1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題34 兩條直線的位置關(guān)系
【考點預(yù)測】
知識點一：兩直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．
知識點二：三種距離
1．兩點間的距離
平面上兩點的距離公式為．
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離
2．點到直線的距離
點到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離
3．兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．
（2）設(shè)，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．
4．雙根式
雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調(diào)性求解．
【方法技巧與總結(jié)】
1．點關(guān)于點對稱
點關(guān)于點對稱的本質(zhì)是中點坐標公式：設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，則根兩直線方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一個為0，另一個不存在．
據(jù)中點坐標公式，有
可得對稱點的坐標為
2．點關(guān)于直線對稱
點關(guān)于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
3．直線關(guān)于點對稱
法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4．直線關(guān)于直線對稱
求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯(lián)立算出交點
第二步：在上任找一點（非交點），利用點關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點
第三步：利用兩點式寫出方程
5．常見的一些特殊的對稱
點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為．
點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．
點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．
點關(guān)于點的對稱點為．
點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．
6．過定點直線系
過已知點的直線系方程（為參數(shù)）．
7．斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．
8．平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9．垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．
10．過兩直線交點的直線系
過直線與的交點的直線系方程：（為參數(shù)）．
【題型歸納目錄】
題型一：兩直線位置關(guān)系的判定
題型二：有關(guān)距離的計算
題型三：有關(guān)距離的最值問題
題型四：點點對稱
題型五：點線對稱
題型六：線點對稱
題型七：線線對稱
題型八：直線系方程
【典例例題】
題型一：兩直線位置關(guān)系的判定
例1．（2021·全國·高三專題練習（文））已知直線：，：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
例2．（2021·全國·高三專題練習（文））已知，則直線：和直線：的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．垂直或重合
例3．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則滿足的的值是（ ）
A．B．0C．或0D．或0
例4．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（ ）A．B．2或C．2D．
例5．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學》－書中提出：三角形的外心（中垂線的交點）、重心（中線的交點）、垂心（高的交點）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線．若△ABC的頂點A（－4，0），B（0，4），其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則下列說法正確的是（ ）
A．△ABC的外心為（－1，1）B．△ABC的頂點C的坐標可能為（－2，0）
C．△ABC的垂心坐標可能為（－2，0）D．△ABC的重心坐標可能為
例6．（2022·全國·高三專題練習（理））直線和直線垂直，則實數(shù)__________．
例7．（2023·全國·高三專題練習）“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
例8．（2023·全國·高三專題練習）直線與直線互相垂直，且兩直線交點位于第三象限，則實數(shù)a的值為（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
【方法技巧與總結(jié)】
判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：
當時，直線相交；
當時，直線平行或重合，代回檢驗；
當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
題型二：有關(guān)距離的計算
例9．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，原點到直線的距離等于（ ）
A．1B．C．D．3
例10．（2022·吉林市教育學院模擬預(yù)測（理））已知兩點到直線的距離相等，則（ ）
A．2B．C．2或D．2或
例11．（2021·福建·晉江市第一中學高二階段練習）直線l過點，且到l的距離相等，則直線l的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
例12．（2021·全國·高二課時練習）已知的三個頂點坐標是，，．則的形狀為______；的面積為______．
例13．（2022·全國·高二專題練習）已知的頂點為，則邊上的中線長為____．
例14．（2016·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期中（文））已知點，，若在軸上存在一點滿足，則點的坐標為___________．
例15．（2022·全國·高三專題練習）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4B．C．D．
例16．（2022·江蘇·高二）若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
【方法技巧與總結(jié)】
兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．
題型三：有關(guān)距離的最值問題
例17．（2022·全國·高三專題練習）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．8
例18．（2023·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀德國猶太人數(shù)學家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，即在直角坐標平面內(nèi)，若，，則，兩點的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點的“曼哈頓距離”是（ ）
A．B．
C．D．
例19．（2022·廣東潮州·二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）．
A．5B．C．45D．
例20．（2022·上海虹口·高二期末）已知點在直線上，則的最小值為________．
例21．（2022·全國·高三專題練習）記，，，則的最小值是___________．
例22．（2022·全國·高三專題練習）求函數(shù)的最小值為___________．
例23．（2020·全國·高三專題練習（文））已知點，，動點P，Q分別在直線和上，且PQ與兩直線垂直，則的最小值為___________．
例24．（2020·上?！?fù)旦附中青浦分校高三開學考試）已知二元函數(shù)的最小值為，則正實數(shù)a的值為__________________．
例25．（2022·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句詩說：“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題．即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為．若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短路程為________．
例26．（2021·河北石家莊·高三階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點分別為直線和上動點，則△周長的最小值為_________．
例27．（2022·全國·高三專題練習）已知點和點，P是直線上的一點，則的最小值是__________．
例28．（2022·浙江·高三專題練習）已知圓，圓，點M、N分別是圓、圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
例29．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，對于函數(shù)，的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例30．（2022·浙江省杭州學軍中學高二期末）原點到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例31．（2022·全國·高二）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例32．（多選題）（2022·重慶·模擬預(yù)測）“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學用語．在平面直角坐標系內(nèi)，對于任意兩點、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說法正確的是（ ）
A．若點為線段上任意一點，則為定值
B．對于平面上任意一點，若，則動點的軌跡長度為
C．對于平面上任意三點、、，都有
D．若、為橢圓上的兩個動點，則最大值為
例33．（2021·全國·高三專題練習）已知直線l：3x－y－1＝0及點A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）試在l上求一點P，使|AP|＋|CP|最?。?br>（2）試在l上求一點Q，使|AQ|－|BQ|最大．
例34．（多選題）（2022·湖北·十堰市教育科學研究院高三期末）“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語．在平面直角坐標系中，點，的曼哈頓距離為．若點，Q是圓上任意一點，則的取值可能為（ ）
A．4B．3C．2D．1
例35．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知圓C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分別為圓C1和C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6B．7C．10D．15
【方法技巧與總結(jié)】
數(shù)學結(jié)合，利用距離的幾何意義進行轉(zhuǎn)化．
題型四：點點對稱
例36．（2022·全國·高二）過點的直線與軸?軸分別交于兩點，且恰好是的中點，則的斜率為（ ）A．B．C．D．
例37．（2021·全國·高二課時練習）已知，，點是線段的中點，則______．
例38．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標原點，則直線l的方程為______．
例39．（2022·海南·高二期末）已知點，，其中，若線段的中點坐標為，則直線的方程為________．
【方法技巧與總結(jié)】
求點關(guān)于點中心對稱的點，由中點坐標公式得
題型五：點線對稱
例40．（2021·江西省峽江中學高二期中（理））在等腰直角三角形中，點是邊異于、的一點．光線從點出發(fā)，經(jīng)過、反射后又回到點（如圖）．若光線經(jīng)過的重心，且則_________
例41．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，點（0，4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點為（ ）
A．（－1，2）B．（2，－1）C．（1，3）D．（3，1）
例42．（2021·全國·高三專題練習）已知A（4，－3）關(guān)于直線l的對稱點為B（－2，5），則直線l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0
例43．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：，一條光線經(jīng)直線的定點T射入，先后被x軸、x+y=0反射回T點，求光線在這個過程中走過的路程．
例44．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A（－1，－2），求點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標．
【方法技巧與總結(jié)】
求點關(guān)于直線對稱的點
方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點
方法二：先求經(jīng)過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得
題型六：線點對稱
例45．（2022·全國·高三專題練習）直線關(guān)于點對稱的直線方程（ ）
A．B．
C．D．
例46．（2022·全國·高三專題練習）點在直線上，直線與關(guān)于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A．B．C．D．
例47．（2022·全國·高三專題練習）直線恒過定點，則直線關(guān)于點對稱的直線方程為_________．
例48．（2023·全國·高三專題練習）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
求直線l關(guān)于點中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點關(guān)于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．
題型七：線線對稱
例49．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．
例50．（2021·全國·模擬預(yù)測）與直線關(guān)于對稱的直線的方程為__________．
例51．（2020·全國·高三專題練習（文））直線x－2y＋2＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是________．
例52．（2022·全國·高三專題練習）與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
例53．（2021·全國·高二課時練習）已知直線，，．
（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；
（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．
例54．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：，P（3，-1），當k為1時，求直線l關(guān)于點P的對稱直線l′，并求直線l與l′間的距離
例55．（2020·全國·高三專題練習）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
例56．（2020·全國·高三專題練習（文））直線l1：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：x－y＋2＝0對稱的直線l2的方程為（ ）
A．x－3y＋14＝0B．x＋y－2＝0C．x＋2y－6＝0D．2x－y+8＝0
【方法技巧與總結(jié)】
求直線l關(guān)于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關(guān)于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
題型八：直線系方程
例57．（2021·安徽省六安中學高二期中（理））已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為_________．
例58．（2022·全國·高二專題練習）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：
（1）斜率為；
（2）過點；
（3）平行于直線．
例59．（2022·江蘇·高二）直線經(jīng)過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程．
例60．（2021·全國·高二專題練習）求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點且斜率為﹣2的直線方程．
例61．（2021·全國·高一課時練習）求經(jīng)過直線與的交點，且過點的直線方程．
【方法技巧與總結(jié)】
利用直線系方程求解．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）過點且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件
C．既不充分也不必要條件D．必要不充分條件
3．（2022·重慶·三模）已知直線上存在一點P，滿足，其中O為坐標原點．則實數(shù)k的取值范圍是（ ）A．B．C．D．
4．（2022·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，將三角板的端點?分別放在軸和軸的正半軸上運動，點在第一象限，且，若，則點與點之間的距離（ ）
A．最大值為2B．最大值為
C．最大值為D．最大值為
5．（2023·全國·高三專題練習）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（ ）
A．無論，，如何，方程組總有解
B．無論，，如何，方程組總有唯一解
C．存在，，，方程組無解
D．存在，，，方程組無窮多解
6．（2017·河南新鄉(xiāng)·高三）設(shè)a、b、c分別為中、、所對邊的邊長，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
7．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)學家華羅曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點A（x，y）與點B（a，b）之間的距離的幾何問題，結(jié)合上述觀點，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習）已知點A在直線上，點B在直線上，線段AB的中點為，且滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習）（多選）設(shè)點P（-4，2），Q（6，-4），R（12，6），S（2，12），則有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
10．（2021·湖北襄陽·高三階段練習）已知曲線的方程為，則（ ）
A．曲線可能是直線B．當時，直線與曲線相切
C．曲線經(jīng)過定點D．當時，直線與曲線相交
11．（2021·重慶一中高三期中）若過點，，，作四條直線構(gòu)成一個正方形，則該正方形的面積可能等于（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知，過定點的直線為與過定點的直線，兩條動直線的交點為，則（ ）
A．定點
B．定點
C．點的軌跡方程為
D．的最大值為
三、填空題
13．（2022·全國·高二專題練習）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率；②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；
其中正確命題的個數(shù)是______．
14．（2022·全國·高二專題練習）如圖已知，若光線從點射出，直線反射后到直線上，在經(jīng)直線反射回原點，則光線所在的直線方程為________．
15．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學研究室二模（理））不等式的解集為______．
16．（2021·重慶市第七中學校高二階段練習）“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語，例如在平面直角坐標系中，點，、，的曼哈頓距離為：．若點，點為圓上一動點，則的最大值為_________．
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習）已知兩條直線和，試分別確定的值，使：
（1）與相交于一點；
（2）且過點；
（3）且l1在y軸上的截距為．
18．（2021·全國·高三專題練習）已知直線
（1）若直線在x軸上的截距為，求實數(shù)a的值；
（2）直線與直線平行，求與之間的距離．
19．（2022·全國·高三專題練習（理））已知直線，點．求：
（1）點關(guān)于直線的對稱點的坐標；
（2）直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；（3）直線關(guān)于點對稱的直線的方程．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）．O為坐標原點，若線段OB交AD于M點，且，求t的值和相應(yīng)M點的坐標．
21．（2020·全國·高三專題練習（理））已知平行四邊形的三個頂點坐標為
（1）求平行四邊形的頂點的坐標；
（2）求平行四邊形的面積；
（3）在中，求外心的坐標．
22．（2016·江蘇常州·高三階段練習）如圖，相距14km的兩個居民小區(qū)M和N位于河岸l（直線）的同側(cè)，M和N距離河岸分別為10km和8km．現(xiàn)要在河的小區(qū)一側(cè)選一地點P，在P處建一個生活污水處理站，從P排直線水管PM，PN分別到兩個小區(qū)和垂直于河岸的水管PQ，使小區(qū)污水經(jīng)處理后排入河道．設(shè)PQ段長為tkm（0

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