1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題38 橢圓及其性質(zhì)
【考點預(yù)測】
知識點一：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當(dāng)時，點的軌跡是線段；
當(dāng)時，點的軌跡不存在．
知識點二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點
、
、
、
、
軸長
長軸長，短軸長
長軸長，短軸長
對稱性
關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
準(zhǔn)線方程
點和橢圓
的關(guān)系
切線方程
（為切點）
（為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積
①，（為短軸的端點）
②
③
焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是
焦半徑
左焦半徑：
又焦半徑：
上焦半徑：
下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
【方法技巧與總結(jié)】
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
【題型歸納目錄】
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：橢圓方程的充要條件
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
方向3：利用最大頂角滿足
方向4：坐標(biāo)法
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
方向7：利用基本不等式
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
方向9：利用橢圓第三定義．弦長公式
設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，，，
則弦長
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
題型八：利用第一定義求解軌跡
【典例例題】
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點P為橢圓上一點，，為該橢圓的兩個焦點，若，則（ ）
A．13B．1C．7D．5
【答案】D
【解析】橢圓方程為：，由橢圓定義可知：，
故
故選：D
【方法技巧與總結(jié)】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設(shè)方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設(shè)為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)長軸長為4，短軸長為2，焦點在y軸上；
(2)經(jīng)過點，；
(3)一個焦點為，一個頂點為；
(4)一個焦點為，長軸長為4；
(5)一個焦點為，離心率為；
(6)一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為6，2.
【解析】（1）由題設(shè)，，又焦點在y軸上，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)橢圓方程為，又，在橢圓上，
所以，即，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（3）由題設(shè)，，則，又焦點為
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（4）由題設(shè)，，則，又焦點為
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（5）由題設(shè)，，則，，又焦點為
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（6）由題設(shè)，，則，故，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(，－)，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．
【答案】
【解析】所求橢圓與橢圓的焦點相同，則其焦點在y軸上，半焦距c有c2=25-9=16，
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又點(，－)在所求橢圓上，即，
聯(lián)立兩個方程得，即，解得b2=4，則a2=20，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點分別為，，為了使橢圓C的方程為，可以再添加一個條件：______．
【答案】橢圓上的點到兩焦點的距離和為10（答案不唯一）
【解析】根據(jù)橢圓的焦點坐標(biāo)可知，，并且焦點在軸，若使橢圓方程為，只需，所以可添加條件“橢圓上的點到兩焦點的距離和為10”.
故答案為：橢圓上的點到兩焦點的距離和為10（答案不唯一）
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
【答案】
【解析】因為所求橢圓與橢圓的焦點相同，
所以其焦點在軸上，且.
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為，且，故①，
又點在所求橢圓上，
所以②
由①②得，，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
例6．（2022·山西大同·高三階段練習(xí)（文））如圖，?分別為橢圓的左右焦點，點Р在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】由于是面積為的正三角形，
所以且，
則，代入橢圓方程得，解得.
故選：A
題型二：橢圓方程的充要條件
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“ "是“方程 表示焦點在 軸上的橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為方程+=1表示焦點在軸上的橢圓，
所以，解得，
故“”是“方程+=1表示焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件.
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
例8．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是,
顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，
故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，[解法二]
當(dāng)時，滿足“，”，此時題中方程可化為：,表示的曲線是圓而不是橢圓，當(dāng)時，不滿足“，”，只是題中方程可化為：,表示中心在原點，半長軸為1，半短軸為的橢圓，
故：“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，
故選：
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為3與5的等差中項，為4與16的等比中項，則下列對曲線描述錯誤的是（ ）
A．曲線可表示為焦點在軸的橢圓B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線
C．曲線可表示為離心率是的橢圓D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線
【答案】B
【解析】由為3與5的等差中項，得，即，由為4與16的等比中項，得，即，則曲線的方程為或．其中表示焦點在軸的橢圓，此時它的離心率，故A正確，C正確；
其中表示焦點在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．
故選：B
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于橢圓：，有下列四個命題：甲：；乙：；丙：的焦距為6；?。旱慕裹c在軸上.如果只有一個假命題，則該命題是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】當(dāng)甲乙為真命題時，橢圓方程為，
橢圓的焦距為：，且焦點在軸上，
此時丙和丁都是假命題，不符合題意，因此甲和乙有一個是假命題．
當(dāng)乙，丙和丁是真命題時，，，，
此時橢圓方程為：，符合題意，故甲是假命題．
故選：．
例11．（2022·全國·高三階段練習(xí)）“”是“曲線：（）是焦點在軸上的橢圓”的（ ）
A．充要條件B．既不充分也不必要條件
C．必要不充分條件D．充分不必要條件
【答案】C
【解析】因為（）是焦點在軸上的橢圓，
所以,解得：，
由可得成立，反之不能推出成立.
所以”是“曲線：（）是焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件．
故選：C．
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由橢圓可得，所以，
因為點在上，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，最大值為9.
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案為：.
例14．（多選題）（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與該橢圓相交于，兩點，點在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（ ）
A．不存在點，使得B．滿足為等腰三角形的點有2個
C．若，則D．的取值范圍為
【答案】CD
【解析】根據(jù)題意:可得，的最小值為1，所以，
則，所以橢圓方程
當(dāng)為該橢圓頂點時，此時,
所以存在點，使得，故A錯誤；
當(dāng)點在橢圓的上，下頂點時，滿足為等腰三角形，
又因為，，
所以滿足的點有兩個，
同理，滿足的點有兩個，故B錯誤.
若，則，
所以C正確.
因為,
分析可得，，
所以D正確.故選:CD.
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【解析】因為，
所以，
又
記，則，
②2-①整理得：，所以
故選：A
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點在橢圓上，與分別為左、右焦點，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由， ，又，解得，
.故選：A.
例17．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（理））已知，是橢圓C：的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由橢圓可得，所以，
因為點在上，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，最大值為，
故選：C．
例18．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C： =1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由橢圓的定義，，
由余弦定理有：
，
化簡整理得：，又，
由以上兩式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，
所以.
故選：B.
例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓的焦點為，，與軸的一個交點為，若，則（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】
在橢圓中，，，.易知.
又，所以為等邊三角形，即，所以，即.
故選：C.
例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，橢圓方程，可得，
所以焦點，
又由橢圓的定義，可得，因為，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故選:C．
例21．（2022·安徽淮北·一模（理））為橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】由題意，圓心為橢圓的右焦點，圓的半徑為，因為為圓的任意一條直徑，
，由橢圓的定義可得，所以．
故答案為：
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為______．
【答案】10
【解析】橢圓的方程為，∴，，，
連接，，則由橢圓的中心對稱性可得
的周長，
當(dāng)AB位于短軸的端點時，取最小值，最小值為，
．
故答案為：10
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點，直線與橢圓交于P，Q兩點，則的周長為______．
【答案】
【解析】橢圓，所以，即、，
直線過左焦點，所以，，，
所以；
故答案為：
例24．（2022·重慶一中高三期中）在中，點，，點C在橢圓上，則的周長為____________．
【答案】16
【解析】由橢圓方程可知，，，則，即、為橢圓的兩個焦點，所以的周長為.故答案為：16.
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積等于_______.
【答案】
【解析】由，且，

在中，∠

.
故答案為：
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:的焦點為，，第一象限點P在C上，且，則的內(nèi)切圓半徑為_________.
【答案】
【解析】由已知條件得，，，則（－1，0），（1，0）.
設(shè)點P的坐標(biāo)為（，），則，
，即①，
∵第一象限點P在C上，∴則，即②，
聯(lián)立解得
由橢圓的定義得
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則
又∵，
∴，即.
故答案為：
例27．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率，點P為橢圓的上頂點，若的面積為1，則右焦點的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【解析】由已知，解得，
故右焦點的坐標(biāo)為.
故答案為：
例28．（2022·陜西·西安交大第二附屬中學(xué)南校區(qū)高二期末（理））已知為橢圓上一點，、是焦點，，則______．
【答案】
【解析】由已知得，，所以，從而，
在中，，
即，①
由橢圓的定義得，
即，②
由①②得，所以.
故答案為：
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】易知當(dāng)點為橢圓與軸的交點時，最大，
因為橢圓方程為，
所以，，
此時，，
滿足，
所以為等腰直角三角形，所以．
故答案為：
例30．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，是橢圓：的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，延長交橢圓于點，且，若的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知的面積為，
故 ，
在中，設(shè)，
由余弦定理可得，
即
，
則，
所以的面積
，即 ，
所以，即，
由于 ，．
又．所以△的是等邊三角形，即，
由橢圓的定義可得，
即有則，則，則，
，則．
故選：．
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題
例31．（多選題）（2022·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（ ）
A．橢圓C的焦點在x軸上B．△PF1F2的周長為8+2
C．|PF1|的取值范圍為[，4）D．tan∠F1PF2的最大值為3
【答案】ABD
【解析】對于，由橢圓的方程可知，橢圓焦點在軸上，故正確；
對于，因為，而的周長為，故B正確；對于，因為不在軸上，所以，所以的取值范圍為，故C不正確；
對于，設(shè)橢圓的上頂點為，則，所以的最大值為.設(shè)，則，且，而，所以的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
【方法技巧與總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上的一個動點，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點，求的取值范圍．
【解析】由橢圓方程可得，則，
如圖所示：
設(shè)銳角，在中，，
因為，即，故，
所以.
故答案為：.
例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右頂點為，為上一點，則的最大值為______.
【答案】
【解析】橢圓的右頂點為，設(shè)點，則，即，且，
于是得，
因，則當(dāng)時，，
所以的最大值為.
故答案為：
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左焦點為，為橢圓C上任意一點，則的最小值為______．
【答案】1
【解析】由橢圓C：知：，故，
所以，
所以，的最小值為.
故答案為：
例35．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（文））已知是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，求的最小值為___．
【答案】1
【解析】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，
所以.
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.
所以.
即的最小值為1.
故答案為：1
例36．（2022·上海市市北中學(xué)高三期中）焦點在x軸上的橢圓上任意一點到其中一個焦點的距離恒大于1，則t的取值范圍為__________．【答案】
【解析】由題意得，即，解得，
故答案為：
例37．（2022·河北石家莊·一模）設(shè)點是橢圓：上的動點，點是圓：上的動點，且直線與圓相切，則的最小值是______.
【答案】
【解析】由題可知，＝1，設(shè)，，，
則，
∴當(dāng)時，.
故答案為：.
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
例38．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點，則的最大值為___．
【答案】9
【解析】根據(jù)題意可得：
則點B為橢圓的左焦點，取橢圓的右焦點
∴，即
∵，即點A在橢圓內(nèi)
，當(dāng)且僅當(dāng)點P在AF的延長線上時，等號成立.
故答案為：9．
【方法技巧與總結(jié)】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點A（），設(shè)點F為橢圓的右焦點，點M為橢圓上一動點，求的最小值，并求此時點M的坐標(biāo)．
【解析】如圖，過點A作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，與橢圓交于點M．
∵橢圓的離心率，∴由第二定義得，
的最小值為|AN|的長，且，
的最小值為10，此時點M的坐標(biāo)為．
例40．（2022·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知為橢圓上的一點，若，分別是圓和上的點，則的最大值為________．
【答案】
【解析】由題, 設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點為.又,.
故,當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長線上時取等號.
此時最大值為.
故答案為：.
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點是橢圓的一個焦點，點為橢圓上任意一點，點，則取最大值時，直線的斜率為________
【答案】1
【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點為．
由題意可得：，，．
由橢圓的定義可得：，連接并延長交橢圓于點，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)三點，，共線時，即運動到圖中點取等號）
．
故答案為：1．
例42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓上一動點P分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為________．
【答案】
【解析】，，，易知、為橢圓的兩個焦點，
，
根據(jù)橢圓定義，
設(shè)，則，即，
則，
當(dāng)時，取到最小值．
故答案為：
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓C：的右焦點為F，P為橢圓C上一動點，定點A(2，4)，則|PA|－|PF|的最小值為________．
【答案】1
【解析】如圖，
設(shè)橢圓的左焦點為F′，則|PF|＋|PF′|＝4，所以|PF|＝4－|PF′|，
所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4，
當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)′三點共線時，
|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝＝5，
所以|PA|－|PF|的最小值為1.
故答案為：1.例44．（2022·重慶·高三階段練習(xí)（文））點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為____________
【答案】
【解析】記橢圓的左焦點為，
由橢圓的定義可得，，所以，
由得，
即圓的圓心為，半徑為，
作出圖形如下：
由圓的性質(zhì)可得，，
（當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，等號成立.）
故答案為：.
例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，點P是橢圓C上的動點，則的最小值為___________.
【答案】4
【解析】設(shè)橢圓C的右焦點為，依題意，，由橢圓的定義得：，
而，即，有，
因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點P是線段的延長與橢圓C的交點時取“=”，
所以的最小值為4.
故答案為：4
題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
例46．（2022·重慶八中高三開學(xué)考試（理））設(shè)橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),點A(﹣c,c)為橢圓E內(nèi)一點,若橢圓E上存在一點P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
【答案】D
【解析】如圖：
設(shè)橢圓的另一個焦點為，
因為，
所以
由，
所以，
所以，即，
所以.
因為點在橢圓內(nèi)，所以，所以，
所以，解得，
因為，
所以.
故選：D
例47．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【解析】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：
因為，令，
所以，，由橢圓的定義可知，
所以，所以，，，，
由橢圓的定義可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的離心率是.
故選：D.
例48．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意四邊形為平行四邊形，
又由四點共圓，可得平行四邊形為矩形，即
又直線的傾斜角為，則有則，，
則，即
則橢圓的離心率
故選：B
例49．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個焦點．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．
【答案】
【解析】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，都經(jīng)過，且在中，，如圖，
所以，
由橢圓的定義可知，即，又，
可得，在中，，
所以，所以.
故答案為：例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點，若，則該橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】如圖所示：
延長，交于點Q，
∵PA是的外角平分線，
，，
又O是的中點，，且.
又，
，
，
∴離心率為.
故答案為：
例51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點分別為，，AB是橢圓過點的弦，點A關(guān)于原點O的對稱點為，，且，則橢圓的離心率為___________.【答案】
【解析】連接，，，設(shè)，
因為，所以四邊形為平行四邊形，
而，故四邊形為矩形，故.
又，由橢圓的定義可得，，
，即，
解得，∴是短軸的端點，且，，.
故答案為：.
例52．（2022·山東·青島二中高三期末）已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在橢圓C：中，
由橢圓的定義可得，
因為，
所以，在中，，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以C的離心率.
故選：A.
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的上頂點，左右焦點分別為，連接，并延長交橢圓于另一點P，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，
所以，則，
由橢圓的定義可得，
所以，
因為，
所以，解得，，
在中，，
在中，，
因為，
所以，即，
所以
所以.
故選：C
例54．（2022·山西太原·一模（理））設(shè)，是橢圓：的左、右焦點，過點斜率為的直線交橢圓于點，若，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因過點斜率為的直線交橢圓于點，則有，，
因此，在中，，令橢圓半焦距為c，于是得，，
由橢圓定義得：，，
所以橢圓的離心率是.
故選：B
例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩個焦點是，過的直線與交于P，Q兩點，若，且，則橢圓的離心率為_____________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓 ，，
設(shè) 由橢圓的定義可得 ， 可得
取 的中點 ，連接 ，則
由勾股定理可得 即為將帶入上式化簡可得，
所以，所以，
所以或者，所以或（舍），
所以 .
故答案為：．
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
例56．（2022·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項，則圓錐曲線的離心率是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【解析】是2和8的等比中項，或，
當(dāng)時，方程為，表示橢圓，
，離心率為，
當(dāng)時，方程為，表示雙曲線，
，離心率為，
故選：A
例57．（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關(guān)于原點O對稱，若，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理，，，
整理得，
由于點M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故選：C．
例58．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得：，則，
由橢圓定義可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的離心率為.
故選：C.
例59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，點在橢圓上，滿足，則橢圓的離心率為（ ）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，化簡得
，即，則，，因為 ，所以
解得或（舍），
故選：B.
例60．（2022·貴州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點分別是，，直線與橢圓C交于A，B兩點，若，且四邊形的面積為（c是橢圓C的半焦距），則橢圓C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由橢圓的對稱性可知四邊形是平行四邊形．因為，所以平行四邊形是矩形．
設(shè)，，則整理得，所以，解得，故橢圓C的離心率為．
故選：B.
例61．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓以為左右焦點，點P、Q在橢圓上，且過右焦點，，若，則該橢圓離心率是（ ）
A．B．C．D．【答案】A
【解析】根據(jù)題意可得如圖橢圓，是直角三角形，，
不妨設(shè)，則，
因為，
所以，
，
所以離心率．
故選：A．
例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓）的左?右焦點分別為和為C上一點，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】連接，延長交軸于，則
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故選：D.
方向3：利用最大頂角滿足
例63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
【答案】
【解析】設(shè)點，易知，，則，
故點的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，
由圖可知，即，可得，又因為，故．
故答案為：．
例64．（2022·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
【答案】
【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知
橢圓的離心率最小值為
根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知
故答案為：
例65．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由橢圓的定義可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，
所以，，解得：.
故答案為：
方向4：坐標(biāo)法
例66．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點，O為原點，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將代入C中，得，，由題意得，
即，．
故選：D.
例67．（2022·河南洛陽·三模（文））已知橢圓的左?右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為，的平分線與軸交于點，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.
【答案】
【解析】如圖，設(shè)與軸的交點為，連接，
因為平行于軸，故為的中點，且，
故，又，故，
因為，故，
所以，
故四邊形為：
，故即離心率為，
故答案為：
例68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的焦點在軸上，方程為，，，
設(shè)，由，且，
故，，
由點在橢圓上，故，整理得，
故離心率，
故選：B.
例69．（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．【答案】B
【解析】記中點為，則，
由題意點在線段的中垂線上，
將坐標(biāo)代入橢圓方程得
兩式相減可得，
所以，得，
所以的中垂線的方程為，令得，
由題意，，故，所以
所以
故選：B.
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
例70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，由橢圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因為，所以，所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，
解得或（舍去）.
故選：D
例71．（2022·河北廊坊·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關(guān)于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.
【答案】
【解析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，
則三點共線，
設(shè)，則，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由橢圓定義可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案為：
例72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，由橢圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因為，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，
解得或（舍去）.
故選：D
例73．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
如圖，在上取一點M，使得，連接，則，
則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，
設(shè)，則，
由橢圓定義可知：，即，所以，
所以，，
故點A與上頂點重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以橢圓離心率為.
故選：A
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
例74．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
例75．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.
因為為橢圓上一點，所以，即，
整理得，所以，解得.故選D.
例76．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．例77．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質(zhì)，知，
所以且，
所以且，
即且，
結(jié)合，可解得．
故答案為：.
例78．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
方向7：利用基本不等式例79．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關(guān)于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設(shè)，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
例80．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準(zhǔn)線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性不妨設(shè)為第一象限的點，即，則，，因為，
所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
例81．（2022·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標(biāo)原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
∵直線l上存在點P滿足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
例82．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于A，B兩點，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
【答案】；
【解析】設(shè)為橢圓的另一焦點，如圖，連接，
根據(jù)橢圓和直線的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，
又因為，所以.
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，又因為，所以，
又因為，故.
故答案為：.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
例83．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
例84．（2022·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】設(shè)點的橫坐標(biāo)為，，則由橢圓的定義可得，
，由題意可得，
，
，，
則該橢圓的離心率的取值范圍是，，
故答案為：，．
例85．（2022·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，則.
故答案為
例86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上點到焦點的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，，所以橢圓C的離心率，
故選：A.
例87．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（ ）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)．因為點M在橢圓C上，所以，所以．
因為，所以，解得．
由題意可知，
即．
由，可得，即，顯然成立．
由，可得，則．
又，所以，
因為，，，，
故選：A．
例88．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內(nèi)各有一個，
設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點，
若，則，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，所以，即，
若，則，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．
綜上，的范圍是．
法二：①當(dāng)點與短軸的頂點重合時，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的；
②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點滿足為等腰三角形即可，則或
當(dāng)時，則，即，則，
當(dāng)時，則有，則，
綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.
故選：A.
方向9：利用橢圓第三定義．
例89．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設(shè)，由點P在橢圓上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
例90．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題得：，所以
故選：A．
例91．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法1：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
解法2：第三定義
設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
【方法技巧與總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
例92．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為橢圓的方程為，
所以，，，
又橢圓的離心率為
所以，解得，
所以,
所以橢圓E的長軸長為．
故選：C.
【方法技巧與總結(jié)】例93．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓為其左焦點，過點且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，若（為原點），則橢圓的長軸長等于（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】因為橢圓的左焦點為，所以，
又垂直于軸，在橢圓上，故可設(shè)，
所以，又，所以，
又
所以．，
解得從而，
故選：C.
例94．（2022·湖南湖南·二模）已知橢圓C：的左?右焦點分別為，，點P在橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點
，
，
焦距
范圍
，
，
對稱性
關(guān)于軸、軸和原點對稱
頂點
，
，
軸
長軸長，短軸長
離心率
（注：離心率越小越圓，越大越扁）
上，的周長為16，則___________.
【答案】5
【解析】設(shè)焦距為2c，因為的周長為16，
所以，化簡得①.
又，所以，
可得②，由①②，解得.
故答案為：5
例95．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的焦距為4，則m的值為___________.
【答案】7或11
【解析】在橢圓中，由已知可得，解得.
若橢圓的焦點在x軸上，
可得，
解得；
若橢圓的焦點在y軸上，
可得，
解得.
因此，或11.
故答案為：7或11．
例96．（2022·貴州省思南中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的焦點為，，橢圓上的動點坐標(biāo)在第一象限，且為銳角，的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由已知可得P在以O(shè)為圓心，半徑為c的圓的外部，，
所以該圓的方程為：，
由，消去y得：解得，又∵P在橢圓上，且由為銳角，可知P不在x軸上，
由于的左右頂點橫坐標(biāo)分別為-3和3，
∴為使為銳角，
的取值范圍是
又動點坐標(biāo)在第一象限，
故答案為：．
例97．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓滿足，長軸上2021個等分點從左至右依次為點，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；以此類推，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點，點在x軸上方；則4042條直線的斜率乘積為___________．
【答案】
【解析】由橢圓的對稱性可知：，
同理可得：，
所以4042條直線的斜率乘積為.
故答案為：
題型八：利用第一定義求解軌跡
例98．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是兩個定點且的周長等于則頂點的軌跡方程為______．
【答案】或
【解析】，且△ABC的周長等于16，
，故頂點的軌跡是以為焦點的橢圓，除去與軸的交點，
，，
，故頂點的軌跡方程為或故答案為：或
例99．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（ ）
A．橢圓B．線段C．橢圓或線段D．直線
【答案】C
【解析】因為 （當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，所以，
當(dāng) 且 時，，此時動點的軌跡是橢圓；
當(dāng) 時，，此時動點 的軌跡是線段．
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷． 焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
例100．（2022·貴州遵義·高三開學(xué)考試（文））已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以，
所以，而，
所以點軌跡是以為焦點，長軸長是4的橢圓．設(shè)其方程為，
，，，則，
所以點軌跡方程是．
故選：C．
例101．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面上，動點M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（ ）
A．M到兩定點，的距離之和為4
B．M到兩定點，的距離之和為6
C．M到兩定點，的距離之和為6D．M到兩定點，的距離之和為8
【答案】BD
【解析】因為兩定點，的距離為，所以選項A不符合橢圓定義，選項B符合橢圓定義；
因為兩定點，的距離為，所以選項C不符合橢圓定義，選項D符合，
故選：BD
例102．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓的左焦點，M是橢圓上任意一點，P是線段的中點，則動點P的軌跡的方程為______．
【答案】
【解析】對橢圓，其左焦點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)分別為，
因為點是線段的中點，故可得，即，
又點在橢圓上，故，即，整理得：.
故答案為：.
例103．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知、動點滿足，則動點的軌跡方程_______．
【答案】
【解析】因為，所以，點的軌跡是以、的橢圓，
且，則，，則，
因此，動點的軌跡方程為.
故答案為：.
例104．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：，動圓同時與圓外切和圓內(nèi)切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．
【答案】
【解析】由圓：可得圓心，半徑，
由圓：可得圓心，半徑，
設(shè)圓的半徑為，因為動圓同時與圓外切和圓內(nèi)切，
所以，，
所以，
所以點的軌跡是以，為焦點，的橢圓，
所以，，，
所以動圓的圓心的軌跡方程為：，
故答案為：.
例105．（2022·全國·高三專題練習(xí)）動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，則動點的軌跡方程是___________.
【答案】
【解析】因為動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，
所以，即，
整理可得：，即，
故答案為：.
例106．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.
【答案】()．
【解析】由圓，圓得到，半徑，，半徑，
設(shè)動圓的半徑為，∵圓在圓內(nèi)，∴動圓只能在內(nèi)與圓內(nèi)切，不能是在動圓內(nèi)，即：，
∵動圓與圓外切，∴，∵動圓與圓內(nèi)切，∴，
∴，即到和到的距離之和為定值，
∴是以、為焦點的橢圓，且，，所以，
∴動圓圓心的軌跡方程為，又圓過點，橢圓也過點，而點顯然不在圓上，
所以所求軌跡方程為：.
故答案為：.
例107．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________．
【答案】x2＋y2＝4
【解析】
由題意，延長F1D，F(xiàn)2A并交于點B，易證Rt△ABD≌Rt△AF1D，則|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O為F1F2的中點，連接OD，則OD∥F2B，從而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則x2＋y2＝4.
故答案為：
例108．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，已知△ABC的兩頂點坐標(biāo)，，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=2，動點C的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】由題意結(jié)合切線長定理可得，，，
所以，
所以動點C的軌跡是以，為焦點的橢圓（不在x軸上），且該橢圓滿足，，所以，
所以該橢圓方程為.
故答案為：.
例109．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】由題意，圓：的圓心為，半徑為，
圓：的圓心為，半徑為，
設(shè)動圓的圓心，半徑為，
動圓與圓：內(nèi)切，與圓：外切，
所以，，
所以，
所以的軌跡是以原點為中心，焦點在軸上的橢圓，且，，
所以，
橢圓的方程為.
故答案為：．
例110．（2022·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)（理））一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】設(shè)動圓半徑為，根據(jù)題意知：，，故.
故軌跡為橢圓，，，故，故軌跡方程為：.
故答案為：.
例111．（2022·江西宜春·高三階段練習(xí)（文））已知定點,直線相交于點，且它們的斜率之積為，則動點的軌跡方程為_______．
【答案】【解析】設(shè)點，

動點的軌跡方程為
例112．（2022·廣東湛江·一模（理））已知圓，點，點為動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，則動點的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】設(shè)的中點為，切點為，連，，則三點共線，且，
取關(guān)于軸的對稱點，連，根據(jù)中位線的性質(zhì)有．且當(dāng)在時也滿足題意.
所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為6的橢圓．其中，，，則動點的軌跡方程是．
故答案為：．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）橢圓：的左、右焦點分別為，，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于A，兩點，若的周長為16，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題可知，即，所以橢圓的離心率.
故選：A.
2．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點分別，左頂點為A，上頂點為B，點P為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題知：，因為，
所以，整理得，
所以，得，.
故選：A
3．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知集合關(guān)于的方程無實數(shù)根方程表示橢圓，則（ ）
A．B．點
C．D．
【答案】D
【解析】由無實根，則，即，
由表示橢圓，則，可得或，
所以，或.
故.
故選：D
4．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左右焦點，點P為橢圓上一點，以為圓心的圓與直線恰好相切于點P，則是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，設(shè)，由橢圓定義得，
由于以為圓心的圓與直線恰好相切于點P，
所以，即，
整理得，得，得，所以．
故選：A
5．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）?（2）?（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別，設(shè)圖（1）?（2）?（3）中橢圓的離心率分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為橢圓的離心率，
所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.由，
所以.
故選：B.
6．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)F為橢圓的右焦點，點，點B在C上，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，，則，從而．設(shè)左焦點為，
則，所以B為短軸端點，
所以．
故選:C．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓=1內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點M坐標(biāo)為（ ）
A．B．，
C．D．，
【答案】A
【解析】因為橢圓方程為=1，所以橢圓得離心率，
設(shè)點M到橢圓右準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)橢圓第二定義有：
，所以，所以
表示橢圓上一點M到橢圓內(nèi)定點P和到橢圓右準(zhǔn)線的距離之和，
當(dāng)垂直于右準(zhǔn)線時，取得最小值.此時的縱
坐標(biāo)為-1，代入橢圓方程=1，求得的橫坐標(biāo)為.
所以點M坐標(biāo)為，故B，C，D錯誤.
故選：A.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓長軸的兩個頂點分別為、，點為橢圓上不同于、的任一點，若將的三個內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由題意可得，，設(shè)，，
可得，由橢圓的對稱性設(shè)在第一象限，如圖所示：在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以離心率
故選：．
二、多選題
9．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知為橢圓的焦點，，分別為橢圓的兩個頂點（且不是離最近的那個頂點），若，，則橢圓的離心率可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】不妨設(shè)焦點在軸上且為右焦點，顯然不會是右頂點，
分類討論：①若為左頂點，為右頂點，則，解得，此時離心率；
②若為左頂點，為上（下）頂點，則，無解，不滿足；
③若為上（下）頂點，為左（右）頂點，則，無解，不滿足；④若為上（下）頂點，下（上）頂點，則，解得，，，此時離心率為，
故選：AB.
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為，若曲線C上存在點P滿足，則曲線C的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】AC
【解析】若曲線是橢圓則其離心率為；
若曲線是雙曲線則其離心率為；
故選：AC
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的左，右焦點分別為，，點P在C上.若是直角三角形，則的面積為（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】AC
【解析】由雙曲線可得.根據(jù)雙曲線的對稱性只需考慮或.
當(dāng)時，將代入可得，所以的面積為.
當(dāng)時，由雙曲線的定義可知，
，由勾股定理可得.
因為，
所以，此時的面積為
綜上所述，的面積為4或.
故選：.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，為上一點，則（ ）
A．的離心率為B．的周長為
C．D．
【答案】CD
【解析】對于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯誤；
對于B，由橢圓定義知：，，
的周長為，B錯誤；
對于C，當(dāng)為橢圓短軸端點時，，
，，即，
，C正確；
對于D，，，，D正確.
故選：CD.
三、填空題
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與雙曲線有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是________.
【答案】
【解析】雙曲線的焦點在軸上，且焦點為，
所以橢圓的焦點在軸上，且，
依題意，橢圓短半軸，則，
所以橢圓的方程為.
故答案為：
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的焦點為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點，以，（為坐標(biāo)原點）為鄰邊作平行四邊形，點恰好也在橢圓上，則______．
【答案】
【解析】依題意可知，設(shè)，，
因為四邊形為平行四邊形，所以，又因為，，所以，
因為，且直線的傾斜角為60°，所以，所以，，，所以，
將其代入，得，又因為，所以，．
故答案為：
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點分別為、，上頂點為，直線和的斜率分別為、，寫出一個滿足的橢圓的方程：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由題意可知、、，
則，，
所以橢圓的方程可以為（只需滿足即可）.
故答案為：（只需滿足即可）.
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）因為正三角形內(nèi)角余弦值為，所以有人將離心率為的橢圓稱為“正橢圓”.已知“正橢圓”C：的上下頂點分別為，且“正橢圓”C上有一動點P（異于橢圓的上下頂點），若直線的斜率分別為，則為______.【答案】
【解析】因為橢圓C：，所以上下頂點的坐標(biāo)分別為，
設(shè)，則且，即，
所以.
故答案為：.
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知橢圓的焦點在x軸上，長軸長為20，半焦距長為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點分別為，，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】（1）因為橢圓的長半軸為，半焦距長為，
所以短半軸，所以橢圓方程為.
（2）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，
再由圓與軸的交點分別為，，可得，
則圓心坐標(biāo)為，半徑．
該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．
【解析】（1）由題意得，解得，
又因為點在橢圓C上，
帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）易得直線l的解析式為，
設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程
得
，
所以．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知動點與平面上點，的距離之和等于.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)若經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，且點為的中點，求直線的方程.
【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，，由橢圓定義可知，點軌跡是以，為焦點的橢圓，，，，動點的軌跡的方程為．
（2）顯然直線的斜率存在且不等于，設(shè)，，則，，又、在橢圓上，所以，，兩式相減得，即所以，即，即，所以直線的方程為，即；
20．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））已知橢圓，左焦點為，上頂點為，直線BF與橢圓交于另一點Q，且，且點在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，，M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點P，直線與直線交于點.證明：是等腰三角形.
【解析】（1）因為，， ，故，故，所以即，
而在橢圓上，故，故，解得，
所以，故橢圓方程為：.
（2）設(shè)，，故，而，
由可得，同理.
,
因為在橢圓上，故，故即，
而所以，
故是等腰三角形.

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最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題31 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)：

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最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】 專題30 直線、平面平行的判定與性質(zhì)：

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