TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10537" 【題型1 利用整式乘法求值】 PAGEREF _Tc10537 \h 1
\l "_Tc4449" 【題型2 利用整式乘法解決不含某項(xiàng)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc4449 \h 2
\l "_Tc604" 【題型3 利用整式乘法解決錯(cuò)看問(wèn)題】 PAGEREF _Tc604 \h 5
\l "_Tc25712" 【題型4 利用整式乘法解決遮擋問(wèn)題】 PAGEREF _Tc25712 \h 7
\l "_Tc18774" 【題型5 整式乘法的計(jì)算】 PAGEREF _Tc18774 \h 8
\l "_Tc15023" 【題型6 整式乘法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc15023 \h 9
\l "_Tc565" 【題型7 整式除法的運(yùn)算與求值】 PAGEREF _Tc565 \h 12
\l "_Tc9704" 【題型8 整式除法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc9704 \h 16
\l "_Tc9521" 【題型9 整式乘法中的新定義問(wèn)題】 PAGEREF _Tc9521 \h 18
\l "_Tc7327" 【題型10 整式乘法中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc7327 \h 22
\l "_Tc31018" 【題型11 整式乘法與面積的綜合探究】 PAGEREF _Tc31018 \h 26
【知識(shí)點(diǎn) 整式的乘法】
【題型1 利用整式乘法求值】
【例1】（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期中）若(x?1)(x+b)=x2+ax?2，則a+b的值為 ．
【答案】3
【分析】由多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可得出答案．
【詳解】解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b，
∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，
∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2，
解得：b＝2，a＝1，
∴a＋b＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）已知x2+x+1=0，則x3?x2?x+7=
【答案】9.
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，對(duì)x3?x2?x+7的前三項(xiàng)可以提出公因式x，即可發(fā)現(xiàn)解答思路.
【詳解】解：∵x2+x+1=0，
∴x3?x2?x+7=x3+x2+x?2x2?2x?2+9=xx2+x+1?2x2+x+1+9=9
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法的逆用，解題的關(guān)鍵在于尋找所求多項(xiàng)式與已知等式的關(guān)系.
【變式1-2】（2023春·上海松江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：x2+3x=10，則代數(shù)式(x?2)2+x(x+10)?5= ．
【答案】19
【分析】先把代數(shù)式(x?2)2+x(x+10)?5化簡(jiǎn)得2(x2+3x)?1，再把已知整式x2+3x=10整體代入其中即可求解.
【詳解】原式=x2?4x+4+x2+10x?5=2x2+6x?1=2(x2+3x)?1
把x2+3x=10整體代入上式：2(x2+3x)?1=2×10?1=19
故答案為19.
【點(diǎn)睛】本題主要考查整體代入的數(shù)學(xué)思想.
【變式1-3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）如果a、b、m均為整數(shù)，且x+a?x+b=x2+mx+15，則所有的m的和為 .
【答案】0
【分析】已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，利用多項(xiàng)式相等的條件即可求出m的值.
【詳解】∵(x+a)?(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15
∴a+b=m,ab=15，
∴{a=1b=15或{a=?1b=?15或{a=15b=1或{a=?15b=?1或{a=3b=5或{a=?3b=?5或{a=5b=3或{a=?5b=?3，
∴m取值有16，-16，8，-8.
則所有的m的和為0.
故答案為0.
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
【題型2 利用整式乘法解決不含某項(xiàng)問(wèn)題】
【例2】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知將（x3+mx+n）（x2-3x+4）展開(kāi)的結(jié)果不含x3和x2項(xiàng)，求m、n的值．
【答案】m=-4，n=-12.
【分析】先利用多項(xiàng)式乘法法則把多項(xiàng)式展開(kāi)，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展開(kāi)后不含x3和x2項(xiàng)，則含x3和x2項(xiàng)的系數(shù)為0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程組即可以求出m、n．
【詳解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n
=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．
∵不含x3和x2項(xiàng)，
∴4+m=0，-3m+n=0，
解得m=-4，n=-12.
【點(diǎn)睛】考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式相乘法則以及多項(xiàng)式的項(xiàng)的定義解答．
【變式2-1】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果（y+5）（y+m）的乘積中不含y的一次項(xiàng)．則m的值為（ ）
A．-5B．5C．0D．3
【答案】A
【分析】原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，根據(jù)結(jié)果不含y的一次項(xiàng)，確定出m的值即可．
【詳解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，
由結(jié)果不含y的一次項(xiàng)，得到m+5=0，
解得：m=-5，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·四川資陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a為任意實(shí)數(shù)，有多項(xiàng)式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，當(dāng)多項(xiàng)式A中不含2次項(xiàng)時(shí)，a的值為（ ）．
A．－1B．0C．?23D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出整式相乘的式子，再計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，最后進(jìn)行合并同類項(xiàng)，令二次項(xiàng)的系數(shù)等于0即可．
【詳解】解：∵M(jìn)N=x2+3ax+6x+3
=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18
=x3+3a+3x2+9a+6x+18
∴A=MN=x3+3a+3x2+9a+6x+18
∴3a+3=0
∴a=-1
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法—多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若x2+3mx?13x2?3x+n的積中不含有x與x3項(xiàng)．
(1)直接寫(xiě)出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
(2)求代數(shù)式?m2n3+9mn2+3m2014n2016的值．
【答案】(1)1，?13
(2)9427
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，然后根據(jù)積中不含有x與x3項(xiàng)可以求解m、n的值．
（2）將m、n的值代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】（1）解：x2+3mx?13x2?3x+n
=x4?3x3+nx2+3mx3?9mx2+3mnx?13x2+x?13n
=x4+(3m?3)x3+(n?9m?13)x2+(3mn+1)x?13n，
∵積中不含有x與x3項(xiàng)，
∴3m?3=0，3mn+1=0，
解得m=1，n=?13．
故答案為：1，?13．
（2）解：當(dāng)m=1，n=?13時(shí)，
?m2n3+9mn2+3m2014n2016
=?12×?133+9×1×?132+32014×?132016
=133+(?3)2+3×?132014×?132
=127+9+19
=9427．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是熟知多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算法則．
【題型3 利用整式乘法解決錯(cuò)看問(wèn)題】
【例3】（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，老師寫(xiě)出一道整式乘法題：2y+a3y+b．王建由于把第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+a”抄成了“?a”，得到的結(jié)果為6y2+5y?10；李楠由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中y的系數(shù)，得到的結(jié)果為2y2?7y+10．
（1）求正確的a，b的值；
（2）計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果．
【答案】（1）a=?3b=?2；（2）6y2?13y+6
【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，得出兩個(gè)二元一次方程，組成方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則求出答案即可．
【詳解】（1）根據(jù)王建的解法得：
2y?a3y+b=6y2+2by?3ay?ab=6y2+2b?3ay?ab=6y2+5y?10，
∴2b?3a=5①
根據(jù)李楠的解法的：
2y+ay+b=2y2+2by+ay+ab=2y2+2b+ay+ab=2y2?7y+10，
∴2b+a=?7②
聯(lián)立①②得方程組解得：a=?3b=?2；
（2）這道題的正確解法是：2y?33y?2=6y2?4y?9y+6=6y2?13y+6．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于a、b的方程組是解此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春?濰坊期末）小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘以（x﹣2y）錯(cuò)抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），則正確的結(jié)果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【分析】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：∵小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘以（x﹣2y）錯(cuò)抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），
∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
則正確計(jì)算結(jié)果為：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
故選：C．
【變式3-2】（2023春?云縣期末）在計(jì)算（x+a）（x+b）時(shí)，甲錯(cuò)把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，得到結(jié)果x2+x﹣6．你能正確計(jì)算（x+a）（x+b）嗎？（a、b都是常數(shù)）
【分析】根據(jù)甲的做法求出a的值，根據(jù)乙的做法求出b的值，代入原式中計(jì)算即可．
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，
∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，
∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）
＝（x+2）（x+3）
＝x2+5x+6．
【變式3-3】（2023春?河源期末）甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)，得到的結(jié)果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符號(hào)不抄錯(cuò)，且a＝3，請(qǐng)計(jì)算這道題的正確結(jié)果．
【分析】（1）按甲乙錯(cuò)誤的說(shuō)法計(jì)算得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；
（2）將a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．
【解答】解：（1）甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)的計(jì)算結(jié)果為：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，計(jì)算結(jié)果為：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
∴?2a+b=?7a+b=2，
解得：a=3b=?1，
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正確的計(jì)算結(jié)果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
【題型4 利用整式乘法解決遮擋問(wèn)題】
【例4】（2023春?河南月考）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對(duì)照即可得出結(jié)論．
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故選：A．
【變式4-1】（2023春?天津期末）在一次數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，小明回家后，拿出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你認(rèn)為“□”內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則計(jì)算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故選：B．
【變式4-2】（2023春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄臟了看不清楚的兩處，請(qǐng)求出m2+6mn+9n2的值．
【分析】將（x﹣1）（x2+mx+n）展開(kāi)求得m和n的值后代入代數(shù)式即可求得其值．
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，
∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
【變式4-3】（2023春?江都區(qū)期中）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，放學(xué)后，小華回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x3y2 ﹣3x2y，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為橫線上應(yīng)填寫(xiě) ﹣3x3y3 ．
【分析】直接利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，
∴橫線上應(yīng)填寫(xiě)﹣3x3y2，
故答案為：﹣3x3y2，﹣3x3y2．
【題型5 整式乘法的計(jì)算】
【例5】（2023春·重慶渝中·八年級(jí)校考期中）（1）計(jì)算：x?2x+x(x?2)；（2）(m+1)(m?5)?m(m?6)
【答案】（1）3x2?2x；（2）2m-5
【分析】（1）利用整式的混合運(yùn)算法則求解即可．
（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算方法計(jì)算即可．
【詳解】（1）x?2x+x(x?2)=2x2+x2?2x=3x2?2x.
（2）（m+1）（m-5）-m（m-6）
=m2-5m+m-5-m2+6m
=2m-5；
【點(diǎn)睛】此題考查整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.
【變式5-1】（2023春·上海·八年級(jí)期中）?12x2y2?45x2?8xy+13
【答案】15x6y2?2x5y3+112x4y2
【分析】先計(jì)算積的乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式=14x4y2?(45x2?8xy+13)
=15x6y2?2x5y3+112x4y2．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：xx+2+1+x1?x，其中x＝－2．
【答案】2x＋1，-3
【分析】原式根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則以及平方差公式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)；再代入求值即可．
【詳解】解：xx+2+1+x1?x
=x2+2x+1?x2
＝2x＋1，
當(dāng)x＝－2時(shí)，原式=2×?2+1=?3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)(a－1)(a2＋a＋1)；
(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；
(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).
【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.
【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；
（2）原式第一項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；
（3）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果.
【詳解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.
(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.
(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)
＝(6x2＋5x－6)(x－2)
＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12
＝6x3－7x2－16x＋12.
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，以及平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
【題型6 整式乘法的應(yīng)用】
【例6】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是a厘米、b厘米,如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各減少3厘米．新長(zhǎng)方形的面積比原長(zhǎng)方形的面積減少了多少平方厘米（用含的代數(shù)式表示）？
【答案】3a+3b-9
【詳解】分析：根據(jù)題意表示出原來(lái)長(zhǎng)方形與新長(zhǎng)方形的面積，相減即可得到結(jié)果；
詳解：根據(jù)題意得，
原長(zhǎng)方形的面積為：ab平方厘米，
新長(zhǎng)方形的面積為：(a?2)(b?2)平方厘米，
則新長(zhǎng)方形的面積比原長(zhǎng)方形的面積減少了：ab?(a?3)(b?3)=ab?ab+3a+3b?9=3a+3b?9(平方厘米).
點(diǎn)睛：本題考查了長(zhǎng)方形的面積和整式的混合運(yùn)算，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，整式的混合運(yùn)算是先算乘方，再算乘除，后算加減.
【變式6-1】（2023春·上海靜安·八年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)?？计谀┯瞄L(zhǎng)為24米的木條，做成一個(gè)“目”字形的窗框（如圖所示，窗框外沿ABCD是長(zhǎng)方形），若窗框的橫條長(zhǎng)度都為x米．
（1）用代數(shù)式表示長(zhǎng)方形ABCD的面積．
（2）當(dāng)x=3時(shí)，求出長(zhǎng)方形ABCD的面積．
【答案】（1）?2x2+12x；（2）18m2．
【分析】（1）根據(jù)題意“目”字形的窗框，長(zhǎng)有4段，總長(zhǎng)為4AD＝4x米，則AB＝24?4x2米，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式即可得出答案；
（2）把x＝3代入（1）中關(guān)于面積的代數(shù)式中即可得出答案．
【詳解】（1）根據(jù)題意得AB=24?4x2=12?2x，
∴S長(zhǎng)方形ABCD=(12?2x)?x=?2x2+12x．
（2）當(dāng)x=3時(shí)，?2x2+12x=?2×9+12×3
=?18+36
=18m2．
答：長(zhǎng)方形ABCD面積為18m2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)及代數(shù)式的求值，根據(jù)題意列出合理的代數(shù)式是解決本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，用一張高為30cm，寬為20cm的長(zhǎng)方形打印紙打印文檔，如果左右的頁(yè)邊距都為xcm，上下頁(yè)邊距比左右頁(yè)邊距多1cm.
（1）請(qǐng)用x的代數(shù)式表示中間打印部分的面積.
（2）當(dāng)x=2時(shí)，中間打印部分的面積是多少平方厘米？
【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.
【分析】（1）分別用含x的代數(shù)式表示出中間打印部分的高和寬，利用長(zhǎng)方形面積公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代數(shù)式，即可得答案.
【詳解】（1）∵左右的頁(yè)邊距都為xcm，上下頁(yè)邊距比左右頁(yè)邊距多1cm，
∴中間打印部分的高為30-2(x+1)=28-2x,寬為20-2x，
∴中間打印部分的面積為(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.
（2）由（1）得中間打印部分的面積為4x2-96x+560，
∴當(dāng)x=2時(shí)，中間打印部分的面積為4×22-96×2+560=384(cm2).
答：當(dāng)x=2時(shí)，中間打印部分的面積是384cm2.
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意，根據(jù)圖示表示出中間打印部分的高和寬是解題關(guān)鍵.
【變式6-3】（2023春·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去a，同時(shí)B區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上3a，且均顯示化簡(jiǎn)后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．
例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．
(1)那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為_(kāi)_____，B區(qū)顯示的結(jié)果為_(kāi)_____．
(2)計(jì)算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當(dāng)a＝1時(shí)，代數(shù)式乘積的值．
【答案】(1)A區(qū)顯示的結(jié)果為-2a+25；B區(qū)顯示的結(jié)果為6a-16
(2)?12a2+182a?400；代數(shù)式乘積的值為?230
【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，然后將a＝1代入求值即可．
【詳解】（1）第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為25?2a ，B區(qū)顯示的結(jié)果為6a?16
故答案為：25?2a，6a?16
（2）（-2a+25）（6a-16）
=?12a2+182a?400
當(dāng)a＝1時(shí)
原式=﹣12+182﹣400=?230
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，準(zhǔn)確理解題意，并熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)2 整式的除法】
【題型7 整式除法的運(yùn)算與求值】
【例7】（2023春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算27a2÷13a3÷9a2的順序不正確的是（ ）
A．27a2÷(13a3÷9a2)B．(27a2÷13a3)÷9a2
C．(27÷13÷9)a2?3?2D．(27a2÷9a2)÷13a
【答案】A
【分析】本題是單項(xiàng)式的連除運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算順序、除法的性質(zhì)及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則即可求解．
【詳解】解：A、∵27a2÷(13a3÷9a2)=27a2÷127a=729a，27a2÷13a3÷9a2=81a?1÷9a2=9a?3，
∴27a2÷(13a3÷9a2)≠27a2÷13a3÷9a2，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、根據(jù)運(yùn)算順序連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)即從左往右依次計(jì)算，可知27a2÷13a3÷9a2=(27a2÷13a3)÷9a2，故B項(xiàng)正確；
C、根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，可知27a2÷13a3÷9a2=(27÷13÷9)a2?3?2，故C項(xiàng)正確；
D、根據(jù)運(yùn)算順序及除法的性質(zhì)，可知27a2÷13a3÷9a2=(27a2÷9a2)÷13a，故D項(xiàng)正確．
故選∶A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了連除的運(yùn)算順序及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則．熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知4m2?7m+6=0，求代數(shù)式3m2?2m÷m?(2m?1)2的值．
【答案】3
【分析】首先求出4m2?7m=?6，再根據(jù)完全平方公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式化簡(jiǎn)代數(shù)式得出原式?4m2+7m?3，代入即可得出答案．
【詳解】解：∵ 4m2?7m+6=0
∴ 4m2?7m=?6
∴ 3m2?2m÷m?(2m?1)2
=3m?2?4m2?4m+1
=3m?2?4m2+4m?1
=?4m2+7m?3
=?4m2?7m?3
=6?3
=3．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，得出4m2?7m=?6，正確化簡(jiǎn)代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023·四川·石室佳興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式2x2﹣4x﹣1除以一個(gè)多項(xiàng)式A，得商式為2x，余式為x﹣1，則這個(gè)多項(xiàng)式A＝_____．
【分析】根據(jù)“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多項(xiàng)式除單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加，計(jì)算即可．
【解答】解：由題意可得：
A=(2x2?4x?1)?(x?1)÷2x
=(2x2?5x)÷2x
=x?52
故答案為：x?52
【變式7-3】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：由兩個(gè)或兩類對(duì)象在某些方面的相同或相似，得出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频耐评矸椒ń蓄惐确?多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式可以類比于多位數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算．
如圖1：

∴278÷12=232，
∴x3+2x2?3÷x?1=x2+3x+3．
即多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式用豎式計(jì)算，步驟如下：
①把被除式和除式按同一字母的指數(shù)從大到小依次排列（若有缺項(xiàng)用零補(bǔ)齊）．
②用豎式進(jìn)行運(yùn)算．
③當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)，運(yùn)算終止，得到商式和余式.若余式為零，說(shuō)明被除式能被除式整除．
例如：x3+2x2?3÷x?1=x2+3x+3余式為0，∴x3+2x?3能被x?1整除．
根據(jù)閱讀材料，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)多項(xiàng)式x2+5x+6除以多項(xiàng)式x+2，所得的商式為_(kāi)_____ ；
(2)已知x3+2x2?ax?10能被x?2整除，則a= ______ ；
(3)如圖2，有2張A卡片，21張B卡片，40張C卡片，能否將這63片拼成一個(gè)與原來(lái)總面積相等且一邊長(zhǎng)為a+8b的長(zhǎng)方形？若能，求出另一邊長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)x+3
(2)3
(3)能，另一邊長(zhǎng)為2a+5b
【分析】（1）列豎式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（2）列豎式計(jì)算，根據(jù)整除的意義，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)倍數(shù)即可得到答案；
（3）根據(jù)題意，得到63張卡片的總面積為2a2+21ab+40b2，列豎式計(jì)算，根據(jù)2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．
【詳解】（1）解：列豎式如下：
x+2x+3x2+2x3x+63x+60
∴多項(xiàng)式x2+5x+6除以多項(xiàng)式x+2，所得的商式為x+3，
故答案為：x+3；
（2）列豎式如下：
x?2x2+4x+8?ax3?2x24x2?ax?104x2?8x8?ax?108?ax?28?a28?a?10
∵x3+2x2?ax?10能被x?2整除，
∴2（8?a）?10=0，
解得：a=3，
故答案為：3；
（3）解：能，理由如下：
根據(jù)題意，A卡片的面積是a2，B卡片的面積是ab，C卡片的面積是b2，
∴2張A卡片，21張B卡片，40張C卡片的總面積為2a2+21ab+40b2，
列豎式如下：
a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b20
∵余式為0，
∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式為2a+5b，
∴可以拼成與原來(lái)總面積相等且一邊長(zhǎng)為（a+8b）的長(zhǎng)方形，另一邊長(zhǎng)為（2a+5b）．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用豎式計(jì)算整式的除法，解題關(guān)鍵是注意同類項(xiàng)的對(duì)應(yīng)，理解被除式=除式×商式+余式．
【題型8 整式除法的應(yīng)用】
【例8】（2023春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某農(nóng)場(chǎng)種植了蔬菜和水果，現(xiàn)在還有兩片空地，農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產(chǎn)量不同，其中白黃瓜的畝產(chǎn)量是青黃瓜的12，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產(chǎn)量是白黃瓜與青黃瓜產(chǎn)量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為 ．
【答案】5:8:12
【分析】設(shè)青黃瓜的畝產(chǎn)量為x，則白黃瓜的畝產(chǎn)量為12x，白黃瓜的種植面積為2y，青黃瓜的種植面積為3y，水果黃瓜的種植面積為4y，據(jù)此求出水果黃瓜的產(chǎn)量是8xy，進(jìn)而得到水果黃瓜的畝產(chǎn)量為2x，再根據(jù)種植面積的比值即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)青黃瓜的畝產(chǎn)量為x，則白黃瓜的畝產(chǎn)量為12x，白黃瓜的種植面積為2y，青黃瓜的種植面積為3y，水果黃瓜的種植面積為4y，
∴青黃瓜的產(chǎn)量為3xy，白黃瓜的產(chǎn)量為xy，
∴水果黃瓜的產(chǎn)量是23xy+xy=8xy，
∴水果黃瓜的畝產(chǎn)量為8xy4y=2x，
∴當(dāng)種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為5×12x:4x:3×2x=5:8:12，
故答案為：5:8:12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減計(jì)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，正確根據(jù)題意求出水果黃瓜的畝產(chǎn)量為2x是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的，大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：52a、2a、32a，小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：2a、a、a2；配件②是一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為a
（1）生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長(zhǎng)體積的原材料（不計(jì)損耗）？
（2）若兩個(gè)配件①與一個(gè)配件②可以用于加工一個(gè)玩具，每個(gè)玩具在市場(chǎng)銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？
【分析】（1）先算出兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出棱長(zhǎng)為a的正方體體積，即可得出配件②的體積；
（2）根據(jù)題意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．
【解答】解：（1）生產(chǎn)配件①需要的原材料的體積是：52a?2a?32a+2a?a?a2=172a3；
生產(chǎn)配件②需要的原材料的體積是：a?a?a＝a3；
（2）根據(jù)題意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），
答：1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利50003元．
【變式8-2】（2023春?蜀山區(qū)期中）愛(ài)動(dòng)腦筋的麗麗與娜娜在做數(shù)學(xué)小游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，麗麗報(bào)的整式A作被除式，娜娜報(bào)的整式B作除式，要求商式必須為﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若麗麗報(bào)的是x3y﹣6xy2，則娜娜應(yīng)報(bào)什么整式？
（2）若娜娜也報(bào)x3y﹣6xy2，則麗麗能報(bào)一個(gè)整式嗎？若能，則是個(gè)什么整式？說(shuō)說(shuō)你的理由．
【分析】根據(jù)A÷B＝﹣3xy，可知：
（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=?13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，
∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=?13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3
【變式8-3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩個(gè)同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為3千米/小時(shí)，乙步行的速度是5千米/小時(shí)，兩人騎車的速度都是15千米/小時(shí).現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時(shí)從A地出發(fā)，走了一段路程后，乙放下自行車步行，甲到乙放自行車的地方處改騎自行車.后面不斷這樣交替進(jìn)行，兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？
【答案】457千米/小時(shí)．
【分析】根據(jù)題意甲、乙從A地到B地，即甲步行共走的路程恰好等于乙騎車共走的路程；甲騎車共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先設(shè)甲步行共走x千米，騎車共走y千米，則乙騎車共行x千米，步行共行y千米．再根據(jù)路程=速度×?xí)r間，且甲、乙兩人行走過(guò)程中經(jīng)過(guò)的時(shí)間相同，那么可列出方程x3+y15=x15+y5，解方程可得y用x表示表達(dá)式．再根據(jù)平均速度=總路程總時(shí)間，在求解過(guò)程中約去x，即可甲走完全程的平均速度．
【詳解】解：設(shè)甲步行共走x千米，騎車共走y千米，則乙騎車共行x千米，步行共行y千米．
則根據(jù)題意，得x3+y15=x15+y5，
解得y=2x．
故甲的平均速度為(x+y)÷x3+y15=457（千米/時(shí)）；
答：甲走完全程的平均速度457（千米/時(shí)）．
【點(diǎn)睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用．本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出路線草圖，明白甲步行共走的路程恰好等于乙騎車共走的路程，甲騎車共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解過(guò)程中能夠約去未知數(shù)．
【題型9 整式乘法中的新定義問(wèn)題】
【例9】（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）海倫是古希臘數(shù)學(xué)家，約公元62年左右活躍于亞歷山大，年青時(shí)海倫酷愛(ài)數(shù)學(xué)，他的代表作《量度論》主要是研究面積、體積和幾何分比問(wèn)題，其中一段探究三角形面積的方法翻譯如下：如圖，設(shè)三角形面積為S，以三角形各邊為邊向外作正方形，三個(gè)正方形的面積分別記作S1、S2、S3，定義：S=S1+S2+S32；S′1=S?S1；S′2=S?S2；S′3=S?S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)s=4S2．如：三角形三條邊分別為13、14、15，則S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S3′=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面積S=84．
(1)若S1=3，S2=4，S3=5，則S=_______．Fs=_______．
(2)當(dāng)S′1=x?3；S′2=x+3；S′3=5?x時(shí)．
①求Fs的表達(dá)式；
②若S1+S2+S3=20，求三角形的面積．
【答案】(1)6，11
(2)①?x2+10x?9；②三角形的面積S=2．
【分析】（1）根據(jù)定義計(jì)算即可求解；
（2）①根據(jù)Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，利用整式乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；
②先求得S的值，再根據(jù)定義分別求得S1、S2、S3的值，根據(jù)S1+S2+S3=20，求得x=5，代入①中即可求解.
【詳解】（1）解：∵S1=3，S2=4，S3=5，
∴S=S1+S2+S32=3+4+52=6，
S′1=S?S1=6?3=3；S′2=S?S2=6?4=2；S′3=S?S3=6?5=1；
∴Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1=3×2+2×1+1×3=11；
故答案為：6，11；
（2）解：①∵S′1=x?3；S′2=x+3；S′3=5?x，
∴Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1
=(x?3)(x+3)+(x+3)(5?x)+(5?x)(x?3)
=x2?9+5x?x2+15?3x+5x?15?x2+3x
=?x2+10x?9；
②∵S1+S2+S3=20，
∴S=S1+S2+S32=10，
∴S1′=S?S1=10?S1=x?3，故S1=10?(x?3)=13?x；
S2′=S?S2=10?S2=x+3，故S2=10?(x+3)=7?x；
S3′=S?S3=10?S3=5?x，故S3=10?(5?x)=5+x；
∴S1+S2+S3=13?x+7?x+5+x=25?x=20，
∴x=5，
∴FS=?x2+10x?9=?52+10×5?9=16，
∴S2=Fs÷4=16÷4=4，
故三角形的面積S=2．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法的應(yīng)用，掌握新定義的內(nèi)容，整式乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
【變式9-1】（2023春·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）定義新運(yùn)算abcd=ad+3b?2c，如1537=1×7+3×5?2×3=7+15?6=16．
（1）計(jì)算23?14的值；
（2）化簡(jiǎn)：x+y7xy?x22xy?3x2+1?3x?y．
【答案】（1）19；（2）?y2+13xy?2．
【分析】（1）根據(jù)定義的新運(yùn)算，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可；
（2）把相關(guān)式子代入，進(jìn)行整式運(yùn)算即可．
【詳解】（1）23?14=2×4+3×3?2×(?1)
=19．
（2）x+y7xy?x22xy?3x2+1?3x?y=(x+y)(?3x?y)+37xy?x2?22xy?3x2+1
=?3x2?4xy?y2+21xy?3x2?4xy+6x2?2
=?y2+13xy?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式的混合運(yùn)算，正確理解定義的新運(yùn)算的含義，根據(jù)數(shù)（式）位置確定a、b、c、d的值是解題關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·安徽六安·八年級(jí)六安市第九中學(xué)?？计谥校┙o出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b,c)叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c的特征系數(shù)對(duì)，把關(guān)于x的二次多項(xiàng)式ax2+bx+c叫做有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b,c)的特征多項(xiàng)式．
(1)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3x2+2x?1的特征系數(shù)對(duì)為_(kāi)_________；
(2)求有序?qū)崝?shù)對(duì)(1,4,4)的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)(1,?4,4)的特征多項(xiàng)式的乘積；
(3)有序?qū)崝?shù)對(duì)(2,1,1)的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,?2,4)的特征多項(xiàng)式的乘積不含x2項(xiàng)，求a的值；
【答案】(1)（3，2，-1）；
(2)x4?8x2+16；
(3)-6
【分析】（1）根據(jù)定義得到a，b，c的值即可得到答案；
（2）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義得到兩個(gè)多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)定義得到特征多項(xiàng)式，計(jì)算乘積，根據(jù)特征多項(xiàng)式的乘積不含x2項(xiàng)得到x2項(xiàng)的系數(shù)等于0，由此求出a．
【詳解】（1）解：由定義得a=3，b=2，c=-1，
∴二次多項(xiàng)式3x2+2x?1的特征系數(shù)對(duì)為（3，2，-1），
故答案為：（3，2，-1）；
（2）有序?qū)崝?shù)對(duì)(1,4,4)的特征多項(xiàng)式為x2+4x+4，
有序?qū)崝?shù)對(duì)(1,?4,4)的特征多項(xiàng)式為x2?4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2?4x+4）
=x+22x?22
=x+2x?22
=x2?42
=x4?8x2+16；
（3）有序?qū)崝?shù)對(duì)(2,1,1)的特征多項(xiàng)式為2x2+x+1，
有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,?2,4)的特征多項(xiàng)式為ax2?2x+4，
∴（2x2+x+1）（ax2?2x+4）=2ax4+a?4x3+6+ax2+2x+4，
∵乘積不含x2項(xiàng)，
∴6+a=0，
解得a=-6．
【點(diǎn)睛】此題考查了新定義，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則，以及多項(xiàng)式不含項(xiàng)的應(yīng)用，正確理解新定義得到多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，解答下列問(wèn)題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于?1，記為i2＝?1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部， b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：(2?i)+(5+3i)＝(2+5)+(?1+3)i＝7+2i；
(1+i)×(2?i)＝1×2?i+2×i?i2＝2+(?1+2)i+1＝3+i；
根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：
（1）填空：i3＝________，i4＝________；
（2）計(jì)算：（2＋3i）×（3－4i）；
（3）計(jì)算：i＋i2＋i3＋…＋i2019．
【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.
【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計(jì)算，再合并即可求解．
【詳解】解：（1）由題意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，
故答案為-i，1；
（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；
（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4?i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…
且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，
同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五項(xiàng)第于第一項(xiàng)，第六項(xiàng)等于第二項(xiàng)…
∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的定義，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵．
【題型10 整式乘法中的規(guī)律探究】
【例10】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若正整數(shù)a，b的和為10，則稱a，b“互補(bǔ)”，如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字“互補(bǔ)”（如24與26，52與58，簡(jiǎn)稱它們“首同尾補(bǔ)”）；那么這兩個(gè)數(shù)的積是三位數(shù)或四位數(shù)，其末尾的兩位數(shù)等于兩數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積，其起始的一位或兩位數(shù)等于兩數(shù)的十位數(shù)字與比這個(gè)十位數(shù)字大1的數(shù)之積．
例如：24×26=624（積中的6=2×2+1，24=4×6）
52×58=3016（積中的30=5×5+1，16=2×8）
(1)直接寫(xiě)出下列各式運(yùn)算結(jié)果：95×95=______，81×89=______；
(2)用ab和ac分別表示兩個(gè)兩位數(shù)，其中a表示十位數(shù)字，b和c表示它們的個(gè)位數(shù)字，且b+c=10，
①依據(jù)題意，兩位數(shù)ab表示為_(kāi)_____，兩位數(shù)ac表示為_(kāi)_____；
②上述速算規(guī)律可用等式表示為_(kāi)_________________；
③試說(shuō)明②中等式的正確性．
【答案】(1)9025，7209
(2)①10a+b，10a+c；②ab×ac=100aa+1+bc；③見(jiàn)解析
【分析】（1）先判斷95，95與81，89都是“首同尾補(bǔ)”數(shù)，再根據(jù)已知的方法求解即可；
（2）①根據(jù)兩位數(shù)的表示方法解答即可；
②根據(jù)已知的方法結(jié)合整數(shù)的乘法解答即可；
③根據(jù)多項(xiàng)式的乘法結(jié)合已知b+c=10即可解答．
【詳解】（1）解：∵95，95與81，89都是“首同尾補(bǔ)”數(shù)，
∴95×95=9025，81×89=7209；
故答案為：9025，7209；
（2）①依據(jù)題意，兩位數(shù)ab表示為10a+b，兩位數(shù)ac表示為10a+c；
故答案為：10a+b，10a+c；
②上述速算規(guī)律可用等式表示為ab×ac=100aa+1+bc；
故答案為：ab×ac=100aa+1+bc；
③∵b+c=10，
∴ab×ac=10a+b10a+c
=100a2+10ac+10ab+bc
=100a2+10ab+c+bc
=100a2+100a+bc
∵100aa+1+bc=100a2+100a+bc，
∴ab×ac=100aa+1+bc．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算以及規(guī)律應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握多項(xiàng)式的乘法法則是關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在運(yùn)算中，我們?nèi)绻芸偨Y(jié)規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學(xué)公式，一定會(huì)提高解題的速度．在解答下列問(wèn)題中，請(qǐng)?zhí)骄科渲械囊?guī)律．
(1)計(jì)算后填空：x+2x+3=_________；
x?1x+4=_________；
x?3x?2=_________；
(2)歸納猜想后填空：x+ax+b=x2+______x+______
(3)運(yùn)用（2）中得到的結(jié)論，直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：x?2x+n=______．
【答案】(1)x2+5x+6；x2+3x?4；x2?5x+6
(2)a+b，ab
(3)x2+n?2x?2n
【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果得出規(guī)律即可；
（3）根據(jù)x+ax+b=x2+a+bx+ab得出即可．
【詳解】（1）(x+2)(x+3)=x2+5x+6
(x?1)(x+4)=x2+3x?4
(x?3)(x?2)=x2?5x+6
故答案為：x2+5x+6；x2+3x?4；x2?5x+6．
（2）x+ax+b=x2+a+bx+ab
故答案為：a+b，ab．
（3）x?2x+n=x2+n?2x?2n
故答案為：x2+n?2x?2n．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
【變式10-2】（2023春·安徽六安·八年級(jí)六安市第九中學(xué)校考期中）觀察下面的幾個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決下列問(wèn)題．
①16×14=224=1×1+1×100+6×4；
②23×27=621=2×2+1×100+3×7；
③32×38=1216=3×3+1×100+2×8；
…
(1)按照上面的規(guī)律，依照上面的書(shū)寫(xiě)格式，直接寫(xiě)出81×89的結(jié)果______．
(2)試說(shuō)明上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（提示：可設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)分別是10n+a，10n+b，其中n，a，b均為1～9的整數(shù)，且a+b=10）．
【答案】(1)7209
(2)10n+a10n+6=100nn+1+ab
【分析】（1）觀察上面幾個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)：左邊兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字和是10；則右邊的結(jié)果是一個(gè)四位數(shù)，其中個(gè)位和十位上的數(shù)是左邊兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位相乘，百位和千位上的數(shù)是左邊十位上的數(shù)字和大于十位數(shù)字1的數(shù)相乘．根據(jù)這一規(guī)律即可寫(xiě)出81×89=7209；
（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，用字母表示出來(lái)，然后運(yùn)用公式展開(kāi)進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）解：81×89=8×(8+1)×100+1×9=7209，
故答案為：7209；
（2）解：設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)分別是10n+a，10n+b．其中a+b=10
10n+a10n+b
=10n2+a+b10n+ab
=10n2+10n×10+ab
=100n2+100n+ab
=100nn+1+ab
【點(diǎn)睛】此題主要考查運(yùn)算規(guī)律探索與運(yùn)用，認(rèn)真觀察算式中存在的規(guī)律，并結(jié)合它們靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，在證明中，整式的運(yùn)算法則是基礎(chǔ)．
【變式10-3】（2023春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）八年級(jí)某班數(shù)學(xué)小組研究系列算式：12×21，23×32，34×43．．．．，將算式計(jì)算過(guò)程進(jìn)行變形后，得到如下規(guī)律：
12×21=121×12+1+10；
23×32=121×22+2+10；
34×43=121×32+3+10；
……
(1)根據(jù)以上規(guī)律，直接寫(xiě)出78×87的相應(yīng)變形算式；
(2)請(qǐng)用含n的代數(shù)式直接表示10n+n+1與10n+10+n之積的計(jì)算結(jié)果，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證結(jié)果的正確性．
【答案】(1)78×87=121×72+7+10
(2)10n+n+1?10n+10+n=121×n2+n+10，驗(yàn)證見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出等式即可；
（2）先根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出結(jié)果，再利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則驗(yàn)證即可．
【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律，得78×87=121×72+7+10；
（2）10n+n+1?10n+10+n=121×n2+n+10；
驗(yàn)證如下：
10n+n+1?10n+10+n
=11n+111n+10
=121n2+121n+10
=121×n2+n+10．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，熟練掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．
【題型11 整式乘法與面積的綜合探究】
【例11】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期中）從一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片（如圖1）上剪去兩個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，得到一個(gè)美術(shù)字“5”的圖案（如圖2），再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新長(zhǎng)方形（如圖3）．

(1)求：新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)（用含有a，b的式子表示），
(2)求：美術(shù)字“5”的圖案的面積（用含有a，b的式子表示）．
(3)若a=8，剪去的小長(zhǎng)方形的寬為1，求新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和美術(shù)字“5”的圖案的面積．
【答案】(1)4a?8b
(2)4ab?3b2
(3)52
【分析】（1）根據(jù)圖1和圖2得出：新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a?b，寬為a?3b，然后再進(jìn)行計(jì)算．
（2）用正方形的面積減去新長(zhǎng)方形的面積，列式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)小長(zhǎng)方形的寬為1，可知新長(zhǎng)方形的寬為2，所以a?3b=2，再把a(bǔ)=8代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周長(zhǎng)與面積代數(shù)式，計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a?b，寬為a?3b，
∴新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=2a?b+a?3b=4a?8b；
（2）解：a2?a?ba?3b
=a2?a2?4ab+3b2
=a2?a2+4ab?3b2
=4ab?3b2；
（3）解：∵小長(zhǎng)方形的寬為1，可知新長(zhǎng)方形的寬為2，
∴a?3b=2
∵a=8
∴b=2
∴新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=4a?8b=4×8?8×2=16，
美術(shù)字“5”的圖案的面積=4ab?3b2=4×8×2?3×22=52．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握列代數(shù)式和代數(shù)式的求值是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合題意的應(yīng)用．
【變式11-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將兩張大小完全一樣的長(zhǎng)方形紙片和另兩張大小完全一樣的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，其中長(zhǎng)方形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等．設(shè)大正方形邊長(zhǎng)PD=x，小正方形邊長(zhǎng)GH=y，則圖中陰影部分的面積 ．

【答案】2xy
【分析】根據(jù)題意表示出AM、BQ、PD、CN的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算，再計(jì)算中間小正方形的面積，即可得出陰影部分的面積．
【詳解】解：∵四邊形MEQB和四邊形PDNG是大小完全一樣的正方形，
∴PD=PG=ME=BQ=x，PD⊥PG，BQ⊥EQ，
∵四邊形EHGF是正方形，
∴EH=GH=GF=EF=y
∵PD=x，GH=y，
∴PH=PG?GH=x?y=AM，
∵四邊形APHM和四邊形FNCQ是兩張大小完全一樣的長(zhǎng)方形紙片，
∴AM⊥MH，CN⊥FN，CN=AM=x?y，
∴S陰影=S△AEH+S△EFB+S△FGC+S△GHD+S正方形EHGF
=12?y?x?y+12?y?x+12?y?x?y+12?y?x+y2
=2xy，
故答案為：2xy．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，三角形的面積計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)字母表示各圖形的線段長(zhǎng)．
【變式11-2】（2023春·湖北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)要在長(zhǎng)方形草坪中規(guī)劃出3塊大小，形狀一樣的小長(zhǎng)方形（圖中陰影部分）區(qū)域種植鮮花．設(shè)大長(zhǎng)方形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別am和bm，小長(zhǎng)方形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為xm和ym．
(1)如圖1，若a=45，b=60，求x和y的值；

(2)如圖2，

①若小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為4m，求大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；
②若y比x大3，求種植草坪（空白部分）面積比種植鮮花（陰影部分）的面積的2倍多多少？
【答案】(1)x=10y=25
(2)①12m；②18m2
【分析】（1）根據(jù)大長(zhǎng)方形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a=45，b=60，列出方程組計(jì)算可求小長(zhǎng)方形的相鄰兩邊長(zhǎng)．
（2）①由小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為4m，求得x+y=2，列式求得大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，再整體代入計(jì)算即可求解；
②依題意得(2x+y)(x+2y)?3xy?6xy，去括號(hào)，整理，再將y?x=3整體代入即可求解．
【詳解】（1）解：依據(jù)題意得，x+2y=602x+y=45，
解得x=10y=25，
所以x和y的值分別為10和25；
（2）解：①由題意得，2x+y=4，所以x+y=2，
所以大方形的周長(zhǎng)為2(2x+y+x+2y)=6(x+y)=12m．
②因?yàn)閥?x=3，
所以(2x+y)(x+2y)?3xy?6xy
=2x2+5xy+2y2?3xy?6xy
=2x2?4xy+2y2
=2(y?x)2 =18m2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，列代數(shù)式，整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
【變式11-3】（2023春·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)校考期中）7張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為bb>0的小長(zhǎng)方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)；未被覆蓋的部分（兩個(gè)長(zhǎng)方形）用陰影表示．

(1)如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為_(kāi)___________（用含a,b的代數(shù)式表示），長(zhǎng)方形ABCD的面積為_(kāi)___________（用含a,b的代數(shù)式表示）
(2)如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，CP=x.
①用含a,b,x的代數(shù)式表示AE；
②當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，要使S始終保持不變，那么a,b必須滿足什么條件?
【答案】(1)a2?12b2；a2+7ab+12b2
(2)①AE=x+4b?a；②a=3b
【分析】（1）右下角的圖形為邊長(zhǎng)為a的正方形，左上角圖形為長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)和寬分別為4b，3b，分別計(jì)算面積作差即可，找到長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為a+4b，a+3b，計(jì)算面積即可；
（2）①根據(jù)AE+DE=BP+CP進(jìn)行求解即可；②分別表示出右下角和左上角的長(zhǎng)方形面積，進(jìn)而把S表示出來(lái)，令含x的項(xiàng)的系數(shù)為0，即可得到S與BC長(zhǎng)度無(wú)關(guān)．
【詳解】（1）解：如圖2所示，右下角的圖形為邊長(zhǎng)為a的正方形，面積為a2．
左上角圖形為長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)和寬分別為4b，3b，面積為4b?3b=12b2 ．
∴右下角與左上角的陰影部分的面積的差為a2?12b2．
∵矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為a+4b，a+3b，
∴矩形ABCD的面積為a+4ba+3b=a2+7ab+12b2
故答案為：a2?12b2；a2+7ab+12b2；
（2）解：①由題意得，AE+DE=BP+CP，
∴AE+a=x+4b，
∴AE=x+4b?a；
②圖3中，右下角的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬分別為x，a，則面積為xa．
左上角長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬分別為x+4b?a，3b，則面積為3bx+4b?a．
∴S=xa?3bx+4b?a
整理得到，S=xa?3bx?12b2+3ab=xa?3b?12b2+3ab
當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，S始終保持不變，則a?3b=0時(shí)成立，即a=3b．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)各部分圖形的邊長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，準(zhǔn)確表示出面積的代數(shù)式，需要注意的是，長(zhǎng)方形的對(duì)邊與對(duì)邊長(zhǎng)度相等，可互相等量代換求得其他線段的長(zhǎng)度．
單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，字母相乘．
單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．
多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．
單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，字母相除．
多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：除法性質(zhì)．
多項(xiàng)式÷多項(xiàng)式：大除法．

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