1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題32 空間向量及其應(yīng)用
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
知識(shí)點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，．
模為1的向量稱為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．
與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律
，
知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（1）數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反．的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．
（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律
，．
（3）共線向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．
（4）共線向量定理對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
（5）直線的方向向量
如圖8-153所示，為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．
（6）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說(shuō)明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．
推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．
②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．
知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
（2）設(shè)，，則．
這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
知識(shí)點(diǎn)五：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點(diǎn)注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．

（3）平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．

知識(shí)點(diǎn)六：空間角公式．
（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
知識(shí)點(diǎn)七：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．
如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線及垂線．
【方法技巧與總結(jié)】
用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問(wèn)題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類(lèi)型的問(wèn)題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)單．
用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算．
【題型歸納目錄】
題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算
題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用
題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
題型四：證明三點(diǎn)共線
題型五：證明多點(diǎn)共面的方法
題型六：證明直線和直線平行
題型七：證明直線和平面平行
題型八：證明平面與平面平行
題型九：證明直線與直線垂直
題型十：證明直線與平面垂直
題型十一：證明平面和平面垂直
題型十二：求兩異面直線所成角
題型十三：求直線與平面所成角
題型十四：求平面與平面所成角
題型十五：求點(diǎn)到平面距離
【典型例題】
題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算
例1．設(shè)空間向量是空間向量的相反向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．與的長(zhǎng)度相等
B．與可能相等
C．與所在的直線平行
D．是的相反向量
【答案】C
【解析】
由題意，空間向量是空間向量的相反向量，即
根據(jù)向量的模的定義，可，所以A正確；
當(dāng)向量、都為零向量時(shí)，，所以B正確；
由向量與所在的直線可能平行也可能共線，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：C．
例2．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意
，又，，，
∴，
故選：B．
例3．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得
．
故選：C．
例4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得
．
故選：D
例5．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，．
故選：D
例6．如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，連接OG，
則
．
故選：A．
例7．在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．
【答案】
【解析】由題意，
故答案為：
例8．在下列命題中：
①若向量共線，則所在的直線平行；
②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；
③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則三個(gè)向量一定也共面；
④已知三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以表示為．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】對(duì)于①，若共線，可能在同一條直線上，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，向量可以自由平移，所在的直線是異面直線，但可平移到共面狀態(tài)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，若，，交于一點(diǎn)，則垂直于所在平面，此時(shí)不共面，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，只有當(dāng)不共面時(shí)，空間任意一個(gè)向量才可以表示為，④錯(cuò)誤．
故選：A．
例9．如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，故，，，即
故選：．
例10．已知是空間向量的一個(gè)基底，是空間向量的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵在基底下的坐標(biāo)為
∴
設(shè)在基底下的坐標(biāo)為
則
對(duì)照系數(shù)，可得：
解得：
∴在基底下的坐標(biāo)為
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類(lèi)比平面向量的運(yùn)算法則．
題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用例11．，為空間直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，，若，則________．
【答案】0
【解析】由A．B的點(diǎn)坐標(biāo)可得，因?yàn)?，則，所以．
故答案為：0．
例12．已知，，且??不共面，若，則___________．
【答案】
【解析】
根據(jù)，且??不共面可得，存在使得，根據(jù)向量相等可列出方程解出．
且，，
即，
又??不共面，，
則，，．
故答案為：
例13．已知，，，．若，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以，解?br>故答案為：
例14．（多選題）下列命題中正確的是（ ）
A．是，共線的充分條件
B．若，則
C．，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面
D．若，，，為空間四點(diǎn)，且有（，不共線），則是，，三點(diǎn)共線的充分不必要條件
【答案】AC【解析】由，可得向量，的方向相同，此時(shí)向量，共線，所以A正確；若，則或A，B，，四點(diǎn)共線，所以B不正確；由A，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則，即有，，，四點(diǎn)共面，故C正確；若，，，為空間四點(diǎn)，且有（，不共線），當(dāng)時(shí)，即可得，即，所以，，三點(diǎn)共線，反之也成立，即是A，，三點(diǎn)共線的充要條件，所以D不正確，
故選：AC．
【方法技巧與總結(jié)】
空間共線向量定理：．
利用此定理可解決立體幾何中的平行問(wèn)題．
題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
例15．已知空間向量，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，空間向量，，，
可得，
則．
故選：A．
例16．（多選題）設(shè)，為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)橄蛄坎荒茏龀?，即無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，故D正確；故選：AD
例17．（多選題）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（ ）
A．B．
C．若，則D．
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，若為負(fù)數(shù)，可知，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由定義知B正確，
對(duì)于C，若，則，共線，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由定義知，故D正確．
故選：BD
例18．（多選題）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．的長(zhǎng)為D．
【答案】BD
【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：
對(duì)于C選項(xiàng)，，則，
則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確．
故選：BD．
例19．在三棱錐中，已知，，，則___________
【答案】
【解析】設(shè)，顯然，
則，即，
而，即，
于是得，，
，
則有，所以．
故答案為：
例20．棱長(zhǎng)為1的正方體，在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，
，設(shè)（且只在正方體的條棱上運(yùn)動(dòng)），
則，
，
由于，所以．
當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值．
故答案為：
例21．已知，若，則_________．
【答案】2
【解析】因?yàn)?，故，即，故，?br>故答案為：2
例22．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則的取值范圍為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵正四面體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，則，，
設(shè)，則，則，
∵，，
∴．
故答案為：．
例23．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則___________，___________．
【答案】6 -42
【解析】如圖，延長(zhǎng)MG，交的延長(zhǎng)線于K，連接KN，顯然平面，平面，
因此，平面MNG與AB的交點(diǎn)H，即為KN與AB交點(diǎn)，
在塹堵中，，則，即，
又，則，而，于是得，所以，
因，，所以．
故答案為：6；-42
例24．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，則的最大值為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
設(shè)，，所以，，
因?yàn)?，所以，即，，?br>則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，
將其放到平面直角坐標(biāo)系中如下圖所示：
則，，，所以，所以；
顯然當(dāng)點(diǎn)在時(shí)（即立體圖形中的點(diǎn)）取得最大值，
因此的最大值為，最小值為；
故答案為：；
例25．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．－2B．2C．1D．－1
【答案】B
【解析】，因?yàn)椋?，所以，所?．
故選：B
例26．已知，，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】，，
．
故選：B．
例27．已知，，且，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)向量與的夾角為，
因?yàn)?，，且?br>所以，得，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br>故選：A
例28．如圖，在平行六面體中，，，則（ ）
A．1B．C．9D．3
【答案】D
【解析】在平行六面體中，
有，，
由題知，，，，，
所以，，與的夾角為，
與的夾角為，與的夾角為，
所以
．
所以．故選：D．
例29．給出下列命題，其中正確的為（ ）
A．若，則必有與重合，與重合，與為同一線段
B．若，則是鈍角
C．若，則與一定共線
D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面
【答案】C
【解析】
對(duì)于A，在平行四邊形中，滿足，
不滿足與重合，與重合，與為同一線段，故A錯(cuò)，
對(duì)于B，當(dāng)兩個(gè)非零向量、的夾角為時(shí)，滿足，
但它們的夾角不是鈍角，故B錯(cuò)，
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則與一定共線，故C對(duì)，
對(duì)于D，在三棱柱，、、，滿足與，與，與都是共面向量，但、、不共面，故D錯(cuò)，
故選：C．
例30．正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，
所以，
故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范圍為．
故選：D．
例31．在三棱錐中，，，，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槿忮F中，，，，
所以，
故選：A．
例32．已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，是上底面的邊界上一點(diǎn)．若的最小值為，則該正四棱臺(tái)的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
，，由對(duì)稱性，點(diǎn)在是相同的，
故只考慮在上時(shí)，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則
，，設(shè)，，
，因?yàn)樵谏?，所以，則
，，
，
所以
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解得（?fù)舍），
故正四棱臺(tái)的體積為：
．
故選：A．
【方法技巧與總結(jié)】
；
求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)；
求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．
為銳角；為鈍角．由此，通常通過(guò)計(jì)算的值來(lái)判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．
題型四：證明三點(diǎn)共線
例33．如圖，在平行六面體中，，．
（1）求證：、、三點(diǎn)共線；
（2）若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．
【解析】（1）由題意，，，
故
，
，
故，由于有公共點(diǎn)A，
故A、、三點(diǎn)共線；
（2）由題意，點(diǎn)是平行四邊形的中心，
故
，
故，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)D，
故、、三點(diǎn)共線．
例34．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．
【解析】，而，
所以，故B，C，D三點(diǎn)共線．
例35．在長(zhǎng)方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn)．求證：，E，N三點(diǎn)共線．
【解析】由圖作出如圖所示長(zhǎng)方體
由題可得，，
，
所以，所以，E，N三點(diǎn)共線．
例36．如果三點(diǎn)共線，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線，所以，所以，所以，解得，所以
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量，，然后證明存在非零實(shí)數(shù)，使得．
題型五：證明多點(diǎn)共面的方法
例37．已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：
（1）、、、四點(diǎn)共面，、、、四點(diǎn)共面；
（2）．
【解析】（1）因?yàn)?，所以，、、為共面向量?br>因?yàn)椤?、有公共點(diǎn)，故、、、四點(diǎn)共面，
因?yàn)椋瑒t、、為共面向量，
因?yàn)椤?、有公共點(diǎn)，故、、、四點(diǎn)共面；
（2），，，
，，
因?yàn)?、無(wú)公共點(diǎn)，故．
例38．如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．
求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；
【解析】
取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>而為等邊三角形，所以，因此平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因此平面?br>又因?yàn)槠矫?，因此?br>又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因此兩兩垂直?br>從而以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又因?yàn)榫鶠檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，，，
設(shè)，則，，，
由于，所以，解得，
因此，所以，，，
所以，由空間向量基本定理可知：四點(diǎn)共面；
例39．如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，．
判斷點(diǎn)D與平面CEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【解析】點(diǎn)在平面外，證明如下，連接ED，
因?yàn)?，，?br>設(shè)，則，
即，顯然此方程組無(wú)解，
所以四點(diǎn)，，，不共面，即點(diǎn)在平面外．
例40．如圖，四棱柱的側(cè)棱底面，四邊形為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．
證明：，，，四點(diǎn)共面；
【解析】證明：連結(jié)交于點(diǎn)，因?yàn)闉榱庑?，故?br>又因?yàn)閭?cè)棱底面，所以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，，，則，，，，
所以，
所以，故，所以，，，四點(diǎn)共面；
例41．（多選題）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以共面?br>選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以共面?br>選項(xiàng)C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個(gè)平面內(nèi)，不符合．
選項(xiàng)D，因?yàn)楣簿€，所以共面．
故選：ABD
例42．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面
B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面
C．對(duì)任意點(diǎn)，則有平面
D．存在點(diǎn)，使得平面
【答案】BD
【解析】因?yàn)榈酌?，四邊形為正方形?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則、、、、、、，
設(shè)，其中，則，
，，設(shè)，
則，解得，故存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面，B對(duì)；
，，，
設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯(cuò)；
，，
若平面，平面，則，解得，C錯(cuò)；
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
，
若平面，則，解得，
故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，D對(duì)．
故選：BD．
例43．以下四組向量在同一平面的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，所以，，無(wú)解；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋蔅選項(xiàng)中的三個(gè)向量共面；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，所以，，無(wú)解；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，所以，，矛盾．
故選：B．
例44．設(shè)為空間中的四個(gè)點(diǎn)，則“”是“四點(diǎn)共面”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由，所以直線重合或互相平行，
因此四點(diǎn)共面，
當(dāng)是平行四邊形時(shí)，顯然四點(diǎn)共面，顯然不成立，
故選：A
例45．，若三向量共面，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3B．2C．15D．5
【答案】D
【解析】∵，∴與不共線，
又∵三向量共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使
即，解得．
故選：D．
例46．如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，過(guò)的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在平面和點(diǎn)，使得平面
B．存在平面和點(diǎn)，使得平面
C．對(duì)任意的平面，線段平分線段
D．對(duì)任意的平面，線段平分線段
【答案】D
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，平面，此時(shí)平面，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，平面，此時(shí)平面，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，設(shè)，，
則有，
同理可得，，
，
，
所以，所以，，因?yàn)?、、、四點(diǎn)共面，則，所以，，
所以，，則，
所以，，可得，
即、、三點(diǎn)共線，即的中點(diǎn)在上，即線段平分線段，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若線段平分線段，又因?yàn)榫€段平分線段，則四邊形為平行四邊形，
事實(shí)上，四邊形不一定為平行四邊形，故假設(shè)不成立，D錯(cuò)．
故選：D．
例47．已知P和不共線三點(diǎn)A，B，C，四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，都有，則λ＝________．
【答案】－2
【解析】由四點(diǎn)共面的充分必要條件可得：，解得：．
故答案為．
例48．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，設(shè)是該正方體表面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是_________．
【答案】
【解析】∵，在平面上，
分別取，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是正六邊形，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，
所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，
所以，點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．
故答案為：
例49．在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G為PC的中點(diǎn)，過(guò)AG的平面與棱PB、PD分別交于點(diǎn)E、F．若EF∥平面ABCD，則截面AEGF的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】∵AC＝2AB＝2AD，CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
則根據(jù)向量加法法則易知，，
即，則．
根據(jù)共面向量定理的推論知，，其中x＋y＋z＝1．
連接BD，
∵EF∥平面ABCD，EF平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴EF∥BD，
設(shè)，則，又G為PC的中點(diǎn)，
∴，
則，，解得，
AB=2，BD=2×ABsin60°=，則．
連接AG，∵PA＝AC＝4，G為PC的中點(diǎn)，故．
易知BD⊥AC，BD⊥PA，，故BD⊥平面PAC，
又平面PAC，∴BD⊥AG，∴AG⊥EF，
因此．
故答案為：．
解法二：連接BD，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)K，連接AG、PK，設(shè)AG與PK交于點(diǎn)L，
由題易得BD∥EF，則，
作KN∥AG交PC于N，易知CK＝3AK，則CN＝3GN，從而PG＝4GN，故，即．以下解法同上．
故答案為：．
【方法技巧與總結(jié)】
要證明多點(diǎn)（如，，，）共面，可使用以下方法解題．
先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量（如，，），然后證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得．
題型六：證明直線和直線平行
例50．已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．
【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
則、、、、、、、，
由題意知、、、，
∴，．
∴，又，不共線，
∴．
例51．在四棱連中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．
若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．
【解析】（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>可得平面，
又由，所以兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，，，
可得，
假設(shè)上存在點(diǎn)，使得，
設(shè)，其中，
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，可得，
又由，
所以，
設(shè)，可得，此方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，
所以對(duì)于上任意一點(diǎn)，與都不平行，
即在線段上不存在點(diǎn)，使得與平行．
【方法技巧與總結(jié)】
將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線．設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則．
題型七：證明直線和平面平行
例52．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)．試用向量的方法證明：平面．
【解析】證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，，
，
設(shè)平面的法向量為，則，故可令，
則，
即，又平面，
所以平面．
例53．如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．
求證：平面；
【解析】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系由題得，
由題得，
設(shè)平面的法向量為，
所以．
所以，
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>【方法技巧與總結(jié)】
（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則．
（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．
（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．
題型八：證明平面與平面平行
例54．如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面∥平面．
【解析】由正方體的棱長(zhǎng)為4，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
即，令，解得
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
即，令，解得
所以
所以
∴平面∥平面．
例55．如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
用向量法證明平面平面；
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，，
故，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令，則，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令，則，所以，即，
故平面平面；
【方法技巧與總結(jié)】
（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行．
（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．
題型九：證明直線與直線垂直
例56．如圖，在直四棱柱中，，，，．
求證：；
【解析】因?yàn)槠矫?，平面．所以，．又，所以，，兩兩垂直?br>以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．所以，．
所以，所以．
例57．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上．
證明：PN⊥AM；
【解析】由題意兩兩垂直．
所以以分別作為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，∴，
設(shè)，∴，則，
則，所以．
例58．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，M為的中點(diǎn)，E為與的交點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)．
（1）求證：，．
（2）求證：是異面直線與的公垂線段．【解析】（1）以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，，，，，，．
所以，，．
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以，即?br>（2）因?yàn)椋?，?br>所以，所以，即；
，所以，即．
又，
所以是異面直線與的公垂線段．
例59．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．
（1）證明：；
（2）當(dāng)，，時(shí)，求三棱錐的體積．【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>，所以．
（2）∵，在面中，∽，
∴，可得，∴，．
例60．如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）分別在線段上的點(diǎn)，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1），且平面
又平面，
矩形中，
又，則與相似，則
．；
又，平面；
（2），且平面．又，
則可以D為原點(diǎn)分別以DA、DC、DS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可知，
假設(shè)存在滿足且．
在線段上，可設(shè)
的坐標(biāo)
在線段上，可設(shè)
則．
要使且，則，
又，
可得，解得．
故存在使且，
其中是線段靠近的四等分點(diǎn)，是線段靠近的四等分點(diǎn)．
例61．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)．
證明：；
【解析】解法一：因?yàn)椋裕?br>如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，為x軸，y軸的正方向，過(guò)點(diǎn)A作∥，則⊥平面，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，4，2），
因?yàn)辄c(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)，所以M（1，3，）．
于是，
所以．
所以，即．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)直線的方向向量為，則．
這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法．
題型十：證明直線與平面垂直
例62．在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點(diǎn)，
求證：平面ADE；
【解析】（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），
則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），
則＝0，＝0，
，，即，，
又，故平面ADE．
例63．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點(diǎn)，且．
求證：平面；
【解析】因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，而，因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有，
，，，
因?yàn)椋?br>所以，而平面，
所以平面；
例64．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．
求證：平面；
【解析】如圖示：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，，，，，，，，，．所以，，，，．
因?yàn)?，所以?br>同理可證：．
又，平面，平面，
所以平面．【方法技巧與總結(jié)】
（1）證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直．
（2）證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直．
（3）轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線．
題型十一：證明平面和平面垂直
例65．如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．
求證：平面平面ABCD；
【解析】取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋移矫?，所以平面?br>所以兩兩垂直，
故以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，所以，，?br>所以
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，即，取，則；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，
，即，取，則；
因?yàn)?，故平面平面?br>例66．如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．
證明：平面平面；
【解析】據(jù)題意，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
于是：，，，，，
∴，，，
因?yàn)?，∴，即?br>又，
∴，即，
又∵，平面且，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
例67．在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點(diǎn)，P是C1C的中點(diǎn)．
證明：平面A1BC⊥平面POB；
【解析】證明：連接A1O設(shè)A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=
因?yàn)镃1C⊥平面ABC，O為AC的中點(diǎn)，所以A1O⊥平面ABC，
因?yàn)锳B=BC，所以BO⊥AC．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－，
則A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0），（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．
因?yàn)椋?br>所以，
所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．因?yàn)?，所以A1C⊥平面POB．．
因?yàn)槠矫鍭1BC，
所以平面A1BC⊥平面POB．
例68．如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面．
【解析】（1）在直三棱柱中，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，
，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
，且平面，則平面
（2），，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，
又平面的法向量，則，則平面平面．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直
（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面．
題型十二：求兩異面直線所成角
例69．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為2，且．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）直線與所成角的余弦值．
【解析】（1）由題意，，
，
，
．
（2），，
，
所以，
所以直線與所成角的余弦值為．
例70．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)該正面體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，
因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，
所以有，
，
根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，
故選：B
例71．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
易知，，，
所以，，
則，
∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為．
故選：D
例72．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，則，，，，
則，，
設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則．故選：B．
例73．已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
所以，，，．
所以，．
故選：C．
例74．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分別以為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
直線與所成角的余弦值為，．
解得：，，．
故選：B．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是．所以．
題型十三：求直線與平面所成角
例75．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD；
（2）若二面角A-EF-C是直二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．【解析】【解析】（1）在中，為中點(diǎn)且，
平面平面，平面平面，
平面，又平面，
分別為的中點(diǎn)，，
在直角和直角中，，
，
，
平面平面，
點(diǎn)到平面的距離為．
（2）平面，由（1）得三線兩兩重直，
以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則令得，
設(shè)，則，
，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
若，此時(shí)，點(diǎn)與重合；若，令，則，
當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值．
例76．如圖，在直三棱柱中，，，，E分別是，AB的中點(diǎn)，且．
（1）證明：；
（2）求與平面所成角的正弦值．
【解析】【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連，，
∵為等邊三角形，且是邊的中點(diǎn)，
∴，
∵平面底面，且它們的交線為，
∴平面，則，
∵，且
∴平面，
∴；
（2）由（1）知，面，
，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
易求
各點(diǎn)坐標(biāo)如下，
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則
令，得平面的一個(gè)法向量為
例77．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最?。?br>因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋裕?br>在中，，所以．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為．
例78．如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上，．
（1）若，為的中點(diǎn)，求證：，，，四點(diǎn)共面；
（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．
【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
則，，，
設(shè)，則，解得，
則，即，，，四點(diǎn)共面．
（2）由（1）中的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，
設(shè)，（其中），且，則，解得，
可得
設(shè)平面的法向量為，由，
取，可得，所以
設(shè)直線與平面所成角為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
直線與平面所成角的正弦的最大值為．
例79．如圖為一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點(diǎn)共線，已知三棱錐P－ADE四個(gè)面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A．B．
C．D．【答案】C
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則有：，，
設(shè)平面PAE的法向量，則有，令，則，即
∴，即直線PC與平面PAE所成角的正弦值為．
故選：C．
例80．如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，則，
以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則，故，，又，則，所以．
在正方體中，可知體對(duì)角線平面，
所以是平面的一個(gè)法向量，
所以．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或1時(shí)，取得最小值．
所以．
故選：A．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．
題型十四：求平面與平面所成角
例81．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，，，
∴，
設(shè)平面A1ED的法向量為，
則有令得：，
∴．
∵平面ABCD的法向量為，
∴，則，
故平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為．
故選：B
例82．如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，，D為PC上一點(diǎn)，且，．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）若E為AC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【解析】（1）∵平面ABC，AB，平面ABC，∴，．
又，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，設(shè)．則，．
由，得，則．
∵，即，∴，即．
又，解得．∴AC的長(zhǎng)為．
（2）∵E為AC的中點(diǎn)，由（Ⅰ）知，．
則，．
設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為．
由得令，得∴．
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為．
設(shè)二面角的平面角為．
∵，易知二面角為銳角，
∴二面角的余弦值為．
例83．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，平面平面．
（1）證明：．
（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【解析】（1）因?yàn)樵谥?，，故，所以，解得，故，故．又平面平面且交于，故平面，又平面，?br>（2）由（1）結(jié)合錐體的體積公式可得，故，解得．又故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
則，，，故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令有，故，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則
例84．如圖，在四棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角．
（1）求證：平面平面．
（2）若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，平面
∴平面
又平面，所以
又，且
∴平面
又平面，所以平面平面
（2）取的中點(diǎn)O，連接
如圖：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則點(diǎn)
，，，
設(shè)平面的法向量則有取，
設(shè)平面的法向量
即，取，可得
即平面的一個(gè)法向量
設(shè)二面角大小為，由圖知為銳角
例85．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值．
【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因?yàn)槭菆A柱的母線，
所以且，所以四邊形是平行四邊形．
所以，所以．因?yàn)槭菆A柱的母線，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)椋?br>平面，所以平面．
（2）由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知
，所以，即底面三角形是直角三
角形．設(shè)，則
在中有：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，三棱
錐的體積最大，
（另等積轉(zhuǎn)化法：
易得當(dāng)F與距離最遠(yuǎn)時(shí)取到最大值，此時(shí)E、F分別為、中點(diǎn)）
下面求二面角的正弦值：
法一：由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)椋云矫妫?br>因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角?br>由（1）知為直角三角形，則．
故，所以二面角的正弦值為．
法二：由（1）知兩兩相互垂直，
如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
由（1）知平面，故平面的法向量可取為．
設(shè)平面的法向量為，
由，得，即，即，取，得．
設(shè)二面角的平面角為，
，
所以二面角的正弦值為
例86．如圖1，矩形中，，，為上一點(diǎn)且．現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）∵四邊形為矩形，，且，
∴
∵，∴
∵，，∴，∴
∵四邊形為矩形，∴
∵，平面，∴平面
（2）過(guò)作，交于，∵，，∴，
∴
由（1）知平面，平面，所以，
由得平面，平面，
∴平面平面，
又，平面，∴平面，
故以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
∴，，，
平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
∵，，∴，
令，得，，∴
∴
∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．
例87．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點(diǎn)，，N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：平面平面
（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．
【解析】（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，
因?yàn)?，?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，?br>所以，
因?yàn)樵谥校?，M為線段PC的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，
（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，理由如下：
因?yàn)榈酌?，平面?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以兩兩垂直，
所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
設(shè)為平面的法向量，則
，令，則，
設(shè)為平面的法向量，則
，令，則，
因?yàn)槠矫鍹ND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，
所以，
化簡(jiǎn)得，得，所以當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°
例88．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．
（1）是否存在點(diǎn)使得平面，若存在求的長(zhǎng)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）二面角的余弦值為，求的值．
【解析】（1）存在．理由如下：
方法一：如圖，在上取點(diǎn)，且滿足，
再過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，
則，且，
又，且是的中點(diǎn)，，
，
是平行四邊形，
，不在面內(nèi)，平面，
平面，
且，
在中，，
．
方法二：，，，
連接并延長(zhǎng)至于交于點(diǎn)，
，
在中，，
在中，在上取點(diǎn)，使得，
而，則，
又不在面內(nèi)，平面，
平面，
在中，，
．
方法三：在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，
使得，則，平面，
故平面，而
而，故是平行四邊形，故平面，
故平面，而，
故平面平面，而平面，得平面平面，
在中，，
．
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)點(diǎn)A作面ABCD的垂線為z軸，
則，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
取，則，故是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，，
，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
取，則是平面的一個(gè)法向量，
則，
解得或（舍去）．
所以．
例89．如圖，四棱錐中，平面，梯形滿足，，且，，為中點(diǎn)，，．
（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量??方向分別為??軸的正方向建立坐標(biāo)系，
則，，，，，，所以，因?yàn)椋O(shè)，則，所以，解得，所以，同理可得，
∴，，，
令，則，
∴，∴，∴，∴???四點(diǎn)共面．
（2）由（1）可知，，，∴，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，則，令，則．
取平面的一個(gè)法向量為，則，所以，
∴二面角的正弦值為．
例90．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，點(diǎn)E是線段BC（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）探究點(diǎn)E位于何處時(shí)，平面平面PED；
（2）設(shè)二面角的平面角的大小為，直線AD與平面PED所成角為，求證：
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作直線，交直線BC于點(diǎn)M，則，
，
以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AM?AD?AP分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)點(diǎn)，，
設(shè)平面PEA的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
設(shè)平面PED的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
若平面平面PED，則，
，解得：或．
故點(diǎn)E是BC中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí)，平面平面PED．（2）平面ADE的一個(gè)法向量為，
，
，
均為銳角，
．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．
（2）設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．
題型十五：求點(diǎn)到平面距離
例91．在正方體中，E為的中點(diǎn)，過(guò)的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F(xiàn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）點(diǎn)H在棱BC上，當(dāng)時(shí)，平面，試確定動(dòng)點(diǎn)F在棱上的位置，并說(shuō)明理由；
（2）若，求點(diǎn)D到平面AEF的最大距離．【解析】（1）設(shè)平面與平面的交線為，
因?yàn)槠矫?，平面平面，平?br>所以．
由正方體知，平面平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以，所以
取中點(diǎn)，連接，易知，所以，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn)．
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，其中
設(shè)平面的法向量為
則有，不妨取，
則
所以，當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取等．
所以點(diǎn)D到平面AEF的最大距離為．
例92．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為中點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】（1）證明：由題知，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，為中點(diǎn)，于是，
又，所以平面
（2）取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以，所以平面，
于是兩兩垂直
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則
所以
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，則
于是
設(shè)，則
由于直線與平面所成角的正弦值為
于是，即，整理得，由于，所以
于是
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
則
所以點(diǎn)到平面的距離為
例93．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，M為與的交點(diǎn)，設(shè)，，．
（1）用，，表示并求BM的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)A到直線BM的距離．
【解析】（1）
又，，，
故BM的長(zhǎng)為．
（2）由（1）知，，
∴，
所以，則為點(diǎn)A到直線BM的距離，
又，故點(diǎn)A到直線BM的距離為2．
例94．已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正方體的性質(zhì)，∥，∥，，，
易得平面平面，
則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，．
連接，由，，且，可知平面，
得平面的一個(gè)法向量為，
則兩平面間的距離．
故選：D
例95．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，可知此時(shí)到直線距離最短
設(shè)，，
則，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故直線與之間的距離是．
故選：B．
例96．如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：
，，，，，
可得：
設(shè)，且
則有：，
可得：
則有：
故
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
故答案為：
例97．某市在濱海文化中心有濱?？萍拣^，其建筑有鮮明的后工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長(zhǎng)方體和圓臺(tái)組合，如圖所示，長(zhǎng)方體中，，圓臺(tái)下底圓心為的中點(diǎn)，直徑為2，圓與直線交于，圓臺(tái)上底的圓心在上，直徑為1．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）圓臺(tái)上底圓周上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求點(diǎn)到直線的距離，若不存在則說(shuō)明理由．
【解析】（1）（1）由長(zhǎng)方體可知，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，．所以．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，即，令，則，，故，
所以，故與平面所成角的正弦值為；
（2）由（1）可知，，，所以，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)，由題意可知，所以，因?yàn)?，則有，所以，又，所以，解得（舍），，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為．
例98．如圖，矩形和梯形，，平面平面，且，過(guò)的平面交平面于．
（1）求證：與相交；
（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離：
【解析】（1）證明：因?yàn)榫匦?，所以，?br>又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又由過(guò)的平面交平面與，
由線面平行的性質(zhì)定理，可得，
又由，所以，且，
所以直線與相交．
（2）由平面平面，其交線為，
且，平面，所以平面，
又由四邊形的矩形，以為原點(diǎn)，以為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)?，可得?br>則，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)到平面的距離為．
【方法技巧與總結(jié)】
如圖所示，平面的法向量為，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對(duì)值，即或
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，．
故選：B
2．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>根據(jù)向量的減法法則，得，
所以
．
故選：C．
3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在四棱臺(tái)中，側(cè)棱與底面垂直，上下底面均為矩形，，，則下列各棱中，最長(zhǎng)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由四棱臺(tái)可得，故．
因?yàn)槠矫?，而平面?br>故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
故，
故，
故選：B．
4．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知正方體，E，F(xiàn)，G分別是AB，，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線EG相交B．直線平面EFG
C．直線與平面EFG相交D．直線平面EFG
【答案】C
【解析】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2．
則．
從而有
對(duì)A，設(shè)與的公垂向量為，則，可取，又，
所以直線與直線EG的距離，故A不正確．
對(duì)B，設(shè)平面的法向量為，則
，從而可?。?br>所以，因此直線與平面不平行，故B不正確；
對(duì)C，，故直線與平面EFG相交，所以C正確；
對(duì)D，與不共線，故直線與平面EFG不垂直，故D不正確．
故選：C
5．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，正方體內(nèi)三棱錐A-BCD即為滿足題意的鱉臑，
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
則，，，，，
則，，，
則異面直線BM與CD夾角的余弦值．
故選：A．
6．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，又分別是棱，的中點(diǎn)，那么三棱錐的體積為（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【解析】由題意，長(zhǎng)方體，且，
可得長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，
所以三棱錐的體積．
故選：D．
7．（2022·安徽淮北·一模（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影數(shù)量為，∴點(diǎn)到直線的距離為．
故選：C．
8．（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的（ ）個(gè)．
①若E為的中點(diǎn)，則直線平面
②三棱錐的體積為定值
③E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為
④過(guò)點(diǎn)，C，E的截面的面積的范圍是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），，．
所以，．對(duì)于①：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，不妨令x=1，則，
所以平面A1BD的一個(gè)法向量為．
又因?yàn)椋耘c不垂直，所以直線平面不成立．故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：三棱錐的體積等于三棱錐的體積．
又，高為a，所以．故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，．平面的一個(gè)法向量為，
而．
設(shè)直線B1E與平面所成的角為，所以．
所以，所以，
即直線與平面所成的角正切值為．故③正確；
對(duì)于④：設(shè)．因?yàn)椋?br>所以在上得到投影為．
所以點(diǎn)E到直線的距離為．
當(dāng)z=0，即D、E重合時(shí)，截面為矩形，其面積為．
當(dāng)時(shí)，截面為等腰梯形．設(shè)截面交于F．所以，
高，所以其面積為．
記，
所以，所以在上單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，即．
因?yàn)?，所?br>當(dāng)z=a，即D1、E重合時(shí)，截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，其面積為．
綜上所述：．故④正確．
故選：B
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．若平面的法向量，則直線平面
C．若，分別為平面，的法向量，則平面平面
D．點(diǎn)到直線的距離為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以，所以直線與平面不平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)椤?，所以，因?yàn)?，分別為平面，的法向量，所以平面平面，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，故D正確；
故選：ACD
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（ ）
A．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則∥；
B．若非零向量，，滿足，，則有∥；C．若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；
D．若，，是空間的一組基底，則向量，，也是空間一組基底；
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則可得向量，是共線向量，即∥，所以A正確，
對(duì)于B，若非零向量，，滿足，，則向量與不能確定，可能平行，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若，，是空間的一組基底，且，則由空間向量基本定理可得，，，四點(diǎn)共面，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)?，，是空間的一組基底，所以對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使，所以向量，，也是空間一組基底，所以D正確，
故選：ACD
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以共面?br>選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以共面?br>選項(xiàng)C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個(gè)平面內(nèi)，不符合．
選項(xiàng)D，因?yàn)楣簿€，所以共面．
故選：ABD
12．（2022·福建·廈門(mén)一中模擬預(yù)測(cè)）直三棱柱，中，，，點(diǎn)D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（ ）
A．平面
B．與不垂直
C．的取值范圍為
D．的最小值為
【答案】AD
【解析】依題作圖，如圖1，并將其補(bǔ)成正方體，如圖2A：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故A正確．
B：如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)與不垂直，故B錯(cuò)誤．
C：判斷以為直徑的球與的交點(diǎn)情況，
如圖3，取中點(diǎn)F，則，，
所以以為直徑的球與沒(méi)有交點(diǎn)．所以，故C錯(cuò)誤．
D：將面，翻折至與共面，此時(shí)點(diǎn)C與重合，所以的最小值為，且，故D正確．
故選：AD
圖1圖2圖3
三、填空題
13．（2022·北京西城·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個(gè)論斷：
①；②；
③．
以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：___________．
【答案】若，則；若，則．
【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系
則
設(shè)，則
而
所以以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，可以寫(xiě)出兩個(gè)正確的命題：
若，則
若，則
答案任填其中一個(gè)即可
故答案為：若，則（若，則）
14．（2022·天津·大港一中高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)__________．
【答案】【解析】點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，
，
，
，
，
點(diǎn)到直線的距離為．
故答案為：．
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】在正方體中以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，．
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面所成角為，則．
故答案為：
16．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，底面，，，，若平面平面，則二面角的正弦值是_________．
【答案】
【解析】設(shè)，則平面平面，
由重心的性質(zhì)可得，
因?yàn)榈酌妫?，設(shè)，
，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，
，
設(shè)平面，的法向量為，
則，
，
所以，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為，
正弦值為．
故答案為：
四、解答題
17．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，，．
（1）證明：平面平面．
（2）設(shè)P是棱的中點(diǎn)，求AC與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）設(shè)．
在四邊形中，∵，，連接，
∴由余弦定理得，即，
∵，
∴．
又∵，
∴，，
∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）取AB中點(diǎn)D，連接CD，∵，∴，
由（1）易知平面，且．
如圖，以B為原點(diǎn)，分別以射線BA，為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則，，，，，．
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
得，令，則取，
，，
AC與平面所成角的正弦值為．
18．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，已知，且并與對(duì)角線DB交于G，H，現(xiàn)以ME，NF為折痕將正方形折起，且BC，AD重合，記D，C重合后為P，記A，B重合后為Q．
（1）求證：平面平面HGQ；
（2）求平面GPN與平面GQH所成二面角的正弦值．
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，則，．
再取中點(diǎn)，連接，，易得，，
于是，四邊形為平行四邊形，得，
從而，，
那么平面，
又平面，
故平面平面．
（2）以與垂直的直線為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，則，
，，，，，
設(shè)平面的法向量
，，，
由，得：
，取，得，
所以平面的法向量．
同理可得：平面的法向量，
則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為．
19．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四邊形是正方形．
（1）指出棱與平面的交點(diǎn)E的位置（無(wú)需證明），并在圖中將平面截該四棱柱所得的截面補(bǔ)充完整；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）E為的中點(diǎn)．
作圖如下：如圖，取的中點(diǎn)E，連接DE，．
（2）設(shè)在平面內(nèi)的射影為O，點(diǎn)F在AB上，且．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，，，，
所以，，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，取．
設(shè)平面的法向量為，
則，取．
所以，
由圖可知二面角為銳角，故其余弦值為．
20．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，圓錐PO的母線長(zhǎng)為，是⊙的內(nèi)接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
（1）證明：；
（2）設(shè)點(diǎn)Q滿足，其中，且二面角的大小為，求的值．
【解析】（1）∵，，，∴
∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC平面，平面PBC，，
∴PB⊥平面PAC，又平面PAC，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，，
∵
∴；
（2）在平面ABC內(nèi)作交BC于M，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM，OB，OP所在直線分別為x軸，
y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
易知，，
所以，，，，
，，
設(shè)平面OBC的法向量，
依題意，即，
不妨令，得，
易知平面OQB的法向量，
由可知，
即，解得21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面，的中點(diǎn)為，四面體的體積為，四邊形的面積為．
（1）求到平面的距離；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)O，是以為直角的等腰直角三角形且．求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，
設(shè)到平面的距離為h，則到平面的距離為，
因?yàn)椋?br>即，
即，得，即到平面的距離．
（2）因?yàn)槭且詾橹苯堑牡妊苯侨切?，由?）知，所以，
如圖，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則點(diǎn)，，，，．
則，，．
設(shè)平面的法向量為，
則由解得．
令，則，于是平面的一個(gè)法向量為．
所以直線與平面所成角的正弦值為
．
故直線與平面所成角的正弦值為．
22．（2022·遼寧·高三期中）如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且底面在平面內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，平面，側(cè)棱與底面所成角為．
（1）若是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)、兩點(diǎn)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，試給出與滿足的關(guān)系式；
（2）若是棱上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面的距離為（），寫(xiě)出、兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值；
（3）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)（），使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線與互相垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由；
【解析】（1）由四棱錐是底面邊長(zhǎng)為的正方形，則，
可設(shè)與所滿足的關(guān)系式為，將點(diǎn)橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)代入該方程得，
解得，因此，與所滿足的關(guān)系式為；
（2）設(shè)點(diǎn)，，
則．
令，設(shè)，對(duì)稱軸為直線．
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在取得最小值，即，
此時(shí)．
因此；
（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則直線與為相交直線，不符；
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)取最小值時(shí)，，
當(dāng)異面直線與垂直時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得．
，解得．

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