TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16884" 【題型1 事件的判斷】 PAGEREF _Tc16884 \h 1
\l "_Tc16350" 【題型2 概率公式的計(jì)算】 PAGEREF _Tc16350 \h 3
\l "_Tc31867" 【題型3 列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】 PAGEREF _Tc31867 \h 6
\l "_Tc21701" 【題型4 列舉法或樹狀圖求概率（轉(zhuǎn)盤問題）】 PAGEREF _Tc21701 \h 8
\l "_Tc19959" 【題型5 列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】 PAGEREF _Tc19959 \h 11
\l "_Tc5859" 【題型6 列舉法或樹狀圖求概率（放回的摸球問題）】 PAGEREF _Tc5859 \h 13
\l "_Tc11910" 【題型7 列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】 PAGEREF _Tc11910 \h 15
\l "_Tc8347" 【題型8 列舉法或樹狀圖求概率（數(shù)字問題）】 PAGEREF _Tc8347 \h 18
\l "_Tc11987" 【題型9 列舉法或樹狀圖求概率（實(shí)際應(yīng)用問題）】 PAGEREF _Tc11987 \h 20
\l "_Tc26737" 【題型10 利用頻率估計(jì)概率】 PAGEREF _Tc26737 \h 23
\l "_Tc6581" 【題型11 統(tǒng)計(jì)概率綜合】 PAGEREF _Tc6581 \h 26
【知識(shí)點(diǎn)1 必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件】
在一定條件下，有些事件必然會(huì)發(fā)生，這樣得事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會(huì)發(fā)生，這樣得事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會(huì)發(fā)生得事件稱為隨機(jī)事件。
必然事件與不可能事件就是否會(huì)發(fā)生，就是可以事先確定得，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。
【題型1 事件的判斷】
【例1】（2022秋?安次區(qū)校級(jí)月考）下列事件中，滿足隨機(jī)事件且該事件每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等的是（ ）
A．一個(gè)密封的紙箱里有7個(gè)顏色不同的球，從里面隨意摸出一個(gè)球，摸出每個(gè)球的可能性
B．在80個(gè)相同的零件中，檢驗(yàn)員從中取出一個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，取出每件產(chǎn)品的質(zhì)量可能性
C．一枚質(zhì)地均勻的骰子，任意擲一次，1﹣6點(diǎn)數(shù)朝上的可能性
D．小東經(jīng)過任意一個(gè)有紅綠燈的路口，遇到紅、黃和綠指示燈的可能性
【分析】利用隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是否一樣對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、一個(gè)密封的紙箱里有7個(gè)顏色不同的球，從里面隨意摸出一個(gè)球，因?yàn)槠渌再|(zhì)不一定相同，所以摸出每個(gè)球的可能性不一定相同，不符合題意．
B、在80個(gè)相同的零件中，只是種類相同，沒有什么其他性質(zhì)相同，所以取出每件產(chǎn)品的質(zhì)量可能性不一定相同．不符合題意．
C、一枚質(zhì)地均勻的骰子，任意擲一次，1﹣6點(diǎn)數(shù)朝上的可能性相同，這個(gè)事件滿足是隨機(jī)事件且該事件每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等，符合題意
D、小東經(jīng)過任意一個(gè)有紅綠燈的路口，遇到紅、黃和綠指示燈的可能性不一定相同，因?yàn)槊糠N燈的時(shí)間可能不同，不符合題意．
故選：C．
【變式1-1】（2022秋?安次區(qū)校級(jí)月考）下列說法中，正確的是（ ）
A．生活中，如果一個(gè)事件不是不可能事件，那么它就必然發(fā)生
B．生活中，如果一個(gè)事件可能發(fā)生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一個(gè)事件發(fā)生的可能性很大，那么它也可能不發(fā)生
D．生活中，如果一個(gè)事件不是必然事件，那么它就不可能發(fā)生
【分析】根據(jù)事件的分類對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、生活中，如果一個(gè)事件不是不可能事件，那么它就必然不發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、生活中，如果一個(gè)事件可能發(fā)生，那么它是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、生活中，如果一個(gè)事件發(fā)生的可能性很大，那么它也可能不發(fā)生，故本選項(xiàng)正確；
D、生活中，如果一個(gè)事件不是必然事件，那么它就可能發(fā)生也可能不發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【變式1-2】（2022?武昌區(qū)模擬）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．?dāng)S一次骰子，向上一面的數(shù)字是3
B．通常溫度降到0℃以下，純凈水結(jié)冰
C．度量一個(gè)三角形的內(nèi)角的度數(shù)，其和為360°
D．某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)的概率為1100，小明買100張獎(jiǎng)券，可能會(huì)中獎(jiǎng)
【分析】事件的可能性主要看事件的類型，事件的類型決定了可能性及可能性的大?。?br>【解答】解：A、擲一次骰子，向上一面的數(shù)字是3，是可能事件；
B、通常溫度降到0℃以下，純凈水結(jié)冰，是必然事件；
C、度量一個(gè)三角形的內(nèi)角的度數(shù)，其和為360°，是不可能事件；
D、某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)的概率為1100，小明買100張獎(jiǎng)券，可能會(huì)中獎(jiǎng)，是可能事件．
故選：C．
【變式1-3】（2022?蘭考縣二模）下列說法正確的是（ ）
A．“任意畫一個(gè)矩形是軸對(duì)稱圖形”是不可能事件
B．“一名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次正中靶心”是必然事件
C．“明天會(huì)下雨”是隨機(jī)事件
D．“兩個(gè)整數(shù)的和一定大于0”是必然事件
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，即可解答．
【解答】解：A、“任意畫一個(gè)矩形是軸對(duì)稱圖形”是必然事件，故A不符合題意；
B、“一名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次正中靶心”是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、“明天會(huì)下雨”是隨機(jī)事件，故C符合題意；
D、“兩個(gè)整數(shù)的和一定大于0”是隨機(jī)事件，故D不符合題意；
故選：C．
【知識(shí)點(diǎn)2 概率】
一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小得數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生得概率，記作P（A）。
一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能得結(jié)果，并且它們發(fā)生得可能性都相等，事件A包含其中得m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生得概率P（A）=。由m與n得含義可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、
當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）=0、
【題型2 概率公式的計(jì)算】
【例2】（2022?花溪區(qū)模擬）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，則P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中，任選一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的概率是（ ）
A．14B．12C．34D．1
【分析】找到符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P的位置可以是P1，P2兩個(gè)，
∴從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P的概率是24=12，
故選：B．
【變式2-1】（2022?成都模擬）有五張正面分別標(biāo)有數(shù)﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數(shù)記為a，則使關(guān)于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整數(shù)的概率 25 ．
【分析】將原方程整理可得ax＝4，從而得出當(dāng)a＝1、4時(shí)，方程的解為正整數(shù)，再根據(jù)概率公示擬求解可得．
【解答】解：將原方程整理可得ax＝4，
∴當(dāng)a＝1、4時(shí)，方程的解為正整數(shù)，
∴使關(guān)于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整數(shù)的概率為25，
故答案為：25．
【變式2-2】（2022春?肇東市期末）擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，觀察向下的一面的點(diǎn)數(shù)，求下列事件的概率：
（1）點(diǎn)數(shù)為2；
（2）點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；
（3）點(diǎn)數(shù)大于2且小于6．
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：
1、全部情況的總數(shù)；
2、符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解答】解：（1）P（點(diǎn)數(shù)為2）=16；
（2）點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的有3種可能，即點(diǎn)數(shù)為1，3，5，則P（點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)）=36=12；
（3）點(diǎn)數(shù)大于2且小于6的有3種可能，即點(diǎn)數(shù)為3，4，5，
則P（點(diǎn)數(shù)大于2且小于6）=36=12．
【變式2-3】（2022?文山州模擬）這是一個(gè)古老的傳說，講一個(gè)犯人利用概率來增加他得到寬恕的機(jī)會(huì)．給他兩個(gè)碗，一個(gè)里面裝著5個(gè)黑球，另一個(gè)里面裝著除顏色不同外其它都一樣的5個(gè)白球．把他的眼睛蒙著，然后要選擇一個(gè)碗，并從里面拿出一個(gè)球，如果他拿的是黑球就要繼續(xù)關(guān)在監(jiān)獄里面，如果他拿的是白球，就將獲得自由．在蒙住眼睛之前允許他把球混合，重新分裝在兩個(gè)碗內(nèi)（兩個(gè)碗球數(shù)可以不同）．你能設(shè)想一下這個(gè)犯人怎么做，使得自己獲得自由的機(jī)會(huì)最大？則犯人獲得自由的最大機(jī)會(huì)是（ ）
A．12B．23C．35D．1318
【分析】可以先將所有的球放入一個(gè)碗，再拿出一個(gè)白球放在另一個(gè)碗里．這樣，他選擇只有一個(gè)白球的碗的概率是12，如果他選擇錯(cuò)了碗，將還有49的概率從另一個(gè)碗里摸到白球，從而使自己獲得自由的概率最大．
【解答】解：可以先將所有的球放入一個(gè)碗，再拿出一個(gè)白球放在另一個(gè)碗里．這樣，他若選擇只有一個(gè)白球的碗獲得自由的概率1，如果他選擇錯(cuò)了碗，從另一個(gè)碗里摸到白球的概率是49，從而所以獲得自由的概率最大是12(1+49)=1318．
故選：D．
【知識(shí)點(diǎn)3 用列表法求概率】
當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)得結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常用列表法。
列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生得可能得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。
【知識(shí)點(diǎn)4 用樹狀圖求概率】
當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多得因素時(shí)，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。
（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時(shí)求概率得方法。
（2）在用列表法與樹形圖法求隨機(jī)事件得概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)得可能性務(wù)必相同。
【題型3 列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】
【例3】（2022?蘭考縣二模）現(xiàn)有A、B兩個(gè)不透明的盒子，A盒里有兩張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，B盒里有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5，這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將卡片充分搖勻．從A盒、B盒里各隨機(jī)抽取一張卡片，則抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的概率為（ ）
A．56B．12C．13D．16
【分析】畫出樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的有3種情況，再由概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的有3種情況，
∴兩次抽取的卡片上數(shù)字之和大于5的概率為36=12，
故選：B．
【變式3-1】（2022?肇東市校級(jí)一模）現(xiàn)有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，2，3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m，n，則點(diǎn)P（m，n）在第二象限的概率為（ ）
A．12B．13C．23D．29
【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，利用第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定點(diǎn)P（m，n）在第二象限的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點(diǎn)P（m，n）在第二象限的結(jié)果數(shù)為2，
所以點(diǎn)P（m，n）在第二象限的概率=29；
故選：D．
【變式3-2】（2022?寧夏）喜迎黨的二十大召開，學(xué)校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》．甲、乙同學(xué)用抽卡片的方式?jīng)Q定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是上述影片劇照，除此之外完全相同．將這四張卡片背面朝上，甲隨機(jī)抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機(jī)抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是 14 ．
【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片劇照《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》的四張卡片分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，
∴甲、乙兩人恰好抽到同一部的概率為416=14，
故答案為：14．
【變式3-3】（2022?新野縣一模）現(xiàn)有四張完全相同的卡片，在正面分別標(biāo)有數(shù)字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗勻，然后從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的概率是（ ）
A．712B．13C．12D．16
【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的結(jié)果有6種，
∴這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的概率是612=12，
故選：C．
【題型4 列舉法或樹狀圖求概率（轉(zhuǎn)盤問題）】
【例2】（2022?海港區(qū)模擬）如圖，是兩個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤，同時(shí)旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的概率是（ ）
A．34B．14C．38D．18
【分析】用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，再從中找出兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率．
【解答】解：用列表法表示所有空白出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：
共有8種能可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的有3種，
所以兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的概率為38，
故選：C．
【變式4-1】（2022?安徽模擬）如圖是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，連續(xù)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次（如果落在分隔線上，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)，直至轉(zhuǎn)到其中一塊區(qū)域），則兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（ ）
A．19B．16C．14D．13
【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：如圖，把分隔線上方的兩個(gè)扇形記為A、B，下方的半圓分成兩個(gè)小扇形記為C、D，
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有4種，
∴兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率為416=14，
故選：C．
【變式4-2】（2022?鹽城校級(jí)模擬）如圖所示，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被3等分，指針落在每個(gè)扇形內(nèi)的機(jī)會(huì)均等．
（1）現(xiàn)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向2的概率為 13 ；
（2）小明和小華利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，若采用下列游戲規(guī)則，你認(rèn)為對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．
游戲規(guī)則：隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字，若兩數(shù)之積為偶數(shù)，則小明勝；否則小華勝．
【分析】（1）三個(gè)等可能的情況中出現(xiàn)3的情況有一種，求出概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，求出兩人獲勝的概率，比較即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向3的概率為13；
故答案為：13；
（2）列表得：
所有等可能的情況有9種，其中兩數(shù)之積為偶數(shù)的情況有5種，之積為奇數(shù)的情況有4種，
∴P（小明獲勝）=59，P（小華獲勝）=49，
∵59＞49，
∴該游戲不公平．
【變式4-3】（2022?沈河區(qū)一模）如圖是甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，其中甲轉(zhuǎn)盤被分成四個(gè)面積相等的扇形，乙轉(zhuǎn)盤被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)以時(shí)，如指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域?yàn)橹梗?br>（1）轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤時(shí)指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是 12 ．
（2）請(qǐng)用樹狀圖或列表法求分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次得到的兩個(gè)數(shù)字之和為5的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤時(shí)指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是24=12，
故答案為：12；
（2）列表如下：
由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次得到的兩個(gè)數(shù)字之和為5的有3種結(jié)果，
∴轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次得到的兩個(gè)數(shù)字之和為5的概率為312=14．
【題型5 列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】
【例5】（2022?武漢模擬）甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)小球（除標(biāo)號(hào)外無其他差異）．從口袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)．若兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為奇數(shù)，則甲獲勝；若兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)，則乙獲勝．乙獲勝的概率是（ ）
A．112B．16C．12D．56
【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)的結(jié)果有10種，
∴乙獲勝的概率=1012=56，
故選：D．
【變式5-1】（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）不透明的袋子中裝了2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球，摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為 13 ．
【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的結(jié)果有4種，
∴摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為412=13，
故答案為：13．
【變式5-2】（2022秋?中原區(qū)校級(jí)期末）將分別標(biāo)有“鄭”“州”“加”“油”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻隨機(jī)摸出一球，不放回；再隨機(jī)摸出一球．兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的概率是（ ）
A．18B．16C．14D．12
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再依據(jù)概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：列表如下：
由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的有2種結(jié)果，
∴兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的概率為212=16．
故選：B．
【變式5-3】（2022?泌陽縣四模）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中有3個(gè)小球是白色的，2個(gè)小球是紅色的，1個(gè)小球是黑色的，那么不放回連續(xù)取出兩個(gè)小球都是白色的概率為（ ）
A．15B．14C．13D．12
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有30種等可能結(jié)果，其中取出兩個(gè)小球都是白色的有6種結(jié)果，
所以取出兩個(gè)小球都是白色的概率為630=15，
故選：A．
【題型6 列舉法或樹狀圖求概率（放回的摸球問題）】
【例6】（2022?同安區(qū)二模）小林和小華在進(jìn)行摸球游戲．在不透明的袋子里有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的小球，這些小球除數(shù)字外完全一樣．小林先摸，將摸到的小球數(shù)字記為m，然后將小球放回．再由小華摸球，小華摸到的小球數(shù)字記為n．如果m，n滿足|m﹣n|≤1，就稱小林、小華兩人“心有靈犀”．則小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是（ ）
A．14B．38C．12D．58
【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出小林、小華兩人“心有靈犀”的概率．
【解答】解：樹狀圖如下所示，
由上可得，一共有16種可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10種，
∴小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是1016=58，
故選：D．
【變式6-1】（2022?宛城區(qū)一模）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回?cái)噭?，再從中摸出?個(gè)球．則兩次摸出的球顏色相同的概率是（ ）
A．59B．49C．13D．19
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次摸出的球顏色相同的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：
所有可能的結(jié)果有9種，兩次摸出顏色相同球的結(jié)果有5種；
則兩次摸出的球顏色相同的概率是59；
故選：A．
【變式6-2】（2022?西工區(qū)模擬）將分別標(biāo)有“精”“準(zhǔn)”“扶”“貧”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字外無其它差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機(jī)摸出一球，放回后；再隨機(jī)摸出一球，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率是（ ）
A．14B．16C．18D．116
【分析】畫樹狀圖，共有16個(gè)等可能的結(jié)果，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的結(jié)果有2個(gè)，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如圖：
共有16個(gè)等可能的結(jié)果，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的結(jié)果有2個(gè)，
∴兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率為216=18，
故選：C．
【變式6-3】（2022春?鄲城縣校級(jí)月考）一個(gè)不透明的盒子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共4個(gè)，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個(gè)，藍(lán)球有1個(gè)．小明從盒子里隨機(jī)摸出1個(gè)小球，然后放回?fù)u勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)，則兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的概率是（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的結(jié)果數(shù)是4，
所以兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的概率是416=14；
故選：C．
【題型7 列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】
【例7】（2022?武漢模擬）如圖，電路圖上有三個(gè)開關(guān)S1，S2，S3和兩個(gè)小燈泡L1，L2，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是（ ）
A．12B．14C．23D．13
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L2發(fā)光的2種，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖得：
共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)為2，
∴能讓燈泡L2發(fā)光的概率為：26=13．
故選：D．
【變式7-1】（2022?海勃灣區(qū)校級(jí)一模）如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A，B，C，D和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)A，B或同時(shí)閉合開關(guān)C，D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為（ ）
A．12B．13C．23D．14
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有4種情況，
∴小燈泡發(fā)光的概率為412=13；
故選：B．
【變式7-2】（2022?煙臺(tái)模擬）如圖，電路圖中，當(dāng)隨機(jī)閉合S1、S2、S3、S4、S5中的兩個(gè)開關(guān)時(shí)，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為 25 ．
【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把S1、S2、S3、S4、S55個(gè)開關(guān)分別記為A、B、C、D、E，
畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種，
∴能夠讓燈泡發(fā)光的概率為820=25，
故答案為：25．
【變式7-3】（2022?商水縣三模）如圖電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3，S4中的兩個(gè)，能夠點(diǎn)亮燈泡的概率為 ．
【分析】用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出能夠“點(diǎn)亮燈泡”的情況數(shù)，進(jìn)而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的情況如下：
共有12種可能出現(xiàn)的情況，其中能夠點(diǎn)亮燈泡的有8種，
∴P（點(diǎn)亮燈泡）=812=23，
故答案為：23．
【題型8 列舉法或樹狀圖求概率（數(shù)字問題）】
【例8】（2022秋?恩施市期末）從﹣2、﹣1、0三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率（ ）
A．13B．12C．1D．23
【分析】畫樹狀圖，共有6個(gè)等可能的結(jié)果，其中該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有4個(gè)，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如圖：
共有6個(gè)等可能的結(jié)果，其中該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有4個(gè)，
∴該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率為46=23，
故選：D．
【變式8-1】（2022?常德）從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（ ）
A．15B．25C．35D．45
【分析】畫樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果，再從中找出兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的結(jié)果，即可求出概率．
【解答】解：畫樹狀圖如圖：
∴共有20種等可能的結(jié)果，
其中兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8種，
∴這五個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率為820=25．
故選：B．
【變式8-2】（2022?港北區(qū)二模）從1、2、3三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，c，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實(shí)數(shù)根的概率為（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，再找出滿足Δ＝16﹣4ac≤0的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中滿足Δ＝16﹣4ac≤0，即ac≥4的結(jié)果有（2，3）、（3，2）這2種結(jié)果，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實(shí)數(shù)根的概率為26=13，
故選：B．
【變式8-3】（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）從3至8的6個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互素的概率是 710 ．
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有30種等可能結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)互素的有21種結(jié)果，
所以這2個(gè)數(shù)互素的概率為2130=710，
故答案為：710．
【題型9 列舉法或樹狀圖求概率（實(shí)際應(yīng)用問題）】
【例9】（2022?武漢）班長邀請(qǐng)A，B，C，D四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班長坐在⑤號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座位，則A，B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．23
【分析】畫樹狀圖展示所有24種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出A，B兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：畫樹狀圖為：
4個(gè)A中每個(gè)各有6種等可能的結(jié)果數(shù)，共有24種等可能的結(jié)果數(shù)，其中A，B兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果數(shù)為12，
故A，B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是1224=12．
故選：C．
【變式9-1】（2022?海淀區(qū)二模）“宮商角徵羽”是中國古樂的五個(gè)基本音階（相當(dāng)于西樂的1，2，3，5，6），是采用“三分損益法”通過數(shù)學(xué)方法獲得．現(xiàn)有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A處沿軌道進(jìn)入小洞就可以發(fā)出相應(yīng)的聲音，且小球進(jìn)入每個(gè)小洞的可能性大小相同．現(xiàn)有一個(gè)音樂小球從A處先后兩次進(jìn)入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是（ ）
A．125B．110C．15D．25
【分析】畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：
共有25種等可能的情況數(shù)，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的有1種，
則先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是125．
故選：A．
【變式9-2】（2022?安慶模擬）某市中考體育項(xiàng)目有：中長跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位體前屈、立定跳遠(yuǎn)、一分鐘跳繩、擲實(shí)心球、籃球運(yùn)球、足球運(yùn)球，其中中長跑設(shè)定為必考項(xiàng)目，考生可以在余下六個(gè)項(xiàng)目中自主選擇2個(gè)不同的項(xiàng)目進(jìn)行考試，則恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的概率是（ ）
A．13B．136C．130D．115
【分析】畫樹狀圖，共有30種等可能的結(jié)果，其中恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把坐位體前屈、立定跳遠(yuǎn)、一分鐘跳繩、擲實(shí)心球、籃球運(yùn)球、足球運(yùn)球六個(gè)項(xiàng)目分別記為①、②、③、④、⑤、⑥，
畫樹狀圖如下：
共有30種等可能的結(jié)果，其中恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的結(jié)果有2種，
∴恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的概率為230=115，
故選：D．
【變式9-3】（2022?青山區(qū)模擬）把三張形狀、大小相同但畫面不同的風(fēng)景圖片都按同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻，從三堆圖片中隨機(jī)各抽出一張，則這三張圖片恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的概率為（ ）
A．127B．227C．19D．13
【分析】把三張風(fēng)景圖片用A、B、C來表示，根據(jù)題意畫樹形圖，數(shù)出可能出現(xiàn)的結(jié)果利用概率公式即可得出答案．
【解答】解：把三張風(fēng)景圖片用A、B、C來表示，
根據(jù)題意畫如下的樹形圖：
從樹形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有27種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．
其中恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的有3種，
所以這三張圖片恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的概率為327=19；
故選：C．
【題型10 利用頻率估計(jì)概率】
【例10】（2022春?廣陵區(qū)校級(jí)期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)相同的紅球，為了用估計(jì)袋中紅球的數(shù)量，八（1）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室分組做摸球試驗(yàn)：每組先將10個(gè)與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是這次活動(dòng)統(tǒng)計(jì)匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：
（1）按表格數(shù)據(jù)格式，表中的a＝ 123 ；b＝ 0.404 ；
（2）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近 0.4 （精確到0.1）；
（3）請(qǐng)推算：摸到紅球的概率是 0.6 （精確到0.1）；
（4）試估算：這一個(gè)不透明的口袋中紅球有 15 只．
【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷樣本總數(shù)分別求得a、b的值即可；
（2）從表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右；
（3）摸到紅球的概率為1﹣0.4＝0.6；
（4）根據(jù)紅球的概率公式得到相應(yīng)方程求解即可；
【解答】解：（1）a＝300×0.41＝123，b＝606÷1500＝0.404；
（2）當(dāng)次數(shù)s很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.40；
（3）摸到紅球的概率是1﹣0.4＝0.6；
（4）設(shè)紅球有x個(gè)，根據(jù)題意得：xx+10=0.6，
解得：x＝15；
故答案為：123，0.404；0.4；0.6；15．
【變式10-1】（2022春?順德區(qū)校級(jí)期末）小明做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）實(shí)驗(yàn)，共做了100次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下：
（1）計(jì)算“4點(diǎn)朝上”的頻率．
（2）小明說：“根據(jù)實(shí)驗(yàn)，一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)3點(diǎn)朝上的概率最大”．他的說法正確嗎？為什么？
（3）小明投擲一枚骰子，計(jì)算投擲點(diǎn)數(shù)小于3的概率．
【分析】（1）由共做了100次實(shí)驗(yàn)，“4點(diǎn)朝上”的次數(shù)為16，即可求得“4點(diǎn)朝上”的頻率．
（2）由一次實(shí)驗(yàn)中的頻率不能等于概率，可得這位同學(xué)的說法不正確；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）“4點(diǎn)朝上”的頻率為16100=0.16；
（2）小明的說法錯(cuò)誤；
因?yàn)橹挥挟?dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí)，該事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近；
（3）P（點(diǎn)數(shù)小于3）=26=13．
【變式10-2】（2022秋?溧水區(qū)期末）某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
（1）計(jì)算并完成表格：
（2）請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近 0.7 （精確到0.1）
（3）假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是 0.7 ，理由是： 用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確 ．
【分析】（1）根據(jù)頻率的算法，頻率=頻數(shù)總數(shù)，可得各個(gè)頻率；填空即可；
（2）根據(jù)頻率的定義，可得當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近其概率；
（3）根據(jù)概率的求法計(jì)算即可．
【解答】解：（1）填表如下：
（2）當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近（67+145+357+552+704+1396）÷（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，
故答案為：0.7；
（3）獲得鉛筆的概率約是0.7，理由是：用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．
【變式10-3】（2022春?淮安區(qū)期中）某班“紅領(lǐng)巾義賣”活動(dòng)中設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤．規(guī)定：顧客購物20元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．下表是此次活動(dòng)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
（1）完成上述表格：a＝ 295 ；b＝ 0.745 ；
（2）請(qǐng)估計(jì)當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近 0.6 ，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“書畫作品”的概率約是 0.6 ；（結(jié)果全部精確到0.1）
（3）如果要使獲得“手工作品”的可能性大于獲得“書畫作品”的可能性，則表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加是多少度？
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得a和b的值；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)頻率是多少以及轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，獲得“書畫作品”的概率；
（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖和表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加的度數(shù)．
【解答】解：（1）由題意可得，
a＝500×0.59＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案為：295，0.745；
（2）由表格中的數(shù)據(jù)可得，
當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近0.6，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“書畫作品”的概率約是0.6，
故答案為：0.6，0.6；
（3）由題意可得，
要使獲得“手工作品”的可能性大于獲得“書畫作品”的可能性，則表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加：360°×0.5﹣360°×0.4＝36°，
即要使獲得“手工作品”的可能性大于獲得“書畫作品”的可能性，則表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加36度．
【題型11 統(tǒng)計(jì)概率綜合】
【例11】（2022?平邑縣一模）某校初三（1）班部分同學(xué)接受一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動(dòng)，收集整理數(shù)據(jù)后，老師將減壓方式分為五類，并繪制了圖1、圖2兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問題．
（1）初三（1）班接受調(diào)查的同學(xué)共有多少名；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中的“體育活動(dòng)C”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（3）若喜歡“交流談心”的5名同學(xué)中有三名男生和兩名女生；老師想從5名同學(xué)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交流，直接寫出選取的兩名同學(xué)都是女生的概率．
【分析】（1）利用“享受美食”的人數(shù)除以所占的百分比計(jì)算即可得解；
（2）求出聽音樂的人數(shù)即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；由C的人數(shù)即可得到所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出兩名同學(xué)都是女生的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
解：
（1）由題意可得總?cè)藬?shù)為10÷20%＝50名；
（2）聽音樂的人數(shù)為50﹣10﹣15﹣5﹣8＝12名，“體育活動(dòng)C”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)＝360°×1550=108°，
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖得：
（3）畫樹狀圖得：
∵共有20種等可能的結(jié)果，選出都是女生的有2種情況，
∴選取的兩名同學(xué)都是女生的概率=220=110．
【變式11-1】（2022?鳳山縣模擬）今年5月份，某校九年級(jí)學(xué)生參加了中考體育考試，為了了解該校九年級(jí)（1）班同學(xué)的中考體育情況，對(duì)全班學(xué)生的中考體育成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：
（1）求全班學(xué)生人數(shù)和m的值；
（2）直接寫出該班學(xué)生的中考體育成績(jī)的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段；
（3）該班中考體育成績(jī)滿分共有3人，其中男生1人，女生2人．現(xiàn)需從這3人中隨機(jī)選取2人到八年級(jí)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流，請(qǐng)用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出恰好選到一男一女的概率．
【分析】（1）利用C分?jǐn)?shù)段所占比例以及其頻數(shù)求出總數(shù)即可，進(jìn)而得出m的值；
（2）利用中位數(shù)的定義得出中位數(shù)的位置；
（3）利用列表或畫樹狀圖列舉出所有的可能，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）由題意可得：全班學(xué)生人數(shù)：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；
（2）∵全班學(xué)生人數(shù)：50人，
∴第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，
∴中位數(shù)落在51≤x＜56分?jǐn)?shù)段；
（3）如圖所示：將女生分別標(biāo)記為A1，A2，男生標(biāo)記為B1
P（一男一女）=46=23．
【變式11-2】（2022?永安市模擬）墊球是排球隊(duì)常規(guī)訓(xùn)練的重要項(xiàng)目之一．下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人每人十次墊球測(cè)試的成績(jī)．測(cè)試規(guī)則為每次連續(xù)接球10個(gè)，每墊球到位1個(gè)記1分．
運(yùn)動(dòng)員丙測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
（1）若運(yùn)動(dòng)員丙測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和眾數(shù)都是7，則成績(jī)表中的a＝ 7 ，b＝ 7 ；
（2）若在他們?nèi)酥羞x擇一位墊球成績(jī)優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人，你認(rèn)為選誰更合適？請(qǐng)用你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)量加以分析說明（參考數(shù)據(jù)：三人成績(jī)的方差分別為S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之間進(jìn)行墊球練習(xí)，每個(gè)人的球都等可能的傳給其他兩人，球最先從乙手中傳出，第二輪結(jié)束時(shí)球又回到乙手中的概率是多少？（用樹狀圖或列表法解答）
【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、得到a、b中至少有一個(gè)為7，再根據(jù)平均數(shù)進(jìn)而確定a＝b＝7；
（2）求出甲、乙、丙的平均數(shù)、眾數(shù)，通過平均數(shù)、眾數(shù)比較得出乙、丙較好，再根據(jù)方差，得出乙的成績(jī)較好，較穩(wěn)定．
（3）用樹狀圖表示所有可能的情況，從中得出第二輪又回到乙手中的概率．
【解答】解：（1）由眾數(shù)的意義可知，a、b中至少有一個(gè)為7，又平均數(shù)是7，即（56+a+b）÷10＝7，
因此，a＝7，b＝7，
故答案為：7，7；
（2）甲的平均數(shù)為：x甲=5×2+6×4+7×3+810=6.3分，眾數(shù)是6分，
乙的平均數(shù)為：x乙=6×2+7×6+8×210=7分，眾數(shù)為7分，
丙的平均數(shù)為：x丙＝7分，眾數(shù)為7分，
從平均數(shù)上看，乙、丙的較高，從眾數(shù)上看乙、丙較高，
但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，
因此，綜合考慮，選乙更合適．
（3）樹狀圖如圖所示：
∴第二輪結(jié)束時(shí)球又回到乙手中的概率P=24=12．
【變式11-3】（2022?岱岳區(qū)三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革領(lǐng)導(dǎo)小組第十次會(huì)議上，審議通過了《中國足球改革總體方案》，體制改革、聯(lián)賽改革、校園足球等成為改革的亮點(diǎn)．在聯(lián)賽方面，作為國內(nèi)最高水平的聯(lián)賽﹣﹣中國足球超級(jí)聯(lián)賽今年已經(jīng)進(jìn)入第12個(gè)年頭，中超聯(lián)賽已經(jīng)引起了世界的關(guān)注．圖9是某一年截止倒數(shù)第二輪比賽各隊(duì)的積分統(tǒng)計(jì)圖．
（1）根據(jù)圖，請(qǐng)計(jì)算該年有 16 支中超球隊(duì)參賽；
（2）補(bǔ)全圖一中的條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）根據(jù)足球比賽規(guī)則，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，最后得分最高者為冠軍．倒數(shù)第二輪比賽后積分位于前4名的分別是A隊(duì)49分，B隊(duì)49分，C隊(duì)48分，D隊(duì)45分．在最后一輪的比賽中，他們分別和第4名以后的球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知在已經(jīng)結(jié)束的一場(chǎng)比賽中，A隊(duì)和對(duì)手打平．請(qǐng)用列表或者畫樹狀圖的方法，計(jì)算C隊(duì)奪得冠軍的概率是多少？
【分析】根據(jù)題意列表得出A、B、C、D四個(gè)隊(duì)與第4名以后的球隊(duì)進(jìn)行比賽所有得分結(jié)果，由表格中體現(xiàn)的所有情況，選出符合題意C隊(duì)獲勝的情況的情況總數(shù)，從而估算出C隊(duì)獲勝的概率．
【解答】解：（1）4÷25%＝16（支），
答：該年有16支中超球隊(duì)參賽；
故答案為：16；
（2）積分為39.5﹣44.5的球隊(duì)為16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；
（3）依題意列表格：
由表格得到共有如下27種比賽積分結(jié)果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；
（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；
（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A隊(duì)打平，C隊(duì)獲勝的情況恰有6種，
故P（C隊(duì)獲勝）=627=29．

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7

鄭
州
加
油
鄭
（州，鄭）
（加，鄭）
（油，鄭）
州
（鄭，州）
（加，州）
（油，州）
加
（鄭，加）
（州，加）
（油，加）
油
（鄭，油）
（州，油）
（加，油）
白
白
白
紅
紅
黑
白
（白，白）
（白，白）
（紅，白）
（紅，白）
（黑，白）
白
（白，白）
（白，白）
（紅，白）
（紅，白）
（黑，白）
白
（白，白）
（白，白）
（紅，白）
（紅，白）
（黑，白）
紅
（白，紅）
（白，紅）
（白，紅）
（紅，紅）
（黑，紅）
紅
（白，紅）
（白，紅）
（白，紅）
（紅，紅）
（黑，紅）
黑
（白，黑）
（白，黑）
（白，黑）
（紅，黑）
（紅，黑）
3
4
5
6
7
8
3
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（7，3）
（8，3）
4
（3，4）
（5，4）
（6，4）
（7，4）
（8，4）
5
（3，5）
（4，5）
（6，5）
（7，5）
（8，5）
6
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（7，6）
（8，6）
7
（3，7）
（4，7）
（5，7）
（6，7）
（8，7）
8
（3，8）
（4，8）
（5，8）
（6，8）
（7，8）
摸球的次數(shù)s
150
300
600
900
1200
1500
摸到白球的頻數(shù)n
63
a
247
365
484
606
摸到白球的頻率ns
0.420
0.410
0.412
0.406
0.403
b
朝上的點(diǎn)數(shù)
1
2
3
4
5
6
出現(xiàn)的次數(shù)
14
15
23
16
20
12
轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
200
500
800
1000
2000
落在“鉛筆”的次數(shù)m
67
145
357
552
704
1396
落在“鉛筆”的頻率mn
0.670
0.725
0.714
0.690
0.704

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
200
500
800
1000
2000
落在“鉛筆”的次數(shù)m
67
145
357
552
704
1396
落在“鉛筆”的頻率mn
0.670
0.725
0.714
0.690
0.704
0.698
轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n
100
200
300
400
500
1000
落在“書畫作品”區(qū)域的次數(shù)m
60
122
180
298
a
604
落在“書畫作品”區(qū)域的頻率mn
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
分組
分?jǐn)?shù)段（分）
頻數(shù)
A
36≤x＜41
2
B
41≤x＜46
5
C
46≤x＜51
15
D
51≤x＜56
m
E
56≤x＜61
10
A1
A2
B1
A1
（A1，A2）
（A1，B1）
A2
（A2，A1）
（A2，B1）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）
測(cè)試序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成績(jī)（分）
7
6
8
b
7
5
8
a
8
7

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