
一.基本命題原理
泰勒展開式(泰勒級(jí)數(shù)):
多項(xiàng)式:
公式:
泰勒公式時(shí)的麥克勞林公式:
幾個(gè)重要的不等式
由泰勒公式,我們可以得到幾個(gè)重要的不等式:
3.1 ;
3.2 ;
3.3 .
下面我們嘗試對(duì)對(duì)數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行變形處理:
將代入上式,可得:,這就是下面這道高考試題的命題背景.
二.典例分析
例1.(2021八省新高考適應(yīng)考試)
已知函數(shù),.
(1)略;
(2)若,求.
例2.(2015北京)已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)時(shí),;
(3)設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立,求的最大值.
由上述結(jié)論易得結(jié)論,此處不再贅述.下面我們?cè)倏磶讉€(gè)泰勒展開的應(yīng)用實(shí)例.
例3.證明不等式:≤≥0.
解析:不等式左邊是三次二項(xiàng)式的初等函數(shù),右邊是三角函數(shù),兩邊無明顯的大小關(guān)系 。這時(shí)我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來,然后進(jìn)行比較判斷兩者的大小關(guān)系. 由于,,,,,,, 當(dāng)時(shí),的泰勒展式為: ≥0 (≥0, ≤,0<<1)所以≥0,,有 ≤.
注:這個(gè)不等式實(shí)際上就是正弦函數(shù)泰勒展開甩掉高階項(xiàng)得到的.
下來給出兩個(gè)關(guān)于對(duì)數(shù)的不等式,并用它們來分析一道2017年高考真題.
例4.(1);(2)
合起來可得:.
上述不等式易證,讀者不妨自行嘗試.
例5.已知求證:
解析:
所以
例6.(2017全國(guó)3卷)求證:
例7.(2021山東模擬)已知函數(shù).
(1)證明:時(shí),;
(2)設(shè),若對(duì)任意實(shí)數(shù),都有,求的值.
最后看一道利用泰勒展開比較大小的問題.
例8.(2022新高考1卷)設(shè),試比較三個(gè)數(shù)的大小.
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