1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題31 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
知識(shí)點(diǎn)1：直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直．
知識(shí)點(diǎn)2：判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）
知識(shí)點(diǎn)3：性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判斷定理
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面?線⊥面
兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
_
_
a
平行與垂直的關(guān)系
一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直
_
平行與垂直的關(guān)系
兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
?
_
b
_
a
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
性質(zhì)定理
垂直于同一平面的兩條直線平行
?
_
b
_
a
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
知識(shí)點(diǎn)4：平面與平面垂直的定義
如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．
知識(shí)點(diǎn)5：判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）
知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）
垂直與平行的關(guān)系
垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行
_
線垂直于面的性質(zhì)
如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直
_
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
【方法技巧與總結(jié)】
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對(duì)角線互相垂直；
④直徑所對(duì)的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質(zhì)；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質(zhì)（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質(zhì)（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
_
_
a
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
判定
判定
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
線⊥面
線⊥線
面⊥面
【題型歸納目錄】
題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定
題型二：證明線線垂直
題型三：證明線面垂直
題型四：證明面面垂直
【典例例題】
題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定
例1．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））如圖，在四面體中，，，，，則四面體中存在面面垂直關(guān)系的對(duì)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是平面內(nèi)的兩條直線，是空間的一條直線，則“”是“且”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例3．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．與是異面直線B．平面
C．D．平面
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線異面，直線平面
D．直線與直線相交，直線平面
例6．（2021·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α
例7．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（文））已知是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題：
①若，則；②若，則；
③若，則；④若，則．
其中所有真命題的序號(hào)是（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
【方法技巧與總結(jié)】
此類問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除．
題型二：證明線線垂直
例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．證明：
例9．（2022·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．
（1）求四棱錐的全面積；（2）求證：．
例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間幾何體中，與均為等邊三角形，平面平面平面．求證：．
例11．（2022·黑龍江·哈九中三模（文））如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．
例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，．
若，試證；
例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA＝PB＝3．
證明：∠PAD＝∠PBC；
例14．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，．
證明：；
例15．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知梯形，現(xiàn)將梯形沿對(duì)角線向上折疊，連接，問(wèn)：
若折疊前不垂直于，則在折疊過(guò)程中是否能使？請(qǐng)給出證明；
例16．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；
（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍．
【方法技巧與總結(jié)】
題型三：證明線面垂直
例17．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是平行四邊形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F(xiàn)分別是BC，A1B1的中點(diǎn)．
（1）求證：BC1⊥A1C；
（2）求證：EF∥平面A1C1CA；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例18．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，．
證明：平面；
例19．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，且，為棱的中點(diǎn)．
求證：平面；
例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面．證明：平面
例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．證明：BD⊥平面PAC
例22．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（文））如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，D為PC上一點(diǎn)，且．
（1）若E為AC的中點(diǎn)，求三棱錐與三棱錐的體積之比；
（2）若，，證明：平面ABD．
例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，若平面，試確定的值．
例24．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖所示的五面體中，平面平面，四邊形為正方形，，，．
（1）求證：平面；
（2）若，求多面體的體積．
例25．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在正方體中，，．
（1）求證：；
（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使得平面？并說(shuō)明理由．
例26．（2022·江西九江·三模（理））如圖1，矩形中，，，為上一點(diǎn)且．現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2．
證明：平面；
例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．
證明：PO⊥平面ABC；
例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，，等邊三角形所在的平面垂直于底面，．求證：平面；
例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．如圖2．證明：直線平面．
例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面
例31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為2的等邊（圖1），點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是邊AC，AB上的中點(diǎn)，將沿直線DE折到的位置，使得平面平面BCDE，點(diǎn)O和點(diǎn)P分別是邊DE，BE的中點(diǎn)（圖2）．證明：平面
【方法技巧與總結(jié)】
垂直關(guān)系中線面垂直是重點(diǎn)．
線垂面哪里找
線垂面有何用
證明線面垂直常用兩種方法．
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號(hào)表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質(zhì)．
面面垂直線面垂直，符號(hào)表示為：，那么．
題型四：證明面面垂直
例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，，．求證：平面PCD⊥平面PAC；
例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例34．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例35．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在三棱柱中，，．
（1）證明：平面平面．
（2）設(shè)P是棱上一點(diǎn)，且，求三棱錐體積．
例36．（2022·安徽合肥·二模（理））如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使得，連結(jié)，，．
證明：平面平面；
例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，，，，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，二面角為．
證明：平面平面
例38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)面底面ABC．
（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：；
（2）過(guò)側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妫?br>例39．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，已知四棱臺(tái)的底面是矩形，平面平面，，為的中點(diǎn)，且．
證明：平面平面
例40．（2022·浙江·三模）如圖，四面體的棱平面，．
證明：平面平面；
例41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，，連接AF，．
證明：平面平面；
【方法技巧與總結(jié)】
主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時(shí)，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．若和分別為空間中的直線和平面，則“”是“垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．?dāng)?shù)學(xué)試題）現(xiàn)有邊長(zhǎng)為的正四面體，其中點(diǎn)M為的重心，點(diǎn)N，H分別為，中點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)m，n是空間兩條不同直線，，是空間兩個(gè)不同平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件
B．當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件
C．當(dāng)時(shí)，“”是“”的必要不充分條件
D．當(dāng)時(shí)，“”是“”的必要不充分條件4．?dāng)?shù)學(xué)試題）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
5．設(shè)，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下面四個(gè)命題：
①若，，則；②若，，則；
③若，，則；④若，，，則．
其中所有正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②B．②C．④D．②③
6．在三棱錐中．作平面，垂足為．
①若三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則是的（ ）心；
②若三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，則是的（ ）心：
③若三組對(duì)棱與與與中有兩組互相垂直，則是的（ ）心
以上三個(gè)空依次填（ ）
A．外，垂，內(nèi)B．內(nèi)，外，垂C．垂，內(nèi)，外D．外，內(nèi)，垂
7．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．EF∥平面
C．EF⊥平面D．四面體的體積等于
8．試題）為正方體對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，下面結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．若平面PAC，則
C．若為鈍角三角形，則D．若，則為銳角三角形
二、多選題
9．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．試題）如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個(gè)等腰直角三角形ABC和一個(gè)有一內(nèi)角為30?的直角三角形ACD拼接而成，將△ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，下列結(jié)論中可能成立的是（ ）
A．CD⊥ABB．BC⊥ADC．BD⊥ABD．BC⊥CD
11．在矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下述選項(xiàng)正確的是（ ）
A．是定值
B．點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)
C．存在某個(gè)位置，使
D．存在某個(gè)位置，使平面
12．如圖所示，在四棱錐中中，為正方形，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．線段長(zhǎng)度等于線段長(zhǎng)度
三、填空題
13．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，寫出以之間的部分位置關(guān)系為條件（除外），為結(jié)論的一個(gè)真命題：_____________．
14．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC與BD交于點(diǎn)O，將△ACD沿直線AC翻折，形成三棱錐D-ABC，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得OB⊥AD，則x的取值范圍是___________．
16．如圖，在正方體中，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)E，則下列正確說(shuō)法的序號(hào)是___________．
①存在點(diǎn)F使得平面；
②存在點(diǎn)F使得平面；
③對(duì)于任意的點(diǎn)F，都有；
④對(duì)于任意的點(diǎn)F三棱錐的體積均不變．
四、解答題
17．在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面．證明：平面；
18．如圖所示，在四棱錐中，平面底面，，，，，，．設(shè)平面與平面的交線為，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的值．
19．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．證明：平面平面
20．如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD．
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
21．如圖1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖2中的位置，使平面平面BCDE，得到四棱錐．當(dāng)四棱錐的體積為，求a的值．
22．如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥平面SAD；
（2）若SA＝SD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．

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