一．基本命題原理
1．定義
若函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù). 反之，稱為區(qū)間上的凹函數(shù)
2．常用性質(zhì)
2.1.
在上為凸函數(shù).
反之，.
注：上述不等式也稱為詹森不等式.特別地，若只取，則有：
凸函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不大于函數(shù)值的平均數(shù)
幾何解釋：凸函數(shù)的圖象上弧線位于線段的下方；
凹函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不小于函數(shù)值的平均數(shù)
幾何解釋：凹函數(shù)的圖象上弧線位于線段的上方；
(圖1：凸函數(shù)) (圖2：凹函數(shù))
2.2.運算性：
（1）兩凸函數(shù)之和為凸函數(shù)；
（2）兩遞增非負(fù)凸函數(shù)之積為凸函數(shù).
2.3.分離性：
在上為凸函數(shù)，對區(qū)間內(nèi)任意，有.
注：分離性常見的兩個不等式:
（1）與有關(guān)：；.
（2）與有關(guān)：
可以看到，分離性是導(dǎo)數(shù)中切線放縮的理論依據(jù).
將上述不等式再合理變形，又可以得到：
指數(shù)切線的放縮的推廣
① 如果我把原式替換成了則又變成了： 切點：
② 如果我把原式替換成了用則又變成了：，切點：
③ 如果我把原式替換成了則又變成了： ．切點：，又可表示為：）
④如果我把中的替換成了則又變成了： 切點：
對于常見的變換：
2.4拐點的定義和求法
連續(xù)曲線上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點叫做曲線的拐點．（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）
(拐點存在的必要條件) 若函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)存在,且點為曲線的拐點,則
我們知道由的符號可以判定曲線的凹凸．如果連續(xù)，那么當(dāng)?shù)姆栍烧冐?fù)或由負(fù)變正時，必定有一點使＝0．這樣，點就是曲線的一個拐點．因此，如果在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們就可以按下面的步驟來判定曲線的拐點:
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2） 求；令＝0，解出這個方程在區(qū)間內(nèi)的實根；
（3） 對解出的每一個實根，考察在的左右兩側(cè)鄰近的符號．如果在的左右兩側(cè)鄰近的符號相反，那么點就是一個拐點，如果在的左右兩側(cè)鄰近的符號相同，那么點就不是拐點．
二．典例分析
應(yīng)用1.分離性與恒成立.
例1.（2017全國三卷）已知函數(shù).若，求的值.
例2.（2017全國二卷）設(shè)函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）
應(yīng)用2.切線放縮與零點估計.
例3.（2021新課標(biāo)1卷22題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
例4（2015年天津）已知函數(shù),其中.
（1）討論的單調(diào)性；（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；
（3）若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證：.
應(yīng)用三:詹森不等式
例5. 在中，求的最大值.
例6.已知函數(shù).（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）
（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
例7.半徑為的球的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為______.
例8.已知.證明：.

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