中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題24.1 銳角的三角函數(shù)【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc16346" 【題型1 銳角的三角函數(shù)概念辨析】 PAGEREF _Tc16346 \h 2
\l "_Tc23852" 【題型2 直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 PAGEREF _Tc23852 \h 5
\l "_Tc7706" 【題型3 構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 PAGEREF _Tc7706 \h 9
\l "_Tc18387" 【題型4 根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc18387 \h 14
\l "_Tc8076" 【題型5 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc8076 \h 20
\l "_Tc2660" 【題型6 求特殊角的三角函數(shù)值】 PAGEREF _Tc2660 \h 24
\l "_Tc25027" 【題型7 同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 PAGEREF _Tc25027 \h 27
\l "_Tc2592" 【題型8 互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】 PAGEREF _Tc2592 \h 30
\l "_Tc25360" 【題型9 利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 PAGEREF _Tc25360 \h 33
\l "_Tc2524" 【題型10 三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc2524 \h 35
【知識(shí)點(diǎn)1 銳角三角函數(shù)】
在中，，則的三角函數(shù)為
【知識(shí)點(diǎn)2 特殊角的三角函數(shù)值】
【題型1 銳角的三角函數(shù)概念辨析】
【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=35，則（）
A．csA＝35B．sinB＝35C．tanA＝43D．tanB＝43
【答案】D
【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)排查即可．
【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，
則csA＝ACAB＝4a5a=45，故A錯(cuò)誤；
sinB＝BCAB＝4a5a=45，故B錯(cuò)誤；
tanA＝BCAC=3a4a=34，故C錯(cuò)誤；
tanB＝ACBC=4k3k＝43，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于csB的是（）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴csB=CDAC，
故A不符合題意；
B．在Rt△DBC中，csB=BDCB，故B不符合題意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=CDCB，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠CDCB，
故C符合題意；
D．在Rt△ABC中，csB=CBAB，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無(wú)關(guān)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）
A．b＝a?sinAB．b＝a?tanAC．c＝a?sinAD．a(chǎn)＝c?csB
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作csA．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則
sinA＝ac，則a=c·sinA，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
tanA＝ab，則b＝atanA，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
csB＝ac，則a＝ccsB，故D選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．
【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1 ，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上. 請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：
(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有兩組對(duì)邊相等．
(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=34．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)作圖見解析．
【分析】（1）根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊互相平行即可作出；
（2）根據(jù)正切值的定義即可作出△ABD．
（1）
解：作圖如下：
根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，
再由平行四邊形的對(duì)邊互相平行可知，AD∥BC，
由BC平移可以得到AD，
∵點(diǎn)B向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，得到點(diǎn)A，
∴點(diǎn)C向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，即可得到點(diǎn)D．
（2）
△ABD如下圖，
BE=3，DE=4，∠BED=90°，
tan∠ADB=BEDE=34．
【點(diǎn)睛】本題考查在網(wǎng)格中作圖，需要熟練掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，正切值的定義．
【題型2 直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】
【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么sin∠EFC的值為( )．
A．13B．45C．23D．35
【答案】B
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，進(jìn)而得CF=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．
【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3．
∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，
∴AF=AD=5，EF=DE，
∵在Rt△ABF中，BF=AF2?AB2=4，
∴CF=BC?BF=5?4=1，
設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，
∵在Rt△ECF中， CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=3?x2，解得：x=43，
∴EF=3?x=53，
∴sin∠EFC=CEEF=45．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形中折疊的性質(zhì)以及勾股定理和正弦三角函數(shù)的定義，掌握勾股定理，列方程，是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，BE＝2，則tan∠DBE的值是（）
A．12B．2C．52D．55
【答案】B
【分析】在直角三角形ADE中，csA=35=AEAD=AB?BEAD，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．
【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t．
∵BE＝2，
∴AE＝t?2．
∴csA=35=AEAD=AB?BEAD，
∴35=t?2t，
∴t＝5．
∴AE＝5?2＝3．
∴DE＝AD2?AE2＝52?32＝4．
∴tan∠DBE＝DEBE=42＝2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系．
【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cs∠BDE的值等于（）
A．52B．53C．23D．34
【答案】B
【分析】如圖所示，連接AD，由D為BC中點(diǎn)得出BD=DC=4，AD⊥BC，從而根據(jù)勾股定理得出AD=25，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出∠BDE=∠BAD，最后根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出答案．
【詳解】如圖所示，連接AD，
∵AB=AC=6，BC=8，D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=DC=4，
∴AD=AB2?BD2=62?42=25，
∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴cs∠BDE=cs∠BAD=ADAB=256=53．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)等量代換得出∠BDE=∠BAD，進(jìn)而得出答案．
【變式2-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（）
A．12B．22C．32D．33
【答案】B
【分析】連接EF，求證△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+∠2=45°，即可求解．
【詳解】解：連接EF，
∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，
在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，
∴DE2=AD2+AE2=32+22=13，
∵AB=5，
∴BE=AB-AE=3，
∵CF=1，
∴BF=BC-CF=2，
在在Rt△EBF中，
∴EF2=BE2+BF2=32+22=13，
∴EF=DE
在Rt△CDF中，
∴DF2=DC2+CF2=52+12=26，
∵26=13+13，即：DF2=DE2+EF2，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠DFE=45°，
∴∠1+∠2=∠ADC?∠EDF=45°，
∴sin∠1+∠2=sin45°=22．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、正弦函數(shù)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明出△DEF是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【題型3 構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】
【例3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為（）
A．3B．2C．22D．32
【答案】A
【分析】過(guò)C作CM∥AB，過(guò)D作DN⊥MC于N，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】：連接CM，DN，
由題意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由題意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
∴CN=2,DN=18=32，
∴tan∠DCN＝DNCN＝322＝3，
∴∠APD的正切值為：3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正切函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDAD=13，則tan∠BCD的值是（）
A．13B．1C．223D．332
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，構(gòu)造含∠BCD的Rt△CDE，分別算出DE、CE的長(zhǎng)，利用正切的定義計(jì)算即可．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴AC∥DE
∴∠A=∠EDB
∴△ACB∽△DEB（AA）
∵BDAD=13，
∴BDAB=14
又∵AB=3，BC=1
∴BE=14，CE=34，BD=34
∵Rt△BDE
∴DE=BD2?BE2=22
∵BC=1
∴CE=BC?BE=34
∴tan∠BCD=DECE=223
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正切值定義的成立條件是在直角三角形中，這點(diǎn)是容易被忽略的易錯(cuò)點(diǎn)．
【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，CD與AB交于點(diǎn)F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．
【答案】7
【分析】如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，設(shè)FH=EH=y，根據(jù)勾股定理可得x2?y2=(x+42)2?(12?y)2,證明△EFD∽△CEA，可得4212?2y=2yx,解方程組，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．
【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x，
∵CF=CE，CH⊥EF，
∴FH=EH，設(shè)FH=EH=y，
則有x2?y2=(x+42)2?(12?y)2,
整理得2x+3y=14①，
∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，
∴∠FED=∠ECA，
∴△EFD∽△CEA，
∴DFAE=EFEC，
∴4212?2y=2yx,整理得2x=6y?y2②，
由①②可得x=42，y=2，
∴CH=x2?y2=27，
∴tan∠CEF=CHEH=272=7，
故答案為7．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、求正切、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題
【變式3-3】（2022·江蘇·陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為 _____．
【答案】32
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CM，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)DM＝a，則CM＝2a，然后證明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，進(jìn)而可得AC＝2a，CB＝43a，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CM，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴∠DMC＝90°，
在Rt△DMC中，tan∠BCD＝12，
∴tan∠DCM＝DMCM＝12，
設(shè)DM＝a，則CM＝2a，
∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ACB∽△DMB，
∴ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，
∴AC＝2DM＝2a，
∴CB=23CM=43a，
∴ACBC＝2a4a3＝32，
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【題型4 根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】
【例4】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長(zhǎng)為（）
A．3B．22+2C．4D．2+2
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，根據(jù)等腰Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，得到∠C=45°，根據(jù)BD為△ABC的角平分線，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，運(yùn)用∠C的正弦即可求得．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則∠DEB=∠DEC=90°，
設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD為△ABC的角平分線，
∴DE=AD=x-2，
∵sinC=sin45°=DECD=22，
∴x?22=22，
∴x=2+2，即AB=2+2．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形，角平分線，解直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義和45°的正弦值，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）
A．32B．332C．6D．3
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝23 ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性質(zhì)求出MG＝3，證明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性質(zhì)得出BGBC=GMBE ，則可求出答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四邊形GMCN為矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23，
∴CN＝CD?sin60°＝23×32=3，
∴MG＝3，
∵四邊形BEFG為矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴BGBC=GMBE，
∴423=3BE，
∴BE＝323 ，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2，tan∠BAC=43，則AC的長(zhǎng)為______．
【答案】41
【分析】取點(diǎn)H在AD上，使AH=BD，連接CH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用求解即可解答．
【詳解】解：取點(diǎn)H在AD上，使AH=BD，連接CH，
∵AB=AC，∠ADB=2∠ACB，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠DAC，
在△ABD和△CAH，
AB=AC∠ABD=∠DACBD=AH，
∴△ABD ?△CAH(SAS)，
∴∠BAD=∠ACH，∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC=∠ACH+∠DAC，
又∵∠DHC=∠ACH+∠DAC，
∴∠DHC=∠BAC，
∴tan∠DHC=43，
又∵AD⊥CD，
∴DCHD=43，
∴HD=34DC，
∴AD=HC=2+34DC，
∵HD2+DC2=HC2，
∴34DC2+DC2=2+34DC2，
解得：DC=4，
∴AD=5，
∴AC=DC2+AD2=42+52=41．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．
【變式4-3】（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接DE．
(1)求證：四邊形BCED是菱形．
(2)已知點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作GF⊥BC交AB于點(diǎn)G，BG=5，cs∠ABC=0.6，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見解析
(2)7.2
【分析】（1）通過(guò)三角形全等證明相應(yīng)角和相應(yīng)邊相等，再根據(jù)CE∥BD證明內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到CE=BD，從而證明四邊形BCED為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行證明；
（2）先連接CD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的比值求出BF的長(zhǎng)度，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出BH的長(zhǎng)度，從而求出BE的長(zhǎng)度．
(1)
解：∵△ABC≌△ABD
∴∠ABC=∠ABD，CB=BD
∵CE∥BD
∴∠CEB=∠ABD
∴∠CEB=∠ABC
∴CE=BC
∴CE=BD
∵CE=BD，CE∥BD
∴四邊形BCED為平行四邊形
∵CB=BD
∴四邊形BCED為菱形
(2)
解：連接CD交AB與點(diǎn)H，如圖所示
∵四邊形BCED為菱形
∴BH=EH，BE⊥CD
∴∠CHB=90°
∵GF⊥BC
∴∠GFB=90°
∵BG=5，cs∠ABC=0.6
∴BFBG=0.6
∴BF=3
∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)
∴BC=6
∵cs∠ABC=BHBC=0.6
∴BH=3.6
∴EH=3.6
∴BE=7.2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．
【題型5 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】
【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，則下列四個(gè)說(shuō)法中，一定正確的有（）
①連接AD，若D為BC中點(diǎn)，且AD平分∠BAC，則AB=AC；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；
③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】①根據(jù)三角形的中線性質(zhì)，可得S△ABD=S△ACD，再利用角平分線性質(zhì)得到AB=AC；②因?yàn)锽C=2AC根據(jù)直角三角形特殊三角函數(shù)值即可解答；③∠B=30°，且BC=2AC，根據(jù)三角形中的特殊角的角邊關(guān)系即可確定∠BAC=90°；④三角形重心在三角形中線上，根據(jù)等腰三角形三線合一可確定AD為中線，故重心在AD上．
【詳解】①因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以S△ABD=S△ACD,又因?yàn)锳D平分∠BAC，則點(diǎn)D到線段AB、AC的距離相等，所以AB=AC，故①正確；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B的正弦值為12，則∠B=30°，故②正確；
③若∠B=30°，且BC=2AC，過(guò)點(diǎn)C作線段AB的垂線段恰好與AC重合，則∠BAC=90°，故③正確；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，根據(jù)三線合一，AD為BC邊中線，則△ABC的重心在AD上．
故答案選D
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，特殊角三角行的角邊關(guān)系，熟練掌握三角形的角平分線性質(zhì)，中線性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形角邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12+tanA?32=0，則∠C=__________度．
【答案】90
【分析】用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值解答．
【詳解】∵sinB?12+tanA?32=0，
∴sinB?12=0，tanA?3=0,
sinB=12，tanA=3，
∠B=30°，∠A=60°，
∠C=180-（∠A+∠B）=90°．
故答案為90．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長(zhǎng)為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【答案】D
【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性質(zhì)得到AB=22，利用正弦的定義得到∠B=45°，則∠C=135°，從而得到∠C:∠B的比值．
【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，
∵菱形的周長(zhǎng)為82，
∴AB=22，
在RtΔABH中，sinB=AHAB=222=22，
∴∠B=45°，
∵AB//CD，
∴∠C=135°，
∴∠C:∠B=3:1．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．
【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)∠POQ=______度時(shí)，線段OQ的最小值為______．
【答案】 30 2
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA 于點(diǎn)M，設(shè)P(t,?33t+3)，由三角形相似可得MQ的長(zhǎng)，設(shè)OQ=m ，則可得方程4t2?(6+3m)t+9=0，再由根的判別式與根的關(guān)系以及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA 于點(diǎn)M，
∵動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，
∴設(shè)P(t,?33t+3) ，
∴PM=?33t+3 ，OM=t ，
∵∠BOP+∠POM=90°,∠MQP+∠QPM=90° ， ∠BOP=∠OQP，
∴∠POM=∠QPM ，
∵∠OMP=∠PMQ=90° ，
∴△OPM∽△PQM ，
∴PMQM=OMPM ，
∴MQ=PM2OM=(?33t+3)2t ，
設(shè)OQ=m ，
∵OQ=OM+MQ ，
∴m=t+(?33t+3)2t ，
整理得：4t2?(6+3m)t+9=0 ，
∴Δ=b2?4ac=36+36m+9m2?144≥0 ，
整理可得： m2+4m?12≥0，
設(shè)y=m2+4m?12，
則其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(?6,0),(2,0) ，
∵a=1＞0 ，開口向上，
∴當(dāng)y=m2+4m?12≥0時(shí)m≤?6 或者m≥2 ，
∵OQ=m≥0，
∴m≥2，
∴OQ的最小值為2，
將m=2 代入4t2?(6+3m)t+9=0，
可得：4t2?12t+9=0 ，
解得t=32 ，
∴PM=?33t+3=32，OM=32，
在Rt△POM中，tan∠POM=PMOM=32×23=33，
∴∠POM=30° ，
即∠POQ=30°．
故答案為：30，2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系等知識(shí)，牢固掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
【題型6 求特殊角的三角函數(shù)值】
【例6】（2022·廣東·東莞市東華初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（）
A．13B．12C．33D．32
【答案】C
【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【詳解】解：連接AD，如圖：
∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=33．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：
(1)3tan30°+tan45°+2sin30°．
(2)cs230°+tan30°×sin60°?2cs45°．
【答案】(1)3+2
(2)14
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決此題．
（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可解決此題．
（1）
解：原式＝3×33+1+2×12
=3+1+1
=3+2；
（2）
解：原式＝322 +33×32?2×22
=34+12?1
=14．
【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則sin∠ABC＝____．
【答案】12##0.5
【分析】利用直角三角形的兩銳角互余求得∠ABC的度數(shù)，再利用特殊角的三角函數(shù)即可求得sin∠ABC的值．
【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC=90°?∠A=30，
∴sin∠ABC=sin30°=12．
故答案為∶12．
【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022·河南·油田十中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正切值是______．

【答案】1
【分析】連接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的長(zhǎng)，判斷△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．
【詳解】解：連接AB，
由勾股定理得：AB＝12+32=10，AO＝12+32=10，OB＝22+42=25，
∴AB＝AO，OA2+AB2=102+102=20=OB2，
∴△ABO是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，
∴tan∠AOB＝tan45°=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
【題型7 同角的三角函數(shù)值的證明或求值】
【例7】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中（其中α，β均為銳角），正確的是___________．（填序號(hào)）
①sin2α+cs2α=1；②cs2α=2csα；③當(dāng)0°

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