1.(人A選必二5.2節(jié)習(xí)題改編)余弦曲線y=cs x在點 處的切線方程為　 .?
2.(人A選必二5.2節(jié)習(xí)題改編)設(shè)曲線y=e2ax在點(0,1)處的切線與直線2x-y+1=0垂直,則a=　　　　　.?
3.(人A選必二第五章習(xí)題改編)若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則c=　　　　　.?
解析 因為f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,所以f'(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c)(x-c).當(dāng)f'(x)=0,即x= ,或x=c時,函數(shù)f(x)可能有極值.由題意,當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)有極大值,所以c>0.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
4.(人A選必二5.3節(jié)習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=48x-x3,x∈[-3,5]的最大值為　　　　　,最小值為　　　　　.?
解析 f'(x)=48-3x2,令f'(x)=0,得x=-4(舍去)或x=4,f(-3)=-117,f(5)=115,f(4)=128,所以f(x)最大值為128,最小值為-117.
1.(2022·全國乙,文11)函數(shù)f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為(　　)
2.(2021·全國乙,文12)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則(　　)A.abC.aba2
3.(2022·新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為　　　　　　　,　　　　　　　　.?
考點一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、幾何意義
(2)(2024·北京海淀一模)已知 函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為m,過點(0,2)與曲線y=f(x)相切的直線的條數(shù)為n,則m,n的值分別為(　　)A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2
解析 令f(x)=0,即當(dāng)x≤0時,x3=0,解得x=0,當(dāng)x>0時,lg(x+1)=0,無解,故m=1.
令g(x)=(2+lg e)x+2-(x+1)lg(x+1)(x>0),則g'(x)=2-lg(x+1),令g'(x)=0,可得x=99,故當(dāng)x∈(0,99)時,g'(x)>0,即g(x)在(0,99)上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(99,+∞)時,g'(x)0,g(0)=2-0=2>0,故g(x)在x∈(0,99)上沒有零點,又g(999)=(2+lg e)×999+2-1 000×3=999lg e-1 0000時,亦可有一條切線符合要求,故n=2.故選B.
(2)過坐標(biāo)原點作曲線f(x)=ex(x2-2x+2)的切線,則切線共有(　　)A.1條B.2條C.3條D.4條
考點二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
考向1討論函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間
例2(2024·山東聯(lián)合模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=x(1-ln kx).(1)若曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線y=x垂直,求實數(shù)k的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.
解 (1)因為f(x)=x(1-ln kx),k≠0,所以f'(x)=-ln(kx),曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線y=x垂直,所以f'(e)=-ln(ke)=-1,解得k=1.
(2)由f(x)=x(1-ln kx),得k≠0且f'(x)=-ln(kx),當(dāng)k>0時,f(x)的定義域為(0,+∞),
[對點訓(xùn)練2](2024·江西九江二模)已知曲線y=f(x)=(2x-a)ln(x-1)+b(a,b∈R)在(2,f(2))處的切線方程為3x-y-2=0.(1)求a,b的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性.
考向2已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
(1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
(方法二)令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,則g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).∵x+1>1,∴l(xiāng)n(x+1)>0.當(dāng)a≤0時,g'(x)0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴g(x)>0+0-0=0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,符合題意.
知識提煉根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的類型
[對點訓(xùn)練3](2024·江蘇徐州一模)已知函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x,a∈R.(1)若函數(shù)y=f(x)-2x2在(0,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;(2)若直線y=ex與y=f(x)的圖象相切,求a的值.
解 (1)記y=f(x)-2x2=ax-ln x-x2=g(x),因為g(x)在(0,2]上單調(diào)遞減,
考點三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值
考向1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
例4(1)(多選題)(2023·新高考Ⅱ,11)若函數(shù) (a≠0)既有極大值也有極小值,則(　　)A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac0,且ab>0,ac0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令f'(x)0.若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令f'(x)0?g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范圍為(1,+∞).
[對點訓(xùn)練4](1)(2024·寧夏銀川一模)若函數(shù)f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2處取得極大值,則f(x)的極小值為(　　)A.-6e2B.-4eC.-2e2D.-e
解析 因為函數(shù)f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2處取得極大值,則f'(x)=[x2+(2-a)x-2-a]ex,x∈R且f'(-2)=0,即4-2(2-a)-2-a=0,所以a=2.所以f(x)=(x2-2x-2)ex,f'(x)=(x2-4)ex=(x+2)(x-2)ex,令f'(x)=0,則x=2或x=-2,當(dāng)x∈(-∞,-2)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(-2,2)時,f'(x)0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時,f(x)有最小值且最小值為f(0)=-1,滿足題意;若a

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