【中考二輪】2024年中考數(shù)學【熱點?重點?難點】（全國通用）重難點02 相似三角形模型及其綜合題綜合訓練（11大題型滿分技巧限時分層檢測）-專題訓練.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

中考數(shù)學中《相似三角形模型及其綜合題綜合訓練》部分主要考向分為五類：
一、K型相似
二、8字圖相似
A字圖相似
母子型相似
手拉手相似
相似三角形的綜合題中各種相似模型的掌握是解決對應壓軸題的便捷方法，所以本專題是專門針對相似三角形模型壓軸題的，對提高類型的學生可以自主訓練。
考向一：K型相似
1．（2023?錫山區(qū)校級四模）如圖，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．點P在AD上運動（點P不與點A、D重合）將△ABP沿直線翻折，使得點A落在矩形內(nèi)的點M處（包括矩形邊界），則AP的取值范圍是，連接DM并延長交矩形ABCD的AB邊于點G，當∠ABM＝2∠ADG時，AP的長是．

2．（2023?福田區(qū)模擬）綜合與探究
在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處．
（1）如圖①，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；
（2）如圖②，當AB＝5，且AF?FD＝10時，求EF的長；
（3）如圖③，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF＝AN+FD時，請直接寫出的值．

3．（2023?桐柏縣一模）【初步探究】
（1）把矩形紙片ABCD如圖①折疊，當點B的對應點B'在MN的中點時，填空：△EB'M △B'AN（“≌”或“∽”）．
【類比探究】
（2）如圖②，當點B的對應點B'為MN上的任意一點時，請判斷（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．
【問題解決】
（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△BPE沿PE折疊得到△B'PE，連接DE，DB'，當△EB'D為直角三角形時，BP的長為．

考向二：8字圖相似
1．（2023?海州區(qū)校級二模）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……
【問題提出】
（1）如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：．
請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．
【理解應用】
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，使點C恰好落在邊AB上的E點處，落AC＝1，AB＝2，則DE的長為．
【深度思考】
（3）如圖③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長線于點F，連接AF，當BD＝3時，AF的長為．
【拓展升華】
（4）如圖④，PC是△PAB的角平分線，若AC＝3，BC＝1，則△PAB的面積最大值是．

2．（2023?衢州二模）如圖1，在正方形ABCD中，點E在線段BC上，連接AE，將△ABE沿著AE折疊得到△AFE，延長EF交CD于點G．
（1）求證：DG＝FG；
（2）如圖2，當點E是BC中點時，求tan∠CGE的值；
（3）如圖3，當時，連接CF并延長交AB于點H，求的值．

考向三：A字圖相似
1．（2023?宿城區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先將△ABC沿AC翻折到△AB′C處，再將△AB'C沿翻折到△AB'C'處，延長CD交AC′于點M，則DM的長為．

2．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F(xiàn)在AE上，EF＝DE．
（1）如圖1，若CE＝BD，求證：BE＝CF；
（2）如圖2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求證：CF＝2GF；
（3）如圖3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，當△CEF周長最小時，請直接寫出△BCF的面積．

3．（2023?中山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+4與x軸，y軸分別交于點A、B，點P為射線AO上的一個動點，過點P作PQ⊥AB于點Q，將沿PQ翻折得到R．設(shè)△PQR與△AOB重合部分的面積為S，點P的坐標為（m，0）．
（1）求AR的長．（用含m的代數(shù)式表示）
（2）求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍．

考向四：母子型相似
1．（2023?樊城區(qū)模擬）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝6，AD＝9，求CE的長．
【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點，EF∥AC，AC＝2EF，連接DE、DF分別交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．

2．（2023?潤州區(qū)二模）如圖1，在△ABC中，點D在邊AB上，點P在邊AC上，若滿足∠BPD＝∠BAC，則稱點P是點D的“和諧點”．
（1）如圖2，∠BDP+∠BPC＝180°．
①求證：點P是點D的“和諧點”；
②在邊AC上還存在某一點Q（不與點P重合），使得點Q也是點D的“和諧點”，請在圖2中僅用圓規(guī)作圖，找出點Q的位置，并寫出證明過程．（保留作圖痕跡）
（2）如圖3，以點A為原點，AB為x軸正方向建立平面直角坐標系，已知點B（6，0），C（2，4），點P在線段AC上，且點P是點D的“和諧點”．
①若AD＝1，求出點P的坐標；
②若滿足條件的點P恰有2個，直接寫出AD長的取值范圍是．

考向五：手拉手相似
1．（2023?寶安區(qū)校級三模）【問題背景】已知D、E分別是△ABC的AB邊和AC邊上的點，且DE∥BC，則△ABC∽△ADE，把△ADE繞著A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接BD和CE．
①如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形；
②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，則CE＝；
【遷移應用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分別是AB、AC、BC中點，連接DE和CM．
①如圖3，寫出CE和BD的數(shù)量關(guān)系；
②如圖4，把Rt△ADE繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當D落在AM上時，連接CD和CE，取CD中點N，連接MN，若，求MN的長．
【創(chuàng)新應用】如圖5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，將△ADE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BE，F(xiàn)是BE上一點，，連接CF，請直接寫出CF的取值范圍．

2．（2023?東港市二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知正方形ABCD，點E為對角線AC上一動點，將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BF處，得到△BEF，連接CF．
填空：①＝；
②∠ACF的度數(shù)為；
（2）類比探究：如圖2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，連接CF，請分別求出的值及∠ACF的度數(shù)；
（3）拓展延伸：如圖3，在（2）的條件下，將點E改為直線AC上一動點，其余條件不變，取線段EF的中點M，連接BM，CM，若，則當△CBM是直角三角形時，請直接寫出線段CF的長．

3．（2023?晉中模擬）綜合與實踐
問題情境：
（1）如圖1，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE．如圖2，將△ABC 繞頂點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△AB'C'，連接B′D，C′E，求證：B′D＝C′E．
深入研究：
（2）①如圖3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知點B，C，E在同一直線上，連接DE，AF，交于點P，求AF：DE的值；
②如圖4，若將正方形CEFG繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，AF：DE的值變化嗎？請說明理由．
拓展應用：
（3）如圖5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分別換成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，請直接寫出此時AF：DE的值．

（建議用時：150分鐘）
1．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．
【問題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．

2．（2023?濟南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E在邊BC上，將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長線于點G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．
（1）如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；
（2）如圖2，當點F在射線BD上時，求線段BE的長；
（3）如圖3，當EA＝EC時，在平面內(nèi)有一動點P，滿足PE＝EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．

3．（2023?武漢）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當α＝90°時，直接寫出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當α＝120°時，若，求的值．

4．（2023?內(nèi)蒙古）已知正方形ABCD，E是對角線AC上一點．
（1）如圖1，連接BE，DE．求證：△ABE≌△ADE；
（2）如圖2，F(xiàn)是DE延長線上一點，DF交AB于點G，BF⊥BE．判斷△FBG的形狀并說明理由；
（3）在第（2）題的條件下，BE＝BF＝2．求的值．

5．（2023?湖州）【特例感知】
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點P在邊AB的延長線上，連結(jié)PD，過點D作DM⊥PD，交BC的延長線于點M．求證：△DAP≌△DCM．
【變式求異】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，過點D作DQ⊥AB，交AC于點Q，點P在邊AB的延長線上，連結(jié)PQ，過點Q作QM⊥PQ，交射線BC于點M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值．
【拓展應用】
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點P在邊AB的延長線上，點Q在邊AC上（不與點A，C重合），連結(jié)PQ，以Q為頂點作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線BC于點M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

6．（2023?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D是射線BC上的動點（不與點B，C重合），連接AD，過點D在AD左側(cè)作DE⊥AD，使AD＝kDE，連接AE，點F，G分別是AE，BD的中點，連接DF，F(xiàn)G，BE．
（1）如圖1，點D在線段BC上，且點D不是BC的中點，當α＝90°，k＝1時，AB與BE的位置關(guān)系是，＝．
（2）如圖2，點D在線段BC上，當α＝60°，k＝時，求證：BC+CD＝2FG．
（3）當α＝60°，k＝時，直線CE與直線AB交于點N，若BC＝6，CD＝5，請直接寫出線段CN的長．

7．（2023?益陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，點D在邊AC上，將線段DA繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，線段DA′交AB于點E，作A′F⊥AB于點F，與線段AC交于點G，連接FC，GB．
（1）求證：△ADE≌△A′DG；
（2）求證：AF?GB＝AG?FC；
（3）若AC＝8，tanA＝，當A′G平分四邊形DCBE的面積時，求AD的長．

8．（2023?福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點M．
（1）求證：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度數(shù)；
（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND＝NO．

9．（2022?湖北）問題背景：
一次數(shù)學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．
嘗試證明：
（1）請參照小慧提供的思路，利用圖2證明：＝；
應用拓展：
（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．

10．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點G，求證：DG＝EG．
【嘗試應用】
（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F．若∠EGF＝40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G＝10，求BF的長．

11．（2023?廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．
（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點B旋轉(zhuǎn)后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．
①求證：△ABD～△ACE；
②若tan∠BAC＝，求cs∠DCE的值．

小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．

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