參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC
C．APAB=ABACD．ABBP=ACCB
【答案】D
【詳解】解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．當(dāng)APAB=ABAC時(shí)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
2．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，以下說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．△ABC～△A'B'C'B．點(diǎn)C，O，C'在同一直線上
C．AO:AA'=1:2D．AB∥A'B'
【答案】C
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得．
【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC～△A'B'C'、點(diǎn)C,O,C'在同一直線上、AB∥A'B'、AO:OA'=1:2，
∴AO:AA'=1:3，
即選項(xiàng)A、B、D說法正確，選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【答案】D
【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．
【詳解】如圖：由題意可知，DM=3，BC=3，
∴DM=BC，
而DM∥BC，
∴四邊形DCBM為平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴C△ABEC△CDE=ABCD=22+4212+22=255=21．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．
4．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段AB上一點(diǎn)（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長(zhǎng)度為10cm，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），求葉柄BP的長(zhǎng)度．設(shè)BP=xcm，則符合題意的方程是（ ）
A．10?x2=10xB．x2=1010?xC．x10?x=102D．101?x2=10?x
【答案】A
【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)即可求解．
【詳解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)，
∴APAB=BPAP，
∴AP2=AB?BP，
∴(10?x)2=10x，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點(diǎn)列一元二次方程的知識(shí)，依據(jù)APAB=BPAP得到AP2=AB?BP是解答本題關(guān)鍵．
5．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．
【詳解】解：已知每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠CDE，
BC=DC=2，
∴ABBC=12=22，BCDE=22，
∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC為等腰三角形，則△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，對(duì)應(yīng)角不相等，所以不相似；
D：CDCD=1，BDDE=23，
∴CDCD≠BDDE，所以不相似．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．
6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（ ）
A．10+7或5+27B．15C．10+7D．15+37
【答案】A
【分析】判斷未知邊m、n是直角三角形的直角邊還是斜邊，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出m、n的值，最后根據(jù)題目中兩個(gè)三角形不相似，對(duì)應(yīng)邊的比值不同進(jìn)行判斷．
【詳解】解：在第一個(gè)直接三角形中，若m是直角邊，則m=42?32=7，
若m是斜邊，則m=42+32=5；
在第二個(gè)直接三角形中，若n是直角邊，則n=82?62=28=27，
若n是斜邊，則n=82+62=10；
又因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7 和n=27不能同時(shí)取，
即當(dāng)m=5，n=27，m+n=5+27，
當(dāng)m=7，n=10，m+n=10+7，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，在直角三角形中對(duì)未知邊是直角邊還是斜邊進(jìn)行不同情況的討論是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE=1，則EC=（ ）
A．32B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=ADDC=12，再根據(jù)O是BD的中點(diǎn)，可得BE=EF，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于F，如圖，
∵OE∥DF，
∴BEEF=BOOD，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵DF∥AE，
∴EFFC=ADDC=12，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．過分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．
8．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點(diǎn)F．EG∥BC，交AD于點(diǎn)G．GF=1，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．6C．10D．12
【答案】D
【分析】首先根據(jù)GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)得出結(jié)果．
【詳解】解：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，
∴AGAD=GECD=AEAC=12 ，
∴GEBD=GFDF,
又∵BD=CD，
∴GFDF=12，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2AD=12，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．
9．（3分）（2022·廣西·來賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB； ②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=SΔABF；其中正確的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】證明四邊形ABDE為平行四邊形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根據(jù)三角形中位線定理可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定可得△ABD為等邊三角形AB=BD，從而可判斷平行四邊形ABDE是菱形，由此判斷②；借助相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線有關(guān)的面積問題可判斷③．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE．
又∵AB∥DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，
又∵OD=OB，
∴OG是△BDA是中位線，
∴OG=12AB，
故①正確；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB，
∴?ABDE是菱形，
故②正確；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG∥AB，OG=12AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面積=14△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，
又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，
∴S四邊形ODGF=S△ABF；
故③正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．判斷①的關(guān)鍵是三角形中位線定理的運(yùn)用，②的關(guān)鍵是利用等邊三角形證明BD=AB；③的關(guān)鍵是通過相似得出面積之間的關(guān)系．
10．（3分）（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)O重合，則m的值是（ ）
A．11.4B．11.6C．12.4D．12.6
【答案】A
【分析】由題意可得，m的值就是線段OB的長(zhǎng)度，過點(diǎn)D作DE⊥AC，過點(diǎn)C作CF⊥OB，根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形相似求得BF，矩形的性質(zhì)得到OF，即可求解．
【詳解】解：由題意可得，m的值就是線段OB的長(zhǎng)度，
過點(diǎn)D作DE⊥AC，過點(diǎn)C作CF⊥OB，如下圖：
∵CD=AD=5，DE⊥AC
∴CE=12AC=3，∠DEC=90°
由勾股定理得DE=CD2?CE2=4
∵AB//DC
∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACB=∠CED=90°
∴△DEC∽△BCA
∴DEBC=CEAC=CDAB，即4BC=36=5AB
解得BC=8，AB=10
∵CF⊥OB
∴∠ACB=∠BFC=90°
∴△BCF∽△BAC
∴BCAB=BFBC，即810=BF8
解得BF=6.4
由題意可知四邊形OFCD為矩形，∴OF=CD=5
OB=BF+OF=11.4
故選A
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．
【答案】7.5
【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵直線AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，
∴ACCE=BDDF，即25=3DF，解得DF＝7.5．
故答案為：7.5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解答此題的關(guān)鍵．
12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若AMAN＝12，則S△ADES△ABC＝__．
【答案】14
【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出DEBC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．
【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，
∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC＝AMAN＝12，
∴SΔADESΔABC＝(DEBC)2＝14，
故答案為：14 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba的值為________.
【答案】15?576
【分析】如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先證明x=3b-2a，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴EHFP=HFPT，
∴4a5a+2b?(3b?2a)=3b?2a2b，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，
∴b=15±576a，
∵4a-2b＞0，
∴ba＜2，
∴ba=15?576．
故答案為：15?576．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．
14．（3分）（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___．
【答案】 （﹣1，12）， （﹣8116，8132）．
【分析】先利用矩形的性質(zhì)寫出B點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可寫出矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；再利用以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系分別寫出B1、B2、B3、B4的坐標(biāo)，然后矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵OA=2．OC=1，
∴B（-2，1），
∴矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-1，12），
∵將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來的32倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（-3，32），
同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-818，8116），
∴矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（﹣8116，8132）．
故答案為（-1，12），（﹣8116，8132）．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．
15．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長(zhǎng)度是__________；若ME//CD，則AM的長(zhǎng)度是___________；
【答案】 5 2.5
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進(jìn)而可以解決問題；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進(jìn)而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長(zhǎng)，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長(zhǎng)， 再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵M(jìn)E//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=103，
∴CF=103；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：103=5：4，
解得：AF=256，
設(shè)AM=ME=x，則MF=256-x；
∵M(jìn)E//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（256-x）：103，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問題．
16．（3分）（2022·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC，BD交于原點(diǎn)O，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為?3,1，P是菱形ABCD邊上的點(diǎn)，若△PDE是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是________．
【答案】?3,?1或3,1或32,?32
【分析】根據(jù)線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為?3,1，易得OE=2，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，可得菱形的邊長(zhǎng)4，∠ADO=60°，然后分別從①當(dāng)PE=DE時(shí)，②當(dāng)DP=DE時(shí)，③當(dāng)PE=PD時(shí)去分析求解即可求得答案．
【詳解】解：①過點(diǎn)E作EM⊥AC于M，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)P1，連接OE，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為?3,1，
∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3，
∴OE=EM2+MO2=12+32=2，
∴∠EOM=30°，
∵點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，
∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，
∴EP1∥BD，CD=AD=4，
∴AP1BP1=AMOM=AEDE=1，
∴AM=OM，AP1=BP1，
∴點(diǎn)M是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P1是線段AB的中點(diǎn)，
∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，
AO=2MO=23，AO=CO=23，
∴EP1=12BD=2，MP1=12BO=1
∴EP1=ED，
∴P1?3,?1；
②過點(diǎn)E作EN⊥BD于N，延長(zhǎng)EN交CD于點(diǎn)P3，
∵點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC⊥BD
∴EP3∥AC，
∴DP3CP3=DNON=DEAE=1，
∴DN=ON，DP3=CP3，
∴點(diǎn)N是線段DO的中點(diǎn)，點(diǎn)P3是線段CD的中點(diǎn)，
由①知：CO=23，CD=4，
∴NP3=12CO=3，ON=12DO=1，DP3=12CD=2，
∴DE=DP3，
∴P33,1；
③過點(diǎn)O作OG⊥AD于G，延長(zhǎng)GO交BC于點(diǎn)P2，連接EP2，DP2，
由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴∠EAO=∠EOA=30°，∠ADO=90°?30°=60°，
∴△EDO是等邊三角形，
∴點(diǎn)G是線段DE的中點(diǎn)，
∴OG是DE的垂直平分線，
∴P2E=P2D，
∵E?3,1，OD=2，
∴D0,2，
∴G?32,32，
根據(jù)題意，菱形ABCD關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，
∴P232,?32．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是?3,?1或3,1或32,?32．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．掌握菱形的性質(zhì)及分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．（6分）（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過點(diǎn)F．
（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之間的等量關(guān)系；
②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．
【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析
【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點(diǎn)即可；
（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；
②證明△ABE∽△CBA，得到AECA=12，故可求解．
【詳解】（1）如圖，點(diǎn)F為所求；
（2）①∵△ABC是“和諧三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
聯(lián)立化簡(jiǎn)得到a=b+1；
②∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)
∴BE=12BD=12AB
由①得到AB=12BC
∴ABBC=BEAB=12
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴ABBC=BEAB=AECA=12
故△ACE是“和諧三角形”．
【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法．
18．（6分）（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：a:b:c=2:3:5.
（1）求代數(shù)式3a?b+c2a+3b?c的值；
（2）如果3a?b+c=24，求a,b,c的值.
【答案】（1）1；（2）a=6,b=9,c=15
【分析】（1）設(shè)a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代數(shù)式3a?b+c2a+3b?c，即可求出答案；
（2）把a(bǔ)、b、c的值代入，求出即可．
【詳解】∵a:b:c=2:3:5
∴設(shè)a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，
（1）3a?b+c2a+3b?c=6k?3k+5k4k+9k?5k=8k8k=1；
（2）∵3a?b+c=24
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
19．（8分）（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，在6×6的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，試按要求畫出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．
(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；
(2)如圖2，作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；
(3)如圖3，作一個(gè)與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析
(3)畫圖見解析
【分析】（1）分別確定A，B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，從而可得答案；
（2）確定線段AB，AC關(guān)于直線BC對(duì)稱的線段即可；
（3）分別計(jì)算△ABC的三邊長(zhǎng)度，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例確定△DEF的三邊長(zhǎng)度，再畫出△DEF即可．
（1）
解：如圖，線段CD即為所求作的線段，
（2）
如圖，四邊形ABDC是所求作的軸對(duì)稱圖形，
（3）
如圖，如圖，△DEF即為所求作的三角形，
由勾股定理可得：AB=12+32=10,AC=2, 而BC=2,
同理：DF=22+62=210,DE=22, 而EF=4,
∴ABDF=ACDE=BCEF=12,
∴△ABC∽△DFE.
【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的作圖，軸對(duì)稱的作圖，相似三角形的作圖，掌握平移軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
20．（8分）（2022·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)CEEB=13時(shí)，求S△CEFS△CDF的值；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12BG．

【答案】（1）S△CEFS△CDF=14；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=14，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）由AD∥CB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵CEEB=13，
∴CEBC=14．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴EFDF=CEAD，
∴EFDF=CEBC=14，
∴S△CEFS△CDF=EFDF=14；
（2）∵AD∥CB，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴△EFC∽△DFA．
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∵FG⊥BC，
∴FG//AB，
∴CG：BG=CF：AF=1：2，
∴CG=12BG．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）（2022·山東·棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局教研室九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2；
（2）△A1B1C1的面積是 平方單位．
（3）點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為 ．
【答案】（1）見解析；（2）28；（3）（2a，2b）．
【分析】（1）連接OB，延長(zhǎng)OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，連接A1C1，B1C1，A1B1即可．
（2）兩條分割法求出三角形的面積即可．
（3）利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】解：（1）△A1B1C1即為所求．
（2）△A1B1C1的面積＝4S△ABC＝4×（4×5﹣12×3×5﹣12×1×3﹣12×2×4）＝28，
故答案為：28．
（3）點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為（2a，2b），
故答案為：（2a，2b）．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——位似變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
22．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．
（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為 ；
（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）2；（2）相似，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；
（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，
由上面兩個(gè)圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=2x，
∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，
∴DFAD=2+2x2+1x=2+22+1=2，
故答案為：2．
（2）由（1）知：A5紙長(zhǎng)邊為A4紙短邊，長(zhǎng)為（2+1）x，A5紙短邊長(zhǎng)為（2+22）x，
∴對(duì)A5紙，長(zhǎng)邊：短邊=2+1x2+22x=2，
∴A4紙與A5紙相似．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．
23．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處，小明測(cè)得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測(cè)得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．
【答案】4m
【分析】首先根據(jù)DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后證明AB=BE，再證明△ABF∽△COF，可得ABBF=COOF，然后代入數(shù)值可得方程，解出方程即可得到答案．
【詳解】解：延長(zhǎng)OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
設(shè)AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴ABBF=COOF，
∴xx+(5?1)=1.5+15，
解得：x=4．
經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的解．
答：圍墻AB的高度是4m．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是求出AB=BE，根據(jù)相似三角形的判定方法證明△ABF∽△COF．

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