TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14164" 【題型1 二次根式乘除法法則成立的條件】 PAGEREF _Tc14164 \h 1
\l "_Tc32128" 【題型2 二次根式的乘除混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc32128 \h 3
\l "_Tc9830" 【題型3 把根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)】 PAGEREF _Tc9830 \h 6
\l "_Tc14946" 【題型4 判斷最簡(jiǎn)二次根式】 PAGEREF _Tc14946 \h 8
\l "_Tc3989" 【題型5 化為最簡(jiǎn)二次根式】 PAGEREF _Tc3989 \h 9
\l "_Tc25845" 【題型6 根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc25845 \h 11
\l "_Tc3223" 【題型7 分母有理化及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc3223 \h 13
\l "_Tc27227" 【題型8 比較二次根式的大小】 PAGEREF _Tc27227 \h 15
\l "_Tc12098" 【題型9 應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題】 PAGEREF _Tc12098 \h 17
\l "_Tc29025" 【題型10 二次根式乘除法中的新情境題】 PAGEREF _Tc29025 \h 19
【知識(shí)點(diǎn)1 二次根式的乘除法則】
①二次根式的乘法法則：a?b=a?b(a≥0,b≥0)；
②積的算術(shù)平方根：a?b=a?b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法則：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算術(shù)平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【題型1 二次根式乘除法法則成立的條件】
【例1】（2023·上海閔行·八年級(jí)?？计谥校┤绻鷶?shù)式2m?1m?4=2m?1m?4，那么m的取值范圍是_____________
【答案】m＞4.
【分析】根據(jù)二次根式除法法則和分式有意義的條件，列出不等式組即可解答.
【詳解】∵2m?1m?4=2m?1m?4成立，
∴2m-1≥0，m-4＞0，
解得：m＞4，
故答案為m＞4.
【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.
【變式1-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┤?x?2)(3?x)=x?2?3?x成立．則x的取值范圍為（ ）
A．x≤3B．x≥2C．20,b>0)
【答案】（1）206；（2）?154；（3）4abb
【分析】（1）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；
（2）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；
（3）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可．
【詳解】（1）原式=3×23×45÷15×83
=2×100×6=206；
（2）原式3×(?18)×223×15×52=?34×5=?154；
（3）原式=4a2bab?ab=4a2b=4abb．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，主要考查學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．
【變式2-1】（2023春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算
(1)?4318÷28×1354
(2)(6+1)2?3?23+2
【答案】(1)?66
(2)6+26
【分析】（1）先計(jì)算括號(hào)里的乘法運(yùn)算，相除化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果；
（2）運(yùn)用完全平方公式、平方差公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解原式＝?42÷(42×6)
＝?42÷83
＝?66；
（2）解原式=7 +26?(3?2)
=7+26?1
=6+26
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式、平方差公式等相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．
【變式2-2】（2023春·上海黃浦·八年級(jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：312x?123xy÷?3418x2y3．
【答案】?22y
【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：312x?123xy÷?3418x2y3
=32÷(?34)12x×3xy÷18x2y3
=32×(?43)12x×3xy×x2y318
=?22y2，
根據(jù)12x與3xy得：x>0，y>0，
∴原式=?22y
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則是關(guān)鍵，最后二次根式要化成最簡(jiǎn)二次根式．
【變式2-3】（2023春·黑龍江雞西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）計(jì)算：2?52+5?2?22
（2）下面是王鑫同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過(guò)程，認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問(wèn)題：
92?12×24+323
=92?12×24+323……第一步
=322?23×26+23×323……第二步
=322?122+62……第三步
=922……第四步
①以上化簡(jiǎn)步驟中第一步化簡(jiǎn)的依據(jù)是：______；
②第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出錯(cuò)誤的原因______；
③該運(yùn)算正確結(jié)果應(yīng)是______.
【答案】（1）?7+42；（2）①商的算術(shù)平方根，等于算術(shù)平方根的商或ab=ab（a≥b，b>0）；②二，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；③?3322.
【分析】（1）根據(jù)平方差公式，完全平方公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
（2）①根據(jù)二次根式的性質(zhì)：ab=ab（a≥b，b>0），即可得到答案；
②括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)．
③根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，正確運(yùn)算即可．
【詳解】（1）2?52+5?2?22=4?5?4?42+2=?1?6+42=?7+42；
（2）①化簡(jiǎn)步驟中第一化簡(jiǎn)的依據(jù)為ab=ab（a≥b，b>0），
故答案為：ab=ab（a≥b，b>0）；
②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因?yàn)椋豪ㄌ?hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；
故答案為：二，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；
③92?12×24+323
=92?12×24+323
=322?23×26?23×323
=322?122?62
=?3322.
該運(yùn)算正確結(jié)果應(yīng)是?3322.
故答案為：?3322.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和性質(zhì)，熟練掌握二次根式運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
【題型3 把根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)】
【例3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）把2?x1x?2的根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)得____________．
【答案】?x?2
【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分式分母不為零，將根號(hào)外的因式轉(zhuǎn)化成正數(shù)形式，然后進(jìn)行計(jì)算，化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】解：∵ 1x?2>0，
∴x?2>0；
2?x1x?2
=?(x?2)1x?2
=?(x?2)21x?2
=?(x?2)(x?2)x?2
=?x?2
故答案為：?x?2
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和二次根式計(jì)算，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·山東·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若把﹣43根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得（ ）
A．12B．﹣12C．﹣48D．48
【答案】C
【分析】把4寫成16的形式，利用二次根式的乘法法則即可得到．
【詳解】解：﹣43 ＝﹣16×3＝﹣48
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法法則，以及二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤的問(wèn)題．
【變式3-2】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)階段練習(xí)）把?a?1a中根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是（ ）
A．?aB．?aC．??aD．a(chǎn)
【答案】A
【詳解】試題分析：因?yàn)?a?1a有意義，所以a＜0，所以?a?1a=?a?aa2=?a?a|a|=?a?a?a=?a，故選A．
考點(diǎn)：二次根式的化簡(jiǎn)．
【變式3-3】（2023春·河北唐山·八年級(jí)校考期末）把下列根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi).
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(00,∴a>0,a=a2,∴a1a=a2·1a=a2·1a=a;
(2) ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即xyx-y>0.
∴xyx-y=xyx-y2,
∴xyx-y·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=(xy)2(x-y)2·(x-y)2xy=xy;
(3) ∵00)
（4）nmmn(n0)
=5a2b；
（4）nmmn(nb>aB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a
【答案】A
【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后對(duì)平方進(jìn)行比較得出結(jié)論．
【詳解】解：∵a=2020×2022?2020×2021=2020×2022?2021=2020，
∴a2=20202，
∵b=20232?4×2022，c=20212?1，
∴b2=20232?4×2022=2022+12?4×2022=2022?12=20212，
c2=20212+1，
∵20202a2，
∵a、b、c都是大于0的實(shí)數(shù)，
∴c>b>a，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識(shí)點(diǎn)，利用完全平方公式計(jì)算出值，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
（1）比較15?14和14?13的大?。?br>（2）求y=x+1?x?1+3的最大值．
【答案】（1）15?1413，
∴15+14>14+13，
∴15?142+1，3?23+2，
∴14+3＜13+2，即：4?3＜3?2；
（2）∵(n+1?n)(n+1+n)=1，(n?n?1)(n+n?1)=1，
∴n+1?n=1n+1+n，n?n?1=1n+n?1，
又∵n+1+n＞n+n?1，
∴1n+1+n＜1n+n?1，即：n+1?n＜n?n?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，掌握二次根式的運(yùn)算法則，把二次根式化為分子為1的數(shù)或式子，是解題的關(guān)鍵．
【題型9 應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題】
【例9】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）站在豎直高度?m的地方，看見的水平距離是dm，它們近似地符合公式d=8?5.某一登山者登上海拔2000m的山頂，那么他看到的水平距離是________m.
【答案】160
【分析】把h=2000代入公式d=8?5進(jìn)行即可.
【詳解】解：把h=2000代入公式d=8?5得
d=820005=8400=8×20=160
所以答案是：160.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算.熟練掌握二次根式的性質(zhì)是運(yùn)算的關(guān)鍵.
【變式9-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符號(hào)公式為d=8?5，某一登山者從海拔h米處登上海拔2?米高的山頂，那么他看到的水平線的距離是原來(lái)的多少倍？
【答案】2
【分析】由題意知d和h的關(guān)系式，則由海拔h米處登上海拔2?米高的山頂，那么他看到的水平線的距離之比可以得到．
【詳解】解：登山者看到的原水平線的距離為d1=8?5，現(xiàn)在的水平線的距離為d2=82?5，d2d1=82?58?5=2，即他看到的水平線的距離是原來(lái)的2倍．
【變式9-2】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）“欲窮千里目，更上一層樓”，說(shuō)的是登得高看得遠(yuǎn)．如圖，若觀測(cè)點(diǎn)的高度為?，觀測(cè)者視線能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為d，則d≈2?R，其中R是地球半徑，約等于6400km．小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度?為0.02km，她觀測(cè)到遠(yuǎn)處一艘船剛露出海平面，求d的值為_____km．
【答案】16
【分析】根據(jù)d≈2?R，R≈6400km，?=0.02km，由此即求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，d≈2?R，R≈6400km，?=0.02km，
∴d≈2?R=2×6400×0.02=80×0.2=16(km)，
故答案是：16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是代數(shù)式的求值計(jì)算，理解代數(shù)式中相應(yīng)字母的值是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)長(zhǎng)方體木塊放在在水平的桌面上，木塊的長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c a>b>c>0，若木塊對(duì)桌面的最大壓強(qiáng)為p1，最小壓強(qiáng)為p2，則p1p2的值等于______．
【答案】acc
【分析】先分別求解最大壓強(qiáng)與最小壓強(qiáng)，再列式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，a>b>c，
∴a>b>c
∴ab>bc，
∵最大壓強(qiáng)是前面向下放置，
∴p1=Fbc，
∵最小壓強(qiáng)是面積最大的面向下，
∴p2=Fab，
∴p1p2=Fbc×abF=ac=acc；
故答案為：acc．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，屬于跨學(xué)科的題，熟記公式與二次根式的除法運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．
【題型10 二次根式乘除法中的新情境題】
【例10】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）老師在復(fù)習(xí)“二次根式”時(shí)，在黑板上寫出下面的一道題作為練習(xí)：
已知7=a，70=b，用含a，b的代數(shù)式表示4.9．小豪、小麥兩位同學(xué)跑上講臺(tái)，板書了下面兩種解法：
小豪：4.9=4910=49×1010×10=490100=7×7010=7×7010=ab10．
小麥：4.9=49×0.1=70.1．
因?yàn)?.1=110=770=770=ab，4.9=70.1=7ab．
老師看罷，提出下面的問(wèn)題：
(1)兩位同學(xué)的解法都正確嗎？
(2)請(qǐng)你說(shuō)明理由．
【答案】(1)都正確
(2)見解析
【分析】（1）仔細(xì)閱讀兩同學(xué)的解題過(guò)程，然后判斷；
（2）證明兩人所得結(jié)果可以互相轉(zhuǎn)換即可．
(1)
解：都正確．
(2)
解：理由如下：
觀察兩位同學(xué)的解答過(guò)程可知，均符合二次根式運(yùn)算法則，所得結(jié)果可以互相轉(zhuǎn)換，
ab10=7×7010=7×7010×70=7×770=7ab．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，靈活運(yùn)用二次根式運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·福建泉州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）請(qǐng)閱讀材料，并解決實(shí)際問(wèn)題：海倫—秦九韶公式：海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題聞名，在他的著作《度量》一書中證明了一個(gè)利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式：假設(shè)在平面內(nèi)，有一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個(gè)三角形的面積S=pp?ap?bp?c．這個(gè)公式稱海倫公式．秦九韶（約1202—1261），我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S=14a2b2?a2+b2?c222．它填補(bǔ)了中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)空白，從中可以看出中國(guó)古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．通過(guò)公式變形，可以發(fā)現(xiàn)海倫公式和秦九韶公式實(shí)質(zhì)是同一公式，所以海倫公式也稱海倫—秦九韶公式．問(wèn)題：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海倫—秦九韶公式求△ABC的面積為____．
【答案】66
【分析】先求出AC+AB+BC2的值，再將各值代入公式進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】∵在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，
∴AC+AB+BC2=5+6+72=9，
∴△ABC的面積為9×9?5×9?6×9?7=66，
故答案為：66．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的幾何應(yīng)用，正確理解海倫—秦九韶公式是解題關(guān)鍵．
【變式10-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，二次根式乘除法有如下性質(zhì)：a?b=ab(a≥0,b≥0)，ab=ab(a≥0,b>0)，那么二次根式加法是否具有類似性質(zhì)呢？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)下列問(wèn)題開啟探索之旅：
(1)舉些例子比較a+b與a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少舉3例，舉例要全面哦)
(2)利用學(xué)過(guò)的知識(shí)證明你的猜想．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意列舉出三個(gè)具體數(shù)據(jù)的實(shí)例進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)論；
（2）利用兩個(gè)非負(fù)數(shù)平方的大小，來(lái)比較這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的大小的方法進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）例如：①1+2=1+2，而1+2=3，
∴1+2>1+2；
②0+5=5，而0+5=5，
∴0+5=0+5；
③5+2≈3.65，而5+2=7，2

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.5 有理數(shù)的乘方【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

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