最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】專題04 基本不等式及其應(yīng)用-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題04基本不等式及其應(yīng)用
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.基本不等式
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧與總結(jié)】
1.幾個(gè)重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).
特例：（同號(hào)）.
（3）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).
2.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.
3.常見求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成
立.
【題型歸納目錄】
題型一：基本不等式及其應(yīng)用
題型二：直接法求最值
題型三：常規(guī)湊配法求最值
題型四：消參法求最值
題型五：雙換元求最值
題型六：“1”的代換求最值
題型七：齊次化求最值
題型八：利用基本不等式證明不等式
題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題
【典例例題】
題型一：基本不等式及其應(yīng)用
例1．（2022·寧夏·銀川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（）
A．B．
C．D．
例2．（2022·黑龍江·哈九中三模（理））已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）
A．B．
C．D．
例3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）
A．B．
C．D．
例4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））下列不等式中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為6的是（）
A．B．
C．D．
（多選題）例6．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)，，下列結(jié)論中正確的是（）A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)證.
題型二：直接法求最值
例7．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（）
A．2B．1C．D．
例8．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測（理））若x，y為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）
A．18B．27C．54D．90
例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函數(shù)（）的值域?yàn)?，則的最小值為（）
A．B．4C．8D．
例10．（2022·湖北十堰·三模）函數(shù)的最小值為（）
A．4B．C．3D．
（多選題）例11．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)正數(shù)，4是與的等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
例12．（2022·四川·廣安二中二模（文））若，且，則的最大值是_______________.
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最小值是___________.
【方法技巧與總結(jié)】
直接利用基本不等式求解，注意取等條件.
題型三：常規(guī)湊配法求最值例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若，則有（）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（）
A．B．
C．D．
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為（）
A．3B．C．D．
例17．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為___________.
例18．（2021·江蘇·常州市北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，則最大值為______．
例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；
（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.
【方法技巧與總結(jié)】
1．通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．
2．注意驗(yàn)證取得條件．
題型四：消參法求最值
例20．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）若直線過點(diǎn)，則的最大值為___________.
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）
A．B．C．D．
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）
A．2B．C．D．6
例23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．
例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，則的最小值為___________.
例25．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）若，則的取值范圍是_________．
【方法技巧與總結(jié)】
消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！
題型五：雙換元求最值
例26．（2022·浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)，，若，則的最大值為（）
A．B．C．D．
例27．（2022·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．
例28．（2022·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)一模）已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，則的最小值為____________．
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為 ________．
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為_________
例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________．
【方法技巧與總結(jié)】
若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．
1．代換變量，統(tǒng)一變量再處理．
2．注意驗(yàn)證取得條件．
題型六：“1”的代換求最值
例32．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）
A．2B．4C．8D．12
例33．（2022·河南·鶴壁高中模擬預(yù)測（文））設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．
例34．（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
例35．（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則的最小值為（）
A．13B．19C．21D．27
例36．（2022·四川·石室中學(xué)三模（文））已知，且，則的最小值是( )
A．49B．50C．51D．52
例37．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
例38．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，，，則的最小值為______．
例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函數(shù)圖象過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則最小值為___________.
【方法技巧與總結(jié)】
1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．
1．根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．
2．注意驗(yàn)證取得條件．題型七：齊次化求最值
例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足則的最小值是（）
A．B．C．D．
例41．（2022·浙江嘉興·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則的最大值是___________.
例42．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）
A．B．C．D．
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（）
A．B．C．D．
例44．（2022·天津·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為____________.
例45．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且，則的最大值為______．
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若且，則的最小值為___________.
【方法技巧與總結(jié)】
齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．
題型八：利用基本不等式證明不等式
例47．（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））已知，．
(1)若，證明：；
(2)若，證明：．
例48．（2022·陜西渭南·二模（文））設(shè)函數(shù)．
(1)求不等式的解集．
(2)若的最大值為，證明：．
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，，滿足．
(1)求的最大值；
(2)證明：．
例50．（2022·安徽省蕪湖市教育局高三期末（理））設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且.證明：
(1)；
(2).
例51．（2022·河南洛陽·一模（文））已知a，b，c都是正數(shù).
(1)證明：；
(2)若，證明：.
【方法技巧與總結(jié)】
類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明.
題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題
例51．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)計(jì)用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（）
A．（38－3 m3B．16 m3C．4 m3D．14 m3
例53．（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對(duì)角線過點(diǎn)，已知，，那么當(dāng)_______時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.
例54．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實(shí)心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型．如圖所示的空心模型是體積為的球挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體，其中，平面PAB，．不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最省時(shí)，AC的長．
例55．（2022·全國·高三課時(shí)練習(xí)）為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬元滿足(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．
(1)將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2019年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)廠家利潤最大？
【方法技巧與總結(jié)】
1．理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．
2．注意定義域，驗(yàn)證取得條件．
3.注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)E是的中線上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若，則的最小值為（）
A．4B．6C．8D．9
2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））若，，，則的最小值為（）A．B．C．6D．
4．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，為平面的單位向量，且其夾角為，若，則的最大值為（）
A．B．C．D．
5．（2022·天津紅橋·一模）設(shè)，，若，則的最小值為（）
A．6B．9C．D．18
6．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（理））已知等比數(shù)列的公比為q，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（）
A．B．C．D．
7．（2022·河南·鶴壁高中模擬預(yù)測（文））已知a，，滿足，則下列錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．D．
8．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，則的最大值為（）
A．2B．3C．D．
二、多選題
9．（2022·河北張家口·三模）已知，（m是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）
A．若的最小值為，則
B．若的最大值為4，則
C．若的最大值為m，則
D．若，則的最小值為2
10．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知，則以下不等式成立的是（）
A．B．C．D．
11．（2022·山東菏澤·二模）設(shè)a，b為兩個(gè)正數(shù)，定義a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p為有理數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．
12．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）已知函數(shù)，且正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論可能成立的是（）
A．B．的最大值為
C．D．的最小值為
三、填空題
13．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（理））已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為__________．
14．（2022·吉林·模擬預(yù)測（理））已知，則的最小值是______．
15．（2022·重慶·三模）已知，，且，則的最小值為___________.
16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最小值為_________．
四、解答題
17．（2022·江西·二模（理））已知函數(shù)．
(1)解不等式的解集；
(2)設(shè)到的最小值為，若正數(shù)，滿足，求的最小值．
18．（2022·江西南昌·三模（理））已知函數(shù)，已知不等式恒成立.
(1)求的最大值；
(2)設(shè)，，求證：.
19．（2022·江西九江·三模（文））設(shè)函數(shù)．
(1)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，所圍成的區(qū)域面積為S，若正數(shù)b，c，d滿足，求的最小值．
20．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)已知不等式的解集為，，，，求的最小值.
21．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））設(shè)a，b為正數(shù)，且．證明：
(1)：
(2)．
22．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測（理））設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且．
(1)求的最小值；
(2)證明：．

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