中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題12.4 因式分解【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc8970" 【題型1 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc8970 \h 1
\l "_Tc26060" 【題型2 因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26060 \h 4
\l "_Tc5043" 【題型3 利用因式分解確定整除問題】 PAGEREF _Tc5043 \h 7
\l "_Tc1644" 【題型4 利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 PAGEREF _Tc1644 \h 11
\l "_Tc23588" 【題型5 利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 PAGEREF _Tc23588 \h 15
\l "_Tc10180" 【題型6 利用因式分解確定三角形的形狀】 PAGEREF _Tc10180 \h 17
\l "_Tc6974" 【題型7 利用因式分解求最值】 PAGEREF _Tc6974 \h 19
\l "_Tc18355" 【題型8 因式分解在新定義問題中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc18355 \h 22
\l "_Tc20443" 【題型9 因式分解在閱讀理解中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc20443 \h 26
【知識(shí)點(diǎn) 因式分解】
定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
以上公式都可以用來對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。
【題型1 利用因式分解求值】
【例1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將2xn?81因式分解后得4x2+92x+32x?3，那么n等于（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先求出4x2+92x+32x?3=2x4?81，根據(jù)將2xn?81因式分解后得4x2+92x+32x?3，即可得出2xn?81=2x4?81，即可得出答案．
【詳解】解：∵4x2+92x+32x?3
=4x2+94x2?9
=16x4?81，
=2x4?81
又∵將2xn?81因式分解后得4x2+92x+32x?3，
∴2xn?81=2x4?81，
∴n=4，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，多項(xiàng)式乘法，解題的關(guān)鍵是求出4x2+92x+32x?3=2x4?81．
【變式1-1】（2023春·上海閔行·八年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)校考期中）把多項(xiàng)式x3+ax分解因式得xx?12x+b，求a、b的值．
【答案】a=?14,b=12
【分析】根據(jù)整式的乘法運(yùn)算將xx?12x+b化為x3+b?12x2?12bx，根據(jù)x3+ax=x3+b?12x2?12bx可知b?12=0，?12b=a，求出a、b的值即可．
【詳解】解：xx?12x+b
=xx2+b?12x?12b
=x3+b?12x2?12bx，
∵x3+ax=xx?12x+b，
∴x3+ax=x3+b?12x2?12bx，
∴b?12=0，?12b=a，
∴a=?14,b=12．
【點(diǎn)睛】本題考查分解因式的知識(shí)及整式的乘法，正確計(jì)算出整式乘法的式子得出b?12=0，?12b=a是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·八年級(jí)單元測試）已知三次四項(xiàng)式2x3?5x2?6x+k分解因式后有一個(gè)因式是x?3，試求k的值及另一個(gè)因式．
【答案】k=9，2x2+x?3
【分析】根據(jù)題意，當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式的值為0，進(jìn)而求得k的值，然后因式分解即可求解．
【詳解】解：依題意，三次四項(xiàng)式2x3?5x2?6x+k分解因式后有一個(gè)因式是x?3，
∴x=3時(shí)，原式=2×33?5×32?6×3+k=?9+k=0
∴k=9，
∵2x3?5x2?6x+9=2x2x?3+x2?6x+9
=2x2x?3+x?32
=x?32x2+x?3
∴另一個(gè)因式為2x2+x?3
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，解題時(shí)要根據(jù)分組分解法、提公因式法、公式法分解因式，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解，注意分解因式要徹底，直到不能再分解為止．
【變式1-3】（2023春·八年級(jí)單元測試）若2x2?6y2+xy+kx+6能分解成兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)k= .
【答案】±7
【分析】根據(jù)題意設(shè)多項(xiàng)式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據(jù)cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯(lián)立求出a、b的值，a、b是整數(shù)則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)2x2?6y2+xy+kx+6能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6時(shí)，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=?14b=32，
或c=6，d=1時(shí)，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=611b=?111，
②c=2，d=3時(shí)，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=?3，
或c=3，d=2時(shí)，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=34b=?12,
③c=-2，d=-3時(shí)，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=?3，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=34b=?12，
④c=-1，d=-6時(shí)，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=?14b=32，
或c=-6，d=-1時(shí)，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=611b=?111，
∴c=2，d=3時(shí)，c=-2，d=-3時(shí)，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整數(shù)k的值是7，-7．
故答案為：±7．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，設(shè)成兩個(gè)多項(xiàng)式的積的形式是解題的關(guān)鍵，要注意6的所有分解結(jié)果，還需要用a、b進(jìn)行驗(yàn)證，注意不要漏解．
【題型2 因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用】
【例2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用因式分解計(jì)算：
(1)?2101+?2100；
(2)32021?32020；
(3)121×0.13+12.1×0.9?12×1.21；
(4)2022+982+202×196．
【答案】(1)?2100
(2)2×32020
(3)12.1
(4)90000
【分析】（1）提取?2100后計(jì)算即可；
（2）提取32020后計(jì)算即可；
（3）原式變形為1.21×13+1.21×9?1.21×12，然后提取1.21后計(jì)算即可；
（4）利用完全平方公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：?2101+?2100
=?2100×?2+1
=?2100；
（2）解：32021?32020
=32020×3?1
=2×32020；
（3）解：121×0.13+12.1×0.9?12×1.21
=1.21×13+1.21×9?1.21×12
=1.21×13+9?12
=1.21×10
=12.1；
（4）解：2022+982+202×196
=2022+982+2×202×98
=202+982
=3002
=90000．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解進(jìn)行簡便計(jì)算，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：2020×512－2020×492的結(jié)果是．
【答案】404000
【分析】先提取公因式2020，再根據(jù)平方差公式分解后計(jì)算可得答案．
【詳解】2020×512－2020×492
=2020×（512－492）
=2020×（51+49）×(51-49)
=2020×100×2
=404000,
故答案為：404000．
【點(diǎn)睛】此題考查提公因式法，平方差公式，熟練掌握計(jì)算公式及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·八年級(jí)單元測試）計(jì)算：（1）(1?122)×(1?132)×(1?142)×…×(1?192)×(1?1102)；
（2）20212?2021×4040+20202
【答案】（1）1120；（2）1
【分析】（1）先根據(jù)平方差公式分解，算出結(jié)果后計(jì)算乘法即可得到答案；
（2）利用完全平方公式分解計(jì)算．
【詳解】（1）(1?122)×(1?132)×(1?142)×…×(1?192)×(1?1102)
=(1?12)×(1+12)×(1?13)×(1+13)×(1?14)×(1+14)×?×(1?19)×(1+19)×(1?110)×(1+110)
=12×32×23×43×34×54×?×89×109×910×1110
=12×1110
=1120；
（2）20212?2021×4040+20202
=20212?2×2021×2020+20202
=(2021?2020)2
=1．
【點(diǎn)睛】此題考查因式分解進(jìn)行有理數(shù)的混合計(jì)算，正確掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·八年級(jí)單元測試）利用因式分解計(jì)算：
（1）1002?992+982?972+…+42?32+22?12
（2）1+2452+154+158+1?…?532+1
（3）2n+4?22n22n+2
【答案】（1）5050；（2）564；（3）74
【分析】（1）原式結(jié)合后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）原式第二項(xiàng)分子分母乘以52-1，利用平方差公式化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式計(jì)算后，提取公因式，約分即可得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=101×50
=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）?…?（532+1）
=1+24×52?152?1×（52+1）（54+1）（58+1）?…?（532+1）
=1+564-1
=564；
（3）2n+4?22n22n+2
=2n+1×8?2n+12n+1×4
=2n+1×72n+1×4
=74
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
【題型3 利用因式分解確定整除問題】
【例3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）某興趣小組為探究被3整除的數(shù)的規(guī)律，提出了以下問題：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的數(shù)是________；
（2）一個(gè)三位數(shù)abc表示百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別是a、b、c（a，b，c為0－9之間的整數(shù)，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍數(shù)（設(shè)a+b+c=3t，t為正整數(shù)），那么abc能被3整除嗎？如果能，請證明；如果不能，請說明理由．
（3）若一個(gè)能被3整除的兩位正整數(shù)ab（a，b為1－9之間的整數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)減去原數(shù)等于54，求這個(gè)正整數(shù)ab．
【答案】（1）458；（2）能，見解析；（3）39
【分析】（1）把各個(gè)數(shù)除以3即可得出結(jié)果；
（2）由題意可列出式子abc=100a+10b+c，進(jìn)行整理可得：3(t+33a+3b)從而可判斷；
（3）根據(jù)題意可得：ba?ab=54，把各個(gè)數(shù)表示出來代入進(jìn)行求解，可以得出結(jié)果．
【詳解】解：（1）312÷3=104，能被3整除；
465÷3=155，能被3整除；
522÷3=174，能被3整除；
458÷3=，不能被3整除；
故答案為：458；
（2）此時(shí)abc能被3整除，
證明：若a+b+c是3的倍數(shù)，則令a+b+c=3t(t為正整數(shù)），
則有abc=100a+10b+c，
=(a+b+c)+(99a+9b)，
=3t+3(33a+3b)，
=3(t+33a+3b)，
故abc能被3整除；
（3）∵ ab交換后為ba，由題意得：
ba?ab=54，
有(10b+a)?(10a+b)=54，
整理得：9(b?a)=54，
得：b?a=6，
∵a，b為1?9之間的整數(shù)，
∴有{a=1b=7，{a=2b=8，{a=3b=9，
∵ ab能被3整除，
∴這個(gè)正整數(shù)是39．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，表示出相應(yīng)兩位數(shù)或三位數(shù)．
【變式3-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用因式分解說明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，n+72?n?52能被24整除．
【答案】見解析
【分析】將n+7和n?5分別看做整體，用平方差公式進(jìn)行因式分解，所得的結(jié)果中含有因式24，即可求證．
【詳解】解：n+72?n?52
=n+7+n?5n+7?n?5
=122n+2
=24n+1，
∴n+72?n?52能被24整除．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式a2?b2=a+ba?b．
【變式3-2】（2023春·湖南永州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知432?1可以被10到20之間的某兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)是（）
A．12，14B．13，15C．14，16D．15，17
【答案】D
【分析】把432?1因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個(gè)整數(shù)整除.
【詳解】432?1 =416+1416?1
=416+148+148?1
=416+148+144+144?1
=416+148+144+142+142?1
=416+148+144+1×17×15
∴可以被10至20之間的17和15兩個(gè)整數(shù)整除.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式a2?b2=(a+b)(a?b)是解答本題的關(guān)鍵.
【變式3-3】（2023·河北衡水·統(tǒng)考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究如下等式：
38×32=1216，
53×57=3021，
71×79=5609，
84×86=7224．
觀察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且積有一定的規(guī)律”．
(1)根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律，直接寫出結(jié)果：58×52=___________；752=___________．
(2)設(shè)其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b（a，b>0），
①請用含a，b的等式表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明；
②上述等式中，分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘（如：38×32調(diào)換為83×23）．若分別記新的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為m，①中的運(yùn)算結(jié)果為n，求證：m?n能被99整除．
【答案】(1)3016；5625
(2)①10a+b10a+10?b=100aa+1+b10?b；證明見解析；②見解析
【分析】（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算，即可求解；
（2）①根據(jù)題意可得這兩個(gè)兩位數(shù)分別為10a+b，10a+10?b，從而得到這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為10a+b10a+10?b=100aa+1+b10?b，然后分別計(jì)算等式的左右兩邊，即可；②由①得：n=100a2+100a+10b?b2，可得新的兩個(gè)兩位數(shù)分別為10b+a，1010?b+a，進(jìn)而得到m=10b+a1010?b+a，然后計(jì)算出m?n，即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：58×52=5×6×100+8×2=3016，
752=7×8×100+5×5=5625；
故答案為：3016；5625
（2）解：①∵其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b（a，b>0），
∴另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為10?b，
∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別為10a+b，10a+10?b，
根據(jù)題意得：這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為10a+b10a+10?b=100aa+1+b10?b，
證明：左邊=100a2+10ab+100a+10b?10ab?b2
=100a2+100a+10b?b2
右邊=100a2+100a+10b?b2，
∴左邊=右邊；
②由①得：n=100a2+100a+10b?b2，
∵分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，
∴新的兩個(gè)兩位數(shù)分別為10b+a，1010?b+a，
∴m=10b+a1010?b+a
=10b+a100?10b+a
=1000b+100a?100b2?10ab+10ab+a2
=1000b?100b2+100a+a2，
∴m?n=1000b?100b2+100a+a2?100a2+100a+10b?b2
=1000b?100b2+100a+a2?100a2?100a?10b+b2
=?99a2?99b2+990b，
=?99a2+b2+10b，
∵a，b為正整數(shù)，
∴a2+b2+10b為整數(shù)，
∴m?n能被99整除．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【題型4 利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】
【例4】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲·熱門給出了一種分解因式x4+4的方法：他抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和x22+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+4?4x2=x2+22?4x2=x2+22?2x2=x2+2x+2x2?2x+2，人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲·熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”．
根據(jù)以上方法，把下列各式因式分解：
(1)4x4+y4；
(2)a2?4am?n2+4mn．
【答案】(1)2x2+y2+2xy2x2+y2?2xy；
(2)a?na?4m+n．
【分析】（1）根據(jù)蘇菲·熱門的做法，將原式配上4x2y2后，根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可進(jìn)行因式分解；
（2）先分組，再利用提公因式法因式分解．
【詳解】（1）原式=4x4+y4+4x2y2?4x2y2
=2x2+y22?4x2y2
=2x2+y2+2xy2x2+y2?2xy；
（2）原式=a2?4am+4m2?4m2?n2+4mn
=a2?4am+4m2?4m2+n2?4mn
=a?2m2?2m?n2
=a?2m+2m?na?2m?2m+n
=a?na?4m+n.
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，理解蘇菲·熱門的做法是正確進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)專題練習(xí)）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式a2?1可以用如下方法分解因式：
①a2?1=a2?a+a?1=aa?1+a?1=a?1a+1；
又比如多項(xiàng)式a3?1可以這樣分解：
②a3?1=a3?a2+a2?a+a?1=a2a?1+aa?1+a?1=a?1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多項(xiàng)式a5?1的結(jié)果是．
【答案】a?1a4+a3+a2+a+1
【分析】直接根據(jù)添項(xiàng)、拆項(xiàng)的方法進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：a5?1
=a5?a4+a4?a3+a3?a2+a2?a+a?1
=a4a?1+a3a?1+a2a?1+aa?1+a?1
=a?1a4+a3+a2+a+1，
故答案為：a?1a4+a3+a2+a+1
【點(diǎn)睛】本題考查添項(xiàng)與拆項(xiàng)法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用提公因式法，也考查了學(xué)生的觀察能力和整體思想．
【變式4-2】（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀與思考
任務(wù)：
(1)請根據(jù)以上閱讀材料補(bǔ)充完整對a3+b3因式分解的過程．
(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．
【答案】(1)a+ba2?ab+b2
(2)a3+b3=32
【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上再提取公因式a+b，整理即可；
（2）由（1）可知求出a2?ab+b2的值即可求出a3+b3的值．將a2?ab+b2變形為a+b2?3ab，再代入a+b和ab的值即得出a2?ab+b2的值，由此即得出結(jié)果．
【詳解】（1）a3+b3=a3+a2b?a2b+b3
=a3+a2b?a2b?b3
=a+b?a2?ba+b?a?b
=a+b?a2?ba?b．
=a+ba2?ab+b2；
（2）∵a2?ab+b2
=a+b2?3ab
=22?3×?4
=16
∴a3+b3=a+ba2?ab+b2=2×16=32．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，代數(shù)式求值．讀懂題干，理解題意，掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？既＃╅喿x理解：
添項(xiàng)法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運(yùn)算和因式分解中使用添項(xiàng)法往往會(huì)起到意想不到的作用，例如：
例1：計(jì)算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364?12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根據(jù)材料解決下列問題：
(1)計(jì)算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)??????(1+12512)；
(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個(gè)問題，計(jì)算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通過思考，他發(fā)現(xiàn)計(jì)算式中的式子可以用代數(shù)式之x4+4來表示，所以他決定先對x4+4先進(jìn)行因式分解，最后果然發(fā)現(xiàn)了規(guī)律；輕松解決了這個(gè)計(jì)算問題.請你根據(jù)小明的思路解答下列問題：
①分解因式：x4+4；
②計(jì)算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
【答案】(1)21024?121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②1522+1.
【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)即可，連續(xù)使用平方差公式，得出最后結(jié)果，
(2)①根據(jù)配方法在原式的基礎(chǔ)上(+4x2﹣4x2)，轉(zhuǎn)化為完全平方公式，再利用拆項(xiàng)法配方，最后化為兩個(gè)因式的積，
②根據(jù)x4+4的分解結(jié)果，分別求出當(dāng)x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所對應(yīng)的x4+4個(gè)結(jié)果，從而得到一個(gè)規(guī)律，再代入求值即可.
【詳解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)??????(1+12512)
＝2×(1﹣121024)
＝21024?121023，
(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2
＝(x2+2)2﹣(2x)2
＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，
②∵ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
∴ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]?[(x﹣1)2+1]
原式＝(02+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(522+1)= 1522+1
【點(diǎn)睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知識(shí)，掌握公式，通過因式分解的變形，找出存在的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.
【題型5 利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】
【例5】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀理解，并解答下面的問題：
拆項(xiàng)法原理：在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中，常經(jīng)過整理、化簡，通常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或相互抵消為零．反過來，在對某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)（拆項(xiàng)）．
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（x2＋x）＋（3x＋3）將原式分成兩組
＝x（x＋1）＋3（x＋1）對每一組分別提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）繼續(xù)提公因式
請類比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6
【答案】（x＋2）（x＋3）
【分析】根據(jù)題意中的分解因式的方法求解即可．
【詳解】解：原式=x2＋2x＋3x＋6
=x2+2x+(3x+6)
=xx+2+3(x+2)
=(x+2)(x+3)．
【點(diǎn)睛】題目主要考查多項(xiàng)式乘法及因式分解，理解題中分解因式的方法是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·黑龍江雞西·八年級(jí)?？计谀├貌痦?xiàng)法，分解因式：x2﹣6x﹣7；
【答案】(x+1)(x－7)
【詳解】解：x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，理解題中的分解因式方法并能靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用拆項(xiàng)法，解決下列問題：
(1)分解因式：x2?6x+5；
(2)分解因式：a2+4ab?5b2．
【答案】(1)x?1x?5
(2)a+5ba?b
【分析】（1）將5拆解成9?4，再根據(jù)完全平方公式得x?32?22，然后利用平方差公式進(jìn)一步分解．
（2）將?5b2拆解成4b2?9b2，再根據(jù)完全平方公式得a+2b2?9b2，然后利用平方差公式進(jìn)一步分解．
【詳解】（1）原式=x2?6x+9?4 =x?32?22 =x?3?2x?3+2 =x?1x?5
（2）原式=a2+4ab+4b2?9b2 =a+2b2?9b2 =a+2b+3ba+2b?3b =a+5ba?b
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題時(shí)要注意在變形的過程中不要改變式子的值．
【變式5-3】（2023春·八年級(jí)單元測試）閱讀理解題：
拆項(xiàng)法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，再分組分解，因而有時(shí)需要多次實(shí)驗(yàn)才能成功，例如把x3?3x2+4分解因式，這是一個(gè)三項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是三次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項(xiàng)拆成1和3，原式就變成x3+1?3x2?3，再利用立方和與平方差先分解，解法如下：
原式=x3+1?3x2?3=x+1x2?x+1?3x+1x?1
=x+1x2?x+1?3x+3=x+1x?22
公式：a3+b3=a+ba2?ab+b2，a3?b3=a?ba2+ab+b2
根據(jù)上述論法和解法，
（1）因式分解：x3+x2?2；
（2）因式分解：x3?7x+6；
（3）因式分解：x4+x2+1．
【答案】（1）x?1x2+2x+2；（2）x?1x+3x?2；（3）x2+x+1x2?x+1
【分析】（1）將原式拆成x3?1+x2?1，然后分別利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；
（2）將原式拆成x3?1?7x+7，然后前兩項(xiàng)利用立方差公式因式分解，后兩項(xiàng)提取公因式即可確定答案；
（3）將原式拆成x4+2x2+1?x2，然后利用平方差公式因式分解即可．
【詳解】解：（1）x3+x2?2=x3?1+x2?1
=x?1x2+x+1+x?1x+1
=x?1x2+2x+2
（2）x3?7x+6=x3?1?7x+7
=x3?1?7x?1
=x?1x2+x+1?7x?1
=x?1x2+x+6
=x?1x+3x?2
（3）x4+x2+1=x4+2x2+1?x2
=x2+12?x2
=x2+1+xx2+1?x
=x2+x+1x2?x+1
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，從題目中得到因式分解的方法，難度不大．
【題型6 利用因式分解確定三角形的形狀】
【例6】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，則△ABC為三角形．
【答案】等腰或直角或等腰直角．
【分析】首先提取公因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式，然后分三種情況進(jìn)行討論．
【詳解】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)，
∴當(dāng)a＝b，則△ABC是等腰三角形；
當(dāng)a≠b，則c2＝a2+b2，則△ABC是直角三角形，
當(dāng)a＝b，且c2＝a2+b2，則△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC為等腰三角形或直角或等腰直角三角形．
故答案為：等腰或直角或等腰直角．
【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法與平方差公式分解因式，用提公因式法與平方差公式分解因式得到a，b，c的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，注意考慮問題要全面．
【變式6-1】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若△ABC三邊a、b、c滿足a2?ab?ac+bc=0，則△ABC是三角形．
【答案】等腰
【分析】等式左邊因式分解后，利用兩式相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0即可確定a，b，c的關(guān)系，即可作出判斷．
【詳解】∵a2?ab?ac+bc=0，
∴aa?c?ba?c=0，
∴a?ba?c=0，
∴a?b=0或a?c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案為：等腰．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法-分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2=3a2+b2+c2．求證：這個(gè)三角形是等邊三角形．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)完全平方式將原式變形為a?b2+a?c2+b?c2=0，結(jié)合平方的非負(fù)性即可計(jì)算得到正確答案．
【詳解】解：∵a+b+c2=a+b+c2
=a+b2+c2+2a+bc
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴原式可變形為：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3a2+b2+c2
a2?2ab+b2+a2?2ac+c2+b2?2bc+c2=0
a?b2+a?c2+b?c2=0
∵a?b2≥0，a?c2≥0,b?c2≥0，a?b2+a?c2+b?c2=0
∴a?b=0,a?c=0,b?c=0
∴a=b,a=c,b=c
∴a=b=c
即這個(gè)三角形是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，平方非負(fù)性的應(yīng)用，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）已知等腰三角形ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，且滿足a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形共有個(gè)．
【答案】3
【分析】先將a+bc+b+ca=24 可以化為（a+b）（c+1）=24，然后根據(jù)24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合，討論是否符合題意即可得出答案．
【詳解】解：∵a+bc+b+ca=24，
∴（a+b）+（bc+ca）=24，
∴c+1b+a=24，
∵等腰△ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，
∴a+b，c+1為大于或等于2的正整數(shù)，
那么24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①a+b =2，c+1 =12時(shí)，c=11，a+b=2，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；
②a+b =3，c+1 =8時(shí)，c=7，a+b=3，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；
③a+b =4，c+1 =6時(shí)，c=5，a+b=4，無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；
④a+b =6，c+1 =4時(shí)，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以組成等腰三角形；
⑤a+b =8，c+1 =3時(shí)，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以組成等腰三角形；
⑥a+b =12，c+1 =2時(shí)，可得 a=b=6，c=1，可以組成等腰三角形．
∴一共有3個(gè)這樣的三角形．
故答案是：3．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用及等腰三角形的知識(shí)，難度一般，在解答本題時(shí)將原式化為因式相乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合是關(guān)鍵．
【題型7 利用因式分解求最值】
【例7】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)株洲二中?？计谀┱麛?shù)a、b、c是△ABC的三條邊（a

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