最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考）【專題突破精練】第20講一類與平方結(jié)構(gòu)的三角形問題和正切有關(guān)的最值問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時(shí)處理問題，爭(zhēng)取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
第20講一類與平方結(jié)構(gòu)的三角形問題和正切有關(guān)的最值問題
【典型例題】
例1．（2022?洛陽二模）已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為
A．B．C．D．
【解析】解：由三角形面積公式可得：，
可得：，
，
，可得：，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，的最大值為．
故選：．
例2．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，
化為：，
，
，
．
化為：．
則．
令．
．
，可得時(shí)，函數(shù)取得最小值．
．
故選：．
例3．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）在銳角三角形中，，則的最小值是
A．3B．C．D．12
【解析】解：，
，
兩邊同時(shí)除以，得，
銳角，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
而
，
，，，
，即，
，
．
故選：．
例4．（2022春?攀枝花期末）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，邊上的高為，且，則的最大值是
A．B．C．4D．6
【解析】解：由余弦定理可得：，
故：，
而，
故，
所以：．
故選：．
例5．（2022?張掖模擬）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，且，，則等于
A．3B．4C．6D．7
【解析】解：，即，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，即，
整理得：，即，
代入已知等式得：，
解得：或（舍去），
則．
故選：．
例6．（2022春?南京期中）在斜三角形中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：由及正弦定理得，
所以，即，且，
又，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值．
故選：．
例7．（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，若，則的取值范圍
A．，B．，C．D．
【解析】解：由，得，即，
是三角形內(nèi)角，，，
由余弦定理得，，
，
由正弦定理得，，
即，
即，
即，
是銳角三角形，，即，
，，，
，
根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
在時(shí)取最小值，
且，
的取值范圍是．
故選：．
例8．（2022?道里區(qū)校級(jí)二模）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，若，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【解析】解：在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化簡(jiǎn)整理可得，，
故或（舍去），
則，
為銳角三角形，
，解得，
故，
．
故選：．
例9．（2022?太原二模）已知，，分別是內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，則周長(zhǎng)的最小值為．
【解析】解：，
，
由正弦定理可得：，
，
可得：，
，
．
，可得：，
又由余弦定理可得：，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
周長(zhǎng)的最小值為：．
故答案為：．
例10．（2022?秦淮區(qū)模擬）在銳角三角形中，已知，則的最小值為．
【解析】解：利用正弦定理把角化邊，，
再由余弦定理可得：
，
，又，
，
，
即，
，
，
代入．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)（因?yàn)槭卿J角三角形成立）等號(hào)成立．
故的最小值為：．
故答案為：．
例11．（2022秋?如皋市月考）已知銳角的角，，所對(duì)的邊分別，，，且．
（1）求角的值；
（2）求的最小值．
【解析】解：（1），
，即①，
由余弦定理可得，②，
為銳角三角形，
，
聯(lián)立①②可得，，解得，
，
．
（2），
，
，
，為銳角，
，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
，
令，
則，解得或（舍去），
，
故的最小值為3．
例12．已知銳角中，，則的最小值．
【解析】解：，，
可得，①
由三角形為銳角三角形，則，，
在①式兩側(cè)同時(shí)除以可得，
又②，
則，
由，可得，
令，由，，為銳角可得，，，
由②式得，解得，
，
，
，
因此的最小值為12．
例13．（2022?臨沂開學(xué)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）證明：；
（2）記的面積為，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，證明：．
【解析】解：（1）證明：由可得：，
即，即，
在三角形中可得：，
由余弦定理可得，所以，
即證得：；
（2）證明：設(shè)，，，，，的面積分別為，，，
在中，由余弦定理可得，所以，
所以，所以，
即，
同理可得在，中，，
即，，
所以，
而，所以，
即可證：．
【同步練習(xí)】
一．選擇題
1．（2022春?鐵東區(qū)校級(jí)期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且的面積，則周長(zhǎng)的最大值是
A．6B．C．D．
【解析】解：因?yàn)?，且的面積，
則，即可得，
所以，解得，（負(fù)值舍去），可得，
所以由余弦定理可得，即，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，整理解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以周長(zhǎng)的最大值是．
故選：．
2．（2022秋?河南期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，．若的平分線與交于點(diǎn)，則
A．B．C．D．3
【解析】解：因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，?br>所以，
由正弦定理，可得，解得，
因?yàn)榈钠椒志€與交于點(diǎn)，
所以，即，
所以由，可得，
在中，由余弦定理可得
．
故選：．
3．（2022春?欽南區(qū)校級(jí)月考）在中，，，是角，，的對(duì)邊，若，則
A．3B．2C．1D．
【解析】解：在中，，，是角，，的對(duì)邊，若，
，
，
由正弦定理和余弦定理得：
，
．
故選：．
4．（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則的值為
A．0B．1C．2021D．2022
【解析】解：由已知得，
即，
所以，
則．
故選：．
5．（2022春?黃驊市校級(jí)期中）在中，，，依次成等差數(shù)列，則的取值范圍是
A．，，B．，，
C．D．，
【解析】解：由已知得（顯然，若，因?yàn)榍?，，這與矛盾），
又，所以．
又，
因此，又，所以，，即的取值范圍是，
故選：．
6．（2022?岳普湖縣一模）已知在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】解：因?yàn)椋?br>得，
由正弦定理得，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，取“” ．
所以的最小值為．
故選：．
二．填空題
7．（2022?太原二模）已知，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則周長(zhǎng)的最小值為．
【解析】解：根據(jù)題意，中，，變形可得，
由正弦定理可得：，
即，
又由，則，，
又由，則，變形可得；
又由，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由余弦定理可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則有，周長(zhǎng)的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：．
8．（2022?浙江三模）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若已知，則的最小值是．
【解析】解：由題意由，
余弦定理可得：，
即．
那么．
即．
那么
，
那么
設(shè)，
可得：；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即．
故答案為：．
9．（2022?如東縣校級(jí)模擬）在銳角三角形，是邊上的中線，且，則的最小值為．
【解析】解：不妨設(shè)，邊上的高為，則，，
從而，
所以，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等）
故答案為：．
10．（2022秋?11月份月考）銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的最小值是．
【解析】解：銳角三角形中，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立；
，即，
；
，
時(shí)，取得最小值為．
故答案為：．
11．（2022春?常州期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，邊上的高為，則的最大值為 4 ．
【解析】解：，．
，
，
的最大值是4．
故答案為：4．
12．（2022春?建鄴區(qū)校級(jí)月考）已知銳角，且，則的最小值為 12 ．
【解析】解：在中，，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，則，
令，則，
故當(dāng)，即時(shí)，為最小值12．
故答案為：12．
13．（2022?無錫一模）在銳角三角形中，已知，則的最小值為．
【解析】解：，
由正弦定理得，
結(jié)合余弦定理，可得，
再由正弦定理得，
則，即．
．
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
的最小值為．
故答案為：．
14．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在銳角三角形中，若，則的最小值是 16 ．
【解析】解：由已知得，，
，
兩邊同除，得，
，
設(shè)，則，
為銳角三角形，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，
的最小值為16．
故答案為：16．
15．（2022?江蘇模擬）在銳角三角形中，若，，依次成等差數(shù)列，則的值為 3 ．
【解析】解：由題意知：，，，且，，，依次成等差數(shù)列，
，
，
又，
，
即，
．
故答案為：3．
16．（2022?洛陽一模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則．
【解析】解：中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，
由于，則，
則：，
整理得：，
故，
所以：，
則：（負(fù)值舍去）．
所以時(shí)，解得：．
故答案為：
17．（2022?江蘇）在銳角三角形中，若，則的最小值是 8 ．
【解析】解：由，，
可得，①
由三角形為銳角三角形，則，，
在①式兩側(cè)同時(shí)除以可得，
又②，
則，
由可得，
令，由，，為銳角可得，，，
由②式得，解得，
，
，由得，，
因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為8；
另解：由已知條件，十，
十，
兩邊同除以，十，
十，
十十，
十，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
令，
即，即，或（舍去），所以的最小值為8．
此時(shí)，
所以，，
解得，，，（或，互換），此時(shí)，，均為銳角．
18．（2022?蕪湖模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則最小值是 3 ．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
則最小值是3，
故答案為：3
19．（2022?凱里市校級(jí)模擬）已知在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的最小值為．
【解析】解：因?yàn)椋?br>所以，
即，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以
，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，取“” ．
故答案為：．
三．解答題
20．（2022春?煙臺(tái)期中）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．
（1）若為銳角三角形，且，求的取值范圍；
（2）若點(diǎn)在邊上，且，，求面積的最大值．
【解析】解：（1）由題意的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，
，
由正弦定理可得，，即，
，，
為銳角三角形，，，
即，所以，，故，
的取值范圍．
（2）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且，，
，所以，
在中，，，，
在中，，，，
所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br>即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以面積的最大值．
21．（2022秋?湖南月考）在中，內(nèi)角，，滿足且．
（1）求證：；
（2）求的最小值．
【解析】（1）證明：因?yàn)榍遥?br>所以，
由正弦定理可得，
所以，
即，
因?yàn)椋?br>故，
所以，
整理得；
（2）解：設(shè)，則，
由（1）得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所求最小值為．
22．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）在銳角三角形中，若．求的最小值．
【解析】解：，
即為，
即，
由銳角三角形，上式兩邊同除以，
，
設(shè)，
則，．
原式
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得等號(hào)，
可得所求最小值為16．
23．（2022春?嶗山區(qū)校級(jí)期中）在銳角三角形中，．
（1）求證：；
（2）求的最小值．
【解析】證明：（1），，
即為，
即，
由銳角三角形，上式兩邊同除以，
，
由，，為銳角可得，，，
又．
得，解得，
解：（2）令，可得，
則，
由可得，
，
因此的最小值為8．

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