手法1.劉維爾不等式
例1.（2017天津）設，定義在上的函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有一個零點，為的導函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設，函數(shù)，求證：；
（3）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足.
手法2.利普希茨條件
上面例題便是關于劉維爾不等式在高考中的經(jīng)典應用，下面我們再看以利普希茨條件為背景的2019天津卷導數(shù)題.
例2.（2019天津理20）設函數(shù)為的導函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，證明.
手法3.割線斜率.
例3.已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設,如果對任意,,求的取值范圍.
解析：（2）法一:不妨設,而當時,由（1）可知在單調(diào)遞減,從而,
等價于,.
構造函數(shù),只需在單調(diào)遞減,即
在恒成立,分離變量法:,只需.
法二:由拉格朗日定理知,,等價于在
存在,使得成立,只需恒成立,只需證明
,得或(舍去).
需要注意的是，拉格朗日定理并不是解決這類割線斜率問題的完美解決辦法，很多題目盲目使用甚至還會出錯，具體錯誤原因請見下面參考文獻.
參考文獻：查曉東，金沛陽.割線斜率取值范圍問題再研究.[J].數(shù)學通訊

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