．
【解析】(1)設動圓圓心，半徑為r，
由題意得：
得．
所以圓心M的軌跡是以，為焦點的橢圓，且
故軌跡C方程為．
(2)設，，，AB直線方程為，
，，PQ直線方程為，
聯(lián)立相消得，
同理，又，
，又，．

相關(guān)試卷

最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題27 數(shù)列求和：

這是一份最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題27 數(shù)列求和，文件包含專題27數(shù)列求和教師版docx、專題27數(shù)列求和學生版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共85頁， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題26 數(shù)列的通項公式：

這是一份最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題26 數(shù)列的通項公式，文件包含專題26數(shù)列的通項公式教師版docx、專題26數(shù)列的通項公式學生版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共112頁， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題16 極值與最值：

這是一份最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題16 極值與最值，文件包含專題16極值與最值教師版docx、專題16極值與最值學生版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共67頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題12 函數(shù)與方程

最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題12 函數(shù)與方程
最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題01 集合

最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】 專題01 集合
最新高考數(shù)學一輪復習【講通練透】 第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（練透）

最新高考數(shù)學一輪復習【講通練透】 第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（練透）
最新高考數(shù)學一輪復習【講通練透】 第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（九大題型）（講通）

最新高考數(shù)學一輪復習【講通練透】 第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（九大題型）（講通）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部