參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2022·安徽淮南·模擬預測）在△ABC中，2csA?22+1?tanB=0 ，則△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】結合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質，得2csA?23=0，1?tanB=0，從而得csA=22，tanB=1，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質，得∠A=45°，∠B=45°；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質計算，即可得到答案．
【詳解】解：∵2csA?23+1?tanB=0
∴2csA?23=0，1?tanB=0
∴2csA?2=0，1?tanB=0
∴csA=22，tanB=1
∴∠A=45°，∠B=45°
∴∠C=180°?∠A?∠B=90°，BC=AC
∴△ABC一定是等腰直角三角形
故選：D．
【點睛】本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握絕對值、三角函數(shù)的性質，從而完成求解．
2．（3分）（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b為∠B的對邊，a為∠A的對邊，若b與∠A已知，則下列各式正確的是（ ）
A．a(chǎn)=bsin∠AB．a(chǎn)=bcs∠AC．a(chǎn)=btan∠AD．a(chǎn)=b÷tan∠A
【答案】C
【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義列出算式，然后變形計算即可．
【詳解】解：如圖所示：tanA=ab，
則a=btan∠A．
故選：C．
【點睛】此題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
3．（3分）（2022·浙江溫州·三模）如圖，架在消防車上的云梯AB長為15m，BD∥CE，∠ABD=α，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長為（ ）
A．(2+15sinα)mB．(2+15tanα)mC．17tanα mD．17sinα m
【答案】A
【分析】證明四邊形BCED是矩形，得到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE= DE +AD =2+15sinα．
【詳解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE，
∴∠AEC=∠BCE=90°，
∵BD∥CE，
∴BD⊥AE，BD⊥BC，
∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°，
∴四邊形BCED是矩形，
∴DE=BC=2，
∵AD=ABsin∠ABD=15sinα，
∴AE= DE +AD =2+15sinα．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是熟練掌握矩形的判斷和性質，正弦的定義和計算．
4．（3分）（2022·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，連結CD．下列各組線段的比值一定與csA相等的是（ ）
A．DEADB．DEAEC．CEBDD．CEBC
【答案】C
【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線性質即可求出答案．
【詳解】∵ED是△ABC的中位線
∴點D、E分別是AB、AC的中點
∵∠ACB=90°
∴CD=BD=AD
∴∠A=∠DCE
∴csA=cs∠DCE=CECD=CEBD
故選：C
【點睛】本題考查三角形綜合問題，涉及直角三角形斜邊上的中線性質，中位線的性質以及特殊角銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．
5．（3分）（2022·江蘇揚州·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中點，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點F處，連結CF，則tan∠ECF的值為（ ）
A．52B．255C．23D．53
【答案】B
【分析】利用翻折的性質，以及外角定理證得∠AEB=∠ECF，進行角度轉換即可求出結果．
【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中點，BC=25，
∴BE＝CE=5，
∴AE= AB2+BE2=22+(5)2=3，
由翻折變換的性質得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=5，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴tan∠ECF=tan∠BEA=ABBE=25=255，
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，翻折變換的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的外角性質，三角函數(shù)，熟練掌握矩形的性質和翻折變換的性質，證出∠AEB=∠ECF是解決問題的關鍵．
6．（3分）（2022·浙江·溫州外國語學校二模）矩形紙片ABCD按如圖1的方式分割成三個直角三角形①、②、③，又把這三個三角形按如圖2的方式重疊放置在一起，陰影分別為①、②與③的重疊部分，且①的斜邊一端點恰好落在②的斜邊上，則ABBC的值為（ ）
A．32B．2C．43D．233
【答案】C
【分析】設DE=x，令AB=b，BC=a，然后根據(jù)同角的余角相等得到∠BAC=∠ADE，∠EDC=∠ACB，再利用等角的三角函數(shù)值相等，得到AE的長度，列出方程化簡得到a與b之間的關系，最后得到AB與BC的比值．
【詳解】解：設DE=x，令AB=b，BC=a，如圖，
∴AB?BC=AC?DE，即a2+b2?x=ab，
∴x=aba2+b2，
∵tan∠BAC=BCAB=ab，
∵∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAC，
同理可得，∠EDC=∠ACB，
∴tan∠ADE=AEDE=ab，
∴AE=DE?tan∠ADE=aba2+b2?ab=a2a2+b2，
∵∠EDC=∠ACB，
∴∠A'D'C=∠ACB，
∴A'E'=BC?12CD′，
∵CD'=ED，A'E'=AE，
∴AE=BC?12ED=a?12aba2+b2，
∴a2a2+b2=a?12aba2+b2，
化簡得，4a3b=3a2b2，即ab=34，
∵a＞0，b＞0，
∴ABBC=DEAE=ba=43．
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理、矩形的性質、解直角三角形，等腰三角形的性質，解題的關鍵是適當設未知數(shù)建立方程．
7．（3分）（2022·陜西·西安市中鐵中學三模）如圖，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于點E，則線段CE的長為( )
A．3 +1B．2C．2D．6-2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分別解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，從而求得BC，設EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，進而根據(jù)CF+BF=BC列出方程求得x，進而求得結果．
【詳解】如圖，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，BD=AD=AB?sinB=6×22=3，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°?∠ACB=30°，CD=AD?tan30°=3×33=1，
∴BC=3+1，
在Rt△BEF中，設BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°?∠BCE=60°，
CF=EF?tan60°=3x，
由CF+BF=BC得，
3x+x=3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案為：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．
8．（3分）（2022·江蘇南通·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AC和BD的端點都在網(wǎng)格線的交點上．若AC與BD相交于點E，則tan∠AEB的值為( )
A．33B．12C．3D．2
【答案】B
【分析】由于BF是△AHC的中位線， BF=12CH=1.5,AF=FC=12AC=2.5；利用△BFE∽△DEC可得BFCD=FECE，設FE=x，求得CE=l， FE=BF，可得∠BEF=∠FBE，在Rt△BGD中，可求tan∠AEB＝tan∠GBD＝12．
【詳解】設BG與AC交于點F，如圖，
∵AB＝BH＝2，BF∥CH，
∴BF是△AHC的中位線．
∴BF＝12CH＝1.5，AF＝FC＝12AC＝2.5．
∵BF∥CH，
∴△BFE∽△DEC ．
∴BFCD=FECE．
設FE＝x，則CE＝2.5﹣x．
∴1.51=x2.5?x．
解得：x＝1.5．
∴BF＝FE＝1.5．
∴∠BEF＝∠FBE．
∴tan∠AEB＝tan∠GBD．
在Rt△BGD中，tan∠GBD＝GDGB＝24=12．
∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝12．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，三角形的中位線，三角形的相似的判定與性質．熟練掌握相似三角形的判定及性子是解題的關鍵．
9．（3分）（2022·浙江嘉興·一模）如圖，在?ABCD中，AB=4,AD=10,∠B=60°．作AE⊥AB交BC邊于點E，連接DE，則sin∠EDC的值為（ ）
A．2114B．12C．77D．217
【答案】A
【分析】過點E作EF⊥AD于點F，過點C作CG⊥ED于點G，根據(jù)三角函數(shù)以及勾股定理求出BE,AE,AF,EF,FD,ED,EC的長度，然后根據(jù)三角形面積公式得出CG的長度，結果可得．
【詳解】解：過點E作EF⊥AD于點F，過點C作CG⊥ED于點G，
∵ AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∵ AB=4,∠B=60°，
∴AE=AB·tan60°=43，BE=ABcs60°=8，
∴EC=BC?BE=10?8=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=∠BAD?∠BAE=120°?90°=30°，
∵ EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∴EF=12AE=23，
∴ AF=AE·cs30°=6，
∴FD=AD?AF=10?6=4，
∴ED=EF2+FD2=(23)2+42=27，
∴S△ECD=12EC·EF=12ED·CG，
即12×2×23=12×27×CG，
∴CG=2217，
∴sin∠EDC=CGCD=22174=2114，
故選：A．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，勾股定理，含30°的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握解直角三角形以及勾股定理是解本題的關鍵．
10．（3分）（2022·廣東·景中實驗中學二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在CD邊上，∠GAE=∠BAE，AG交BF于點H，連接EH,EG,CH．下列結論：①△AHE≌△BCF；②GE∥BF；③sin∠ABF=255；④14S△GCH=S△ABH，其中正確的結論有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個．
【答案】B
【分析】先證明△AHE≌△BCF（AAS），即可判斷①，由三角形的中位線定理可證GE∥BF，即可判斷②，由勾股定理可求BF的長，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判斷③，由相似三角形的性質可求FH，CH，AO的長，即可求出16S△GCH=S△ABH，即可判斷④．
【詳解】解：如圖，設BF與AE的交點為O，
設AB＝4a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，
∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，
∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，
∴∠AOB＝90°＝∠AOH，
又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，
∴△AOH≌△AOB（ASA），
∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，
∴AE垂直平分BH，
∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，
∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正確；
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，
∴FG＝GH，
∵HE＝BE＝CE，
∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，
∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，
∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝ 90°，
∴∠GHC＝∠GCH，
∴CG＝GH，
∴FG＝GC＝GH＝a，
又∵CE＝BE，
∴GE∥BF，故②正確；
∵BF=BC2+CF2=16a2+4a2=25a，
∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝BCBF=4a25=255，
故③正確；
∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，
∴△CFH∽△BFC，
∴CFBF=CHBC=FHCF ，
∴2a25a=CH4a=FH2a，
∴CH=455a，F(xiàn)H=255a，
∴BH=855a，
∵sin∠ABF＝AOAB=255，
∴AO=855a，
∵FG＝GC，
∴S△GCH=12S△FCH=12×12×455a×255=25a2，
∵S△ABH=12×AO×BH=12×855a×855a=325a2，
∴16S△GCH=S△ABH，故④錯誤，
故選：B．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2022·廣東·東莞市粵華學校二模）在△ABC中，sinB=12，AC＝22，AD是BC邊上的高，∠ACD＝45°，則BC的長為 _____．
【答案】23+2或23?2
【分析】分兩種情況討論：當AD在△ABC的內(nèi)部時，當AD在△ABC的外部時，即可求解．
【詳解】解：如圖，當AD在△ABC的內(nèi)部時，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝22，
∴DC=AD=ACsin45°=22×22=2，
在Rt△ABD中，sinB=12，
∴sinB=ADAB=12，
∴AB=4，
∴BD=AB2?AD2=42?22=23，
∴BC=BD+DC=23+2；
如圖，當AD在△ABC的外部時，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝22，
∴DC=AD=ACsin45°=22×22=2，
在Rt△ABD中，sinB=12，
∴sinB=ADAB=12，
∴AB=4，
∴BD=AB2?AD2=42?22=23，
∴BC=BD?DC=23?2；
綜上所述，BC的長為23+2或23?2．
故答案為：23+2或23?2
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．
12．（3分）（2022·江蘇連云港·一模）已知sina=513 (a為銳角)，則tana=_____________
【答案】512
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)，可得答案．
【詳解】解：∵sinα=513，
∴csα=12?(513)2=1213，
∴tanα=sinαcsα=512；
故答案為：512．
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，利用同角三角函數(shù)的關系是解題關鍵．
13．（3分）（2022·貴州·銅仁市第十一中學一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AB的中點，ED⊥AB交AC于點E.且tan∠BEC＝34，則tanA＝_____.
【答案】13
【分析】在Rt△EBC中，先用含k的代數(shù)式表示出BC、CE、BE，再利用線段垂直平分線的性質說明BE與AE的關系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切.
【詳解】解：在Rt△EBC中，
∵tan∠BEC＝34＝BCCE，
設BC＝3k，CE＝4k.
∴BE＝BC2+CE2＝5k.
∵D是AB的中點，ED⊥AB，
∴BE＝AE＝5k.
∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k.
在Rt△ABC中，
tanA＝BCAC=3k9k=13，
故答案為：13；
【點睛】本題考查了解直角三角形和線段垂直平分線的性質，掌握直角三角形的邊角間關系及“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”是解決本題的關鍵．
14．（3分）（2022·山東濟寧·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點F，連接DF交AB于點E，連接AF，BF．當△BFD是直角三角形時，DE的長為 _______．
【答案】32或34
【分析】分三種情況討論，由折疊的性質和勾股定理及銳角三角函數(shù)可求解．
【詳解】解：如圖1，當點E與點F重合時．
在Rt△ABC中，BC=AB2?AC2=52?32=4．
由翻折的性質可知；AE＝AC＝3，DC＝DE，∠ACD＝∠AFD＝90°，則EB＝2．
設DC＝ED＝x，則BD＝4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．
解得：x=32，
∴DE＝32；
如圖2所示：∠EDB＝90°時．
由翻折的性質可知：AC＝AF，∠C＝∠AFD＝90°．
∵∠C＝∠AFD＝∠CDF＝90°，
∴四邊形ACDF為矩形．
又∵AC＝AF，
∴四邊形ACDF為正方形．
∴DF＝3＝CD，
∴DB＝1，
∵tan∠ABC=DBDE=BCAC，
∴1DE=43，
∴DE=34；
當∠DBF＝90°時，
則AC∥BF，
∴AC與BF的距離為BC＝4，
又∵AC＝AF＝3＜4，
故∠DBE不可能為直角．
綜上所述：DE的長為32或34．
【點睛】本題考查了翻折的性質，勾股定理，正方形的判定和性質，銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．
15．（3分）（2022·河南鄭州·一模）如圖，先將矩形紙片ABCD沿EF折疊（AB邊與DE在CF的異側），AE交CF于點G；再將紙片折疊，使CG與AE在同一條直線上，折痕為GH．若∠AEF=α，紙片寬AB=2cm，則HE＝__________cm．
【答案】1sinαcsα
【分析】根據(jù)題意，證明四邊形GHEF是平行四邊形，運用∠AEF的正弦和余弦的關系，求出HE．
【詳解】如圖，分別過G、E作GM⊥HE,EN⊥GH， 垂足分別為M、N
則GM=2
根據(jù)題意，∠AEF=α，因為折疊，則∠FEP=α
∵四邊形ABCD是矩形
∴ GF//HE
∴∠GFE=α
∴GF=GE
同理HE=GE
∴四邊形GHEF是平行四邊形
∴∠GHE=α
∵ EN⊥GH，HE=GE
HN=NG=12HG
∵GMHG=sin∠GHM=sinα
HG=2sinα
Rt△HNE中，HNHE=cs∠NHE=csα
∴HE=HNcsα
=12HGcsα=1sinαcsα=1sinαcsα
故答案為：1sinαcsα．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形，平行四邊形的性質與判定，銳角三角函數(shù)，理解題意作出輔助線，是解題的關鍵．
16．（3分）（2022·廣東·華南師大附中模擬預測）如圖，點D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四邊形BCED的面積為8，tan∠C=7，AC=______．
【答案】5
【分析】過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，設CM=x，則AM=7x，AC=52x=AD，根據(jù)∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=42x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=42x，AE=32x，又四邊形BCED的面積為8，列出方程，解方程再計算即可求解．
【詳解】解：過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，如圖：
∵tan∠ACB=7，
∴AMCM=7，
設CM=x，則AM=7x，
∴AC=AM2+CM2=52x=AD，
∵∠ABM=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM=AM=7x，
∴BC=BM+CM=8x，
在Rt△BCN中，∠NBC=45°，
∴△NBC是等腰直角三角形，
∴CN=22BC=42x，
∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN，
∴△DAE≌△CAN（AAS），
∴DE=CN=42x，
在Rt△DAE中，AE=AD2?DE2=(52x)2?(42x)2=32x，
∵四邊形BCED的面積為8，
∴SΔABC?SΔDAE=8，
∴12BC?AM?12DE?AE=8，即12×8x×7x?12×42x×32x=8，
解得x=22或x=-22（舍去），
∴AC=52x=52×2=5，
故答案為：5．
【點睛】本題考查全等三角形、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形，用含字母的式子表示相關線段的長度．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．（6分）（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)李海務街道辦事處中學九年級階段練習）計算：
(1)4cs30°?3tan60°+2sin45°?cs45°．
(2)24?32tan30°+|3?π|?(?13)?1．
【答案】(1)1?3
(2)6+π
【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可；
（2）先進行算式平方根、正切值、絕對值和負整數(shù)指數(shù)冪運算，再加減運算即可求解．
（1）
解：原式=4×32?3×3+2×22×22
=23?33+1
=1?3；
（2）
解：原式=26?32×33+π?3+3
=26?6+π
=6+π．
【點睛】本題主要考查實數(shù)的混合運算，涉及特殊角的三角函數(shù)、二次根式的混合運算、絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪，熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握運算法則并正確求解是解答的關鍵．
18．（6分）（2022·河北·邢臺市第六中學九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD上BC于點D，若AD=6，BC=12，tanC=32，求：
(1)CD的長
(2)csB的值
【答案】(1)4
(2)45
【分析】（1）直接在Rt△ADC中根據(jù)正切的定義求解即可；
（2）先求出BD的長，再利用勾股定理求出AB的長，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．
（1）
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，tanC=ADCD=32，
∴CD=23AD=4；
（2）
解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=10，
∴csB=BDAB=45．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，正確求出CD的長是解題的關鍵．
19．（8分）（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23．
(1)求CE的長；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)CE=213
(2)∠ADE的余弦為45
【分析】（1）利用正切函數(shù)求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中點F，利用梯形中位線定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函數(shù)的定義即可求解．
（1）
解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23，
∴DECD=23，即DE6=23，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=42+62=213；
（2）
解：取CD的中點F，連接EF，
∵E是AB的中點，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，DE=4，DF=12CD=3，
由勾股定理得EF=5，
∴cs∠DEF=DEEF=45，
∴cs∠ADE=45，
即∠ADE的余弦為45．
【點睛】本題考查了梯形的中位線，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵．
20．（8分）（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學在實施“五項管理”中，將學校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學樓A棟的頂部（如圖所示）該中學數(shù)學活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=210m，AE=8m．
(1)求點B距水平而AE的高度BH．
(2)求宣傳牌CD的高度．（結果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414 ,3≈1.732 ）
【答案】(1)點B距水平面AE的高度BH是2米
(2)廣告牌CD的高度約為2.1米
【分析】（1）根據(jù)山坡AB的坡度為i=1：3，可設BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進行計算即可解答；
（2）過點B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，最后進行計算即可解答．
（1）
解：在Rt△ABH中，
BH：AH=1:3，
∴設BH=a,則AH=3a，
∵AB=210，
由勾股定理得BH=2，
答:點B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）
解：在Rt△ABH中, BH=2，
∴AH =6，
在Rt△ADE中, tan∠DAE=DEAE.，
即DE=tan60 ·AE=83 ，
如圖,過點B作BF⊥CE ,垂足為F，
BF= AH + AE=6+8 =14，
DF= DE- EF= DE- BH =83—2，
在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，
∴ CF= BF= 14,
∴CD=CF- DF =14—（83—2）= 14—83+2≈2.1
答:廣告牌CD的高度約為2.1米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
21．（8分）（2022·山西·孝義市教育科技局教學研究室三模）如圖1是工人用升降機維修路燈的實物圖，圖2是升降機工作示意圖．學習興趣小組計劃通過此示意圖計算路燈AB的高度．他們通過測量和咨詢工人師傅了解到如下信息：路燈AB垂直于地面，機械臂DE=2米，CD=4米，路燈頂部A到工作臺的距離AC=1.5米，車廂上部EF到地面距離為1.5米，∠CDE=75°，∠DEF=55°．根據(jù)上述信息，請你求出路燈AB的高度．（結果精確到0.1米．參考數(shù)值：sin55°≈0.82，cs35°≈0.82，sin20°≈0.34，sin75°≈0.97）
【答案】6米
【分析】過點D作DH⊥AB于點H，過點D作DI⊥EF于點I，解Rt△DEI求得DI的長，根據(jù)題意，求出∠CDH的度數(shù)，再解Rt△CDH，求出CH的長，進而求出路燈AB的高度．
【詳解】解：過點D作DH⊥AB于點H，過點D作DI⊥EF于點I．
在Rt△DEI中，
∵sin∠DEI=DIDE，∠DEF=55°，DE=2米
∴DI=DE·sin55°≈0.82×2=1.64米，
由作圖可得DH∥EF，
∴∠HDE=∠DEI=55°，
∵∠CDE=75°
∴∠CDH=∠CDE?∠HDE=75°?55°=20°，
在Rt△CDH中，
∵sin∠CDH=CHCD，CD=4米
∴CH=CD·sin20°≈0.34×4=1.36米，
∴AB=1.5+1.36+1.64+1.5=6米．
答：路燈AB的高度為6米．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，理解題意，構造合適的直角三角形是解本題的關鍵．
22．（8分）（2022·遼寧葫蘆島·二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是射線DC上一點，F(xiàn)是CE的中點，將線段EF繞點F逆時針旋轉90°得到點GF，連接GE，CG，以CG，CD為鄰邊作?CGHD，連接AE，M是AE的中點．
(1)如圖1，當點E與點D重合時，HM與AE的位置關系是______．
(2)如圖2，當點E與點D不重合，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
(3)當DE=2CE時，連接HE，請直接寫出tan∠GHE的值．
【答案】(1)HM⊥AD
(2)成立，理由見解析
(3)13或15
【分析】（1）由四邊形CGHD是平行四邊形，可得GH∥CD，根據(jù)點E與點D重合，可知AE與AD重合，進而可知M為AD的中點，則DM=12AD，由四邊形ABCD是正方形，可知AD⊥CD，AD=CD，則GH⊥AD，由F為CE的中點，可知DF=EF=12CD，則DM=GF=DF，由旋轉可知：GF=DF，則∠DFG=90°，則AD∥GF，則四邊形GFDM是平行四邊形，進而GM∥CD，由此可知點M在GH上，由此可證明結論；
（2）如圖，連接HA，HE，根據(jù)平四邊形的性質與判定，以及正方形的性質可證△HDA≌△EGH，進而可證明結論成立；
（3）分兩種情況當點E在線段CD上時，連接AH、EH，設直線GH交直線AD于點N，可計算出一種結果，當E在線段DC的延長線上時，連接AH，EH，設直線GH交直線AD與點N，可計算出第二種結果，進行總結即可．
（1）
解：∵四邊形CGHD是平行四邊形，
∴GH∥CD，
∵點E與點D重合，
∴AE與AD重合，
∵M為AE的中點，
∴M為AD的中點，
∴DM=12AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，AD=CD，
∴GH⊥AD，
∵F為CE的中點，
∴DF=EF=12CD，
∴DM=GF=DF，
由旋轉可知：GF=DF，
∠DFG=90°，
∴AD∥GF，
∴四邊形GFDM是平行四邊形，
∴GM∥CD，
∴點M在GH上，
∴HM⊥AD，
即HM⊥AE，
故答案為：HM⊥AE；
（2）
成立，理由如下：
如圖，連接HA，HE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵四邊形CGHD是平行四邊形，
∴HG=DC，HD=GC，∴AD=HG，
由旋轉可知，F(xiàn)E=FG，∠EFG=90°，
∴GF⊥CE，∠GEF=∠EGF=45°，
∵EF=CF，
∴GF垂直平分CD，
∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC=45°，
∵四邊形CGHD是平行四邊形，
∴GH∥CD，DH∥CG，
∴∠EGH=∠GEC=45°，∠HDC=180°?∠GCE=135°，
∵∠ADC=90°，
∴∠HDA=45°，∴∠HDA=∠EGH，
∵HD=GC，GC=GE，
∴HD=GE，∴△HDA≌△EGH，∴HA=HE，
∵MA=ME，
∴HM⊥AE．
（3）
當點E在線段CD上時，如圖甲所示，連接AH、EH，設直線GH交直線AD于點N，
由(2)得△ADH≌△HGE，AD⊥GH，
∴∠GHE=∠DAH，
∴tan∠GHE=tan∠DAH=HNAN，
∵DE=2CE，
∴設CE=m，則DE=2m，
HN=DN=FG=EF=12CE=12m，
∴AD=CD=DE+CE=2m+m=3m，
∴AN=AD-DN=3m-12m=52m，
∴tan∠GHE=HNAN=12m52m=15，
當E在線段DC的延長線上時，如圖乙所示，連接AH，EH，設直線GH交直線AD與點N，
由（2）可得△ADH≌△HE，AD⊥GH，
∴∠GHE=∠DAH，
∴tan∠GHE=tan∠DAH=HNAN；
∵DE=2CE，
設CE=m，則DE=2m-m=m，
∴AN=AD+DN=m+12m=32m，
∴tan∠GHE=HNAN=12m32m=13，
綜上所述，tan∠GHE的值為13或15．

圖甲 圖乙
【點睛】本題考查平行四邊形的性質與判定，正方形的性質，解直角三角形，能夠根據(jù)需要添加合適的輔助線是解決本題的關鍵．
23．（8分）（2022·四川成都·三模）如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，CD∥AB，將△COD以C為旋轉中心，旋轉一定的角度后，得△CEA（點D與點A重合），連接BC．
(1)如圖1，求∠CBE的度數(shù)；
(2)如圖2，F(xiàn)為BC的中點，連接OF，求tan∠FOB的值（保留根號）；
(3)如圖3，F(xiàn)為BC的中點，若BC＝8，M為線段BC上一點，連接OM，若OMBE＝2?1，求證：MF2＝12BD2﹣16tan∠CBD．
【答案】(1)∠CBE=22.5°；
(2)tan∠FOB=2?1．
(3)見解析
【分析】（1）由旋轉的特征和平行線的性質可得∠A=∠OBA=45°，且OC=EC，則∠CBE=∠CBO=12∠OBA，可求得∠CBE的度數(shù)；
（2）先證明OC=OD，再由CD∥AB及∠CBE=∠CBO證明BD=CD，設OC=CD=m，則BD=2m，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得OF=BF，則∠FOB=∠OBC，由tan∠FOB=tan∠OBC求得tan∠FOB的值；
（3）連接DF，先證明DF=MF，∠BFD=90°，設OC=OD=m，由勾股定理列方程求出m2的值，再將BD2用m2表示，最后分別求出MF2的值和12BD2-16tan∠CBD，可證得結論．
（1）解：如圖1，由題意得，點E在AB邊上，∠AOB=90°，由旋轉得，EC=OC，∠AEC=∠DOC=90°，∠A=∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠OBA，∴∠A=∠OBA=45°，∵∠BEC=180°-∠AEC=90°，∴∠BEC=∠BOC=90°，∵BC=BC，EC=OC，∴Rt△BEC≌Rt△BOC（HL），∴∠CBE=∠CBO=12∠OBA=12×45°=22.5°；
（2）解：如圖2，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠OBA=45°，∠OCD=∠A=45°，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴OC=OD，設OC=OD=m，∵∠DCB=∠CBA，∠CBA=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴BD=CD，∴BD2=CD2=OC2+OD2=m2+m2=2m2，∴BD=2m；∵∠BOC=90°，BF=CF，∴OF=12BC=BF，∴∠FOB=∠OBC，∴tan∠FOB=tan∠OBC=OCOB=mm+2m=2?1；
（3）證明：如圖3，連接DF，由（1）得，△BEC≌△BOC，∴BE=BO， ∵OMBE=2?1，∴OMBO=2?1；∵OCBO=2?1，∴OM=OC=OD，由（2）得，OF=BF，∴∠FOD=∠OBC=22.5°，∴∠OFC=∠FOD+∠OBC=45°，∠OMC=∠OCM=90°-∠OBC=90°-22.5°=67.5°，∴∠FOM=∠OMC-∠OFC=67.5°-45°=22.5°，∴∠FOM=∠FOD，∵OF=OF，∴△FOM≌△FOD（SAS），∴MF=DF；∵BD=CD，BF=CF，∴DF⊥BC，∴∠BFD=90°，∵BC=8，∴BF=CF=12BC=4，∴MF2=DF2=BD2-BF2=BD2-42=BD2-16；設OC=OD=m，則∴BD2=CD2=2m2，由OC2+OB2=BC2得，m2+（m+2m）2=82，整理得，m2=32-162，∴MF2=2×（32-162）-16=48-322，∵BD=CD，∴∠CBD=∠OBC，∴tan∠CBD=tan∠OBC=2?1，∴12BD2-16tan∠CBD=12×2m2-16（2?1）=m2-16（2?1）=32-162-16（2?1）=48-322，∴MF2=12BD2-16tan∠CBD．
【點睛】此題考查等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、旋轉的特征、勾股定理以及解直角三角形的有關知識與方法，此題綜合性較強，難度較大．

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