命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分
【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)基本問題
2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義
3能運用拉格朗日中值定理解題
【命題預測】近幾年，以高等數(shù)學為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點解題的好處，需學生靈活學習
知識講解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函數(shù)f（x）滿足如下條件：
（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；
（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導．
則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的幾何意義
如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．
需要注意的地方（逆命題不成立）
拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于
切線斜率,如fx=x3在x=0處的切線斜率為0,但fx不存在割線使割線斜率等于0
拉格朗日公式還有下面幾種等價形式
，
，
．
注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當時，．
考點一、拉格朗日中值定理的認知及簡單應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（2023·全國·高三專題練習）以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為n，則有（ ）（參考數(shù)據(jù)：.）
A．1B．2C．0D．
3．（2023·全國·高三專題練習）法國數(shù)學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導.則在開區(qū)間上至少存在一點，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值” ．
1．（2023·全國·高三專題練習）以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象不間斷，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點.則函數(shù)在區(qū)間上的中值點的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個
C．3個D．4個
2．（2023·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校├窭嗜罩兄刀ɡ硎俏⒎謱W中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為 .
考點二、拉格朗日中值定理在導數(shù)中的綜合應(yīng)用
設(shè) ,
求證: 當 時, 對任意 , 有
設(shè) ,
當 時, 若對任意的 成立, 求的取值范圍
設(shè) , 若對任意 , 都有 , 求的范圍
1．已知函數(shù)，若對任意都有恒成立，求的取值范圍
設(shè)的導函數(shù)是,對任意兩個不相等的正數(shù),
當時,證明:
3．（2022秋·云南保山·高二?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)
（1）求證：的導數(shù)；
（2）若對任意都有求a的取值范圍．
4．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學?？寄M預測）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）設(shè),證明.
【能力提升】
一、單選題
1．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習）以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，其定理陳述如下：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在開區(qū)間內(nèi)存在導函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得稱為函數(shù)在區(qū)間上的中值點.若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上“中值點”個數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點”的個數(shù)為，則（ ）
A．B．
C．D．
二、解答題
2．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)在可導，且，又對于內(nèi)所有的點有證明方程在內(nèi)有唯一的實根．
3．（2023·全國·高三專題練習）試證明對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間．
4．（2023·北京東城·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
（I）當時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.
5．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且．求證：存在，使．
6．（2023·全國·高三專題練習）驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性．
7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的．
8．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，證明：對任意的實數(shù)，當時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上恒有實數(shù)解．
9．（高考真題）設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
10．（2022·廣東·統(tǒng)考一模）已知，為的導函數(shù).
(1)若對任意都有，求的取值范圍；
(2)若，證明：對任意常數(shù)，存在唯一的，使得成立.
第19講 拉格朗日中值定理在導數(shù)中的應(yīng)用
（高階拓展）（核心考點精講精練）
命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分
【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)基本問題
2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義
3能運用拉格朗日中值定理解題
【命題預測】近幾年，以高等數(shù)學為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點解題的好處，需學生靈活學習
知識講解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函數(shù)f（x）滿足如下條件：
（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；
（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導．
則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的幾何意義
如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．
需要注意的地方（逆命題不成立）
拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于
切線斜率,如fx=x3在x=0處的切線斜率為0,但fx不存在割線使割線斜率等于0
拉格朗日公式還有下面幾種等價形式
，
，
．
注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當時，．
考點一、拉格朗日中值定理的認知及簡單應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出導數(shù)，列方程求解作答.
【詳解】函數(shù)，求導得：，令為在上的“拉格朗日中值點”，
則有，即，解得，
所以函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.
故選：B
2．（2023·全國·高三專題練習）以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為n，則有（ ）（參考數(shù)據(jù)：.）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【分析】利用中值點的定義分別求解兩函數(shù)的中值點即可
【詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”為，由，得，
則由拉格朗日中值定理得，，即，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為1，即，
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，作出函數(shù)和的圖像如圖所示，，當時，，
由圖可知，函數(shù)和的圖像在區(qū)間上有一個交點，即方程區(qū)間上有1個解，所以函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為1，即，
所以，
故選：B
3．（2023·全國·高三專題練習）法國數(shù)學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導.則在開區(qū)間上至少存在一點，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值” ．
【答案】
【分析】先求，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得求得的值即可.
【詳解】由可得，
所以，
由拉格朗日中值的定義可知，
即，
所以．
故答案為： .
1．（2023·全國·高三專題練習）以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象不間斷，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點.則函數(shù)在區(qū)間上的中值點的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗日中值點”的定義，結(jié)合函數(shù)進行分析，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的解的個數(shù)問題，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可..
【詳解】由題意，函數(shù)，
所以，
所以，
所以由拉格朗日中值定理得：，即，
所以，
由于時，
所以在無解，在上有2解.
所以函數(shù)在區(qū)間上的中值點的個數(shù)為2個.
故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)題中給出的“拉格朗日中值點”的定義分析求解即可．
【詳解】函數(shù)，
則，
由，
得，即，
解得，
所以在，上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2．
故選：B.
3．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中校考期中）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的定義可構(gòu)造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值點”的個數(shù).
【詳解】，，
令，解得：或，
在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.
故答案為：.
考點二、拉格朗日中值定理在導數(shù)中的綜合應(yīng)用
設(shè) ,
求證: 當 時, 對任意 , 有
證明: 由拉格朗日中值定理可知只需證 對 恒成立
由 ,
因為
所以
則
設(shè) ,
當 時, 若對任意的 成立, 求的取值范圍
解: 由拉格朗日中值定理, 可知必存在 ,
使得 ,
當 且 時,

由題意 ,
即
設(shè) , 若對任意 , 都有 , 求的范圍
解: 時, 等價于 ,
由拉格朗日中值定理, 存在 使得 ,
故只需 恒成立即可
又 ,
所以
1．已知函數(shù)，若對任意都有恒成立，求的取值范圍
解：因為 ，所以 ，
注意到 ，
則 恒成立。
由拉格朗日中值定理知 :
存在 使得
所以 恒成立.
顯然 在 單調(diào)遞增，故 ，
所以 .
設(shè)的導函數(shù)是,對任意兩個不相等的正數(shù),
當時,證明:
解：令,
由拉格朗日中值定理,存在使得對任意兩個不相等的正數(shù),
只需證明當時,都有
即證明恒成立,
而
故當時,成立,故原命題成立
3．（2022秋·云南保山·高二?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)
（1）求證：的導數(shù)；
（2）若對任意都有求a的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）（﹣∞，2]
【分析】（1）先求出f（x）的導函數(shù)，利用a+b≥2當且僅當a＝b時取等號．得到f'（x）≥2；
（2）把不等式變形令g（x）＝f（x）﹣ax并求出導函數(shù)令其＝0得到駐點，在x≥0上求出a的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）f（x）的導數(shù)f'（x）＝ex+e﹣x．
由于，故f'（x）≥2．
（當且僅當x＝0時，等號成立）．
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax，則g'（x）＝f'（x）﹣a＝ex+e﹣x﹣a，
（?。┤鬭≤2，當x＞0時，g'（x）＝ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，x≥0時，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）＝0的正根為，
此時，若x∈（0，x1），則g'（x）＜0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)．
所以，x∈（0，x1）時，g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜ax，與題設(shè)f（x）≥ax相矛盾．
綜上，滿足條件的a的取值范圍是（﹣∞，2]．
【點睛】考查學生利用導數(shù)運算的能力，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力．
4．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學?？寄M預測）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）設(shè),證明.
【答案】（1）0；(2)詳見解析.
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進行求導運算，令導函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出最大值．（2）先將代入函數(shù)得到的表達式后進行整理，根據(jù)（1）可得到，將放縮變形為代入即可得到左邊不等式成立，再用根據(jù)的單調(diào)性進行放縮．然后整理即可證明不等式右邊成立．
【詳解】(1）由已知可得x>-1, -1，令0得x=0.
當-10時，0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）解不等式f′（x）0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
【答案】（Ⅰ）在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．
（Ⅱ）當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
【詳解】解：根據(jù)求導法則有，
故，
于是，
列表如下：
故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．
（Ⅱ）證明：由知，的極小值．
于是由上表知，對一切，恒有．
從而當時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．
所以當時，，即．
故當時，恒有．
10．（2022·廣東·統(tǒng)考一模）已知，為的導函數(shù).
(1)若對任意都有，求的取值范圍；
(2)若，證明：對任意常數(shù)，存在唯一的，使得成立.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）通過分離變量的方式得到，利用導數(shù)可求得，由此可得的范圍；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的零點，由解析式可確定在上單調(diào)遞減；結(jié)合（1）的結(jié)論知，進而得到，，由零點存在定理可證得結(jié)論.
【詳解】（1）由得：，即；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
，即的取值范圍為.
（2）設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的零點，
由，知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上至多有個零點，
，
，
由（1）知：當時，（當且僅當時取等號），
，，，又，即，，
，，，即，
又，即，，
由函數(shù)零點存在定理知：在區(qū)間上有唯一的零點，即存在唯一的，使得成立.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，本題第二問證明的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的零點的證明問題，從而能夠結(jié)合零點存在定理進行證明.
2
0
極小值

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