
(1)討論的單調(diào)性;
(2)設(shè),為兩個不相等的正數(shù),且,證明:.
證明:(1)函數(shù)的定義域為,又,
當時,,當時,,
故的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.
(2)因為,故,即,
故,設(shè),由(1)可知不妨設(shè).
因為時,,時,,
故. 下面用不同的方法來證明:.這些方法均是證明極值點偏移的常用方法.
方法1.構(gòu)造偏差函數(shù).
若,必成立.若, 要證:,即證,而,故即證,即證:,其中.
設(shè),則,因為,故,故,所以,故在為增函數(shù),所以,故,即成立,所以成立,綜上,成立.
方法2. 比值代換.
令,由,整理得,
于是,欲證只需證. 下面構(gòu)造函數(shù):
,故只需證明即可,對求二階導(dǎo)數(shù)可證得.
方法3.不等式放縮
由于下面不等式組成立:以及. 下面我們用不等式放縮來完成證明:
,,整理可得:,即證得.
方法4.二次函數(shù)擬合
如圖,考慮用二次函數(shù)擬合上述曲線,只需保證二次函數(shù)在頂點處的鄰域內(nèi)擬合即可.可將在處二階泰勒展開,故只需滿足方程組,求得:.即.這樣的話,的根為,且,由,得證.
方法5:單調(diào)性同構(gòu)
(2)因為,故,即,
故,設(shè),由(1)可知不妨設(shè).下面我們證明
由于,于是可得:.
構(gòu)造函數(shù),則上式顯然成立,于是可得:
,得證!
方法6.先給出極值點偏移判定定理.
極值點偏移判定定理:若在滿足,且滿足,為函數(shù)的一個極值點,則有:
(1)若,則;
(2)若,則.
反之,若在滿足,且滿足,為函數(shù)的一個極值點,則有:
(3)若,則;
(4)若,則.
證明見第6講,此處略去!
回到原題,由題知可得,若令,則原命題等價于:已知,證明:. 不妨假設(shè),由于,故,,注意到為函數(shù)的極值點,因此此處我們只用判定定理證明.,由于是嚴格減函數(shù),根據(jù)本文所給判定定理之(2)可得,證畢.
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