中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專(zhuān)題14.2 全等三角形的判定【八大題型】（舉一反三）（滬科版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc30753" 【題型1 全等三角形的判定條件】 PAGEREF _Tc30753 \h 1
\l "_Tc22248" 【題型2 靈活選擇判定方法證明兩個(gè)三角形全等】 PAGEREF _Tc22248 \h 5
\l "_Tc23134" 【題型3 運(yùn)用全等三角形證明線段相等或角相等】 PAGEREF _Tc23134 \h 9
\l "_Tc8972" 【題型4 運(yùn)用全等三角形證明線段間的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc8972 \h 13
\l "_Tc30844" 【題型5 運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題】 PAGEREF _Tc30844 \h 17
\l "_Tc12211" 【題型6 作輔助線構(gòu)造全等三角形證明線段間的和差倍分關(guān)系】 PAGEREF _Tc12211 \h 21
\l "_Tc20909" 【題型7 與三角形全等有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)探究題】 PAGEREF _Tc20909 \h 25
\l "_Tc2642" 【題型8 與三角形全等有關(guān)的線段或角之間的規(guī)律的探究題】 PAGEREF _Tc2642 \h 31
【知識(shí)點(diǎn) 全等三角形的判定】
【題型1 全等三角形的判定條件】
【例1】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°．在以下條件：①AC=BD；②AD=BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再選一個(gè)條件，就能使△ABC≌△BAD，共有（）選擇．
A．2種B．3種C．4種D．5種
【答案】C
【分析】先得到∠C=∠D=90°，若添加AC=BD，則可根據(jù)“HL”判斷△ABC≌△BAD；若添加BC=AD，則可根據(jù)“HL”判斷△ABC≌△BAD；于是AC=BD，然后利用前面的結(jié)論可得到△ABC≌△BAD；若添加OA=OB，則∠ABC=∠BAD，于是可利用“AAS”判斷△ABC≌△BAD；若添加∠BAC=∠ABD，則可直接利用“AAS”判斷△ABC≌△BAD．
【詳解】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BADHL，所以（1）正確；
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BADHL，所以（2）正確；
∵OA=OB，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D∠ABC=∠BADAB=BA，
∴△ABC≌△BADAAS，所以（4）正確；
在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D∠BAC=∠ABDAB=BA，
∴△ABC≌△BADAAS，所以（3）正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且∠B=∠C．請(qǐng)結(jié)合圖形，補(bǔ)充1個(gè)條件，使△ABE≌△ACD，則可以添加的條件是__________．

【答案】AB=AC（答案不唯一，合理即可）
【分析】根據(jù)已知條件推出兩組相等的角，再根據(jù)判定方法添加條件即可．
【詳解】解：由題意，∠B=∠C，∠A=∠A，
若添加條件AB=AC，可根據(jù)“ASA”證明全等，
故答案為：AB=AC（答案不唯一，合理即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定條件的確定，掌握判斷全等三角形的方法是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在△ABE與△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使這兩個(gè)三角形全等，還需具備的條件是（）
A．∠E=∠CB．∠ABD=∠CBEC．∠ABE=∠DBED．∠A=∠D
【答案】B
【分析】本題要判定△ABE≌△DBC，已知BC=BE，AB=DB，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加∠ABD=∠CBE后可根據(jù)SAS判定兩三角形全等．
【詳解】解：A.添加∠E=∠C，結(jié)合BC=BE，AB=DB，根據(jù)SSA不能證明△ABE≌△DBC，故選項(xiàng)A不符合題意；
B.添加∠ABD=∠CBE．
∵∠ABD=∠CBE
∴∠ABD+∠DCE=∠CBE+∠DCE，即∠ABE=∠CBD
∵BC=BE，AB=DB，
∴△ABE≌△DBC
故選項(xiàng)B符合題意；
C.添加∠ABE=∠DBE不能得出∠ABD=∠CBE，故不能根據(jù)SAS判定△ABE≌△DBC，故選項(xiàng)C不符合題意；
D. ∠A=∠D，結(jié)合BC=BE，AB=DB，根據(jù)SSA不能證明△ABE≌△DBC，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)課上，甲乙兩位同學(xué)玩數(shù)學(xué)游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對(duì)△ABC及△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角添加一組等量條件（點(diǎn)A′，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），某輪添加條件后，若能判定△ABC與△A′B′C′全等，則當(dāng)輪添加條件者失敗，另一人獲勝．
上表記錄了兩人游戲的部分過(guò)程，則下列說(shuō)法正確的是___________．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①若第3輪甲添加∠C=∠C′=45°，則甲獲勝；
②若第3輪甲添加BC=B′C′=3cm，則甲必勝；
③若第2輪乙添加條件修改為∠A=∠A′=90°，則乙必勝；
④若第2輪乙添加條件修改為BC=B′C′=3cm，則此游戲最多4輪必分勝負(fù)．
【答案】②③④
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：①若第3輪甲添加∠C=∠C′=45°，可根據(jù)角角邊判定△ABC與△A′B′C′全等，則乙獲勝，故本說(shuō)法錯(cuò)誤；
②若第3輪甲添加BC=B′C′=3cm，
如圖，當(dāng)∠A=35°，AB=2時(shí)，以B為圓心，3為半徑畫(huà)弧，與射線AD相交于點(diǎn)C，
，
此時(shí)交點(diǎn)C是唯一的，
故甲添加BC=B′C′=3cm時(shí)，△ABC與△A′B′C′全等，
故甲獲勝，故本說(shuō)法正確；
③若第2輪乙添加條件修改為∠A=∠A′=90°，
若第3輪甲添加一邊相等，可根據(jù)邊角邊或斜邊直角邊判定△ABC與△A′B′C′全等，則乙獲勝，
若第3輪甲添加一角相等，可根據(jù)角角邊或角邊角判定△ABC與△A′B′C′全等，則乙獲勝，
故乙必勝，故本說(shuō)法正確；
④若第2輪乙添加條件修改為BC=B′C′=3cm，
第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定△ABC與△A′B′C′全等，則乙獲勝；
甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定△ABC與△A′B′C′全等，
第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定△ABC與△A′B′C′全等，則乙獲勝；乙若添加一組角相等，滿足角角邊（或角邊角），能判定△ABC與△A′B′C′全等，則甲獲勝，
此時(shí)此游戲4輪能分勝負(fù)，故本說(shuō)法正確．
故答案為：②③④
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【題型2 靈活選擇判定方法證明兩個(gè)三角形全等】
【例2】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的高BD與CE相交于點(diǎn)O，OD＝OE，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)M，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中三對(duì)全等的直角三角形，并選擇其中一對(duì)全等三角形進(jìn)行證明．
【答案】圖中全等的直角三角形有：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，證明見(jiàn)解析
【分析】結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法證明即可．
【詳解】解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．
理由如下：
在△ADO與△AEO中，∠ADO=∠AEO=90°，
OA=OAOD=OE，
∴△ADO≌△AEOHL，
∴∠DAO=∠EAO，AD=AE，
在△DOC與△EOB中，
∠ODC=∠OEB=90°OD=OE∠DOC=∠EOB
∴△DOC≌△EOBASA，
∴DC=EB，OC=OB，
∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，
∵∠DAO=∠EAO，
∴AM⊥BC，CM=BM．
在△COM與△BOM中，∠OMC=∠OMB=90°，
OC=OBOM=OM，
∴△COM≌△BOMHL．
在△ACM與△ABM中，∠AMC=∠AMB=90°，
AC=ABAM=AM，
∴△ACM≌△ABMHL．
在△ADB與△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC ，
∴△ADB≌△AECSAS．
在△BCE與△CBD中，∠BEC=∠CDB=90°，
BC=CBBE=CD
∴△BCE≌△CBDHL．
綜上所述，圖中全等的直角三角形有：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD（任選三對(duì)即可）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【變式2-1】（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求證：△ACE≌△BED．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】通過(guò)余角的性質(zhì)可得∠C＝∠DEB，再用AAS證明三角形全等即可．
【詳解】證明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，
∴∠C＝∠DEB，
在△ACE和△BED中，
∵∠A=∠B∠C=∠DEBCE=ED，
∴△ACE≌△BED（AAS）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用AAS或ASA證明三角形全等，通過(guò)余角的性質(zhì)得到∠C＝∠DEB是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)邊DA至點(diǎn)E，使得AE=AD，連接CE交AB于點(diǎn)F，求證：△AEF≌△BCF．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，進(jìn)而得到∠E=∠BCF，然后證明△AEF≌△BCFAAS即可．
【詳解】在?ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠E=∠BCF，
∵AE=AD，
∴AE=BC，
在△AEF與△BCF中，
∠E=∠BCF∠AFE=∠CFBAE=BC
∴△AEF≌△BCFAAS．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
【變式2-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）試判斷AD與BE有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）試說(shuō)明△AOD≌△EOC．
【答案】（1）AD//BE，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．
【分析】（1）由AB//CD可得∠B＝∠DCE，進(jìn)而可得∠DCE＝∠D，問(wèn)題得證；
（2）由O是CD的中點(diǎn)，可得DO＝CO，結(jié)合（1）中∠DCE＝∠D，再結(jié)合對(duì)頂角，可根據(jù)ASA判定全等．
【詳解】（1）AD//BE，
理由：∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD//BE；
（2）∵O是CD的中點(diǎn)，
∴DO＝CO，
在△ADO和△ECO中，
∠D=∠DCEDO=CO∠AOD=∠COE
∴△AOD≌△EOC（ASA）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【題型3 運(yùn)用全等三角形證明線段相等或角相等】
【例3】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F．求證：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）直接用SSS即可證明△ABC≌△CDA；
（2）由△ABC≌△CDA，可得出∠ACB=∠DAC，由BE⊥AC，DF⊥AC，
可得出∠BEC=∠DFA=90°，由AAS即可得出△AFD≌△CEB，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：在△ABC和△CDA中
AD=CBAB=CDAC=CA
∴△ABC≌△CDASSS
（2）∵△ABC≌△CDA，
∴∠ACB=∠DAC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEC=∠DFA=90°，
在△AFD和△CEB中，
∠DEA=∠BEC∠DAF=BCEDA=BC，
∴△AFD≌△CEBAAS，
∴BE=DF．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用各種方法進(jìn)行判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·四川南充·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知△ABN和△ACM的位置如圖所示，AB=AC，AD=AE，BD=CE．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）求證：∠AME=∠AND．
【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解．
【分析】(1)利用SSS證明△ABD≌△ACE即可得出結(jié)論;
(2) 利用ASA證明△AEM≌△ADN即可得出結(jié)論．
【詳解】證明(1)∵AB=AC，AD=AE，BD=CE
∴△ABD≌△ACE(SSS)
∴∠1=∠2
(2)∵△ABD≌△ACE
∴∠ADB=∠AEC
∴180°-∠ADB=180°-∠AEC
即∠ADN=∠AEM
又∠DAE=∠DAE, AD=AE
∴△ADN≌△AEM(ASA)
∴∠AME=∠AND
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)寫(xiě)出△ADE與△ACB全等的理由；
(2)判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)DF=CF，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根據(jù)SAS判斷△ADE與△ACB全等即可；
（2）由△ADB與△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判斷△DBF與△ECF全等，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）全等，理由如下：
∵∠DAB＝∠CAE ，
∴∠DAE＝∠CAB ，
在△ADE與△ACB中
AD=AC∠DAE=∠CABAB=AE
∴△ADE≌△ACB（SAS）
（2）DF＝CF，理由如下：
在△ADB與△ACE中
AD=AC∠DAB=∠CAEAB=AE，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴∠DBA＝∠CEA ，
∵△ADE≌△ACB ，
∴∠ABC＝∠AED ，
∴∠DBF＝∠CEF ，
在△DBF與△ECF中
∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEFDB=EC，
∴△DBF≌△CEF（AAS），
∴DF＝CF．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，此題比較典型．
【變式3-3】（2023·陜西西安·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接AD、DE，若AD=DE，AC=CD．
（1）求證：△ABD≌△DCE．
（2）若BD=3，CD=5，求AE的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2
【分析】（1）根據(jù)AD=DE，AC=CD可知：∠DAE=∠DEA，∠DAC=∠ADC，繼而推出∠AED=∠ADC，領(lǐng)補(bǔ)角相等，則∠ADB=∠DEC，結(jié)合已知條件，利用“角角邊”證明三角形全等即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知：EC=BD,則AE=AC?EC即可求得
【詳解】（1）∵ AD=DE
∴ ∠DAE=∠DEA
∵ AC=CD
∴ ∠DAC=∠ADC
∴ ∠AED=∠ADC
∴ 180°?∠AED=180°?∠ADC
即：∠ADB=∠DEC
∵ AB=AC,AC=CD
∴∠B=∠C,AB=CD
在△ABD和△DCE中
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC
∴ △ABD≌△DCE（AAS）
（2）∵ △ABD≌△DCE，BD=3，CD=5，
∴CE=BD=3,
∵AC=AB
∴AC=5
∴ AE=AC?CE=5?3=2
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，證明∠ADB=∠DEC是解題的關(guān)鍵．
【題型4 運(yùn)用全等三角形證明線段間的位置關(guān)系】
【例4】（2023春·云南紅河·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求證：AD⊥BC．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】在△ABE和△ACE中，由AAS判定△ABE?△ACE，再根據(jù)全等三角對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，得到AB=AC，繼而可以證明△ABD?△ACD(SAS)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)得到∠ADB=∠ADC，最后由平角的定義解題即可．
【詳解】證明：證明：在△ABE和△ACE中，
∠1=∠2∠3=∠4AE=AE
∴△ABE?△ACE(AAS)，
∴AB=AC，
∵ 在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠1=∠2AD=AD
∴ △ABD?△ACD(SAS)，
∴∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴ AD⊥BC．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AF=CE，連接BE，DF，求證：BE∥DF．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】證明：根據(jù)平行四邊形ABCD，可以證明△ADF≌△CBE，從而得∠AFD=∠CEB，所以∠DFC=∠BEA，由平行線的性質(zhì)，即可得到DF∥BE．
【詳解】證明：∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE
在△ADF和△BCE中，
{AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE ，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB
∴∠DFC=∠BEA，
∴DF∥BE．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟悉并靈活應(yīng)用以上性質(zhì)解題．
【變式4-2】（2023春·江西宜春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．

(1)求證：BD=CD；
(2)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解
(2)AD⊥BC，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)“角角邊”證明△ABD≌△ACD(AAS)，由此即可求解；
（2）由（1）可知△ABC是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可求解．
【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD,△ACD中，
∠BAD=∠CAD∠1=∠2AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴BD=CD．
（2）解：AD⊥BC，理由如下，
如圖所示，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，

由（1）可知，△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定，性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接CD，C、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．
(1)求證：BD=CE；
(2)判斷BD與CE的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)BD⊥CE，見(jiàn)解析
【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解．
【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE；
（2）解：BD⊥CE，理由如下：
如圖，設(shè)AC與BD于G，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGB=∠CGD，∠BAC=90°，
∴∠CDG=90°，
∴BD⊥CE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
【題型5 運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題】
【例5】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，某市新開(kāi)發(fā)了一個(gè)旅游區(qū)，有一湖心島C，需測(cè)算景點(diǎn)A，B與C處的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方法，測(cè)量AC，BC的長(zhǎng)度，并說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】過(guò)點(diǎn)A作∠BAM=∠BAC，過(guò)點(diǎn)B作∠ABN=∠ABC，AM,BN交于點(diǎn)D，測(cè)量AD,BD的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作∠BAM=∠BAC，過(guò)點(diǎn)B作∠ABN=∠ABC，AM,BN交于點(diǎn)D，測(cè)量AD,BD的長(zhǎng)度即可，
理由：∵∠BAM=∠BAC，∠ABN=∠ABC，AB=AB，
∴△ABD≌△ABCASA，
∴AD=AC,BD=BC．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的應(yīng)用，正確理解題意作出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某建筑測(cè)量隊(duì)為了測(cè)量一棟居民樓ED的高度，在大樹(shù)AB與居民樓ED之間的地面上選了一點(diǎn)C，使B，C，D在一直線上，測(cè)得大樹(shù)頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90°，若AB=CD=12米，BD=64米，請(qǐng)計(jì)算出該居民樓ED的高度．
【答案】52米
【分析】先根據(jù)大樹(shù)頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90°以及AB=CD可以推出ΔABC≌ΔCDE，從而得到ED=BC，進(jìn)而計(jì)算出BC即可．
【詳解】解：由題意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=180°?90°=90°，
∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC，
∴∠DCE=∠BAC，
在ΔABC和ΔCDE中，
∠BAC=∠DCE∠B=∠CDEAB=CD，
∴ΔABC≌ΔCDE，
∴ED=BC，
又∵CD=12米，BD=64米，
∴BC=BD?CD=64?12=52米，
∴ED=52米，
答：該居民樓ED的高度為52米．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，利用AAS證明ΔABC≌ΔCDE是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，某校學(xué)生為測(cè)量點(diǎn)B到河對(duì)面的目標(biāo)A之間的距離，他們?cè)邳c(diǎn)B同側(cè)選擇了一點(diǎn)C，測(cè)得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠CBM=70°，為了測(cè)量A，B之間的距離，他們應(yīng)該（）

A．直接測(cè)量BM的長(zhǎng)B．測(cè)量BC的長(zhǎng)
C．測(cè)量∠A的度數(shù)D．先作∠BCN=40°，交BM于點(diǎn)N，再測(cè)量BN的長(zhǎng)
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)解答即可
【詳解】解：為了測(cè)量A，B之間的距離，他們應(yīng)該先作∠BCN=40°，交BM于點(diǎn)N，再測(cè)量BN的長(zhǎng)，
理由：∵∠BCN=40°，∠ACB=40°，
∴∠BCN=∠ACB，
∵∠CBM=∠ABC=70°，BC=BC，
∴△BCN≌△BCAASA，
∴BN=AB，
故選：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【變式5-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某同學(xué)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)原理制作了如圖所示的一個(gè)測(cè)量工具----拐尺,其中O為AB的中點(diǎn),CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,現(xiàn)要測(cè)量一透明隔離房間的深度,如何使用此測(cè)量工具,說(shuō)明理由.
【答案】理由見(jiàn)解析.
【分析】使AC與房間內(nèi)壁在一條直線上，且C與一端點(diǎn)接觸，然后人在BD的延長(zhǎng)線上移動(dòng)至F，使F、O、E三點(diǎn)正好在一條直線上，記下F點(diǎn)，這時(shí)量出DF長(zhǎng)，即為房間深度CE．通過(guò)證△EAO≌△FBO，可得BF＝AE，則BF－BD＝AE－AC，即DF＝CE．
【詳解】解：如圖,使AC與房間內(nèi)壁在一條直線上,且C與一端點(diǎn)接觸,然后人在BD的延長(zhǎng)線上移動(dòng)至F,使F,O,E三點(diǎn)正好在一條直線上,記下F點(diǎn),這時(shí)量出DF長(zhǎng),即為房間深度CE.理由如下:由∠A=∠B=90°,OA=OB,∠EOA=∠FOB,
∴△EAO≌△FBO,
得BF=AE,
則BF-BD=AE-AC,即DF=CE.
【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：全等三角形判定的應(yīng)用. 解題關(guān)鍵點(diǎn)：構(gòu)造全等三角形.
【題型6 作輔助線構(gòu)造全等三角形證明線段間的和差倍分關(guān)系】
【例6】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AE+CD=AC．

【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，連接OF，分別證明△AOE≌△AOFSAS，△COD≌△COFASA，得到CD=CF，即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°?∠B=120°，
∵ AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC，∠OCA=∠OCB=12∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=12∠BAC+12∠ACB=12∠BAC+∠ACB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=∠COD=180°?∠AOC=60°，
如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，

在△AOE和△AOF中，
AE=AF∠OAE=∠OAFAO=AO，
∴△AOE≌△AOFSAS，
∴∠AOE=∠AOF=60°，
∴∠COF=∠AOC?∠AOF=120°?60°=60°，
∵∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF，
在△COD和△COF中，
∠OCD=∠OCFCO=CO∠COD=∠COF，
∴△COD≌△COFASA，
∴CD=CF，
∵AF=AE，
∴AF+CF=AE+CD=AC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說(shuō)明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質(zhì)可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．
【詳解】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
AD=AF∠EAD=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
∠BFE=∠C∠FBE=∠CBEBE=BE，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過(guò)的“倍長(zhǎng)中線”加倍構(gòu)造全等，就可以測(cè)量CD與AB數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)小明的思路，寫(xiě)出CD與AB的數(shù)景關(guān)系，并證明這個(gè)結(jié)論．
【答案】CD=12AB，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析
【分析】延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使ED=CD，連接BE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：CD=12AB，證明：如圖，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使ED=CD，連接BE，
在△BDE和△ADC中，
BD=AD∠BDE=∠ADCED=CD
∴△BDE≌△ADC(SAS)，
∴EB=AC，∠DBE=∠A，
∴BE∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-∠ACB=90°，
∴∠EBC=∠ACB，
在△ECB和△ABC中，
EB=AC∠EBC=∠ACBCB=BC
∴△ECB≌△ABC(SAS)，
∴EC=AB，
∴CD=12EC=12AB．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．
【變式6-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求證：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE.
【答案】詳見(jiàn)解析
【分析】過(guò)點(diǎn)C向OA、OB作垂線，構(gòu)建全等三角形，繼而根據(jù)平角定義以及線段的和差即可證得結(jié)論.
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OB與點(diǎn)F，則∠F=∠CEO=90°，
∵∠1=∠2，OC=OC，
∴ΔFOC?ΔEOC，
∴CE=CF，OE=OF，
∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴RtΔCAE?Rt△CBFHL，
∴∠4=∠CBF，AE=BF，
∵∠3+∠CBF=180°，∴∠3+∠4=180°，
∴OA+OB=OE+AE+OF?BF=OE+OF=2OE.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.
【題型7 與三角形全等有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)探究題】
【例7】（2023春·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段DC上從點(diǎn)D向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/s，則經(jīng)過(guò)______s，△BPE與△CQP全等．
【答案】1或4
【分析】分兩種情況：①當(dāng)EB=PC時(shí)，△BPE?△CQP，②當(dāng)BP=CP時(shí)，△BEP?CQP，進(jìn)而求出即可．
【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的為ts，分兩種情況：
①當(dāng)EB=PC，BP=QC時(shí)，△BPE?△CQP，
∵AB=20cm，AE=6cm，
∴EB=14cm，
∴PC=14cm，
∵BC=16cm，
∴BP=2cm，
∴QC=2cm，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴t=2÷2=1（s），此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷1=2(cm/s)；
②當(dāng)BP=CP，BE=QC=14cm時(shí)，△BEP?CQP，
由題意得：2t=16?2t，
解得：t=4（s），此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為14÷4=3.5(cm/s)；
綜上，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)1或4s時(shí)；△BPE與△CQP全等．
故答案為：1或4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握兩個(gè)三角形全等的判定和性質(zhì)．
【變式7-1】（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB=24cm，AC=12cm，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED=CB，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)（）秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．（注：點(diǎn)E與A不重合）
A．4B．4、12C．4、8、12D．4、12、16
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△DEB與△BCA全等；由斜邊ED=CB，分類(lèi)討論BE=AC或BE=AB時(shí)的情況，求出t的值即可．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△DEB與△BCA全等；此時(shí)AE=3tcm,
分情況討論：
（1）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，△DEB≌△BCA，則BE=AC，
∴24?3t=12，
∴t=4；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，
①△DEB≌△BCA，BE=AC時(shí)，3t=24+12，
∴t=12；
②△EDB≌△BCA，BE=AB時(shí)，3t=24+24，
∴t=16．
綜上所述，點(diǎn)E經(jīng)過(guò)4、12、16秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法；分類(lèi)討論各種情況下的三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·甘肅定西·八年級(jí)校考期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+PQ的值最小時(shí)，∠APB的度數(shù)是（）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【答案】D
【分析】先在BC上截取BE=BQ，連接PE，證明△PBQ≌△PBESAS，得出PE=PQ，說(shuō)明AP+PQ=AP+PE，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE⊥BC時(shí)，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：在BC上截取BE=BQ，連接PE，如圖：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=68°，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=34°，
∵BP=BP，
∴△PBQ≌△PBESAS，
∴PE=PQ，
∴AP+PQ=AP+PE，
∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE⊥BC時(shí)，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P，如圖：
∵∠AEB=90°，∠CBD=34°，
∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使AP+PQ最小時(shí)點(diǎn)P的位置．
【變式7-3】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD為高，AC=12．點(diǎn)E為AC上的一點(diǎn)，使CE=12AE，連接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
備用圖
(1)求∠BEC的度數(shù)；
(2)有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面積為24？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)在（2）條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)F是直線BC上一點(diǎn)，且CF=AO．當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．
【答案】(1)90°
(2)存在，t=12或t=32
(3)65或2
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OBD=∠CAD，利用三角形內(nèi)角和得到∠AEO=∠ODB=90°即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出AE=8，CE=4，分兩種情況：① 當(dāng)0

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