1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專題39 雙曲線及其性質(zhì)
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．
注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．
（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：
= 1 \* GB3 ①條件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．
知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
A2
焦點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
對(duì)稱性
關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
范圍
實(shí)軸、虛軸
實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為
離心率
漸近線方程
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
點(diǎn)和雙曲線
的位置關(guān)系
共焦點(diǎn)的雙曲線方程
共漸近線的雙曲線方程
切線方程
為切點(diǎn)
為切點(diǎn)
切線方程
對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．
切點(diǎn)弦所在直線方程
為雙曲線外一點(diǎn)
為雙曲線外一點(diǎn)
點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)
弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．
則弦長(zhǎng)，
，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．
通徑
通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為
【方法技巧與總結(jié)】
（1）雙曲線的通徑
過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．
（2）點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系
對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．
點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于 結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析．
（3）雙曲線常考性質(zhì)
性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù);
性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
（4）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）焦點(diǎn)三角形
雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，
設(shè)，，，則，
，
焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是
等軸雙曲線
等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．
（5）雙曲線的切線
點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：雙曲線方程的充要條件
題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題
題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題
題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換
方向2：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式
方向3：利用，其中為焦距長(zhǎng)，
方向4：坐標(biāo)法
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
方向7：利用基本不等式
方向8：利用漸近線的斜率求離心率
方向9：利用雙曲線第三定義
方向10：利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍
題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題
題型八：利用第一定義求解軌跡
題型九：雙曲線的漸近線
題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線
【典例例題】
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）－＝4表示的曲線方程為（ ）
A．－＝1(x≤－2)B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2)D．－＝1(y≥2)
【方法技巧與總結(jié)】
求雙曲線的方程問(wèn)題，一般有如下兩種解決途徑：
（1）在已知方程類(lèi)型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，，，即利用待定系數(shù)法求方程.
（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件，來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程.
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，.雙曲線上有一點(diǎn)，若，則______.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·河北石家莊·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，將函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線C，在C上任取一點(diǎn)P，則（ ）
A．B．2C．D．不確定
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為.若，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為（，0），（3，0），為雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））雙曲線C的兩焦點(diǎn)分別為(－6，0)，(6，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5，2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（ ）
A．B．C．D．
例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與漸近線交于點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10，離心率是；
(2)一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為12；
(4)漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為和．
例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
(2)與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
題型二：雙曲線方程的充要條件
例19．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【方法技巧與總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
例20．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）“k0，b>0)的左焦點(diǎn)F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．＋1D．
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故選A.
例61．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
例62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
方向4：坐標(biāo)法
例63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上.當(dāng)時(shí)，.求雙曲線的離心率.
例64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________.
例65．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，P為C右支上一點(diǎn)，與x軸切于點(diǎn)F，與y軸交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則C的離心率為_(kāi)_____.
例66．（2022·山東青島·高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.
例67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線分別交雙曲線左支和一條漸近線于點(diǎn)（在同一象限內(nèi)），且滿足． 聯(lián)結(jié)，滿足． 若該雙曲線的離心率為，求的值_______．
例68．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）己知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例69．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)Р為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若到的焦點(diǎn)距離為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例70．（2022·福建省福州第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線以正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)該正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例71．（2022·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．3D．4
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
例72．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A．若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
例73．（2022·安徽省舒城中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，、是圓與位于軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)（在左支，在右支，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
例74．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知，分別為雙曲線：的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．
C．D．
例75．（2022·山西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
例76．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點(diǎn)，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
例77．（2022·河南·通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理例78．（多選題）（2022·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A．B．C．D．2
例79．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例80．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
方向7：利用基本不等式
例81．（2022·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為_(kāi)_____．
例82．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，若該雙曲線上存在點(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_________．
例83．（2022·四川·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB（點(diǎn)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_____．
例84．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
方向8：利用漸近線的斜率求離心率
例85．（2022·山東·汶上縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓與的一條漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為.若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例86．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為， 則的離心率為（ ）
A． B．C．D．
例87．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
例88．（2022·天津·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的最小值為9，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
方向9：利用雙曲線第三定義
例89．（多選題）（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的平行線交于點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn).若，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為
D．為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
例90．（2022·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_(kāi)________．
例91．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
例92．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例93．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例94．（多選題）（2022·河北秦皇島·高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且，A，P，B為雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與斜率的乘積為1，則（ ）
A．
B．雙曲線C的離心率為
C．直線傾斜角的取值范圍為
D．若，則三角形的面積為2
例95．（2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，記直線，直線的斜率分別為．若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
方向10：利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍
例96．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)__________.
例97．（2022·吉林長(zhǎng)春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
例98．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例99．（2022·山西·朔州市朔城區(qū)第一中學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例100．（2022·湖南·衡陽(yáng)市八中一模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.
題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題
例101．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，C的離心率為5，點(diǎn)在C上，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
處理雙曲線的問(wèn)題的時(shí)候，如果需要畫(huà)圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因?yàn)殡p曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點(diǎn)在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．
例102．（多選題）（2022·河北邯鄲·高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為為上一點(diǎn)，則（ ）
A．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．雙曲線的一條漸近線方程為C．
D．雙曲線的焦距為4
例103．（多選題）（2022·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．的實(shí)軸長(zhǎng)為B．的焦距為
C．的離心率為D．的漸近線方程是
題型八：利用第一定義求解軌跡
例104．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷． 焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
例105．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例106．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓的軌跡方程是（ ）
A．（）B．（）C．D．
例107．（2022·重慶九龍坡·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓與軸切于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作圓的切線并交于點(diǎn)（點(diǎn)不在軸上），則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例108．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知圓的圓心為，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
例109．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩圓C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，動(dòng)圓M與兩圓C1，C2都相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（ ）
A．x＝0B．
C．D．或x＝0
例110．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知兩圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．(x≤－1)
例111．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知?jiǎng)訄AC與圓內(nèi)切，與圓外切，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例112．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，內(nèi)切圓的圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（ ）A．B．
C．－＝1D．－=1
題型九：雙曲線的漸近線
例113．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求；由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由漸近線方程可得出，的關(guān)系式，為求雙曲線方程提供了一個(gè)條件.另外，焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng).
例114．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（其中，）的焦距為，其中一條漸近線的斜率為2，則______．
例115．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知左、右焦點(diǎn)分別為，的雙曲線上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為 （ ）
A．B．
C．D．
例116．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，是雙曲線與橢圓的共同焦點(diǎn)，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是（ ）
A．B．C．D．
例117．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的坐標(biāo)為，若雙曲線的右支上有一點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
例118．（2022·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知左、右焦點(diǎn)分別為，的雙曲線：上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
例119．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的面積為_(kāi)_______.
例120．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線E：的離心率為，若有一直線過(guò)E的右頂點(diǎn)A且與一條漸近線平行，交y軸于點(diǎn)B，則△OAB的面積是________.
例121．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為_(kāi)_______.
例122．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若，，則此雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.
題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線
例123．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線，焦點(diǎn)為，，記它們其中的一個(gè)交點(diǎn)為P，且，則該橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為：.
例124．（2022·福建莆田·二模（文））已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，且在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，．若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例125．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知是橢圓（）和雙曲線（）的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值為
例126．（2022·陜西師大附中高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
例127．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)三模（理））已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)，，若，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且滿足，設(shè)，分別是，的離心率，則，的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）若直線與雙曲線：的一條漸近線平行；則的值為（ ）
A．B．C．4D．16
2．（2022·江西·南昌二中高三開(kāi)學(xué)考試（理））若雙曲線的兩條漸近線與圓的交點(diǎn)等分圓周，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南省上蔡第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與的右支交于兩點(diǎn)，的平分線分別交軸于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若成等比數(shù)列，則的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開(kāi)學(xué)考試（文））雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率為（ ）
A．3B．C．D．5
5．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studi設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線為，下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，則該雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)取最小值時(shí)，C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
8．（2022·廣東·仲元中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線與雙曲線無(wú)公共交點(diǎn)，則雙曲線C離心率e的取值范圍為（ ）．
A．B．C．D．
9．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為圓與此雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積（ ）
A．有最大值4B．有最小值2C．為D．為
二、多選題
10．（2022·云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與雙曲線C交于，M、N兩點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等邊三角形B．雙曲線C的離心率為
C．雙曲線C的漸近線方程為D．點(diǎn)到直線的距離為
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A1、A2，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是雙曲線上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，給出下列命題，其中是真命題的有（ ）
A．
B．直線PA1、PA2的斜率之積等于定值
C．使得△PF1F2為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有8個(gè)D．△PF1F2的面積為
12．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知線段BC的長(zhǎng)度為4，線段AB的長(zhǎng)度為，點(diǎn)D,G滿足，，且點(diǎn)在直線AB上，若以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為
D．當(dāng)時(shí)，面積的最大值為3
三、填空題
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，D是線段OF的中點(diǎn)，若B是圓上的一點(diǎn)，則△ABD的面積的最大值為_(kāi)_______.
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別是另一雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則稱此兩雙曲線互為共軛雙曲線．已知雙曲線，互為共軛雙曲線，的焦點(diǎn)分別為，，頂點(diǎn)分別為，，的焦點(diǎn)分別為，，頂點(diǎn)分別為，，過(guò)四個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為，四邊形的面積為，則的最大值為_(kāi)_______.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，已知點(diǎn)在雙曲線右支上且在第一象限，點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，則________.
四、解答題
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線（）的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求線段的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且也為拋物線的的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點(diǎn)，求.
18．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線在第一象限的點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸交于點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．
19．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．

相關(guān)試卷

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題38 橢圓及其性質(zhì)：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題38 橢圓及其性質(zhì)，文件包含專題38橢圓及其性質(zhì)教師版docx、專題38橢圓及其性質(zhì)學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共107頁(yè)， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題32 空間向量及其應(yīng)用：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題32 空間向量及其應(yīng)用，文件包含專題32空間向量及其應(yīng)用教師版docx、專題32空間向量及其應(yīng)用學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共160頁(yè)， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題31 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題31 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)，文件包含專題31直線平面垂直的判定與性質(zhì)教師版docx、專題31直線平面垂直的判定與性質(zhì)學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共81頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題30 直線、平面平行的判定與性質(zhì)

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題30 直線、平面平行的判定與性質(zhì)
最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題13 函數(shù)模型及其應(yīng)用

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題13 函數(shù)模型及其應(yīng)用
最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（十大題型）（講通）

最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（十大題型）（講通）
最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（練透）

最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（練透）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部