函數(shù)凸凹性雖不是高中數(shù)學(xué)的正式課程，但它出現(xiàn)在教材的課后習(xí)題中，而且在高考試題中常見其身影.另一方面，由于具有凸凹性的函數(shù)具有很多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)可以命制很多有趣的恒成立問題，雙零點(diǎn)問題，于是，函數(shù)凸凹性頗受命題人的喜愛.本節(jié)，我們就通過一些高考試題來展示函數(shù)凸凹性在函數(shù)試題命制中的常見手法.
一．基本命題原理
1．定義
若函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).反之，稱為區(qū)間上的凹函數(shù)
2．常用性質(zhì)
2.1.
在上為凸函數(shù).
反之，.
注：上述不等式也稱為詹森不等式.特別地，若只取，則有：
凸函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不大于函數(shù)值的平均數(shù)
幾何解釋：凸函數(shù)的圖象上弧線位于線段的下方；
凹函數(shù)自變量的平均數(shù)的函數(shù)值不小于函數(shù)值的平均數(shù)
幾何解釋：凹函數(shù)的圖象上弧線位于線段的上方；
(圖1：凸函數(shù))(圖2：凹函數(shù))
2.2.運(yùn)算性：
（1）兩凸函數(shù)之和為凸函數(shù)；
（2）兩遞增非負(fù)凸函數(shù)之積為凸函數(shù).
2.3.分離性：
在上為凸函數(shù)，對(duì)區(qū)間內(nèi)任意，有.
注：分離性常見的兩個(gè)不等式:
（1）與有關(guān)：；.
（2）與有關(guān)：
可以看到，分離性是導(dǎo)數(shù)中切線放縮的理論依據(jù).
2.4拐點(diǎn)的定義和求法
連續(xù)曲線上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)．
(拐點(diǎn)存在的必要條件)若函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)存在,且點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn),則
我們知道由的符號(hào)可以判定曲線的凹凸．如果連續(xù)，那么當(dāng)?shù)姆?hào)由正變負(fù)或由負(fù)變正時(shí)，必定有一點(diǎn)使＝0．這樣，點(diǎn)就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)．因此，如果在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們就可以按下面的步驟來判定曲線的拐點(diǎn):
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求；令＝0，解出這個(gè)方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根；
（3）對(duì)解出的每一個(gè)實(shí)根，考察在的左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)．如果在的左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)相反，那么點(diǎn)就是一個(gè)拐點(diǎn)，如果在的左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)相同，那么點(diǎn)就不是拐點(diǎn)．
3.偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)微分學(xué)里的重要概念之一.例如二元函數(shù)，其偏導(dǎo)數(shù)的基本求法便是：對(duì)求導(dǎo)時(shí)，就假定是常數(shù)，僅對(duì)函數(shù)中所有變?cè)髮?dǎo)得到，對(duì)求導(dǎo)時(shí)，方法亦然.比如：若函數(shù)，則求導(dǎo)可得：.
二．典例分析
例1.（2020合肥?？迹┮阎瘮?shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；
（2）設(shè)方程()有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.
解：（1）曲線在處的切線方程為.曲線在處的切線方程為.
（2）
分別求出曲線在處的切線方程為.以及在處的切線方程.再分別求出上述兩條切線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo).
,以及.
如上圖可知.證畢.
點(diǎn)評(píng)：如圖，我們用兩條切線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)來估計(jì)出的兩零點(diǎn)差值的范圍.同時(shí)要注意，倘若我們選擇在處的切線方程為來放縮零點(diǎn)的話會(huì)得不到想要的結(jié)果，因?yàn)檫@條切線并沒有將包在其下方.
剪刀模型技術(shù)總結(jié)
1.觀察題干是否考察零點(diǎn)之差的不等式：型；
2.驗(yàn)證函數(shù)的凸凹性；
3.在步驟2的基礎(chǔ)上考察函數(shù)在關(guān)鍵特殊點(diǎn)處的切線，最終構(gòu)造出剪刀模型，完成證明.
下面看詹森不等式的應(yīng)用
例2.在中，求的最大值.
解析：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù)，則
即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào).
上述例題是三角形中一個(gè)重要的不等式：在中，
.
其本質(zhì)便是正弦函數(shù)的凸凹性結(jié)合詹森不等式得到的，這個(gè)結(jié)論在高考命題中出現(xiàn)多次，下面我們予以分析.
例3.（2018全國一卷）已知函數(shù)，求的最小值.
解：最小正周期為，且為奇函數(shù)，考慮.于是可得：
，
這樣的話，利用例1的結(jié)論或者詹森不等式就有：
，再由奇偶性可知的最小值為.
例4．定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記作．若在區(qū)域D內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于的二元函數(shù)，它就被稱為二元函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作．已知，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
解析：依題意，
，同理可求得，所以，設(shè)，則，由，得，
，此方程有解，所以，.
故選：B
例5．（多選）若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記為.若二元函，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．的最小值為
D．的最小值為
解析：因?yàn)椋?，）?br>所以，則，
故A選項(xiàng)正確；
又，所以，
故B選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，令（），，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，
從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.
例6.（華南師大附中24屆周測）
多元導(dǎo)數(shù)在微積分學(xué)中有重要的間用,設(shè)是由等多個(gè)自變量唯一確定的因變量,則當(dāng)變化為時(shí),變化為.記為對(duì)的導(dǎo)數(shù),其符號(hào)為.和一般導(dǎo)數(shù)一樣.若在上,已知.則隨著的增大而增大:反之,已知,則隨著的增大而減小.多元導(dǎo)數(shù)除滿足一般分式的運(yùn)算性質(zhì)外,還具有下列性質(zhì):
①可加性:；
②乘法法則:；
③除法法則:；
④復(fù)合法則:.
記為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
（1）寫出和的表達(dá)式:
（2）已知方程有兩實(shí)根
（i）求出的取值范圍:
（ii）證明,并寫出隨的變化趨勢.
解析：（1）設(shè),則
,同理.
（2）(i)由（1）,,則,且時(shí)
即單調(diào)遞減,時(shí)即單調(diào)遞增,故,而時(shí),趨近于0的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于趨近于的速度,故,因此只需且即由零點(diǎn)存在性定理,,存在兩個(gè)零點(diǎn),故.
（ii）由(1),,故只需證明,令
設(shè),則
,
,則,
又
單調(diào)遞增,且,故單調(diào)遞增,則
必然,否則即單調(diào)遞減,不符合.
,故原命題成立,由題,隨增大而減小

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