1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題22 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
【考點預(yù)測】
一．平面向量的數(shù)量積
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），
記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
二．數(shù)量積的運算律
已知向量、、和實數(shù)，則：
①；
②；
③．
三．數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
四．數(shù)量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結(jié)論
幾何表示
坐標表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
的充要
五、向量中的易錯點
（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且.
（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有.
當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但.
（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項.
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當且（或，且
【方法技巧與總結(jié)】
(1)在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．
(2)數(shù)量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．
(3)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．
(4)若、、是實數(shù)，則()；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
(5)數(shù)量積運算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
【題型歸納目錄】
題型一：平面向量的數(shù)量積運算
題型二：平面向量的夾角
題型三：平面向量的模長
題型四：平面向量的投影、投影向量
題型五：平面向量的垂直問題條件
與
的關(guān)系
(當且僅當時等號成立)
題型六：建立坐標系解決向量問題
【典例例題】
題型一：平面向量的數(shù)量積運算
例1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在中，，為的外心，，，則（ ）
A．2B．C．4D．
例2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知是斜邊上的高，，點M在線段上，滿足，則（ ）
A．B．C．2D．4
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
例4．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，正六邊形ABCDEF中，，點P是正六邊形ABCDEF的中心，則______．
例5．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知向量滿足，則_________．
例6．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））已知向量，，若，則__________
例7．（2022·上海徐匯·二模）在中，已知，，，若點是所在平面上一點，且滿足，，則實數(shù)的值為______________．
例8．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））已知在平行四邊形中，，則值為__________．
例9．（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）過點的直線與交于A，B兩點，當M為線段中點時，___________.
例10．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知向量與不共線，且，，若，則___________.
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．
例12．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測）如圖是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，它是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成的．若大正方形的邊長為，E為線段BF的中點，則______．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．
（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．
（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）
同：；；公式都可通用
異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角），使用范圍廣泛，通常是求?；蛘邐A角．
，通常是求最值的時候用．
題型二：平面向量的夾角
例13．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知非零向量，滿足，，則與夾角為______．
例14．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知向量，向量，且，則向量的夾角為___________.
例15．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）兩不共線的向量，，滿足，且，，則（ ）
A．B．C．D．
例16．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例17．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知向量，，則與夾角的余弦值為_________．
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．5D．6
例19．（2022·湖南·長沙市明德中學(xué)二模）已知非零向量、滿足，，則向量與向量夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
例21．（2022·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）已知為單位向量，向量，且，則（ ）
A．B．C．D．
例22．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知平面向量與互相垂直，模長之比為2：1，若，則與的夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例23．（多選題）（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）已知單位向量的夾角為,則以下說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．與可以作為平面內(nèi)的一組基底
例24．（多選題）（2022·江蘇·模擬預(yù)測）已知向量，，，，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．的最小值為
D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是
例25．（2022·河南·通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，是單位向量，，，若，則，的夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例26．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））非零向量滿足，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知向量，為單位向量，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
求夾角，用數(shù)量積，由得，進而求得向量的夾角.
題型三：平面向量的模長
例28．（2022·福建省廈門集美中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量、、滿足，，，則______．
例29．（2022·遼寧沈陽·三模）已知平面向量滿足，則_______．
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知向量，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
例31．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知 與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
例32．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．3
例33．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知非零向量，的夾角為，，則___________.
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三個非零平面向量，，兩兩夾角相等，且，，，求．
例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，與的夾角為，求及的值．
例36．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知向量,，若的夾角為，則=___________.
【方法技巧與總結(jié)】
求模長，用平方，.
題型四：平面向量的投影、投影向量
例37．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））設(shè)，是兩個非零向量，，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，則叫做向量在向量上的投影向量.如下圖，已知扇形的半徑為1，以為坐標原點建立平面直角坐標系，，，則弧的中點的坐標為________；向量在上的投影向量為________ .
例38．（2022·江西鷹潭·二模（文））已知向量，則在方向上的投影為_________
例39．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)三模（理））已知向量，，且在上的投影等于，則___________.
例40．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1B．2C．3D．
例41．（2022·四川成都·三模（理））在中，已知，，，則向量在方向上的投影為（ ）．
A．B．2C．D．
例42．（2022·廣西桂林·二模（文））已知向量，則在方向上的投影為（ ）
A．B．C．1D．2
例43．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量，，滿足，與的夾角為，，則在上的正射影的數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
例44．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
例45．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
題型五：平面向量的垂直問題
例46．（2022·海南海口·二模）已知向量，的夾角為45°，，且，若，則______．
例47．（2022·廣東茂名·二模）已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），則t＝_____．
例48．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（理））已知向量，，若，則______．
例49．（2022·河南開封·模擬預(yù)測（理））已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知向量，其中，若，則___________．
例51．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)向量，，若，則___________.
【方法技巧與總結(jié)】

題型六：建立坐標系解決向量問題
例52．（2022·山東淄博·三模）如圖在中，，為中點，，，，則（ ）
A．B．C．D．
例53．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））在邊長為2的正方形中，是的中點，則（ ）
A．2B．C．D．4
例54．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，分別為，的中點，，，，若，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
例55．（2022·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（ ）
A．B．
C．D．
例56．（多選題）（2022·山東聊城·三模）在平面四邊形中，，，則（ ）
A．B．
C．D．
例57．（多選題）（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量滿足，則可能成立的結(jié)果為（ ）
A．B．
C．D．
例58．（多選題）（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，其平面圖形記為圖乙中的正八邊形，其中，則（ ）
A．B．
C．D．
例59．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．
例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形的邊長為是的中點，點滿足，則___________；___________.
例61．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別為，上的點，，，若線段上存在一點M，使得，則__________，若點N為線段上一個動點，則的取值范圍為__________.
【方法技巧與總結(jié)】

邊長為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
建系必備（1）三角函數(shù)知識；（2）向量三點共線知識．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知中，，，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江蘇·揚州中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量，，若，則（ ）
A．B．2C．8D．
4．（2022·北京·潞河中學(xué)三模）已知菱形的邊長為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））若向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心三模（文））若，，下列正確的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
7．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在中，，點D在線段上，點E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（ ）A．B．C．D．
8．（2022·全國·二模（理））已知向量，，，若滿足，，則向量的坐標為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·山東濟南·三模）已知單位向量、、，滿足，則向量和的夾角為( )
A．B．C．D．
10．（2022·河北邯鄲·二模）若向量，滿足，，且，則向量與夾角的余弦值為（ ）.
A．B．C．D．
11．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））如圖，在等腰直角中，斜邊，M為AB的中點，D為AC的中點．將線段AC繞著點D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））在中，點D在邊上，且，若，則（ ）
A．B．3C．2D．1
14．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，則（ ）
A．12B．14C．16D．18
二、多選題15．（2022·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量，且，滿足，若﹐則可能的取值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
16．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）已知,,其中，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則或
C．若，則
D．若，則
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．若，則D．
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最小值為7D．若，則與的夾角為鈍角
19．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校二模）對于非零向量，，定義運算“”，.已知兩兩不共線的三個向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．
C．D．
20．（2022·山東日照·模擬預(yù)測）已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P．已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，逆時針旋轉(zhuǎn)，后分別得到點，則（ ）
A．B．
C．D．點的坐標為
21．（2022·河北·高三階段練習(xí)）若平面向量，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則或
D．若，則
22．（2022·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2且，M為邊CD的中點，則（ ）
A．B．
C．6D．在上投影向量的模為2
三、填空題
23．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則______．
24．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））已知向量若則__________.
25．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量的夾角為，，，則___________．
26．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)為非零向量，且，則，的夾角為___________.
27．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知半徑為R的圓O內(nèi)有一條長度為2的弦AB，則_______．
28．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））若向量滿足，則與的夾角為__________．
29．（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知平面向量，滿足，且，，則__________.
30．（2022·河北·高三期中）如圖，在等腰直角中，斜邊，M為AB的中點，D為AC的中點，將線段AC繞著點D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則_____________．

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