1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題13 函數(shù)模型及其應用
【考點預測】
1.幾種常見的函數(shù)模型：
2.解函數(shù)應用問題的步驟：
(1)審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；
(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應的數(shù)學模型;
(3)解模：求解數(shù)學模型，得出結(jié)論；
(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．
【題型歸納目錄】
題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
題型二：對勾函數(shù)模型
題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型
【典例例題】函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
，為常數(shù)且
反比例函數(shù)模型
，為常數(shù)且
二次函數(shù)模型
，，為常數(shù)且
指數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
對數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
冪函數(shù)模型
，為常數(shù)，
題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
例1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)題意解出長度，設，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解.
【詳解】
設，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
設，，則，
，所以在中，有，
令，所以，
所以，
因為，所以，則要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的對稱軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，
所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），
則射門時甲離上方端線的距離為：.
故選：B.
例2．（2022·甘肅酒泉·模擬預測（文））如圖，在矩形中，，，是的中點，點沿著邊、與運動，記，將的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，則（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當時，
D．當時，
【答案】C
【解析】
【分析】
分、、三種情況討論，求出的邊上的高，結(jié)合三角形的面積公式可得出的表達式.
【詳解】
，則，易得，，
所以，，則.
當時，點在線段上（不包括點），則，
此時，；
當時，點在線段上（不包括點），此時；
當時，點在線段上（不包括點），
此時，則，則.
故選：C.
例3．（2022·上海交大附中高三開學考試）2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，且.
(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤 = 銷售收入—成本）
(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.
【答案】(1)
(2)當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元【解析】
【分析】
（1）分和兩種情況，由利潤 = 銷售收入—成本，知，再代入的解析式，進行化簡整理即可，
（2）當時，利用配方法求出的最大值，當時，利用基本不等式求出的最大值，比較兩個最大值后，取較大的即可
(1)
當時，
，
當時，
，
所以年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式為
(2)
當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時， 取得最大值1450，
當時，
，
當且僅當，即時取等號，此時取得最大值1490，
因為，
所以當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元
例4．（2022·全國·高三專題練習）某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)，其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.
(1)將利潤f(x)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；
(2)當月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益＝總成本＋利潤)【答案】(1)；
(2)300，25000元.
【解析】
【分析】
(1)由題意，由總收益總成本利潤可知，分及求利潤，利用分段函數(shù)表示；
(2)在及分別求函數(shù)的最大值或取值范圍，從而確定函數(shù)的最大值．從而得到最大利潤．
(1)
由題意，當時，；
當時，；
故；
(2)
當時，；
當時，(元
當時，(元
，
當時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元．
例5．（2022·河北·模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識?鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會?回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件時，售價為s元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產(chǎn)量為___________件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為___________萬元.
【答案】 200 7.94
【解析】
【分析】
將利潤表示為關(guān)于的一個二次函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可.
【詳解】
由題意易得日利潤，
故當日產(chǎn)量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，
故答案為：200，7.94.
【方法技巧與總結(jié)】
1.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.
2.構(gòu)造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏.
題型二：對勾函數(shù)模型
例6．（2022·全國·高三專題練習）某企業(yè)投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為，設備年平均費用為萬元，求得關(guān)于的表達式，利用基本不等式求出的最小值及其對應的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】
設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為，設備年平均費用為萬元，
則年后的設備維護費用為，
所以年的平均費用為（萬元），
當且僅當時，等號成立，
因此，為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為.
故選：B.
例7．（2022·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為___________．（本題中取進行計算）
【答案】
【解析】【分析】
設圓弧的半徑為x，根據(jù)平面幾何知識寫出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，運用基本不等式求解函數(shù)的最大值即可.
【詳解】
設圓弧的半徑為，根據(jù)題意可得：
令，則，
根據(jù)基本不等式，，當卻僅當 ，即時取“=”.
， 時，
故答案為：.
例8．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，設矩形的周長為cm，把沿折疊，折過去后交于點，設cm，cm．
(1)建立變量與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;
(2)求的最大面積以及此時的的值．【答案】(1)，定義域為
(2)，的最大面積為
【解析】
【分析】
（1）由題意可得，再由可求出的取值范圍，
（2）設，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，從而可求得，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果
(1)
因為，，矩形ABCD的周長為20cm，
所以，因為，所以，
解得．所以，定義域為．
(2)
因為ABCD是矩形，所以有，．
因為是沿折起所得，
所以有，，因此有，
，所以≌，因此，．
設．而ABCD是矩形，所以，
因此．
在直角三角形ADP中，有，．
所以，
化簡得，
當且僅當時取等號，即時，的最大面積為．
例9．（2022·全國·高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長，大扇形半徑，設小扇形半徑，弧度，則
①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式_________．
②若雕刻費用關(guān)于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為________．
【答案】 ，；
【解析】
【分析】
利用弧長公式求與根據(jù)扇環(huán)周長可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)扇形面積公式求出扇環(huán)面積，進而得出磚雕面積與雕刻費用之比，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】
由題意可知，， ，，
所以，，，
扇環(huán)周長，
解得，
磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為，
則
，
即雕刻面積與雕刻費用之比為，
則，
令，則，

，當且僅當時（即）取等號，
所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為.
故答案為：，；
【方法技巧與總結(jié)】
1.解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2.利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.
題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型
例10．（2022·全國·模擬預測）天文學上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天體亮度，可用近似表示絕對星等、目視星等和觀測距離d（單位：光年）之間的關(guān)系．已知織女星的絕對星等為0.58，目視星等為0.04，大角星的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設觀測者與織女星和大角星間的距離分別為，，根據(jù)題意，列出方程組，化簡整理，即可得答案.
【詳解】
設觀測者與織女星和大角星間的距離分別為，，則有，
兩式相減得，所以，，
故選:D．
例11．（2022·河南·模擬預測（文））金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存．已知金針菇失去的新鮮度與其采摘后時間（天）滿足的函數(shù)解析式為，．若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%，采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%．那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知，結(jié)果取一位小數(shù)）（ ）
A．4.0天B．4.3天C．4.7天D．5.1天
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知條件兩式相除求出，設天后開始失去全部新鮮度，則，再與已知一式相除可求得．
【詳解】
由已知，相除得，，，因為，故解得，
設天后開始失去全部新鮮度，則，又，
所以，，，，．
故選：C．
例12．（2022·陜西西安·三模（理））2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關(guān)鍵是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在發(fā)動機工作期間獲得速度增量的公式，其中△v為火箭的速度增量，為噴流相對于火箭的速度，和分別代表發(fā)動機開啟和關(guān)閉時火箭的質(zhì)量，在未來，假設人類設計的某火箭達到5公里/秒，從100提高到600，則速度增量增加的百分比約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，
A．15%B．30%C．35%D．39%
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，速度的增量為，，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
由題意，當時，速度的增量為；
當時，速度的增量為，
所以.
故選：D.
例13．（2022·貴州·模擬預測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，.據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量比初始累計繁殖數(shù)量增加倍所需要的時間為（，）（ ）
A．天B．天C．天D．天
【答案】C【解析】
【分析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求得，設初始時間為，累計繁殖數(shù)量增加倍后的時間為，利用，結(jié)合對數(shù)運算法則可求得結(jié)果.
【詳解】
，，，，解得：.
設初始時間為，初始累計繁殖數(shù)量為，累計繁殖數(shù)量增加倍后的時間為，
則（天）.
故選：C.
例14．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【答案】B
【解析】
【分析】
設年平均增長率為，依題意列方程求即可.
【詳解】
由題意，設年平均增長率為，則，
所以，故年平均增長率為20%.
故選：B
例15．（2022·廣西·模擬預測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】初始狀態(tài)設為，變化后為，根據(jù)，的關(guān)系代入后可求解．
【詳解】
設初始狀態(tài)為，則，，
又，，即，
，，，，．
故選：D．
例16．（2022·貴州貴陽·二模（理））2021年11月24日，貴陽市修文縣發(fā)生了4.6級地震，所幸的是沒有人員傷亡和較大財產(chǎn)損失，在抗震分析中，某結(jié)構(gòu)工程師提出：由于實測地震記錄的缺乏，且考慮到強震記錄數(shù)量的有限性和地震動的不可重復性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)計特征的非平穩(wěn)地震波時程，其中地震動時程強度包絡函數(shù)，（單位：秒）分別為控制強震平穩(wěn)段的首末時刻；（單位：秒）表示地震動總持時；是衰減因子，控制下降段衰減的快慢．在一次抗震分析中，地震動總持時是20秒，控制強震平穩(wěn)段的首末時刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2，則當秒時，地震動時程強度包絡函數(shù)值是（ ）
A．B．1C．9D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題可得當時，，即得.
【詳解】
由題可知，，，
∴當時，，
∴當秒時，地震動時程強度包絡函數(shù)值是.
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
1.在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.2.在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像 求解最值問題.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·遼寧葫蘆島·二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：
由此散點圖，在20℃至36℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
結(jié)合散點圖的特點，選擇合適的方程類型作為回歸方程類型.
【詳解】
由散點圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y隨著溫度x的增長速度越來越快，
所以最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型.
故選：C
2．（2022·全國·模擬預測）影響租金的因素有設備的價格、融資的利息和費用、稅金、租賃保證金、運費、各種費用的支付時間、租金的計算方法等，而租金的計算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表達式為（其中P為租賃資產(chǎn)的價格；N為租賃期數(shù)，可按月、季、半年、年計；i為折現(xiàn)率；r為附加率）．某小型企業(yè)擬租賃一臺生產(chǎn)設備，租金按附加率法計算，每年年末支付，已知設備的價格為84萬元，折現(xiàn)率為8%，附加率為4%，若每年年末應付租金為24.08萬元，則該設備的租期為（ ）A．4年B．5年C．6年D．7年
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，即可求解.
【詳解】
由題意，R＝24.08萬元，P＝84萬元，i＝8%，r＝4%，則，解得N＝6，
故選:C．
3．（2022·全國·模擬預測）隨著社會的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟．其中電磁波在空間中自由傳播時能量損耗滿足傳輸公式：，其中D為傳輸距離，單位是km，F(xiàn)為載波頻率，單位是MHz，L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB．若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB，則傳輸距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
【答案】C
【解析】
【分析】
由題，由前后兩傳輸公式做差，結(jié)合題設數(shù)量關(guān)系及對數(shù)運算，即可得出結(jié)果
【詳解】
設是變化后的傳輸損耗，是變化后的載波頻率，是變化后的傳輸距離，則，，，則，即，從而，即傳輸距離增加了約3倍，
故選：C．
4．（2022·全國·模擬預測）施工企業(yè)承包工程，一般實行包工包料，需要有一定數(shù)量的備料周轉(zhuǎn)金，由建設單位在開工前撥給施工企業(yè)一定數(shù)額的預付備料款，構(gòu)成施工企業(yè)為該承包工程儲備和準備主要材料、結(jié)構(gòu)件所需的流動資金．確定工程預付款起扣點的依據(jù)是：未完施工工程所需主要材料和構(gòu)件的費用等于工程預付款的數(shù)額．計算公式為：（：工程預付款起扣點，：承包工程合同總額，：工程預付款數(shù)額，：主要材料及構(gòu)件所占比重）．某施工企業(yè)承接了一個合同總額為208萬元的新工程，該工程預付款起扣點為160萬元，主要材料及構(gòu)件所占比重為65%，則建設單位應預付給施工企業(yè)的金額為合同總額的（ ）
A．12%B．15%C．18%D．21%【答案】B
【解析】
【分析】
設建設單位應預付給施工企業(yè)的金額為合同總額的，根據(jù)所給公式得到方程，解得即可；
【詳解】
解：設建設單位應預付給施工企業(yè)的金額為合同總額的，
則由，得，解得，
故選：B．
5．（2022·北京·二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù)．如果在前污染物減少，那么再過后污染物還剩余（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定的函數(shù)模型及已知可得，再計算后污染物剩余量.
【詳解】
由題設，，可得，
再過5個小時，，
所以最后還剩余.
故選：D
6．（2022·全國·模擬預測）某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準，需要加入某種藥劑，加入該藥劑后，藥劑的濃度C（單位：）隨時間t（單位：h）的變化關(guān)系可近似的用函數(shù)刻畫．由此可以判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經(jīng)過（ ）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求最值可得．
【詳解】
依題意，，所以，所以，
當且僅當，即t＝3時等號成立，故由此可判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經(jīng)過3h．
故選：A．
7．（2022·云南曲靖·二模（文））某大型家電商場，在一周內(nèi)，計劃銷售、兩種電器，已知這兩種電器每臺的進價都是萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進貨的臺數(shù)不高于的臺數(shù)的倍，且進貨至少臺，而銷售、的售價分別為元/臺和元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨、的總資金為萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售、電器的總利潤（利潤售價進價）的最大值為（ ）
A．萬元B．萬元C．萬元D．萬元
【答案】D
【解析】
【分析】
設賣場在一周內(nèi)進貨的臺數(shù)為臺，則一周內(nèi)進貨的臺數(shù)為，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，再寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.
【詳解】
設該賣場在一周內(nèi)進貨的臺數(shù)為臺，則一周內(nèi)進貨的臺數(shù)為，
設該賣場在一周內(nèi)銷售、電器的利潤為萬元，
由題意可得，可得，且，
，
函數(shù)隨著的增大而增大，故（萬元）.
故選：D.
8．（2022·全國·高三專題練習）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T近似滿足．有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為（ ）
A．3.6天B．3.0天C．2.4天D．1.8天
【答案】A
【解析】【分析】
由已知先確定系數(shù),即可確定函數(shù)解析式，再利用解析式及提供數(shù)據(jù)即可求解累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間
【詳解】
因為，，且，則，于是得
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間為，則有
即，所以，
而，解得
所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為3.6天
故選：A．
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習（理））某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為（不超過按起步價付費）；超過但不超過時，超過部分按每千米2.15元收費；超過時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．出租車行駛，乘客需付費8元
B．出租車行駛，乘客需付費9.6元
C．出租車行駛，乘客需付費25.45元
D．某人兩次乘出租車均行駛的費用之和超過他乘出租車行駛一次的費用
【答案】CD
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，逐一分析各個選項，即可得答案
【詳解】
對于A：出租車行駛，乘客需付起步價8元和燃油附加費1元，共9元，故A錯誤；
對于B：出租車行駛，乘客需付費8+2.15+1=11.15元，故B錯誤；
對于C：出租車行駛，乘客需付費元，故C正確；
對于D：某人兩次乘出租車均行駛的費用之和為元，
一次行駛的費用為25.45元，，故D正確.
故選：CD
10．（2022·全國·高三專題練習）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進行逐個分析，即可解決．
【詳解】
由函數(shù)圖象可知，
當時，，即，解得，
，故正確，
藥物剛好起效的時間，當，即，
藥物剛好失效的時間，解得，
故藥物有效時長為小時，
藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，
故選：．
11．（2022·全國·高三專題練習）“雙”購物節(jié)中，某電商對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物總額超過元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過 元但不超過元，則按標價給予折優(yōu)惠；（4）如果購物總額超過元，其中元內(nèi)的按第（3）條給予優(yōu)惠，超過 元的部分給予折優(yōu)惠.某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（ ）
A．如果購物總額為78元，則應付款為73元
B．如果購物總額為228元，則應付款為205.2元
C．如果購物總額為368元，則應付款為294.4元
D．如果購物時一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元
【答案】ABD
【解析】
根據(jù)優(yōu)惠規(guī)則計算應付款項，判斷各選項．
【詳解】
購物總額為78元，則應付款為元，A正確；
購物總額為228元，則應付款為元，B正確；
購物總額為368元，則應付款為元，C錯誤；
購物時一次性全部付款442.8元，則包含購物總額300元應付的270元，還有元對應購物額度為，因此購物總額為元，D正確．
故選：ABD．
【點睛】
本題考查函數(shù)的應用，在求解應付款時，如果購物總額大于300元，計算時需先計算300元應付270元，多于300元的乘以0.8，這才是正確結(jié)論，不能全部乘以0.8．
12．（2022·全國·高三專題練習）某一池溏里浮萍面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系為，下列說法中正確的說法是（ ）
A．浮萍每月增長率為1
B．第5個月時，浮萍面積就會超過
C．浮萍每月增加的面積都相等
D．若浮萍蔓延到所經(jīng)過時間分別為，則
【答案】ABD
【解析】
函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=2t，再由，可判斷A；當t=5時，計算函數(shù)值可判斷B；計算第二個月比第一個月增加量，和第三個月比第二個月增加量，比較可判斷C；運用指數(shù)與對數(shù)互化得t1，t2，t3，可判斷D.
【詳解】函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=2t，∵，∴每月的增長率為1，A正確；
當t=5時，y=25=32>30，∴B正確；
∵第二個月比第一個月增加y2-y1=22-2=2(m2)，
第三個月比第二個月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正確；
∵2=，3=，6=，∴t1=lg22，t2=lg23，t3=lg26，
∴t1+t2=lg22+lg23=lg26=t3，D正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．（2022·全國·模擬預測）一種藥在病人血液中的量保持1000mg以上才有療效，而低于500mg病人就有危險．現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg，如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過______小時內(nèi)向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，精確到0.1h）
【答案】6.6
【解析】
【分析】
寫出血液中藥物含量關(guān)于時間的關(guān)系式，解不等式求出答案.
【詳解】
設h后血液中的藥物量為mg，
則有，
令得：
故從現(xiàn)在起經(jīng)過6.6h內(nèi)向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.
故答案為：6.6
14．（2022·遼寧丹東·模擬預測）某公司2021年實現(xiàn)利潤100萬元，計劃在以后5年中每年比上一年利潤增長4%，則2026年的利潤是______萬元．（結(jié)果精確到1萬元）
【答案】122
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得出含指數(shù)的利潤表達式，利用二項式定理求近似值即可.
【詳解】
由題意可知， (萬元)，
即2026年的利潤大約是122萬元.故答案為：122
15．（2022·北京·二模）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動動機相關(guān)，并建立了數(shù)學模型．
已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結(jié)論：
①甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；
②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高；
③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強：
④甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱．
其中所有正確結(jié)論的序號是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得.
【詳解】
設甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動動機，
對于①，，，，，
∴，，
則，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正確；
對于②，，，，
∴，，
則，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正確；
對于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙勞累程度弱，故③錯誤；
對于④，，，，
∴，，∴，
所以，即甲比乙勞累程度弱，故④正確.
故答案為：①②④.
16．（2022·全國·高三專題練習）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：
（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；
（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；
（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．
記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
①；②；③；④．
則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是__________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
需滿足四個條件：1.自變量的取值范圍為；
2.函數(shù)值域為的子集；
3.該函數(shù)在上恒有；
4.該函數(shù)為上增函數(shù)；
逐一對照分析求解即可.
【詳解】
① ，該函數(shù)在時函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；
② 為增函數(shù)，且
且，則，符合題意；
③ ，當時，不合題意
④ ，當時，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又設
即，
易知在上為減函數(shù)
令，則存在，有
當，；當，；
故在遞增，在遞減.
，
故上
即上
故④符合題意
故答案為：②④
【點睛】
本題考查學生實際運用數(shù)學的能力.需要學生具備一定的數(shù)學建模思想，將文字語言描述的要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，再用數(shù)學方法分析求解.
四、解答題
17．（2022·上海交大附中高三期中）“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強．如圖：一個運動員從起滑門點出發(fā)，沿著助滑道曲線滑到臺端點起跳，然后在空中沿拋物線飛行一段時間后在點著陸，線段的長度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績．已知在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
(1)求實數(shù)，的值及助滑道曲線的長度．
(2)若運動員某次比賽中著陸點與起滑門點的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米，）．
【答案】(1)，，助滑道曲線的長度為米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）令，即可得到，，即可得到的幾何意義，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到，，即可求出、的值，從而求出曲線的長度；
（2）由（1）可得的解析式，依題意可得，代入解析式中解出，即可求出點坐標，根據(jù)兩點間的距離公式計算可得；
(1)
解：因為，令，則，，
所以表示以為圓心，半徑的圓弧，
因為由圖象可知函數(shù)開口向下，
所以，又對稱軸為，又，
所以當時，，
解得，所以，
即，，助滑道曲線的長度為米
(2)
解：依題意可得，，，
由（1）可得，
令，即，解得，（舍去）；
所以，所以，
即該運動員飛行距離約為米；
18．（2022·上海市建平中學高三階段練習）有一條長為120米的步行道OA，A是垃圾投放點，以O為原點，OA為x軸正半軸建立直角坐標系．設點，現(xiàn)要建設另一座垃圾投放點，函數(shù)表示與點B距離最近的垃圾投放點的距離．
(1)若，求、、的值，并寫出的函數(shù)解析式；
(2)若可以通過與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點建在何處才能比建在中點時更加便利？
【答案】(1)，，
(2)垃圾投放點建在與之間時，比建在中點時更加便利．
【解析】
【分析】
（1）理解題意，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求解
（2）作出圖象，表示出與坐標軸圍成的面積后解不等式
(1)投放點，，表示與距離最近的投放點（即的距離，
所以，同理得，，，
由題意得，，，
則當，即時，；
當，即時，；
綜上；
(2)
由題意得，，
所以，則與坐標軸圍成的面積如陰影部分所示，
所以，
由題意，，即，
解得，即垃圾投放點建在與之間時，比建在中點時更加便利．
19．（2022·上海市松江二中高三開學考試）某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后，建立了一個預測該市一天中的大氣污染指標與時間（單位：小時）之間的關(guān)系的函數(shù)模型：，，其中，代表大氣中某類隨時間變化的典型污染物質(zhì)的含量，參數(shù)代表某個已測定的環(huán)境氣象指標，且.現(xiàn)環(huán)保部門欲將的最大值作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)布.
(1)求的值域；
(2)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過，請求出的表達式，并預測該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會超標？請說明理由.
【答案】(1)；(2)，不會超標，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）由題設可得，理由正弦函數(shù)的性質(zhì)求的值域即可.
（2）令，討論的大小關(guān)系求出的分段函數(shù)形式，在討論的范圍求對應表達式，并判斷的值域，由其最大值與2的大小關(guān)系判斷是否會超標.
(1)
由題設，，則，
所以，即的值域為.
(2)
由（1）知：，則，
所以，
當時，在上遞增，故；
當時，，此時在上，在上；
而得：，故，
綜上，，易知：恒成立，故該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不會超標.
20．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如圖所示，兩村莊和相距，現(xiàn)計劃在兩村莊外以為直徑的半圓弧上選擇一點建造自來水廠，并沿線段和鋪設引水管道.根據(jù)調(diào)研分析，段的引水管道造價為萬元，段的引水管道造價為萬元，設，鋪設引水管道的總造價為萬元，且已知當自來水廠建在半圓弧的中點時，.
(1)求的值，并將表示為的函數(shù)；
(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)，，其中；
(2)存在，且的最大值為.
【解析】
【分析】
（1）求得，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，根據(jù)題意得出，將代入函數(shù)解析式可求得的值，由此可得出表示為的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.
(1)
解：因為為半圓弧的直徑，則，則，
由題意可得，可得，
所以，，其中，
當點在的中點時，，此時，解得，
因此，，其中.
(2)
解：因為，其中，則，
因為函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故當時，函數(shù)取最大值，即.21．（2022·全國·高三專題練習）十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃，年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備看，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)（百輛）需另投入成本（萬元），且.由市場調(diào)研知，每輛車售價萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額—成本）
(2)當年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】(1)
(2)百輛，最大利潤為萬
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意分情況列式即可；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分別計算最值.
(1)
由題意得當時，，
當時，，
所以,
(2)
由（1）得當時，，
當時，，
當時，
，當且僅當，即時等號成立，
，時，，，
時，即年產(chǎn)量為百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.
22．（2022·全國·高三專題練習）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)元．已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為(單位：元)
(1)寫單株利潤(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)；
(2)4千克，480元﹒
【解析】
【分析】
(1)用銷售額減去成本投入得出利潤的解析式；
(2)分段判斷的單調(diào)性，求出的最大值即可．
(1)
依題意，又，
∴．
(2)
當時，，開口向上，對稱軸為，
在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
在，上的最大值為．
當時，，
當且僅當時，即時等號成立．
∵，∴當時，．
∴當投入的肥料費用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．

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