中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題4.8 線段中的四種常見思想方法（滬科版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)線段中的四種常見思想方法的理解！
【題型1 整體思想】
1．（2023上·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，N3；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+???+M2023N2023=（）
A．10+522022B．10+522023C．10?522022D．10?522023
【答案】C
【分析】根據(jù)MN=10，M1、N1分別為AM、AN的中點(diǎn)，求出M1N1的長(zhǎng)度，再由M1N1的長(zhǎng)度求出M2N2的長(zhǎng)度，找到MnNn的規(guī)律即可求出M1N1+M2N2+???+M2023N2023的值．
【詳解】解：∵M(jìn)N=10，M1、N1分別為AM、AN的中點(diǎn)，
∴M1N1=AM1?AN1=12AM?12AN=12AM?AN=12MN=12×10=5，
∵M(jìn)2、N2分別為AM1、AN1的中點(diǎn)，
∴M2N2=AM2?AN2=12AM1?12AN1=12AM1?AN1=12M1N1=12×5=52，
∵M(jìn)3、N3分別為AM2、AN2的中點(diǎn)，
∴M3N3=AM3?AN3=12AM2?12AN2=12AM2?AN2=12M2N2=12×52=522，
……
由此可得：MnNn=52n?1，
∴M1N1+M2N2+?+M2023N2023=5+52+522+?+522022=10×12+122+?+122023=10×1?122023=10?522022，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，相對(duì)較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·安徽蚌埠·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，M，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD； ②若AC=BD，則AM=BN； ③ AC?BD=2MC?DN；④2MN=AB?CD．其中正確的結(jié)論是（）
A．① ② ③B． ③ ④C．① ② ④D． ① ② ③ ④
【答案】D
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差結(jié)合圖形進(jìn)行分析．
【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，
∴AM=MD=12AD，BN=CN=12BC，
如圖
①若AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∴AD=2AM=2BD，
∴AD=2BD，
∴AB=AD+BD=3BD，故①正確；
②若AC=BD，
∴AD=BC，
∵M(jìn)、N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，
∴ AM=12AD， BN=12BC，
∴AM=BN，故②正確；
∵AC?BD=(AC+CD)?(CD+BD)=AD?BC，
∴AC?BD=2MD?2CN=2(MC+CD)?CD+DN=2MC?DN，故③正確；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD?CD，
∴2MN=2MD?CD+2CN=2MD?CD+CN，
∵M(jìn)D=12AD，CN=12BC，
∴2MN=212AD+12BC?CD=AD?CD+BC?CD=AC+BD=AB?CD，
故④正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的和差，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2023上·福建泉州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，M，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AM=BN，則AC=BD；②若AB=3BD，則AD=BM；③AB?CD=2MN；④AC?BD=3MC?DN．其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）．
【答案】①②③
【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行分析，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：①∵M(jìn)，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，
∴AM=12AD,BN=12BC，
∵AM=BN，
∴12AD=12BC，即AD=BC，
∴AD?CD=BC?CD，
∴AC=BD，
故①正確，符合題意；
②∵AB=3BD，
∴AD=AB?BD=3BD?BD=2BD，
∵M(jìn)是線段AD的中點(diǎn)，
∴AM=12AD=BD，
∵BM=AB?AM=3BD?BD=2BD，
∴AD=BM，
故②正確，符合題意；
③∵M(jìn)，N分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，
∴DM=12AD,CN=12BC，
∴MN=DM+CN?CD=12AD+12BC?CD，
整理得：2MN=AD+BC?2CD，即2MN=AB?CD，
故③正確，符合題意；
④∵AC=AM+CM=12AD+CM,BD=BN+DN=12BC+DN，
∴AC?BD=12AD+CM?12BC+DN=12AD?BC+CM?DN，
∴2AC?BD=AD?BC+2CM?DN，
∴AC?BD=2MC?DN，
故④不正確，不符合題意；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和差關(guān)系．
4．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．
（1）若AC=9cm，CB=6cm，則線段MN的長(zhǎng)為____________cm；
（2）若AC=acm，CB=bcm，則線段MN的長(zhǎng)為____________cm；
（3）若AB=mcm，求線段MN的長(zhǎng)度；
（4）若點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，且AB=ncm，其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？并用一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【拓展提問】若將例題中的“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變，（3）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【答案】（1）152；（2）a+b2；（3）MN=12mcm；（4）MN=12ncm，描述見解析；【拓展提問】MN=m2cm成立，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，AC=9cm，CB=6cm，得到CM=92cm，CN=3cm，得到MN=152cm；
（2）根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，AC=acm，CB=bcm，CM=a2cm，，CN=b2cm得到MN=a+b2cm；
（3）根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，得到MC=12AC，CN=12BC，根據(jù)AB=mcm，得到MN=m2cm；
（4）猜想MN=n2cm，結(jié)論：若點(diǎn)C為線段一點(diǎn)，且點(diǎn)AB上M,N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=12AB；
拓展提問：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，得到MC=12AC，CN=12BC．根據(jù)MN=MC?CN，得到MN=m2cm．
【詳解】（1）∵點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，AC=9cm，CB=6cm，
∴CM=12AC=92cm，CN=12BC=3cm，
∴MN=CM+CN=152cm；
故答案為：152；
（2）∵點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，AC=acm，CB=bcm，
∴CM=12AC=a2cm，CN=12BC=b2cm，
∴MN=CM+CN=a+b2cm；
故答案為：a+b2；
（3）∵點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∵M(jìn)N=MC+CN，AB=mcm，
∴MN=12AC+BC=12AB=m2cm；
（4）猜想：MN=12AB=n2cm；
結(jié)論：若點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)M,N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN=12AB；
【拓展提問】MN=m2cm成立．理由：
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，
∵點(diǎn)M,N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∵M(jìn)N=MC?CN，
∴MN=12AC?BC=12AB=m2cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差．熟練掌握中點(diǎn)性質(zhì)，線段的和差關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023上·福建廈門·七年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D已知線段AB、CD，
(1)線段AB在線段CD上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）
①若線段AB=6，CD=14，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．
②M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，求證：MN=12AB+CD
(2)線段CD在線段AB的延長(zhǎng)線上，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接寫出結(jié)論
【答案】(1)①10，②見解析
(2)不成立，見解析
【分析】（1）①利用CD?AB求出AC+BD的值，利用中點(diǎn)平分線段，得到AM=12AC,BN=12BD，再利用MN=AM+AB+BN=12AC+BD+AB，即可得解；②利用中點(diǎn)平分線段，得到AM=12AC,BN=12BD，進(jìn)而得到AM+BN=12AC+BD=12CD?AB，再利用MN=AM+AB+BN，即可得證；
（2）分C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè)，以及D點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可．
【詳解】（1）解：①∵AB=6，CD=14，
∴AC+BD=CD?AB=8，
∵M(jìn)、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=12AC,BN=12BD，
∴MN=AM+AB+BN=12AC+BD+AB=12×8+6=10；
②∵M(jìn)、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=12AC,BN=12BD，
∵AC+BD=CD?AB，
∴AM+BN=12AC+BD=12CD?AB，
∴MN=AM+AB+BN=12CD?AB+AB=12CD+AB；
（2）不成立；
∵M(jìn)、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，
∴AM=MC=12AC,BN=ND=12BD，
①當(dāng)C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖：
或
MN=MC+CN
=MC+BN?BC
=12AC+12BD?BC
=12AB+BC+12BC+CD?BC
=12AB+CD；
②當(dāng)C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖：
或
MN=AD?AM?DN
=AD?12AC?12BD
=AD?12AD?CD?12AD?AB
=12AB+CD；
③當(dāng)D點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：
或
MN=CM?CN
=12AC?CD+DN
=12AB+BD+CD?CD+12BD
=12AB?CD；
綜上：MN=12AB+CD或12AB?CD；故結(jié)論不成立．
【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識(shí)圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．
6．（2023上·吉林白城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段 AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
(1) 秒后，PB=2AM．
(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM?PB為定值．
(3)當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度．
【答案】(1)6
(2)2BM?PB=24
(3)12
【分析】（1）分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)分別求出x的值即可；
（2）AP=2x，AM=PM=12AP=x，BM=AB?AM=24?x，BP=24?2x，表示出2BM?PB后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；
（3）AP=2x，AM=PM=12AP=x，BP=AP?AB=2x?24，表示出MN的長(zhǎng)度，即可作出判斷．
【詳解】（1）∵點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，
設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，
∴ AP=2x
∵ M為AP的中點(diǎn)，
∴ AM=PM=12AP=x
∵ PB=2AM
∴ PB=AP，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，
∵ AB=24
∴ PB=AB?AP=24?2x
∵ PB=2AM
∴ 24?2x=2x
∴ x=6
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
PB=AP?AB=2x?24
∵ PB=2AM
∴ 2x?24=2x，無解；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)6秒后，PB=2AM；
（2）由（1）知，AP=2x，AM=PM=12AP=x，
∴ BM=AB?AM=24?x，BP=24?2x，
∴ 2BM?BP=224?x?24?2x=24
∴ 2BM?PB為定值；
（3）由（1）知，AP=2x，AM=PM=12AP=x，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
BP=AP?AB=2x?24
∵ N為BP的中點(diǎn)，
∴ NP=12BP=122x?24=x?12
∴ MN=AP?AM?NP=2x?x?x?12=12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，用含時(shí)間x的式子表示出各線段的長(zhǎng)度是解本題的關(guān)鍵．
7．（2023上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點(diǎn)，已知AB=20，BC=80，點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長(zhǎng)度為________；
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合?
(3)若點(diǎn)Р為AM中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BN中點(diǎn)．問：是否存在時(shí)間t，使PQ長(zhǎng)度為5?若存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50
【分析】（1）由點(diǎn)M的速度為2即可得出答案；
（2）根據(jù)題意可得出BM=t，當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可；
（3）根據(jù)題意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤50．由此可求出AQ=AB+BQ=20+12t．再根據(jù)PQ=AQ?AP或PQ=AP?AQ，即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可．
【詳解】（1）∵點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴AM=2t．
故答案為：2t；
（2）根據(jù)題意可知BN=t．
當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，有2t=20+t，
解得：t=20．
故t為20時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；
（3）根據(jù)題意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤20+802=50．
∴AQ=AB+BQ=20+12t．
∴PQ=AQ?AP或PQ=AP?AQ，
即5=20+12t?t或5=t?20?12t
解得：t=30或t=50．
故存在時(shí)間t，使PQ長(zhǎng)度為5，此時(shí)t的值為30或50．
【點(diǎn)睛】本題考查與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，線段的和與差，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算以及解一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意找到線段間的數(shù)量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．
【題型2 方程思想】
1．（2023上·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“好點(diǎn)”；如圖2，已知AB=16cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止；設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，當(dāng)t= s時(shí)，Q為線段AB的“好點(diǎn)”．
【答案】163或8
【分析】根據(jù)題意，得t(s)≤8s；分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三種情況分析，分別列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【詳解】∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)
∴點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，用時(shí)為：16cm2cm/s=8s
∵點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P速度>點(diǎn)Q速度，且當(dāng)其中點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止
∴t(s)≤8s
如圖，Q為線段AB的“好點(diǎn)”
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)
∴BQ=tcm，則AQ=16?tcm
根據(jù)題意，分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三種情況分析；
當(dāng)AQ=2BQ時(shí)，16?t=2t
∴t=163s
∵1638
∴t=323s不符合題意；
當(dāng)AB=2BQ=2AQ時(shí)，16=2t
∴t=8s
∵8=8
∴t=8s符合題意
故答案為：163或8．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程和線段的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程、線段的性質(zhì)，從而完成求解．
2．（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)C在線段AB上，BC＝2AC．
(1) 如圖1，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從C，B出發(fā)，分別以1cm/s，2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)；

①在P還未到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，APCQ的值為；
②當(dāng)Q在P右側(cè)時(shí)(點(diǎn)Q與C不重合)，取PQ中點(diǎn)M，CQ的中點(diǎn)是N，求MNQB的值；
(2) 若D是直線AB上一點(diǎn)，且AD?BD=12CD．則BDAB的值為．
【答案】（1）①APCQ=12；②14;（2）49或43或815或83
【分析】（1）由線段的和差關(guān)系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）設(shè)AC=x，則BC=2x，∴AB=3x，D點(diǎn)分四種位置進(jìn)行討論，①當(dāng)D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，②當(dāng)D在AC之間時(shí)，③當(dāng)D在BC之間時(shí)，④當(dāng)D在B的右側(cè)時(shí)求解即可．
【詳解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分別為1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴APCQ=12
②設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒
∴PC=tcm，BQ=2tcm
分兩種情況
A:Q在C右側(cè)，
∵M(jìn)，N分別是PQ，CQ的中點(diǎn)
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MN=MQ?NQ=12PQ?12CQ =12(PQ?CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
B:Q在C左側(cè)，
∵M(jìn)，N分別是PQ，CQ的中點(diǎn)
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MD=MQ+NQ=12PQ+12CQ =12(PQ+CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
（2）∵BC=2AC．
設(shè)AC=x，則BC=2x，
∴AB=3x，
①當(dāng)D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
|AD-BD|=BD-AD=AB=12CD，
∴CD=6x，
∴BDAB=8x3x=83 ；
②當(dāng)D在AC之間時(shí)，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x+CD-x+CD=12CD，
x=-32CD（不成立），
③當(dāng)D在BC之間時(shí)，
|AD-BD|=AD-BD=12CD，
∴x+CD-2x+CD=12CD，
CD=23x，
∴BDAB=43x3x=49；
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
∴CD=25x
∴BDAB=85x3x；
④當(dāng)D在B的右側(cè)時(shí)，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
CD=6x，
∴BDAB=4x3x=43．
綜上所述，BDAB的值為49或43或815或83
【點(diǎn)睛】題考查線段的和差問題，距離與絕對(duì)值的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)問題．畫好線段圖，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2023上·四川雅安·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．

(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)．
(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)．若M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝13CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(t＞0)．
①寫出數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)(用含t的式子表示)．
②t為何值時(shí)，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)?
【答案】（1）A點(diǎn)表示-10；B點(diǎn)表示2；（2）①點(diǎn)M表示的數(shù)是-10+3t；點(diǎn)N表示的數(shù)是6-t；②t=43.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求出A、B表示的數(shù)；（2）①根據(jù)距離=速度×?xí)r間可得AP=6t，CQ=3t，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)可得AM=3t，根據(jù)CN＝13CQ可得CN=t，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得答案；②根據(jù)中點(diǎn)定義可得OP=OQ，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)解答即可.
【詳解】（1）∵C表示的數(shù)為6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴B點(diǎn)表示2，
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴A點(diǎn)表示-10；
（2）①由題意得：AP=6t，CQ=3t，
∵M(jìn)為AP中點(diǎn)，
∴AM=12AP=3t，
∴在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)是-10+3t，
∵點(diǎn)N在CQ上，CN＝13CQ，
∴CN=t.
∴在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是6-t.
②∵原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)，
∴OP=OQ，
∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，
∴-10+6t與6-3t互為相反數(shù)，
∴-10+6t=-(6-3t)，
解得：t=43，
∴t=43時(shí)，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)的定義、線段之間的和差關(guān)系及數(shù)軸的性質(zhì)，熟練掌握線段中點(diǎn)知識(shí)的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.
4．（2023上·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有3條線段：AB、AC、和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“二倍點(diǎn)”.
（1）一條線段的中點(diǎn) 這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如圖2，點(diǎn)A表示數(shù)-10，點(diǎn)B表示數(shù)20，若點(diǎn)M從點(diǎn)B，以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
（2）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）求t為何值時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”；
（4）同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A的位置開始，以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)M同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”時(shí)t的值.
【答案】（1）是；（2）20?3t；（3）103或5或203；（4）152或9011或9013
【分析】（1）可直接根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷；
（2）由題意可直接得出；
（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”定義分類討論的出結(jié)果；
（4）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、MN、AM，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”定義分類討論的出結(jié)果；
【詳解】解：（1）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)將線段分為相等的兩部分，該線段等于2倍的中點(diǎn)一側(cè)的線段長(zhǎng)，符合“二倍點(diǎn)”的定義，所以一條線段的中點(diǎn)是這條線段的“二倍點(diǎn)”；
故答案為：是．
（2）由題意得出：
點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為：20-3t(0≤t≤10)；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
當(dāng)AM=2BM時(shí)，30-3t=6t，解得，t=103；
當(dāng)2AM=BM時(shí)，60-6t=3t，解得，t=203；
當(dāng)AM=BM時(shí)，30-3t=3t，解得，t=5；
答：當(dāng)103或5或203時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
當(dāng)AN=2NM時(shí)2t=10t-60，解得，t=152；
當(dāng)2AM=NM時(shí)，60-6t=5t-30，解得，t=9011；
當(dāng)AM=2NM時(shí)，30-3t=10t-60，解得，t=9013．
答：當(dāng)152或9011或9013時(shí)，點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間的距離，讀懂題意，領(lǐng)會(huì)“二倍點(diǎn)”的定義是解此題的關(guān)鍵，此題需要分情況討論，注意不要漏解
5．（2023上·福建泉州·七年級(jí)?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作dACAB=n．
例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即AC=12AB，則dACAB=12；
反之，當(dāng)dACAB=12時(shí)，則有AC=12AB．
因此，我們可以這樣理解：“dACAB=n”與“AC=nAB”具有相同的含義．
(1)【理解與應(yīng)用】
如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若AC=3，AB=4，則dACAB=________；若dACAB=2m，則BCAB=________．
(2)【拓展與延伸】
已知線段AB=10cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．
①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，dAPAB+m?dAQAB的值是個(gè)定值，求m的值；
②t為何值時(shí)，dAQAB?dAPAB=35．
【答案】(1)34，m?2m
(2)①13；②1或8
【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)值”的定義得出答案；
（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，再根據(jù)dAPAB+m?dAQAB的值是個(gè)定值即可求出m的值；②分點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)兩種情況分析即可．
【詳解】（1）解：∵AC=3，AB=4，
∴AC=34AB，
∴d(ACAB)=34，
∵d(ACAB)=2m，
∴AC=2mAB，
∴∴BC=AB?AC=AB?2mAB=m?2mAB，
∴BCAB=m?2m
故答案為：34，m?2m；
（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，AQ=10?3t，
根據(jù)“點(diǎn)值”的定義得：d(APAB)=t10，d(AQAB)=10?3t10，
∵dAPAB+m?dAQAB的值是個(gè)定值，
∴t10+m?10?3t10=10m+1?3mt10的值是個(gè)定值，
∴m=13；
②當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵dAQAB?dAPAB=35，
∴ 10?3t10?t10=35，
∴t=1；
當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵dAQAB?dAPAB=35，
∴ 3t?1010?t10=35，
∴t=8，
∴t的值為1或8．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．
6．（2023上·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，AC=5cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以3cm/s的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以1cm/s的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，結(jié)果點(diǎn)M比點(diǎn)N先到3s．設(shè)點(diǎn)M出發(fā)時(shí)間為t（s）．

(1)求線段AB的長(zhǎng)．
(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻，點(diǎn)C恰好是線段MN的中點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)求出t的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)求點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)（未到達(dá)點(diǎn)B），t的值；
(4)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N相距2cm時(shí)，t的值．
【答案】(1)12cm；
(2)存在某個(gè)時(shí)刻，點(diǎn)C恰好是線段MN的中點(diǎn)，t= 54s；
(3)52
(4)t=32或t=72．
【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為xcm，則BC＝x?5cm，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度結(jié)合點(diǎn)M比點(diǎn)N先到3s，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）令ts時(shí)，點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，由題意得AM=3t，CN=t，根據(jù)C恰好是線段MN的中點(diǎn)列方程求解即可；
（3）根據(jù)路程=速度×?xí)r間結(jié)合點(diǎn)M與點(diǎn)N重合得出等式，即可得出結(jié)論；
（4）分別利用點(diǎn)M追上點(diǎn)N前和追上后分別相距2cm分別得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)AB=xcm，根據(jù)題意可得：
x?5?x3=3，
解得：x=12，
答：AB的長(zhǎng)為12cm；
（2）解：令ts時(shí)，點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，由題意得AM=3t，CN=t，
∵C恰好是線段MN的中點(diǎn)，
∴CM=CN，即AC?AM=CN，
∴5?3t=t，
解得t= 54s，
∴存在t= 54s，點(diǎn)C恰好是線段MN的中點(diǎn)；
（3）解：由題意可得：3t＝t+5，
解得：t =52，
故點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)（未到達(dá)點(diǎn)B），t的值為52；
（4）解：當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)N前相距2cm，
由題意可得：3t+2=t+5，
解得：t=32，
點(diǎn)M追上點(diǎn)N后相距2cm，
由題意可得：3t?2=t+5，
解得：t =72，
綜上所述：t=32或t=72．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
7．（2023上·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．點(diǎn)D在線段CB上，且DB=2.5cm，AD=8.5cm．
(1)線段CD的長(zhǎng)度為______．
(2)若點(diǎn)E在射線CA上，且AE=3cm，請(qǐng)求出線段CE的長(zhǎng)度．
(3)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇，則t=______；假設(shè)第m秒時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離為2cm，則m=______．
【答案】(1)3cm
(2)2.5cm或8.5cm
(3)113；3或133
【分析】（1）利用AD+DB求出AB的長(zhǎng)，利用中點(diǎn)，求出BC的長(zhǎng)，利用BC?DB求出CD的長(zhǎng)；
（2）分點(diǎn)E在線段AC上，和在線段CA的延長(zhǎng)線上，兩種情況，討論求解；
（3）利用相遇時(shí)總路程為線段AB的長(zhǎng)度，列方程計(jì)算即可；分點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇前和相遇后兩種情況討論求解．
【詳解】（1）解：∵DB=2.5cm，AD=8.5cm，
∴AB=AD+DB=11cm，
∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
∴BC=12AB=5.5cm，
∴CD=BC?DB=3cm；
故答案為：3cm；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，如圖：
由（1）知：AC=12AB=5.5cm，
∴CE=AC?AE=5.5?3=2.5cm；
當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)：如圖：
此時(shí)：CE=AC+AE=8.5cm；
綜上：CE的長(zhǎng)度為2.5cm或8.5cm；
（3）解：由題意，得：2+1t=11，解得：t=113，
即：113秒時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇；
故答案為：113；
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離為2cm時(shí)，
①點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇前：如圖：
由圖可知：2m+2+m=11，解得：m=3；
②點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇后：如圖：
此時(shí)：AM?AB?BN=MN，即：2m?11?m=2，
解得：m=133；
綜上：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離為2cm時(shí)，m=3或133
故答案為：3或133．
【點(diǎn)睛】本題考查線段的和與差，以及線段的中點(diǎn)，一元一次方程的應(yīng)用．正確的識(shí)圖，理清線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
8．（2023上·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，M是線段AB上一點(diǎn)，多項(xiàng)式m?m3+3m2的次數(shù)為a，項(xiàng)數(shù)為b，當(dāng)m=2時(shí)，此多項(xiàng)式的值為c．
(1)分別求出a，b，c的值．
(2)如圖1，數(shù)軸上的點(diǎn)A，M，B表示的數(shù)分別是a?2,b+1,c+5，試比較2AM和BM的大?。?br>(3)在（2）的條件下，如圖2，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，若點(diǎn)C，D分別從M，B出發(fā)以1cm/s,3cm/s（一個(gè)單位長(zhǎng)度表示1cm）的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示．
①當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+MD的值．
②設(shè)點(diǎn)C，D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．當(dāng)AD?BD=CD時(shí)，求t的值．
【答案】(1)a=3，b=3，c=6，
(2)2AM6時(shí)，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t?18,
當(dāng)AP=2AQ=2PQ時(shí)，4t=2(18+t), 解得：t=18,
當(dāng)AQ=2PQ時(shí)，18+t=2(3t?18), 解得：t=10.8,
當(dāng)PQ=2AQ時(shí)，3t?18=2(18+t), 解得：t=54,
綜上：當(dāng)t=187s或t=3.6s或t=1811s或t=18s或t=10.8s或t=54s，點(diǎn)P是線段AQ的“倍分點(diǎn)”.
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論，理解新定義的含義是解本題的關(guān)鍵.
2．（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【新知理解】
如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“和諧點(diǎn)”．
(1)線段的中點(diǎn) 這條線段的“和諧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點(diǎn)N是線段CD的和諧點(diǎn)，則CN＝ cm；
(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn)．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t為3或307或154或458或457或6
【分析】（1）若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，則AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN＝12CD＝6cm；②N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，CN＝13CD＝4cm；③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近D時(shí)，CN＝23CD＝8cm．
（3）分P為A、Q的和諧點(diǎn)，Q為A、P的和諧點(diǎn)，兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，滿足AB＝2AM＝2BM，
∴線段的中點(diǎn)是這條線段的“和諧點(diǎn)”，
故答案為：是；
（2）解：①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN＝12CD＝6cm；
②N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，CN＝13CD＝4cm；
③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近D時(shí)，CN＝23CD＝8cm．
故答案為：6cm或4cm或8cm；
（3）解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由題意可知，A不可能為P、Q的和諧點(diǎn)，此情況排除；
①P為A、Q的和諧點(diǎn)，有三種情況：
1）P為中點(diǎn)，AP＝12AQ，即t＝12（15﹣2t），
解得t＝154；
2）P為AQ的三等分點(diǎn)，且P靠近A，AP＝13AQ，即t＝13（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P為AQ的三等分點(diǎn)，且P靠近Q，AP＝23AQ，即t＝23（15﹣2t），
解得t＝307；
②Q為A、P的和諧點(diǎn)，有三種情況：
1）Q為中點(diǎn)，AP＝12AQ，即15﹣2t＝12t，
解得t＝6；
2）Q為AP的三等分點(diǎn)，且P靠近A，AP＝13AQ，即15﹣2t＝13t，
解得t＝457；
3）Q為AP的三等分點(diǎn)，且P靠近Q，AP＝23AQ，即15﹣2t＝23t，
解得t＝458．
綜上所述，t為3或307或154或458或457或6時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)和三等分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．
3．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某操作車間有一段直線型向左移動(dòng)的傳輸帶，A，B兩位操作工人站于傳輸帶同側(cè)且相距16米，操作組長(zhǎng)F也站在該側(cè)，且到A，B距離相等，傳輸帶上有一個(gè)8米長(zhǎng)的工具筐CE．
(1)如圖1，當(dāng)CE位于A，B之間時(shí)，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)工具筐的C端離自己只有1米，則工具筐C端離A___________米，工具筐E端離B___________米．
(2)工具筐C端從B點(diǎn)開始隨傳輸帶向左移動(dòng)直至工具筐E端到達(dá)A點(diǎn)為止，這期間工具筐E端到B的距離BE和工具筐E端到F的距離EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示．（你可以在圖2中先畫一畫，再找找規(guī)律）
【答案】(1)7，1
(2)EF?BE=8或EF+BE=8或BE?EF=8．
【分析】（1）根據(jù)線段的和差可得答案；
（2）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)C在線段AF上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，正確畫出圖形即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）由題意得，AB=16m，
∵F到A，B距離相等，
∴AF=BF=8m，
∵CE=8米，CF=1m，
∴EF=8?1=7m，BE=8?7=1m．
故答案為：7，1；
（2）①當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)，如圖，
設(shè)BC=x，則BE=8?x，EF=16?x，
∴EF?BE=(16?x)?(8?x)=8；
②當(dāng)點(diǎn)C在線段AF上時(shí)，如圖，
設(shè)BC=x，則BE=x?8，EF=16?x，
∴EF+BE=(16?x)+(x?8)=8；
③當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，
設(shè)BC=x，則BE=x?8，EF=x?16，
∴BE?EF=(x?8)?(x?16)=8；
綜上，EF?BE=8或EF+BE=8或BE?EF=8．
【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握線段的和差是解題關(guān)鍵．
4．（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足m?4+n?82=0，點(diǎn)M，N分別為AB，CD中點(diǎn)．
(1)求線段AB，CD的長(zhǎng)；
(2)線段AB以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度也向右運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)6秒后，MN＝4，求此時(shí)線段BC的長(zhǎng)；
(3)若BC＝24，將線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，在線段AB向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個(gè)定值，并直接寫出t在哪一個(gè)時(shí)間段內(nèi)．
【答案】(1)線段AB的長(zhǎng)是4，線段CD的長(zhǎng)是8
(2)16或8
(3)當(dāng)7.5≤t≤9時(shí)，MN+AD為定值，定值為6
【分析】（1）利用絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求出m和n的值即可；
（2）分M′在N′的左側(cè)和M′在N′的右側(cè)兩種情況，根據(jù)線段的和差關(guān)系列出方程，即可求解；
（3）由題意，運(yùn)動(dòng)t秒后，MN=30?4t，AD=36?4t，分段討論即可求解．
【詳解】（1）解：∵m?4+n?82=0，
∴m?4=0，n?82=0，
∴m=4，n=8，
∴AB=4，CD=8，
即線段AB的長(zhǎng)是4，線段CD的長(zhǎng)是8；
（2）解：∵AB=4，CD=8，
∴MB=12AB=2，CN=12CD=4，
設(shè)運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N′，分兩種情況，
若6秒后，M′在N′的左側(cè)時(shí)：MN+NN′=MM′+M′N′，
∴MB+BC+CN+NN′=MM′+M′N′，
即2+BC+4+6×1=6×4+4，
解得BC=16．
若6秒后，M′在N′的右側(cè)時(shí)：MM′=MN+NN′+M′N′，
∴MM′=MB+BC+CN+NN′+M′N′，
即6×4=2+BC+4+6×1+4，
解得BC=8．
即線段BC的長(zhǎng)為16或8；
（3）解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，
∴MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，
∵線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，
∴運(yùn)動(dòng)t秒后，MN=30?4t，AD=36?4t，
當(dāng)0≤t9時(shí)，MN+AD=4t?30+4t?36=8t?66；
故當(dāng)7.5≤t≤9時(shí)，MN+AD為定值，定值為6．
【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差關(guān)系，以及數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想．
5．（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上線段AB=2（單位長(zhǎng)度），CD=4（單位長(zhǎng)度），點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是10，若線段AB以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向右勻速運(yùn)動(dòng)．
(1)線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間；
(2)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)BC=2（單位長(zhǎng)度）；
(3)設(shè)線段AB，CD開始運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，恰好滿足AD=2BC．
【答案】(1)t=3秒；
(2)①B、C相遇之前：t=7秒，②B、C相遇之后：t=9秒
(3)當(dāng)t為5秒或9秒后恰好滿足AD=2BC
【分析】（1）根據(jù)線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開相當(dāng)于線段AB比線段CD多走的路程為AB+CD，由此求解即可；
（2）分B、C相遇之前和B、C相遇之后，兩種情況討論求解即可；
（3）由題可得，t秒后A，B，C，D可分別表示為：A：?8+3t，B：?6+3t，C：10+t，D：14+t．則：AD=14+t??8+3t=22?2t，BC=10+t??6+3t=16?2t，然后分分B、C相遇之前和B、C相遇之后，兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：B、C相遇后到A點(diǎn)完全離開：
t=AB+CDVAB?VCD=(?6)?(?8)+(14?10)3?1=2+42=3秒
（2）解：①B、C相遇之前：
t=BC?2VAB?VCD=10?(?6)?23?1=142=7秒
②B、C相遇之后：
t=BC+2VAB?VCD=10?(?6)+23?1=182=9秒
（3）由題可得，t秒后A，B，C，D可分別表示為：A：?8+3t，B：?6+3t，C：10+t，D：14+t．
則：AD=14+t??8+3t=22?2t，BC=10+t??6+3t=16?2t，
①B、C相遇之前，由題可得：
22?2t=216?2t
2t=10
t=5
②B、C相遇之后，由題可得：
22?2t=22t?16
?6t=?54
t=9
綜上所述：當(dāng)t為5秒或9秒后恰好滿足AD=2BC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
6．（2023上·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，點(diǎn)M以1cm/s的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N以2cm/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運(yùn)動(dòng)（即沿C→B→C→B→…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求MN的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)？
（3）若點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保持不變？如果存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）7cm；（2）t＝2或143；（3）存在，長(zhǎng)度分別為6cm或2cm
【分析】（1）根據(jù)題意可知當(dāng)t＝1時(shí)，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；
（2）由題意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根據(jù)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，可得0≤t≤6，分三種情況：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，可求得t＝2；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)N從B向C運(yùn)動(dòng)，求出t＝2不合題意；③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，可求得t＝143；
（3）由題意可知存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保持不變，與（2）一樣分三種情況分別探究即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AM＝1cm，CN＝2cm，
∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），
∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；
（2）由題意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，
∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，
∴0≤t≤6，
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝2tcm，
∵點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)N從B向C運(yùn)動(dòng)，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，
∵點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，
∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2（舍去）；
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝（2t﹣8）cm，
∵點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，
解得：t＝143；
綜上所述，當(dāng)t＝2或143時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn).
（3）如圖2，
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝2tcm，
∵點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，
∴CP＝12CN＝tcm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此時(shí)，PM的長(zhǎng)度保持不變；
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)N從B向C運(yùn)動(dòng)，CN＝（8﹣2t）cm，
∵點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，
∴CP＝12CN＝12（8﹣2t）＝（4﹣t） cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此時(shí)，PM的長(zhǎng)度變化；
③當(dāng)4≤t≤6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN＝（2t﹣8）cm，
∵點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，
∴CP＝12CN＝12（2t﹣8）＝（t﹣4）cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此時(shí)，PM的長(zhǎng)度保持不變；
綜上所述，當(dāng)0≤t≤2或4≤t≤6時(shí)，使PM的長(zhǎng)度保持不變；PM的長(zhǎng)度分別為6cm或2cm．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間距離的概念，中點(diǎn)定義，線段和差計(jì)算等，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
7．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將一條長(zhǎng)為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時(shí)卷尺分為了三段，若這三段長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為1：2：3，則折痕對(duì)應(yīng)的刻度有幾種可能．
【答案】折痕對(duì)應(yīng)的刻度有4種：20cm、25cm、35cm和40cm．
【分析】先確定這三段的長(zhǎng)度分別為10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6種情況：（1）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，左邊為20cm；（2）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，左邊為30cm；（3）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，左邊為10cm；（4）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，左邊為30cm；（5）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，左邊為10cm；（6）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，左邊為20cm；分別求出折痕刻度，問題即得解決．
【詳解】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm），
10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段長(zhǎng)分別為10cm、20cm、30cm；
（1）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，剪切處左邊的卷尺為20cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為10+20÷2＝20（cm）；
（2）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，剪切處左邊的卷尺為30cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為10+30÷2＝25（cm）；
（3）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，剪切處左邊的卷尺為10cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為20+10÷2＝25（cm）；
（4）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，剪切處左邊的卷尺為30cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為20+30÷2＝35（cm）；
（5）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，剪切處左邊的卷尺為10cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為30+10÷2＝35（cm）；
（6）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，剪切處左邊的卷尺為20cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為30+20÷2＝40（cm）．
綜上所述：折痕對(duì)應(yīng)的刻度有4種：20cm、25cm、35cm和40cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的剪拼和線段的和差計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件全面討論、正確列式求解．
8．（2023上·天津·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．若AB=18，DE=8，線段DE在線段AB上移動(dòng)．
(1)如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的長(zhǎng)．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】（1）根據(jù)AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求出AD的長(zhǎng)．
【詳解】（1）AC=2BC，AB=18，
∴BC=6，AC=12，
如圖1，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴CE=BE=3，
∵DE=8，
∴BD=DE+BE=8+3=11，
∴AD=AB?DB=18?11=7，
（2）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，如圖2，
或
∵CE+EF=3，BC=6，
∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴CF=BF=3，
∴AF=AB?BF=18?3=15，
∴AD=13AF=5，
∵CE+EF=3，故圖2（b）這種情況求不出；
Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)，
或
∵AC=12，CE+EF=CF=3，
∴AF=AC?CF=9，
∴AF=3AD=9，
∴AD=3．
∵CE+EF=3，故圖3（b）這種情況求不出；
綜上所述：AD的長(zhǎng)為3或5．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．
【題型4 數(shù)形結(jié)合思想】
1．（2023上·四川成都·七年級(jí)石室中學(xué)校考期末）如圖，有一根木棒MN放置在數(shù)軸上，它的兩端M、N分別落在點(diǎn)A、B處．將木棒在數(shù)軸上水平移動(dòng)，當(dāng)MN的中點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N所對(duì)應(yīng)的數(shù)為17.5，當(dāng)MN的右三等分點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5，則木棒MN的長(zhǎng)度為．
【答案】6.
【分析】如圖，G為AB的中點(diǎn)，F(xiàn),P為AB的三等分點(diǎn)，設(shè)MN=AB=3x, 再利用線段的和差關(guān)系表示AM1，BN1，結(jié)合題意可得M1對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5，N1對(duì)應(yīng)的數(shù)為17.5，再求解M1N1，從而可列方程求解x，于是可得MN的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，G為AB的中點(diǎn)，F(xiàn),P為AB的三等分點(diǎn)，
設(shè)MN=AB=3x,
由題意得：AG=BG=BN1=1.5x, AF=FP=PB=x, AM1=2x,
∴M1N1=2x+3x+1.5x=6.5x,
∵M(jìn)1對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5，N1對(duì)應(yīng)的數(shù)為17.5，
∴M1N1=17.5?4.5=13，
∴6.5x=13,
∴x=2,
∴MN=3x=6.
故答案為：6.
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)，線段的三等分點(diǎn)的含義，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，把一根細(xì)線繩對(duì)折成兩條重合的線段AB，點(diǎn)P在線段AB上，且AP:BP=2:3．
（l）若細(xì)線繩的長(zhǎng)度是100cm，求圖中線段AP的長(zhǎng)；
（2）從點(diǎn)P處把細(xì)線繩剪斷后展開，細(xì)線繩變成三段，若三段中最長(zhǎng)的一段為60cm，求原來細(xì)線繩的長(zhǎng)．
【答案】（1）20cm；（2）150cm或100cm.
【分析】（1）由“一根細(xì)線繩對(duì)折成兩條重合的線段AB”可知線段AB的長(zhǎng)為細(xì)線長(zhǎng)度的一半，由AP:BP=2:3即可求出線段AP長(zhǎng)；
（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)A為對(duì)折點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)的一段為PAP段，由此可求出AP長(zhǎng)，根據(jù)AP:BP=2:3可得BP長(zhǎng)，易得AB長(zhǎng)，由細(xì)線長(zhǎng)為2AB求解即可；當(dāng)點(diǎn)B為對(duì)折點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)的一段為PBP段，由此可求出BP長(zhǎng)，根據(jù)AP:BP=2:3可得AP長(zhǎng)，易得AB長(zhǎng)，由細(xì)線長(zhǎng)為2AB求解即可.
【詳解】解：（1）由題意得AB=12×100=50cm，
∵AP:BP=2:3,AP+BP=AB
∴AP=AB2+3×2=20cm
所以圖中線段AP的長(zhǎng)為20cm.
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)A為對(duì)折點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)的一段為PAP段，
∴2AP=60cm,∴AP=30cm，
∵AP:BP=2:3
∴BP=302×3=45cm
∴AB=AP+BP=30+45=75cm
所以細(xì)線長(zhǎng)為2AB=2×75=150cm；
如圖，當(dāng)點(diǎn)B為對(duì)折點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)的一段為PBP段，
∴2BP=60cm,∴BP=30cm，
∵AP:BP=2:3
∴AP=303×2=20cm
∴AB=AP+BP=20+30=50cm
所以細(xì)線長(zhǎng)為2AB=2×50=100cm，
綜合上述，原來細(xì)線繩的長(zhǎng)為150cm或100cm.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和與差，靈活的利用線段的比例及已知線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.
3．（2023上·河南周口·七年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeGebra做了n次取線段中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段OP0=1．第1次，取OP0的中點(diǎn)P1；第2次，取P0P1的中點(diǎn)P2；第3次，取P1P2的中點(diǎn)P3，第4次，取P2P3的中點(diǎn)P4；…
(1)請(qǐng)完成下列表格數(shù)據(jù)．
(2)小明對(duì)線段OP4的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡(jiǎn)：
因?yàn)镺P4=1?12+122?123+124，
所以2OP4=21?12+122?123+124 =2?1+12?122+123．
兩式相加，得3OP4=2+124．
所以O(shè)P4=23+13×24．
請(qǐng)你參考小明的化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)OP5的表達(dá)式．
(3)類比猜想：Pn?1Pn=__________，OPn=_________________，隨著取中點(diǎn)次數(shù)n的不斷增大，OPn的長(zhǎng)最終接近的值是__________．
【答案】(1)P4P5=125，OP5=OP4?P4P5=1?12+122?123+124?125
(2)OP5=23?13×25
(3)12n，23+(?1)n3×2n，23
【分析】（1）根據(jù)表中的規(guī)律可求出P4P5，根據(jù)OP5=OP4?P4P5可得出答案；
（2）參照小明對(duì)線段OP4的表達(dá)式的化簡(jiǎn)可得OP5的表達(dá)式；
（3）根據(jù)類比猜想可得答案．
【詳解】（1）解：P4P5=125，OP5=OP4?P4P5=1?12+122?123+124?125；
故答案為：P4P5=125，OP5=OP4?P4P5=1?12+122?123+124?125；
（2）解：因?yàn)镺P5=1?12+122?123+124?125，
所以2OP5=21?12+122?123+124?125 =2?1+12?122+123?124．
兩式相加，得3OP5=2?125．
所以O(shè)P5=23?13×25；
（3）解：Pn?1Pn=12n，OPn=23+(?1)n3×2n，隨著取中點(diǎn)次數(shù)n的不斷增大OPn的長(zhǎng)最終接近的值是23．
故答案為：12n，23+(?1)n3×2n，23．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，找到規(guī)律并會(huì)表現(xiàn)出來是解題關(guān)鍵．
4．（2023上·安徽阜陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小軒同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、3、8，已知a+5+(b+1)2=0
(1)求a和b的值：
(2)若小軒把木棒m沿x軸正方向移動(dòng)，m的速度為4個(gè)單位/s，設(shè)平移時(shí)間為t(s)，在平移過程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，求t的值；
(3)若小軒把木棒n與m同時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，m的速度為4個(gè)單位/s，n的速度為3個(gè)單位s，設(shè)平移時(shí)間為t(s)．在平移過程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求t的值．
【答案】(1)a=?5，b=?1
(2)t=34s
(3)t=7s或10s
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)原點(diǎn)是中點(diǎn)，列式計(jì)算即可；
（3）分m在n后面和前面，兩種情況分類討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵a+5+b+12=0，
∴a+5=0，b+1=0，
∴a=?5，b=?1；
（2）解：由題意得：木棒m未移動(dòng)時(shí)，木棒m的中點(diǎn)所表示的數(shù)為：(a+b)÷2=(?5?1)÷2=?3．
∴當(dāng)平移過程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)時(shí)，
小棒移動(dòng)了3個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t=34s．
（3）解：設(shè)t秒重疊3個(gè)單位長(zhǎng)度，
m在n后面時(shí)，小棒未移動(dòng)時(shí)：BC=3?(?1)=4，
4t=3t+4+3，
t=7，
m在n前面時(shí)，小棒未移動(dòng)時(shí)：AD=8?(?5)=13，
4t=3t+13?3，
t=10，
綜上t=7s或10s．
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)，以及一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離以及中點(diǎn)公式，是解題的關(guān)鍵．
5．（2023下·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：
①絕對(duì)值的幾何意義：一般地，若點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|a﹣b|，記作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|則表示數(shù)3和1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示數(shù)3和﹣1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；
②若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，那么線段AB的中點(diǎn)M表示的數(shù)為a+b2．
請(qǐng)借用數(shù)軸和以上規(guī)律解決下列問題：
如圖，已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為﹣10，6，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)B出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
(1)A、B兩點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；線段AB的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為；
(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含t的式子表示）
(3)P、Q兩點(diǎn)經(jīng)過多少秒會(huì)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度？
(4)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，O、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值．
【答案】(1)16，?2
(2)?10+2t,6?t
(3)t＝113或7
(4)t＝4或265或112
【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，數(shù)軸上線段的中點(diǎn)計(jì)算公式可得答案；
（2）數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)等于起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)加上移動(dòng)距離，數(shù)軸上點(diǎn)向左移動(dòng)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)等于起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)減去移動(dòng)距離，從而可得答案；
（3）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)?10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為6?t，表示PQ=|(?10+2t)?(6?t)|=|3t?16|,再構(gòu)建絕對(duì)值方程，再解方程即可；
（4）分①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，O是線段PQ的中點(diǎn)，②當(dāng)5＜t≤163時(shí)，P為線段OQ的中點(diǎn)，③當(dāng)163＜t≤6時(shí)，Q為線段OP的中點(diǎn)，④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，O為線段PQ的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的計(jì)算方法構(gòu)建方程，再解方程即可．
【詳解】（1）解：A、B兩點(diǎn)的距離為6??10=16；
線段AB的中點(diǎn)M所表示數(shù)為?10+62=?2；
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為?10+2t；
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為 6?t；
（3）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)?10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為6?t，
∴PQ=|(?10+2t)?(6?t)|=|3t?16|,
又P、Q兩點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴3t?16=5，
解得：t=113或t=7，
∴P、Q兩點(diǎn)經(jīng)過113s或7s時(shí)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度
（4）t＝4或265或112．
理由∶①當(dāng)O是線段PQ的中點(diǎn)，且P點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，Q點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)0＜t≤5，
由題意得?10+2t+6?t2=0，
解得t＝4．
②當(dāng)P為線段OQ的中點(diǎn)，P點(diǎn)在原點(diǎn)和Q點(diǎn)之間，
當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，2t+t=6??10，即t=163，
∴此時(shí)5＜t≤163，
由題意得6?t+02=?10+2t，
解得t=265；
③當(dāng)Q為線段OP的中點(diǎn)，Q點(diǎn)在原點(diǎn)和P點(diǎn)之間，此時(shí)163＜t≤6
由題意得?10+2t+02=6?t，
解得t=112；
④當(dāng)O為線段PQ的中點(diǎn)，且Q點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，P點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)t＞6，
由題意得?10+2t+6?t2=0，
解得t＝4（不合題意，舍去），
綜上所述：t＝4或265或112．
【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)軸上線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的計(jì)算方法，熟練的構(gòu)建方程解題是關(guān)鍵．
6．（2023上·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．
完成以下任務(wù)：
(1)如圖2，線段AB被點(diǎn)C黃金分割．若AB長(zhǎng)為10cm，求AC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
(2)如圖3，一根一側(cè)燒毀的木棒工件AB（粗度不計(jì)），在它的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)C，D處鉆有小孔．若量得C，D間的距離約為23.6cm，求木棒AB的原長(zhǎng)度．
【答案】(1)3.8cm
(2)木棒AB的原長(zhǎng)度為100cm．
【分析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得到BC≈0.618AB，則AC≈0.382AB，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得到AC≈0.382AB，BD≈0.382AB，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：∵線段AB被C點(diǎn)黃金分割，
∴BC≈0.618AB，
∴AC≈0.382AB，
∵AB=10cm，
∴AC≈0.382×10=3.82≈3.8cm；
（2）解：∵C，D是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，
∴AC≈0.382AB，BD≈0.382AB，
∴CD≈(1?0.382?0.382)AB=0.236AB，
∵CD≈23.6cm，
∴0.236AB=23.6，
解得AB≈100cm，
答：木棒AB的原長(zhǎng)度為100cm．
【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解黃金分割的定義，根據(jù)線段黃金分割分得線段的比值進(jìn)行計(jì)算．
7．（2023上·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七（1）班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線段中點(diǎn)”內(nèi)容時(shí)，得到一個(gè)很有意思的結(jié)論，請(qǐng)跟隨他們一起思考.
（1）發(fā)現(xiàn)：
如圖1，線段AB=12，點(diǎn)C,E,F在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)E,F是線段AC和線段BC的中點(diǎn)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)為_________；若點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變（請(qǐng)?jiān)趫D2中按題目要求將圖補(bǔ)充完整），得到的線段EF與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系為_________.
（2）應(yīng)用：
如圖3，現(xiàn)有長(zhǎng)為40米的拔河比賽專用繩AB，其左右兩端各有一段（AC和BD）磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求. 已知磨損的麻繩總長(zhǎng)度不足20米. 小明認(rèn)為只利用麻繩AB和一把剪刀（剪刀只用于剪斷麻繩）就可以得到一條長(zhǎng)20米的拔河比賽專用繩EF. 小明所在學(xué)習(xí)小組認(rèn)為此法可行，于是他們應(yīng)用“線段中點(diǎn)”的結(jié)論很快做出了符合要求的專用繩EF，請(qǐng)你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：
①在圖中標(biāo)出點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置，并簡(jiǎn)述畫圖方法；
②請(qǐng)說明①題中所標(biāo)示E,F點(diǎn)的理由.
【答案】（1）6；補(bǔ)圖見解析，EF=12AB （2）①見解析（答案不唯一）②見解析.
【分析】（1）如圖1，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義表示出EC和FC的長(zhǎng)，則EF=EC+FC=12AB,得解;如圖2，由EF=EC-FC=12AB，得解；
（2）①如圖3，在CD上取一點(diǎn)M，使CM=CA，F(xiàn)為BM的中點(diǎn)，點(diǎn) E與點(diǎn)C重合；
②只要證明CF=20，點(diǎn)F在線段CD上即可.
【詳解】解：（1）點(diǎn)C,E,F在線段AB上時(shí)，
因?yàn)辄c(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，所以CE=12AC，
因?yàn)辄c(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，所以CF=12BC，
所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB，
又AB=12，所以EF=6．
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，
此時(shí)，EF=EC-FC═12AC-12BC=12AB.
答案為：6；EF=12AB.
（2）①
圖3
如圖，在CD上取一點(diǎn)M，使CM=CA，F(xiàn)為BM的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合. （答案不唯一）
②因?yàn)镕為BM的中點(diǎn)，所以MF=BF.
因?yàn)锳B=AC+CM+MF+BF,CM=CA，
所以AB=2CM+2MF=2(CM+MF)=2EF.
因?yàn)锳B=40米，所以EF=20米.
因?yàn)锳C+BD20米.
因?yàn)辄c(diǎn)E與點(diǎn)C重合，EF=20米，
所以CF=20米，所以點(diǎn)F落在線段CD上.
所以EF滿足條件.
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和、差、倍、分及三角形的中位線，要熟練掌握線段中點(diǎn)的三種表達(dá)示：若點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，則有①AC=BC，②AB=2AC=2BC，③AC=BC=12AB.次數(shù)
Pi-1Pi
線段OPi的長(zhǎng)
第1次
P0P1=12
OP1=OP0?P0P1=1?12
第2次
P1P2=122
OP2=OP1+P1P2=1?12+122
第3次
P2P3=123
OP3=OP2?P2P3=1?12+122?123
第4次
P3P4=124
OP4=OP3+P3P4=1?12+122?123+124
第5次
…
…
…
如圖1，公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，稱為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割是指把一條線段分割成兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖2，在線段AB上找一點(diǎn)C，把線段AB分成AC和CB兩段，其中AC是較短的一段．如果AC:CB=CB:AB，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值叫做黃金分割數(shù)，約為0.618，即AC=0.618BC，BC=0.618AB．

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