最新高考數(shù)學二輪復習講義【講通練透】專題40 拋物線及其性質(zhì)-試卷下載-教習網(wǎng)

1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題40 拋物線及其性質(zhì)
【考點預(yù)測】
知識點一、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．
知識點二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標準方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向
【方法技巧與總結(jié)】
1、點與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑圖形
標準
方程
頂點
范圍
，
，
，
，
對稱軸
軸
軸
焦點
離心率
準線方程
焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則
（1）弦長公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）
（1）焦點為，準線為
（2）焦點為，準線為
如，即，焦點為，準線方程為
7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點弦方程
拋物線的切線方程為，為切點
切點弦方程為，點在拋物線外
與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點弦的?？夹再|(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的定義與方程
題型二：拋物線的軌跡方程
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題
題型五：焦半徑問題
題型六：拋物線的性質(zhì)【典例例題】
題型一：拋物線的定義與方程
例1．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為30°的直線交拋物線于點（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，若，則拋物線的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，過點作，垂足為.
由題得,所以.
因為，所以是等邊三角形.
因為是的中點，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以拋物線的方程是.
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
求拋物線的標準方程的步驟為：
（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：
（2）根據(jù)題目條件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得標準方程
例2．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，關(guān)于x軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為________.
【答案】【解析】依題意，設(shè)拋物線方程為，于是得，解得，
所以所求拋物線方程是.
故答案為: .
例3．（2022·湖南·高三開學考試）已知拋物線的焦點在軸上，直線與拋物線交于點，且.寫出拋物線的一個標準方程___________.
【答案】或或或（寫出一個即可）
【解析】設(shè)所求焦點在軸上的拋物線的方程為，，
由拋物線定義得.
又∵或，
故所求拋物線方程為或.
故答案為：或或或．（寫出一個即可）
例4．（2022·全國·高三專題練習）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（）
A．B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】將轉(zhuǎn)化為,
當時，拋物線開口向上，準線方程，點到準線的距離為，解得，所以拋物線方程為，即；
當時，拋物線開口向下，準線方程，點到準線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為，即.
所以拋物線的方程為或
故選：D
例5．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學一模（文））已知點是拋物線的焦點，是上的一點，，則（）
A．B．C．D．【答案】C
【解析】由拋物線的定義可知，，所以．
故選：C.
例6．（2022·北京·高三開學考試）拋物線W：的焦點為F.對于W上一點P，若P到直線的距離是P到點F距離的2倍，則點P的橫坐標為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由題意得：，準線方程為，設(shè)點P的橫坐標為，，
由拋物線的定義可知：
則，解得：或（舍去），
從而點P的橫坐標為1
故選：A
例7．（2022·全國·高三專題練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】依題意設(shè)拋物線方程為．
因為焦點到準線的距離為4，
所以，所以，
所以拋物線方程為或．
故選：C．
例8．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，焦點在x軸上，過焦點作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點，AB的長為8，求拋物線的方程．
【解析】由于拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，
設(shè)所求拋物線的方程為．
因為，
所以．
故所求拋物線的方程為．
題型二：拋物線的軌跡方程
例9．（2022·上海市復興高級中學高三開學考試）在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（）A．直線B．圓C．橢圓D．拋物線
【答案】D
【解析】因為點不在直線上，
則到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是以為焦點，
直線為準線的拋物線；
故選：D
【方法技巧與總結(jié)】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標軸對稱的點；（2）標記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當看到滿足以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
例10．（2022·全國·高三專題練習）已知點，直線，若動點到的距離等于，則點的軌跡是（）
A．橢圓B．雙曲線
C．拋物線D．直線
【答案】C
【解析】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線）可知，點的軌跡是拋物線.
故選：C
例11．（2022·全國·高三專題練習）若動點滿足，則點M的軌跡是（）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
【答案】D
【解析】由題意，動點滿足，
即，
即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，
又由點不在直線上，
根據(jù)拋物線的定義，可得動點的軌跡為以為焦點，以的拋物線.
故選：D.
例12．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D
例13．（2022·全國·高三專題練習（理））已知點?，若過?兩點的動拋物線的準線始終與圓相切，該拋物線焦點的軌跡是某圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線是（）
A．橢圓B．圓C．雙曲線D．拋物線
【答案】A
【解析】由題設(shè)知，拋物線焦點F到定點A和B的距離之和等于A和B分別到準線的距離和，等于
的中點O到準線的距離的二倍，由拋物線準線與圓相切知和為，
所以，
所以拋物線焦點的軌跡方程C是以A和B為焦點的橢圓.
故選：A
例14．（2022·全國·高三專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,
由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，
所以，其方程為，
故選：A
例15．（2022·全國·高三專題練習）斜線段與平面所成的角為，平面內(nèi)的動點滿足，則點的軌跡是（）
A．圓B．橢圓
C．拋物線D．雙曲線的一支
【答案】C
【解析】當點運動時，在空間中，滿足條件的繞旋轉(zhuǎn)形成一個圓錐，用一個與圓錐高成角的平面截圓錐，所得圖形為拋物線.
故選C．
例16．（多選題）（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知直線，點，圓心為的動圓經(jīng)過點，且與直線相切，則（）
A．點的軌跡為拋物線
B．圓面積最小值為
C．當圓被軸截得的弦長為時，圓的半徑為
D．存在點，使得，其中為坐標原點
【答案】ACD
【解析】對于A，由題意知：點到點與到定直線的距離相等，且點不在直線上，符合拋物線定義，點的軌跡為拋物線，A正確；
對于B，由A知，點的軌跡為拋物線，則當為坐標原點時，點到直線距離最小，即此時圓的半徑最小，即，圓面積的最小值為，B錯誤；
對于C，由A得：點的軌跡方程為，設(shè)，則圓的半徑，點到軸的距離，，解得：，
圓的半徑，C正確；
對于D，假設(shè)存在點，使得，
設(shè)，則，整理可得：，
解得：，，或，D正確.
故選：ACD.
例17．（2022·全國·高三專題練習）與點和直線的距離相等的點的軌跡方程是______．【答案】
【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點和直線的距離相等的點的軌跡為拋物線，且為焦點，直線為準線，
設(shè)拋物線的方程為，
可知，解得，
所以該拋物線方程是，
故答案為：
例18．（2022·全國·高三專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為_____________．
【答案】
【解析】設(shè)直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，
所以動點M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：
例19．（2022·湖北·荊州中學高三開學考試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為________．
【答案】，（注：也算對）
【解析】由題意，若時，問題等價于，
則，化簡得，
若，也滿足題意.
所以動點的軌跡方程為，.
或者根據(jù)題意有，則，化簡整理得：.
所以動點的軌跡方程為.
故答案為：，（注：也算對）
例20．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點到對應(yīng)準線的距離分別為，，則（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】動圓C與圓A和直線l都相切，
當圓C與圓A相外切時，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線，
則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，
由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準線的拋物線；
當圓C與圓A相內(nèi)切時，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線，
則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，
由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準線的拋物線；
所以，當時，拋物線不完整，
所以，，，，
故選：ABD
例21．（2022·全國·高三專題練習）動點到y(tǒng)軸的距離比它到定點的距離小2，求動點的軌跡方程．
【解析】∵動點M到y(tǒng)軸的距離比它到定點的距離小2，
∴動點M到定點的距離與它到定直線的距離相等．
∴動點M到軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，且．
∴拋物線的方程為，
又∵x軸上點左側(cè)的點到y(tǒng)軸的距離比它到點的距離小2，
∴M點的軌跡方程為②．
綜上，得動點M的軌跡方程為或．
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題
例22．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線C：上一動點，過C的焦點F作：的切線，切點為A，則線段FA長度的最小值為（）
A．3B．C．D．【答案】B
【解析】由已知，
由切線長公式得，，
所以．
故選：B．
【方法技巧與總結(jié)】
拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。
例23．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））拋物線上任意一點P到點的距離最小值為___________.
【答案】
【解析】設(shè)，則，
因為，
所以
，當時取得最小值4，
故答案為：4
例24．（2022·全國·高三專題練習）已知M為拋物線上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，，則的最小值為___________.
【答案】4
【解析】如圖所示：
設(shè)點M在準線上的射影為D，
由拋物線的定義知，
∴要求的最小值，即求的最小值，當D，M，P三點共線時，最小，
最小值為.
故答案為：4
例25．（2022·全國·高三專題練習）若拋物線上一點到焦點的距離為6，P、Q分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為______．
【答案】【解析】由題設(shè)及拋物線定義知：，可得，故，
而的圓心為，半徑為1，
所以最小，則共線且，故只需最小，
令，則，且，
當時，，故的最小值為.
故答案為：
例26．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線上的一個動點，為圓上的一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線準線的距離之和的最小值是______.
【答案】【解析】由題可知，拋物線的準線方程為，焦點坐標為，
圓的圓心坐標為，半徑為，
設(shè)點到拋物線準線的距離為，則，故，
所以當動點位于線段上時，點到點的距離與點到拋物線準線的距離之和最小，
此時.
故答案為：.
例27．（2022·寧夏·吳忠中學三模（文））已知拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和的最小值為2，則實數(shù)p的值為_____，【答案】6
【解析】因為拋物線上的點到y(tǒng)軸的距離等于到準線的距離減去，而由拋物線的定義知點到準線的距離等于到焦點的距離，所以只需點到Q與到焦點F的距離之和最小，如圖所示：
當P，Q，F(xiàn)共線時，到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和最小，
因為點到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和的最小值為2，
所以，即，解得.
故答案為：
例28．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線的焦點，為拋物線上的動點，點.則最大值為_______.
【答案】
【解析】由題意知：，；
因為，，
所以；
所以，所以，當且僅當時等號成立，
所以的最大值為，
故答案為：.
例29．（2022·遼寧朝陽·高三階段練習）已知F為拋物線的焦點，P為拋物線上的動點，點，則的最小值為______．
【答案】22
【解析】設(shè)，則，因為，，
所以，，
則，令，則，
所以，
當時，因為，所以當時，取得最小值，此時最小值為22，
故答案為：22
例30．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓上，則的最小值為（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】如圖，過點向準線作垂線，垂足為，則，
當垂直于拋物線的準線時，最小，
此時線段與圓的交點為，因為準線方程為，，
半徑為，所以的最小值為.
故選：C
例31．（2022·廣西桂林·高三開學考試（理））已知，點P是拋物線上的動點，過點P向y軸作垂線，垂足記為點N，點，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由拋物線知，焦點，準線方程為
過點P作拋物線準線的垂線，垂足為Q，如圖，
由拋物線定義知，
當F,P,M三點共線時,最小為，
故選：A
例32．（2022·全國·高三專題練習）已知A，F(xiàn)為拋物線的焦點，點M在拋物線上移動，當取最小值時，點的坐標為（）
A．B．C．D．【答案】D
【解析】如圖所示，過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線定義，知
當在拋物線上移動時，的值在變化，顯然移動到時，三點共線，最小，此時，把代入，得，
所以當取最小值時，點的坐標為．
故選：D.
例33．（2022·上海市向明中學高三開學考試）設(shè)拋物線的焦點為F，準線為，為C上一動點，，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．當時，的值為6
B．當時，拋物線C在點P處的切線方程為
C．的最小值為3
D．的最大值為
【答案】B
【解析】當時，，故，故A正確；
當時，，由可得，所以，
所以拋物線C在點P處的切線方程為，整理得：，故B錯誤；
如圖，過點P作PB⊥準線于點B，則由拋物線定義可知：，
則，當A、P、B三點共線時，和最小，最小值為1+2=3，故C正確；
由題意得：，連接AF并延長，交拋物線于點P，
此點即為取最大值的點，此時，
其他位置的點，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，
故的最大值為，故D正確.
故選：B.
例34．（2022·云南民族大學附屬中學模擬預(yù)測（理））已知點為拋物線上的動點，設(shè)點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，
如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.
，則．
故選：B．
例35．（2022·全國·高三專題練習）已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點（在的右邊），為上一點，，則的最小值為（）
A．3B．C．D．5
【答案】A
【解析】由題意，拋物線，可得焦點，
又因為直線的傾斜角為，可得斜率，
故直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，解得，，
因為，所以
可得，
過點作垂直于準線于點，根據(jù)拋物線的定義，得，
當三點共線且與軸平行時，有最小值，最小值，
所以的最小值為3.
故選：A.
例36．（2022·全國·高三專題練習）已知定點，點為拋物線上一動點，到軸的距離為，則的最小值為（）
A．4B．5C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)焦點為，到準線的距離為，則，
所以，
當且僅當P,M,F三點共線時取等號，
故選：A．
例37．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知A（a，0），M（3，-2），點P在拋物線上，則（）
A．當時，最小值為1
B．當時，的最小值為3
C．當時，的最小值為4
D．當時，的最大值為2
【答案】ACD
【解析】當時，為拋物線的焦點，設(shè)，
則，故的最小值為1，A正確；
設(shè)拋物線的準線為，過點P作PN⊥l于點N，
此時，
故當N，P，M三點共線時，取得最小值，
此時，C正確；
當時，，
連接AM，并延長AM交拋物線于點，
此時為的最大值，
當在其他位置時，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知均小于，
因為，故D正確；
此時
當時，，B錯誤.
故選：ACD
例38．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知F是拋物線的焦點，P是拋物線上一動點，Q是上一動點，則下列說法正確的有（）
A．的最小值為1B．的最小值為
C．的最小值為4D．的最小值為
【答案】AC
【解析】拋物線焦點為，準線為，作出圖象，
對選項A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項A正確；
對選項B：注意到F是定點，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項B錯誤；
對選項CD：過點P作拋物線準線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點Q到準線的距離，故最小值為4，從而選項C正確，選項D錯誤．
故選：AC.
例39．（多選題）（2022·江蘇·南京市第一中學高三階段練習）已知拋物線，圓為圓心），點在拋物線上，點在圓上，點，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．當最大時，
D．當最小時，
【答案】ABC
【解析】A. 的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，所以的最小值是1-=，故正確；B. 設(shè)，則，
，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是，故正確；
C.如圖所示：
當最大時，直線AQ與圓相切，則，故正確；
D.當最小時為，即P，A，Q共線，則，故錯誤；
故選：ABC
例40．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．
【答案】
【解析】圓的圓心為，半徑，
拋物線的焦點，
因為是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，
所以要使最小，即到拋物線的焦點與到圓的圓心的距離最小，
連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離，
即，所以的最小值為，
故答案為：
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題
例41．（2022·貴州貴陽·高三開學考試（理））已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若，則 (為坐標原點)的面積是（）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【解析】由題可得，因為，
所以，，
所以為坐標原點)的面積是.
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比。
例42．（2022·河南·高三開學考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．
【答案】
【解析】如圖，分別過點作準線的垂線，垂足為，
過點作的垂線，垂足為，
設(shè)，易得，則，
由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，，解得，故．
故答案為：
例43．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B．設(shè)，與相交于點D．若，則的面積為__________．
【答案】
【解析】如圖所示，由已知，．得．
因為軸，，，
所以四邊形ABCD為平行四邊形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案為：.
例44．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上，已知點A的橫坐標為，，則的面積___________.
【答案】4
【解析】
如圖，作于，由拋物線定義知，又點A的橫坐標為，則點K的橫坐標為，
點F的橫坐標為，則軸，則.
故答案為：4.
例45．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，延長交準線于點，分別過點、作準線的垂線，垂足分別記為、，若，則的面積為________.
【答案】
【解析】由題意可知，，則，拋物線的準線方程為直線，設(shè)拋物線的準線交軸于點，
不妨設(shè)直線的傾斜角為銳角，由拋物線的定義可得，，
因為，則，從而，故是等邊三角形，
且，，則，所以，，
故是邊長為的等邊三角形，故.
故答案為：.
例46．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知點F為拋物線的焦點過點F且斜率存在的直線交拋物線C于A，B兩點，點D為準線l與x軸的交點，則的面積S的取值范圍為______．
【答案】
【解析】由拋物線可得焦點，準線方程為，，
設(shè)，，直線AB的方程為，
由，可得，則，，
所以，
直線AB的一般方程為，點到直線AB的距離，
所以，
所以的面積S的取值范圍為，
故答案為：
例47．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，延長交準線于點C，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為_______．
【答案】
【解析】由知，，，準線方程為，如圖，
因為，所以，所以；
連接，又，所以為等邊三角形，
因為，所以，得，得，
所以，
由，解得，
所以．
故答案為：
例48．（2022·安徽省定遠縣第三中學高三階段練習）已知拋物線的焦點是，是的準線上一點，線段與交于點，與軸交于點，且，（為原點），則的方程為___________.
【答案】
【解析】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，，又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，則，
所以拋物線的方程為.
故答案為：.
例49．（多選題）（2022·河北廊坊·高三開學考試）已知拋物線：的焦點為，坐標原點為，直線與拋物線交于A，兩點（與均不重合），以線段為直徑的圓過原點，則與的面積之和可能為（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因為拋物線：的焦點為，
所以，所以，
所以拋物線的方程為，
若直線的斜率為0，則直線與拋物線有且只有一個交點，與條件矛盾，
所以直線的斜率不為，所以可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
由已知方程的判別式，
設(shè)，，則，，
因為以線段為直徑的圓過原點，所以,
所以，所以，
所以或，
當時，由可得或與條件相矛盾，所以，所以，，
設(shè)直線與軸的交點為，則
的面積，
所以的面積，
的面積，
當，則與的面積之和，
又，由可得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當且僅當時等號成立；
當，則與的面積之和，
又，由可得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，當且僅當時等號成立；
又，，，
所以與的面積之和可能為18或，
故選：BC.
例50．（多選題）（2022·云南大理·模擬預(yù)測）設(shè)點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．D．的面積為（為坐標原點）【答案】BC
【解析】
如圖，設(shè)，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故選項A不正確；
由上述分析可知，
又容易知，
則，，
故成立；
故選項B正確；
；
故選項C正確；
，
故選項D不正確；故選：BC．
例51．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高三階段練習（文））已知為拋物線的焦點，點A為上一點，點的坐標為，若，則的面積為（）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】由題意得，
則，
即點A到準線的距離為4，
所以點A的橫坐標為2，
當時，，
即，
所以.
故選：C.
例52．（2022·云南師大附中高三階段練習）已知是拋物線上一點，為拋物線的焦點，點，若，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知點，設(shè)點，，又，故，故，，
故選：C
例53．（2022·山西運城·高三階段練習（文））過點P作拋物線的切線，切點分別為，若的重心坐標為，則P點坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由，得，所以，
所以直線的方程為，即，同理，直線的方程為，
由可得，即點的坐標為，設(shè)的重心坐標為，
則，即，
所以點P的坐標為.
故選：A.
題型五：焦半徑問題
例54．（2022·云南·高三階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【解析】由題知，準線，設(shè)與軸的交點為，點在上，
由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，
解法1：因為軸，所以直線斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，則.
解法3：過作于點，則為的中點，因為，則.
故選：D.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）．
（2）．（3）．
例55．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，則此拋物線方程為__________．
【答案】
【解析】
如圖，作準線于，準線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，
在直角三角形中，因為，，所以，從而得，
設(shè)準線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.
故答案為：.
例56．（2022·廣東·高三階段練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解析】設(shè)，由A，B中點的橫坐標為2，可得，
所以．
故選：C．
例57．（2022·全國·高三專題練習（文））已知拋物線C：的焦點為，A是C上一點，|AF|=，則=（）A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，解之得．
故選：A．
例58．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點P，Q，M，N，則的最小值為（）
A．23B．26C．36D．62
【答案】B
【解析】解法一：設(shè)拋物線的方程，則，得，
所以拋物線方程為，焦點，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點，即直線l過焦點F.
設(shè)直線l的方程為：，設(shè)P、Q坐標分別為和，
由聯(lián)立，得，∴，
，∴，，
，當且僅當，即，時取等號.
解法二：，又，
，
當且僅當，即，時等號成立.
故選：B.
例59．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））設(shè)拋物線的焦點為F，點A、B在拋物線上，若軸，且，則（）
A．或B．或C．或D．
【答案】A
【解析】拋物線的焦點，準線方程為：，
因軸，由拋物線的對稱性，不妨取，設(shè)點B的橫坐標為，
依題意，，解得，則或，
點，則直線斜率為，其傾斜角為，有，
若，則直線斜率為，其傾斜角為，有，
所以為或.
故選：A
例60．（2022·廣東汕頭·高三階段練習）已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則（）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【解析】由拋物線的方程，得，焦點坐標為，
設(shè)，，的橫坐標分別是，，，
由，所以，即，
因為為拋物線的焦點，
由拋物線的定義可得，，，，
即，
故選：B．
例61．（2022·江西·高三開學考試（理））已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點A滿足，則直線的斜率為（）
A．B．C．D．【答案】C
【解析】由拋物線得，準線為，
設(shè)，則由拋物線的定義可得即，
將代入拋物線可得，即或，
當?shù)淖鴺藶闀r，則的斜率；
當?shù)淖鴺藶闀r，則的斜率；
故選：C．
例62．（2022·江西·高三階段練習（文））已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，過焦點的直線與拋物線交于、兩點，則的最小值為（）
A．B．C．D．9
【答案】A
【解析】因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，
所以，拋物線的方程為．設(shè)直線的方程為，
將此方程代入，整理得．
設(shè)，，（）則，
所以，
當且僅當，即時等號成立．
故選：A．
例63．（2022·河南·商丘市第一高級中學高三開學考試（文））已知拋物線：的焦點為，準線與軸交于點，點在第一象限且在拋物線上，則當取最大值時，直線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】過點作與準線垂直，垂足為，，如圖：
當最大時，取最大值，此時與拋物線相切.
∵拋物線的焦點，∴，
設(shè)切線方程為，則，∴，
由解得，，
∵點M在第一象限內(nèi)，∴，直線方程為：.
故選：C.
例64．（多選題）（2022·重慶八中高三階段練習）已知為坐標原點，為軸上的動點，過拋物線焦點的直線與交于兩點，其中在第一象限，，若，則（）
A．
B．
C．當時，的縱坐標一定大于
D．不存在使得
【答案】ABD
【解析】對于，易得，由可得，由焦半徑公式得點橫坐標為，代入拋物線可得，則，故A正確；
對于，由可得直線的斜率為，
則直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線解得，則，故在的中垂線上，，故B正確；
對于，由拋物線的性質(zhì)知，以為直徑的圓與準線相切的切點縱坐標為，
故當時，為該圓與軸的交點，縱坐標大于或小于均可，故C錯誤；
對于D，設(shè)的中點為，，
則，當軸時，，
則，不存在使得，故D正確；
故選：ABD.
例65．（多選題）（2022·湖南師大附中高三階段練習）已知是拋物線上兩動點，為拋物線的焦點，則（）
A．直線過焦點時，最小值為4
B．直線過焦點且傾斜角為時（點在第一象限），
C．若中點的橫坐標為3，則最大值為8
D．點坐標，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點為，則直線，方程為：
【答案】ACD
【解析】對于A選項，直線過焦點，當垂直于軸時，取最小值，故正確；
對于B選項，由題意，作圖如下：

則，軸，軸，即，，
，，即，，
，，，
，故錯誤；
對于C選項，由于為兩動點，所以，當且僅當直線過焦點時等號成立，故正確；
對于D選項，依題意，，故，即，由題意，，同理可得，故直線方程為，故正確.
故選：ACD.
例66．（2022·全國·成都七中高三開學考試（理））設(shè)?是拋物線?的焦點，點A?在拋物線?上，?，若?，則?____________.
【答案】
【解析】由可知焦點，，∴?，
∵，∴
∴?點?到拋物線準線的距離為?.
∵?拋物線的準線方程為?，
∴點A的橫坐標
∴?或?，
∴?.故答案為：.
例67．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，點A是拋物線C的準線與坐標軸的交點，點P在拋物線C上，若，則__________.
【答案】【解析】過作準線的垂線，垂足為，易知：，
可得，如圖所示：
在中，可得，，
由拋物線的性質(zhì)可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以.
故答案為：
例68．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線，的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若，則直線l的傾斜角等于__________.
【答案】60°或120°
【解析】如圖是拋物線的準線，作，，為垂足，
設(shè)，則，
由拋物線定義知，，
過作，垂足為，則易得，所以，
直角三角形中，，，
此時直線傾斜角為60°，由對稱性，直線傾斜角也可為120°.
故答案為：60°或120°
題型六：拋物線的性質(zhì)
例69．（2022·湖南·新邵縣教研室高三期末（文））已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（）
A．1B．3C．6D．8
【答案】D
【解析】由題意可知，所以直線與的方程為，
聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，
設(shè)
則，
所以.
故選：D.
【方法技巧與總結(jié)】
在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計算．
例70．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（）
A．開口向左B．焦點坐標為C．準線為D．對稱軸為軸
【答案】AD
【解析】對選項A，，開口向左，故A正確；
對選項B，，焦點為，故B錯誤；
對選項C，，準線方程為，故C錯誤；
對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.
故選：AD
例71．（2022·江西·高三階段練習（文））若拋物線上一點P到焦點的距離為6，則點P到x軸的距離為____________．
【答案】4
【解析】拋物線方程化為標準形式為，
由拋物線的定義可知，點P到準線的距離為6，
所以點P到x軸的距離為4．
故答案為：4
例72．（2022·四川省南充市白塔中學高三階段練習（理））已知點F是拋物線的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線E上的兩點，滿足，則______．
【答案】4
【解析】設(shè)，而，
則，①
，，，
由，得，
所以，②
聯(lián)立①②得：.
故答案為：4
例73．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測（文））拋物線的焦點到準線的距離為（）
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【解析】拋物線的焦點到準線的距離為，由拋物線標準方程可得，
故選：C.
例74．（2022·全國·高三專題練習）下列四個拋物線中，開口朝下且焦點到準線的距離為5的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】拋物線的開口朝下，說明其焦點在軸的負半軸上，則其滿足標準方程，又焦點到準線的距離，所以該拋物線的標準方程為
故選：B
例75．（2022·湖北十堰·三模）下列四個拋物線中，開口朝左的是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】拋物線的開口朝右，拋物線的開口朝下，拋物線的開口朝左，拋物線的開口朝上.
故選：C.
例76．（2022·江西南昌·高三階段練習）若拋物線上的點到焦點的距離比到直線的距離小1，則=（）
A．B．C．6D．
【答案】D
【解析】由題可知拋物線的準線方程為，
所以，即，
所以，
∴ ，
所以.
故選：D.
例77．（2022·全國·高三專題練習）對拋物線，下列描述正確的是（）
A．開口向上，焦點為B．開口向上，焦點為
C．開口向右，焦點為D．開口向右，焦點為
【答案】A
【解析】由題知，該拋物線的標準方程為，
則該拋物線開口向上，焦點坐標為.
故選：A.
例78．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室高三開學考試（理））拋物線C：的焦點為F，準線l交x軸于點，過焦點的直線m與拋物線C交于A，B兩點，則（）
A．
B．
C．直線AQ與BQ的斜率之和為0
D．準線l上存在點M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為【答案】C
【解析】對于A，由，可得，故A選項不正確；
對于B，設(shè)A，B兩點的坐標分別為，，
根據(jù)題意得，焦點，則設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立方程，消去x后整理為，則，，
，，
，故B選項不正確；
對于C，，
故C選項正確；
對于D，如圖，設(shè)AB的中點為N，連MN，過N作NH⊥直線l，H為垂足，
根據(jù)B項可得N點坐標為，
則，
由為等邊三角形可得，
則，
則，
由對稱性及MN⊥AB可知直線AB的斜率為，
故D選項不正確．
故選：C.
例79．（2022·江西·高三階段練習（理））已知拋物線的焦點為F，點F到直線的距離為，則p的值為_____________．
【答案】2或4
【解析】拋物線的焦點為F，則，
則點F到直線的距離為：，
所以，因為，所以或4.
故答案為：2或4.
例80．（2022·河北邯鄲·高三開學考試）若拋物線的準線與圓相切，則___________.
【答案】或0
【解析】拋物線的準線方程為，
圓的圓心為，半徑，
由于圓與準線相切，
所以，
解得或0.
故答案為：或0
例81．（2022·廣東深圳·高三階段練習）已知點為拋物線的焦點，經(jīng)過點的直線交于兩點，交軸于點，若，則點的縱坐標為___________.
【答案】
【解析】設(shè)，又，
由，得，所以，所以.
如圖，過點作軸的垂線，垂足為，
過點作軸的平行線交軸于點，交于點.
由拋物線定義，可得，
所以，故，解得.
故答案為：
例82．（2022·全國·高三專題練習）拋物線的準線方程是，則實數(shù)___________.
【答案】
【解析】拋物線化為標準方程：，
其準線方程是，而
所以，即，
故答案為：
例83．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線，為其焦點，為其準線，過任作一條直線交拋物線于兩點，分別為在上的射影，為的中點，給出下列命題：
①；②；③//；
④與的交點在軸上；⑤與交于原點.
其中真命題是__________．（寫出所有真命題的序號）
【答案】①②③④⑤
【解析】根據(jù)題意，作圖如下：
因為在拋物線上，由拋物線的定義，
得，又分別為在上的射影，
所以，即①正確；
取的中點，則，
所以，即②正確；
由②得平分，所以，又因為，
所以//，即③正確；
取軸，則四邊形為矩形，則與的交點在軸上，
且與交于原點，即④⑤正確；
故答案為：①②③④⑤.
例84．（2022·安徽省太和中學高三階段練習）在平面直角坐標系xOy中，，⊙M：與拋物線C：有且僅有兩個公共點，直線l過圓心M且交拋物線C于A，B兩點，則______．
【答案】0
【解析】因⊙M與拋物線C有且僅有兩個公共點，而⊙M與拋物線C都關(guān)于x軸對稱，因此，兩個公共點的橫坐標相同，并且唯一，
由消去y并整理得：，且，
于是得，解得，
即點，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為，由消去x并整理得：，設(shè)，則，
所以.
故答案為：0
例85．（2022·全國·高三專題練習）已知直線過拋物線：（）的焦點，且與拋物線交于，兩點，若使的直線有且僅有1條，則______.
【答案】1
【解析】焦點弦中，通徑最短，所以若使的直線有且僅有1條，則就是通徑，即，.
故答案為：1
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學高三開學考試（理））已知拋物線的焦點為F，準線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點，且若，則（）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【解析】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，
設(shè)準線l與x軸交于點H，則，
，所以.
故選：D
2．（2022·安徽·高三開學考試）已知點在拋物線上，若以點為圓心半徑為5的圓與拋物線的準線相切，且與軸相交的弦長為6，則（）
A．2B．8C．2或8D．6
【答案】C
【解析】設(shè)，因為點在拋物線上，所以，又拋物線的準線為，
以點為圓心的圓與的準線相切，所以，
圓與軸相交的弦長為6，所以，
所以，解得或.
故選：C.
3．（2022·安徽·高三開學考試）設(shè)拋物線上一點到軸的距離是1，則點到該拋物線焦點的距離是（）
A．3B．4C．7D．13
【答案】B
【解析】因為，則準線方程為，
依題意，點到該拋物線焦點的距離等于點到其準線的距離，即.故選: B.
4．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（文））直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（）
A．6B．8C．2D．4
【答案】B
【解析】因為拋物線的焦點坐標為，
又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．
故選：B
5．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學研究室一模（文））已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為AB的中點，P為C上一點，則的最小值為（）
A．B．C．8D．5
【答案】A
【解析】拋物線的焦點，準線，直線：，
由消去y并整理得：，設(shè)，
則，線段AB的中點Q的橫坐標，
過點Q作準線的垂線，垂足為D，交拋物線C于點P，連PF，如圖，

于是，在拋物線C上任取點，過作準線的垂線，垂足為，連，
則有，當且僅當點與點P重合時取等號，所以的最小值為.
故選：A
6．（2022·福建師大附中高三階段練習）設(shè)拋物線的焦點為，若與拋物線有四個不同的交點，記軸同側(cè)的兩個交點為，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題可得，如圖：不妨設(shè)在軸右側(cè)
將方程與拋物線方程聯(lián)立：
，得，
設(shè)，在軸同側(cè)，不妨設(shè)
則由與拋物線有四個不同的交點可得有兩個不等的正根，得：
，即，
由拋物線定義可得，
故選：B．
7．（2022·廣東廣東·高三階段練習）在曲線上有兩個動點，且滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由已知，
因為，所以，所以，因為動點在曲線上，所以設(shè)，
所以，
又因為，所以.
故選：C.
8．（2022·山東師范大學附中高三期中）拋物線C：的焦點為F，P是其上一動點，點，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，下列結(jié)論正確的是（）
A．的最小值是2
B．動點P到點的距離最小值為3
C．存在直線l，使得A，B兩點關(guān)于直線對稱
D．與拋物線C分別相切于A、B兩點的兩條切線交于點N，若直線AB過定點，則點N在拋物線C的準線上
【答案】A
【解析】A：過點作垂直準線交準線于點，當在與拋物線的交點時，的值最小，
由拋物線的性質(zhì)：到焦點的距離等于到準線的距離即，
所以，所以A正確；
B：設(shè)則，所以，當時，的最小值為，所以B不正確；
C：假設(shè)存在這樣的直線，由題意設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，
聯(lián)立可得：，，所以，
所以，，
所以，的中點為，
由題意可得在直線上，所以，解得，不滿足，所以C不正確；
D：設(shè)，，，，由，則，
設(shè)直線的方程為：，
所以，切線方程分別為：，即，
同理可得：，
兩式聯(lián)立求出，可得，
因為，在拋物線上，
，整理可得：，
所以，
所以，不在準線上，所以D不正確．
故選：A．
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線C上，，若為等腰三角形，則直線的斜率可能為（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由題意，拋物線的焦點為，
因為，由拋物線的定義，可得，
設(shè)，可得，
當時，可得，所以，則，所以B正確；
當時，此時方程無解；當時，可得，所以，則，所以A正確.
故選：AB
10．（2022·湖北·荊州中學模擬預(yù)測）已知為曲線上一動點，則（）
A．的最小值為2
B．到直線的距離的最小值為
C．的最小值為6
D．存在一個定點和一條定直線，使得到定點的距離等于到定直線的距離
【答案】BCD
【解析】由題意，曲線，化簡可得，
則曲線為拋物線的右班部分，如圖所示，
因為拋物線，可得拋物線的焦點坐標為，準線方程為
對于A中，由，所以A錯誤；
對于B中，結(jié)合圖象可得，原點到直線的距離取得最小值，
最小值為，所以B正確；
對于C中，由點到準線的距離為，點到準線的距離為，
則，
所以的最小值為，所以C正確；
對于D中，根據(jù)拋物線的定義，點到焦點的距離等于點到準線的距離，
所以D正確.
故選：BCD.
11．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，P為拋物線上一點，則下列結(jié)論正確的有（）
A．焦點F到拋物線準線的距離為2
B．若，則點P的坐標為
C．過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2
D．若點M的坐標為，則的最小值為4
【答案】AD
【解析】由拋物線的解析式知，所以拋物線的焦點，準線方程為，所以焦點F到拋物線準線的距離為2，故選項A正確；
設(shè)拋物線上點，則，解得，故，則點P的坐標有兩個，故選項B錯誤；
過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦為通徑，長為，故選項C錯誤；
由拋物線的圖像及點M的位置可知，當M，P，F(xiàn)三點共線時，取得最小值，即，故選項D正確，
故選；AD．
12．（2022·重慶八中高三階段練習）已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，若，則（）
A．的坐標為B．
C．D．
【答案】BD
【解析】對于拋物線，，可得，則點，A錯；
由拋物線的定義可得，可得，則，可得，B對C錯；
，D對.
故選：BD.
三、填空題13．（2022·廣東·開平市忠源紀念中學高三階段練習）已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若，則___________.
【答案】16
【解析】易知焦點的坐標為，準線方程為，如圖，
拋物線準線與軸交點為，作于，于，
，則，
由，得，又，，
所以，，，，
所以.
故答案為：16．
14．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)過拋物線焦點F的弦為PQ，則以PQ為直徑的圓與拋物線的準線的位置關(guān)系是______．
【答案】相切
【解析】過點作垂直與準線，垂足為，過點作垂直與準線，垂足為，設(shè)的中點為，點作垂直與準線，垂足為，
所以，
由拋物線定義可得，，
所以，又，所以，即圓心到準線的距離為圓的半徑，
所以以PQ為直徑的圓與拋物線的準線相切.
故答案為：相切.
15．（2022·河南省葉縣高級中學模擬預(yù)測（文））已知拋物線的焦點為，準線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點，若，則______.
【答案】4
【解析】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，
設(shè)準線與軸交于點，則，.
故答案為：4.
16．（2022·四川·成都七中高三開學考試（文））已知拋物線的準線交軸于點，過點作斜率為的直線交于兩點，且，則直線的斜率是__________.
【答案】
【解析】拋物線的準線為，點，設(shè)點，
因，則點是線段的中點，即，又點在拋物線上，因此，解得，即點，
所以直線的斜率.
故答案為：
四、解答題
17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學考試（文））已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在y軸上，且C經(jīng)過點，過F且斜率為的直線l與C交于M，N兩點，．
(1)求C和的方程；
(2)求過點M，N且與C的準線相切的圓的方程．
【解析】（1）設(shè)的方程為，代入點的坐標得，所以的方程為．
所以焦點的坐標為，
設(shè)的方程為且，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，
所以．
由題設(shè)知，解得或（舍去），所以的方程為．
（2）由（1）得線段中點坐標為，
所以線段的垂直平分線方程為，即，
設(shè)所求圓的圓心坐標為，則，
解得，或，即圓心坐標為或，
又由拋物線的準線方程為，
可得點或到準線的距離分別為或，
即圓的半徑分別為或，
所以圓的方程為或．
18．（2022·全國·高三專題練習）已知點在拋物線上.
(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標原點，求證：為定值.
【解析】（1）∵點在拋物線C上，
∴，解得，
∴拋物線C的方程為.
（2）證明：設(shè)直線，，，
聯(lián)立，消去y可得，，
由韋達定理有，，
∴，即得證.
19．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當時，為坐標原點）是等邊三角形.
(1)求拋物線的方程.
(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標；若不是，請說明理由.
【解析】（1）由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.
（2）由（1）可知，設(shè).因為三點共線，所以，即，即，整理得.因為，所以.由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為關(guān)于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點.
20．（2022·全國·高三專題練習（理））已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．
(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；
(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．
【解析】（1）因為拋物線的準線是，所以拋物線的焦點坐標，所以；
（2）因為點M是拋物線的準線上的動點，設(shè)．
（ⅰ）若直線l的斜率不存在，則．
由得，
因為，所以，
即，所以，
因為，所以；
因為，所以，
即，所以，
所以因為，所以①．
（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則．設(shè)．
由得，所以，
且，所以（*），
因為，所以，即，所以，
所以，得，
因為，所以，
即，所以，
所以

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