利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)能否求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的，稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無法用顯性的代數(shù)表達(dá)的(f′(x)＝0是超越形式)，稱之為“隱零點(diǎn)”．對于隱零點(diǎn)問題，常常涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧．
用隱零點(diǎn)處理問題時，先證明函數(shù)f(x)在某區(qū)上單調(diào)，然后用零點(diǎn)存在性定理說明只有一個零點(diǎn)．此時設(shè)出零點(diǎn)x0，則f′(x)＝0的根為x0，即有f′(x0)＝0．注意確定x0的合適范圍，如果含參x0的范圍往往和參數(shù)a的范圍有關(guān)．這時就可以把超越式用代數(shù)式表示，同時根據(jù)x0的范圍可進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s．從而問題得以解決．基本解決思路是：形式上虛設(shè)，運(yùn)算上代換，數(shù)值上估算．用隱零點(diǎn)可解決導(dǎo)數(shù)壓軸題中的不等式證明、恒成立能成立等問題．
隱零點(diǎn)問題求解三步曲
(1)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍．
(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式．
(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明，有時(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮?。?br>注意：
確定隱性零點(diǎn)范圍的方式是多種多樣的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到等等．至于隱性零點(diǎn)的范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍．進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵．最后值得說明的是，隱性零點(diǎn)代換實(shí)際上是一種明修棧道，暗渡陳倉的策略，也是數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”思想的體現(xiàn)．
考點(diǎn)一 不等式證明中的“隱零點(diǎn)”
【例題選講】
[例1] (2015全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx．
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個數(shù)；
(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)≥2a＋alneq \f(2,a)．
[例2] (2013全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)若x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m的值，并討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)m≤2時，求證：f(x)＞0．
[例3] 已知函數(shù)f(x)＝xex－a(x＋lnx)．
(1)討論f(x)極值點(diǎn)的個數(shù)；
(2)若x0是f(x)的一個極小值點(diǎn)，且f(x0)>0，證明：f(x0)>2(x0－xeq \\al(3,0))．
[例4] 已知函數(shù)f(x)＝aex＋sinx＋x，x∈[0，π]．
(1)證明：當(dāng)a＝－1時，函數(shù)f(x)有唯一的極大值點(diǎn)；
(2)當(dāng)－22．
4．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(a,x)＋bxlnx，其中a，b∈R．
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為y＝x＋e，求a，b的值；
(2)當(dāng)b>1時，f(x)≥1對任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))恒成立，證明：a>eq \f(\r(e)＋1,2e)．
5．已知函數(shù)f(x)＝ex＋a－lnx(其中e＝2.718 28…，是自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)當(dāng)a＝0時，求函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；
(2)求證：當(dāng)a>1－eq \f(1,e)時，f(x)>e＋1．
考點(diǎn)二 不等式恒成立與存在性中的“隱零點(diǎn)”
【例題選講】
[例1] 已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx(a∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)當(dāng)a＝1且k∈Z時，不等式k(x－1)0．
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；
(2)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
1．已知函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xlnx．
(1)求曲線y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))))處的切線方程；
(2)若當(dāng)x>1時，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋x>keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))恒成立，求正整數(shù)k的最大值．
2．(2012全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
3．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＝2時，設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋lnx－x－b，b∈Z，若g(x)≤0對任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))恒成立，求b的最小值．
4．已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－eq \f(ex,x)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)若f(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))ex－bx≥1恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ax，a∈R．
(1)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
(2)若對任意的x∈[0，＋∞)均有2f(x)＋3≥x2＋a2，求a的取值范圍．

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