考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對線段中的四種常見思想方法的理解！
【題型1 整體思想】
1．（2023上·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+???+M2023N2023=（ ）
A．10+522022B．10+522023C．10?522022D．10?522023
【答案】C
【分析】根據(jù)MN=10，M1、N1分別為AM、AN的中點，求出M1N1的長度，再由M1N1的長度求出M2N2的長度，找到MnNn的規(guī)律即可求出M1N1+M2N2+???+M2023N2023的值．
【詳解】解：∵MN=10，M1、N1分別為AM、AN的中點，
∴M1N1=AM1?AN1=12AM?12AN=12AM?AN=12MN=12×10=5，
∵M2、N2分別為AM1、AN1的中點，
∴M2N2=AM2?AN2=12AM1?12AN1=12AM1?AN1=12M1N1=12×5=52，
∵M3、N3分別為AM2、AN2的中點，
∴M3N3=AM3?AN3=12AM2?12AN2=12AM2?AN2=12M2N2=12×52=522，
……
由此可得：MnNn=52n?1，
∴M1N1+M2N2+?+M2023N2023=5+52+522+?+522022=10×12+122+?+122023=10×1?122023=10?522022，
故選C．
【點睛】本題考查線段中點的有關(guān)計算，有理數(shù)的簡便運算，相對較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，C，D是線段AB上兩點，M，N分別是線段AD，BC的中點，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD； ②若AC=BD，則AM=BN； ③ AC?BD=2MC?DN；④2MN=AB?CD．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．① ② ③B． ③ ④C．① ② ④D． ① ② ③ ④
【答案】D
【分析】根據(jù)線段中點的定義與線段的和差結(jié)合圖形進行分析．
【詳解】解：∵M，N分別是線段AD，BC的中點，
∴AM=MD=12AD，BN=CN=12BC，
如圖
①若AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∴AD=2AM=2BD，
∴AD=2BD，
∴AB=AD+BD=3BD，故①正確；
②若AC=BD，
∴AD=BC，
∵M、N分別是線段AD，BC的中點，
∴ AM=12AD， BN=12BC，
∴AM=BN，故②正確；
∵AC?BD=(AC+CD)?(CD+BD)=AD?BC，
∴AC?BD=2MD?2CN=2(MC+CD)?CD+DN=2MC?DN，故③正確；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD?CD，
∴2MN=2MD?CD+2CN=2MD?CD+CN，
∵MD=12AD，CN=12BC，
∴2MN=212AD+12BC?CD=AD?CD+BC?CD=AC+BD=AB?CD，
故④正確，
故選：D．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，線段的和差，能夠利用中點的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2023上·福建泉州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，C，D是線段AB上兩點，M，N分別是線段AD，BC的中點，下列結(jié)論：①若AM=BN，則AC=BD；②若AB=3BD，則AD=BM；③AB?CD=2MN；④AC?BD=3MC?DN．其中正確的結(jié)論是 （填序號）．
【答案】①②③
【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)線段中點的定義與線段之間的和差關(guān)系進行分析，即可進行解答．
【詳解】解：①∵M，N分別是線段AD，BC的中點，
∴AM=12AD,BN=12BC，
∵AM=BN，
∴12AD=12BC，即AD=BC，
∴AD?CD=BC?CD，
∴AC=BD，
故①正確，符合題意；
②∵AB=3BD，
∴AD=AB?BD=3BD?BD=2BD，
∵M是線段AD的中點，
∴AM=12AD=BD，
∵BM=AB?AM=3BD?BD=2BD，
∴AD=BM，
故②正確，符合題意；
③∵M，N分別是線段AD，BC的中點，
∴DM=12AD,CN=12BC，
∴MN=DM+CN?CD=12AD+12BC?CD，
整理得：2MN=AD+BC?2CD，即2MN=AB?CD，
故③正確，符合題意；
④∵AC=AM+CM=12AD+CM,BD=BN+DN=12BC+DN，
∴AC?BD=12AD+CM?12BC+DN=12AD?BC+CM?DN，
∴2AC?BD=AD?BC+2CM?DN，
∴AC?BD=2MC?DN，
故④不正確，不符合題意；
故答案為：①②③．
【點睛】本題主要考查了兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握中點的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和差關(guān)系．
4．（2023上·七年級課時練習(xí)）如圖，點C在線段AB上，點M，N分別是AC，BC的中點．
（1）若AC=9cm，CB=6cm，則線段MN的長為____________cm；
（2）若AC=acm，CB=bcm，則線段MN的長為____________cm；
（3）若AB=mcm，求線段MN的長度；
（4）若點C為線段AB上任意一點，且AB=ncm，其他條件不變，你能猜想MN的長度嗎？并用一句簡潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【拓展提問】若將例題中的“點C在線段AB上”改為“點C在線段AB的延長線上”，其他條件不變，（3）中結(jié)論還成立嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【答案】（1）152；（2）a+b2；（3）MN=12mcm；（4）MN=12ncm，描述見解析；【拓展提問】MN=m2cm成立，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)中點性質(zhì)，AC=9cm，CB=6cm，得到CM=92cm，CN=3cm，得到MN=152cm；
（2）根據(jù)中點性質(zhì)，AC=acm，CB=bcm，CM=a2cm，，CN=b2cm得到MN=a+b2cm；
（3）根據(jù)中點性質(zhì)，得到MC=12AC，CN=12BC，根據(jù)AB=mcm，得到MN=m2cm；
（4）猜想MN=n2cm，結(jié)論：若點C為線段一點，且點AB上M,N分別是AC，BC的中點，則MN=12AB；
拓展提問：當點C在線段AB的延長線上時， 根據(jù)中點性質(zhì)，得到MC=12AC，CN=12BC．根據(jù)MN=MC?CN，得到MN=m2cm．
【詳解】（1）∵點M，N分別是AC，BC的中點，AC=9cm，CB=6cm，
∴CM=12AC=92cm，CN=12BC=3cm，
∴MN=CM+CN=152cm；
故答案為：152；
（2）∵點M，N分別是AC，BC的中點，AC=acm，CB=bcm，
∴CM=12AC=a2cm，CN=12BC=b2cm，
∴MN=CM+CN=a+b2cm；
故答案為：a+b2；
（3）∵點M，N分別是AC，BC的中點，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∵MN=MC+CN，AB=mcm，
∴MN=12AC+BC=12AB=m2cm；
（4）猜想：MN=12AB=n2cm；
結(jié)論：若點C為線段AB上一點，且點M,N分別是AC，BC的中點，則MN=12AB；
【拓展提問】MN=m2cm成立．理由：
當點C在線段AB的延長線上時，如圖，
∵點M,N分別是AC，BC的中點，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∵MN=MC?CN，
∴MN=12AC?BC=12AB=m2cm．
【點睛】本題主要考查了線段的中點，線段的和差．熟練掌握中點性質(zhì)，線段的和差關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023上·福建廈門·七年級廈門市湖濱中學(xué)校考期末）如圖已知線段AB、CD，
(1)線段AB在線段CD上（點C、A在點B的左側(cè)，點D在點C的右側(cè)）
①若線段AB=6，CD=14，M、N分別為AC、BD的中點，求MN的長．
②M、N分別為AC、BD的中點，求證：MN=12AB+CD
(2)線段CD在線段AB的延長線上，M、N分別為AC、BD的中點，②中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形，直接寫出結(jié)論
【答案】(1)①10，②見解析
(2)不成立，見解析
【分析】（1）①利用CD?AB求出AC+BD的值，利用中點平分線段，得到AM=12AC,BN=12BD，再利用MN=AM+AB+BN=12AC+BD+AB，即可得解；②利用中點平分線段，得到AM=12AC,BN=12BD，進而得到AM+BN=12AC+BD=12CD?AB，再利用MN=AM+AB+BN，即可得證；
（2）分C點在D點的左側(cè)，點N在點C的右側(cè)，C點在D點的左側(cè)，點N在點C的左側(cè)，以及D點在C點的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可．
【詳解】（1）解：①∵AB=6，CD=14，
∴AC+BD=CD?AB=8，
∵M、N分別為AC、BD的中點，
∴AM=12AC,BN=12BD，
∴MN=AM+AB+BN=12AC+BD+AB=12×8+6=10；
②∵M、N分別為AC、BD的中點，
∴AM=12AC,BN=12BD，
∵AC+BD=CD?AB，
∴AM+BN=12AC+BD=12CD?AB，
∴MN=AM+AB+BN=12CD?AB+AB=12CD+AB；
（2）不成立；
∵M、N分別為AC、BD的中點，
∴AM=MC=12AC,BN=ND=12BD，
①當C點在D點的左側(cè)，點N在點C的右側(cè)時，如圖：
或
MN=MC+CN
=MC+BN?BC
=12AC+12BD?BC
=12AB+BC+12BC+CD?BC
=12AB+CD；
②當C點在D點的左側(cè)，點N在點C的左側(cè)時，如圖：
或
MN=AD?AM?DN
=AD?12AC?12BD
=AD?12AD?CD?12AD?AB
=12AB+CD；
③當D點在C點的左側(cè)時，如圖：
或
MN=CM?CN
=12AC?CD+DN
=12AB+BD+CD?CD+12BD
=12AB?CD；
綜上：MN=12AB+CD或12AB?CD；故結(jié)論不成立．
【點睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．
6．（2023上·吉林白城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段 AB=24，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點．設(shè)點P的運動時間為x秒．
(1) 秒后，PB=2AM．
(2)當P在線段AB上運動時，試說明2BM?PB為定值．
(3)當P在線段AB的延長線上運動時，N為BP的中點，求MN的長度．
【答案】(1)6
(2)2BM?PB=24
(3)12
【分析】（1）分兩種情況討論，①當點P在線段AB上，②當點P在線段AB的延長線上時分別求出x的值即可；
（2）AP=2x，AM=PM=12AP=x，BM=AB?AM=24?x，BP=24?2x，表示出2BM?PB后，化簡即可得出結(jié)論；
（3）AP=2x，AM=PM=12AP=x，BP=AP?AB=2x?24，表示出MN的長度，即可作出判斷．
【詳解】（1）∵點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，
設(shè)點P的運動時間為x秒，
∴ AP=2x
∵ M為AP的中點，
∴ AM=PM=12AP=x
∵ PB=2AM
∴ PB=AP，
當點P在線段AB上時，
∵ AB=24
∴ PB=AB?AP=24?2x
∵ PB=2AM
∴ 24?2x=2x
∴ x=6
當點P在線段AB的延長線上時，
PB=AP?AB=2x?24
∵ PB=2AM
∴ 2x?24=2x，無解；
綜上所述，當點P出發(fā)6秒后，PB=2AM；
（2）由（1）知，AP=2x，AM=PM=12AP=x，
∴ BM=AB?AM=24?x，BP=24?2x，
∴ 2BM?BP=224?x?24?2x=24
∴ 2BM?PB為定值；
（3）由（1）知，AP=2x，AM=PM=12AP=x，
當點P在線段AB的延長線上時，
BP=AP?AB=2x?24
∵ N為BP的中點，
∴ NP=12BP=122x?24=x?12
∴ MN=AP?AM?NP=2x?x?x?12=12．
【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，用含時間x的式子表示出各線段的長度是解本題的關(guān)鍵．
7．（2023上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點，已知AB=20，BC=80，點M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)向點C運動．當其中一動點到達C點時，M、N同時停止運動．已知點M的速度為每秒2個單位長度，點N速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒．
(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長度為________；
(2)當t為何值時，M、N兩點重合?
(3)若點Р為AM中點，點Q為BN中點．問：是否存在時間t，使PQ長度為5?若存在，請說明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50
【分析】（1）由點M的速度為2即可得出答案；
（2）根據(jù)題意可得出BM=t，當M、N兩點重合時，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可；
（3）根據(jù)題意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤50．由此可求出AQ=AB+BQ=20+12t．再根據(jù)PQ=AQ?AP或PQ=AP?AQ，即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可．
【詳解】（1）∵點M的速度為每秒2個單位長度，
∴AM=2t．
故答案為：2t；
（2）根據(jù)題意可知BN=t．
當M、N兩點重合時，有2t=20+t，
解得：t=20．
故t為20時，M、N兩點重合；
（3）根據(jù)題意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤20+802=50．
∴AQ=AB+BQ=20+12t．
∴PQ=AQ?AP或PQ=AP?AQ，
即5=20+12t?t或5=t?20?12t
解得：t=30或t=50．
故存在時間t，使PQ長度為5，此時t的值為30或50．
【點睛】本題考查與線段有關(guān)的動點問題，線段的和與差，與線段中點有關(guān)的計算以及解一元一次方程的實際應(yīng)用．根據(jù)題意找到線段間的數(shù)量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．
【題型2 方程思想】
1．（2023上·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“好點”；如圖2，已知AB=16cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動；點Q從點B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點A勻速運動，點P，Q同時出發(fā)，當其中點P到達終點時，運動停止；設(shè)運動的時間為t(s)，當t= s時，Q為線段AB的“好點”．
【答案】163或8
【分析】根據(jù)題意，得t(s)≤8s；分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三種情況分析，分別列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【詳解】∵動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動
∴點P到達終點時，用時為：16cm2cm/s=8s
∵點P，Q同時出發(fā)，點P速度>點Q速度，且當其中點P到達終點時，運動停止
∴t(s)≤8s
如圖，Q為線段AB的“好點”
∵點Q從點B出發(fā)，以1cms的速度沿BA向點A勻速運動
∴BQ=tcm，則AQ=16?tcm
根據(jù)題意，分AQ=2BQ、BQ=2AQ、AB=2BQ=2AQ三種情況分析；
當AQ=2BQ時，16?t=2t
∴t=163s
∵1638
∴t=323s不符合題意；
當AB=2BQ=2AQ時，16=2t
∴t=8s
∵8=8
∴t=8s符合題意
故答案為：163或8．
【點睛】本題考查了一元一次方程和線段的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程、線段的性質(zhì)，從而完成求解．
2．（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）點C在線段AB上，BC＝2AC．
(1) 如圖1，P，Q兩點同時從C，B出發(fā)，分別以1cm/s，2cm/s的速度沿直線AB向左運動；

①在P還未到達A點時，APCQ的值為 ；
②當Q在P右側(cè)時(點Q與C不重合)，取PQ中點M，CQ的中點是N，求MNQB的值；
(2) 若D是直線AB上一點，且AD?BD=12CD．則BDAB的值為 ．
【答案】（1）①APCQ=12；②14;（2）49或43或815或83
【分析】（1）由線段的和差關(guān)系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）設(shè)AC=x，則BC=2x，∴AB=3x，D點分四種位置進行討論，①當D在A點左側(cè)時，②當D在AC之間時，③當D在BC之間時，④當D在B的右側(cè)時求解即可．
【詳解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分別為1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴APCQ=12
②設(shè)運動t秒
∴PC=tcm，BQ=2tcm
分兩種情況
A:Q在C右側(cè)，
∵M，N分別是PQ，CQ的中點
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MN=MQ?NQ=12PQ?12CQ =12(PQ?CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
B:Q在C左側(cè)，
∵M，N分別是PQ，CQ的中點
∴MQ=12PQ，NQ=12CQ，
∴MD=MQ+NQ=12PQ+12CQ =12(PQ+CQ)=12PC=t2
∴MNQB=t22t=14
（2）∵BC=2AC．
設(shè)AC=x，則BC=2x，
∴AB=3x，
①當D在A點左側(cè)時，
|AD-BD|=BD-AD=AB=12CD，
∴CD=6x，
∴BDAB=8x3x=83 ；
②當D在AC之間時，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x+CD-x+CD=12CD，
x=-32CD（不成立），
③當D在BC之間時，
|AD-BD|=AD-BD=12CD，
∴x+CD-2x+CD=12CD，
CD=23x，
∴BDAB=43x3x=49；
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
∴CD=25x
∴BDAB=85x3x；
④當D在B的右側(cè)時，
|AD-BD|=BD-AD=12CD，
∴2x-CD-x-CD=12CD，
CD=6x，
∴BDAB=4x3x=43．
綜上所述，BDAB的值為49或43或815或83
【點睛】題考查線段的和差問題，距離與絕對值的關(guān)系，動點問題．畫好線段圖，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2023上·四川雅安·七年級階段練習(xí)）如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上三點，點C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．

(1)寫出數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)．
(2)動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動．若M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN＝13CQ，設(shè)運動時間為ts(t＞0)．
①寫出數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)(用含t的式子表示)．
②t為何值時，原點O恰為線段PQ的中點?
【答案】（1）A點表示-10；B點表示2；（2）①點M表示的數(shù)是-10+3t；點N表示的數(shù)是6-t；②t=43.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離即可求出A、B表示的數(shù)；（2）①根據(jù)距離=速度×?xí)r間可得AP=6t，CQ=3t，根據(jù)中點性質(zhì)可得AM=3t，根據(jù)CN＝13CQ可得CN=t，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得答案；②根據(jù)中點定義可得OP=OQ，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)解答即可.
【詳解】（1）∵C表示的數(shù)為6，BC=4，
∴OB=6-4=2，
∴B點表示2，
∵AB=12，
∴AO=12-2=10，
∴A點表示-10；
（2）①由題意得：AP=6t，CQ=3t，
∵M為AP中點，
∴AM=12AP=3t，
∴在數(shù)軸上點M表示的數(shù)是-10+3t，
∵點N在CQ上，CN＝13CQ，
∴CN=t.
∴在數(shù)軸上點N表示的數(shù)是6-t.
②∵原點O恰為線段PQ的中點，
∴OP=OQ，
∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，
∴-10+6t與6-3t互為相反數(shù)，
∴-10+6t=-(6-3t)，
解得：t=43，
∴t=43時，原點O恰為線段PQ的中點.
【點睛】本題主要考查中點的定義、線段之間的和差關(guān)系及數(shù)軸的性質(zhì)，熟練掌握線段中點知識的運用是解題關(guān)鍵.
4．（2023上·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）【探索新知】如圖1，點C在線段AB上，圖中共有3條線段：AB、AC、和BC，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點C是線段AB的“二倍點”.
（1）一條線段的中點 這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如圖2，點A表示數(shù)-10，點B表示數(shù)20，若點M從點B，以每秒3cm的速度向點A運動，當點M到達點A時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒.
（2）點M在運動過程中表示的數(shù)為 （用含t的代數(shù)式表示）；
（3）求t為何值時，點M是線段AB的“二倍點”；
（4）同時點N從點A的位置開始，以每秒2cm的速度向點B運動，并與點M同時停止.請直接寫出點M是線段AN的“二倍點”時t的值.
【答案】（1）是 ；（2）20?3t；（3）103或5或203；（4）152或9011或9013
【分析】（1）可直接根據(jù)“二倍點”的定義進行判斷；
（2）由題意可直接得出；
（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點”定義分類討論的出結(jié)果；
（4）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、MN、AM，然后根據(jù)“二倍點”定義分類討論的出結(jié)果；
【詳解】解：（1）因為線段的中點將線段分為相等的兩部分，該線段等于2倍的中點一側(cè)的線段長，符合“二倍點”的定義，所以一條線段的中點是這條線段的“二倍點”；
故答案為：是．
（2）由題意得出：
點M在運動過程中表示的數(shù)為：20-3t(0≤t≤10)；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
當AM=2BM時，30-3t=6t，解得，t=103；
當2AM=BM時，60-6t=3t，解得，t=203；
當AM=BM時，30-3t=3t，解得，t=5；
答：當103或5或203時，點M是線段AB的“二倍點”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
當AN=2NM時2t=10t-60，解得，t=152；
當2AM=NM時，60-6t=5t-30，解得，t=9011；
當AM=2NM時，30-3t=10t-60，解得，t=9013．
答：當152或9011或9013時，點M是線段AN的“二倍點”．
【點睛】本題考查的知識點是一元一次方程的應(yīng)用以及兩點間的距離，讀懂題意，領(lǐng)會“二倍點”的定義是解此題的關(guān)鍵，此題需要分情況討論，注意不要漏解
5．（2023上·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】
當點C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作dACAB=n．
例如，點C是AB的中點時，即AC=12AB，則dACAB=12；
反之，當dACAB=12時，則有AC=12AB．
因此，我們可以這樣理解：“dACAB=n”與“AC=nAB”具有相同的含義．
(1)【理解與應(yīng)用】
如圖，點C在線段AB上．若AC=3，AB=4，則dACAB=________；若dACAB=2m，則BCAB=________．
(2)【拓展與延伸】
已知線段AB=10cm，點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發(fā)，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設(shè)運動時間為t（單位：s）．
①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當點Q從點B向點A方向運動時，dAPAB+m?dAQAB的值是個定值，求m的值；
②t為何值時，dAQAB?dAPAB=35．
【答案】(1)34，m?2m
(2)①13；②1或8
【分析】（1）根據(jù)“點值”的定義得出答案；
（2）①設(shè)運動時間為t，再根據(jù)dAPAB+m?dAQAB的值是個定值即可求出m的值；②分點Q從點B向點A方向運動時和點Q從點A向點B方向運動兩種情況分析即可．
【詳解】（1）解：∵AC=3，AB=4，
∴AC=34AB，
∴d(ACAB)=34，
∵d(ACAB)=2m，
∴AC=2mAB，
∴∴BC=AB?AC=AB?2mAB=m?2mAB，
∴BCAB=m?2m
故答案為：34，m?2m；
（2）①設(shè)運動時間為t，則AP=t，AQ=10?3t，
根據(jù)“點值”的定義得：d(APAB)=t10，d(AQAB)=10?3t10，
∵dAPAB+m?dAQAB的值是個定值，
∴t10+m?10?3t10=10m+1?3mt10的值是個定值，
∴m=13；
②當點Q從點B向點A方向運動時，
∵dAQAB?dAPAB=35，
∴ 10?3t10?t10=35，
∴t=1；
當點Q從點A向點B方向運動時，
∵dAQAB?dAPAB=35，
∴ 3t?1010?t10=35，
∴t=8，
∴t的值為1或8．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義并能運用是本題的關(guān)鍵．
6．（2023上·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段AB上一點，AC=5cm，點M從點A出發(fā)，沿AB以3cm/s的速度勻速向點B運動．點N從點C出發(fā)，沿CB以1cm/s的速度勻速向點B運動，兩點同時出發(fā)，結(jié)果點M比點N先到3s．設(shè)點M出發(fā)時間為t（s）．

(1)求線段AB的長．
(2)是否存在某個時刻，點C恰好是線段MN的中點？如果存在，請求出t的值．若不存在，請說明理由．
(3)求點M與點N重合時（未到達點B），t的值；
(4)直接寫出點M與點N相距2cm時，t的值．
【答案】(1)12cm；
(2)存在某個時刻，點C恰好是線段MN的中點，t= 54s；
(3)52
(4)t=32或t=72．
【分析】（1）設(shè)AB的長為xcm，則BC＝x?5cm，根據(jù)時間=路程÷速度結(jié)合點M比點N先到3s，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）令ts時，點C是MN的中點，由題意得AM=3t，CN=t，根據(jù)C恰好是線段MN的中點列方程求解即可；
（3）根據(jù)路程=速度×?xí)r間結(jié)合點M與點N重合得出等式，即可得出結(jié)論；
（4）分別利用點M追上點N前和追上后分別相距2cm分別得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)AB=xcm，根據(jù)題意可得：
x?5?x3=3，
解得：x=12，
答：AB的長為12cm；
（2）解：令ts時，點C是MN的中點，由題意得AM=3t，CN=t，
∵C恰好是線段MN的中點，
∴CM=CN，即AC?AM=CN，
∴5?3t=t，
解得t= 54s，
∴存在t= 54s，點C恰好是線段MN的中點；
（3）解：由題意可得：3t＝t+5，
解得：t =52，
故點M與點N重合時（未到達點B），t的值為52；
（4）解：當點M追上點N前相距2cm，
由題意可得：3t+2=t+5，
解得：t=32，
點M追上點N后相距2cm，
由題意可得：3t?2=t+5，
解得：t =72，
綜上所述：t=32或t=72．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
7．（2023上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB的中點．點D在線段CB上，且DB=2.5cm，AD=8.5cm．
(1)線段CD的長度為______．
(2)若點E在射線CA上，且AE=3cm，請求出線段CE的長度．
(3)動點M從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點B方向運動，同時，點N從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A方向運動，假設(shè)t秒時點M與點N相遇，則t=______；假設(shè)第m秒時，點M與點N之間的距離為2cm，則m=______．
【答案】(1)3cm
(2)2.5cm或8.5cm
(3)113；3或133
【分析】（1）利用AD+DB求出AB的長，利用中點，求出BC的長，利用BC?DB求出CD的長；
（2）分點E在線段AC上，和在線段CA的延長線上，兩種情況，討論求解；
（3）利用相遇時總路程為線段AB的長度，列方程計算即可；分點M與點N相遇前和相遇后兩種情況討論求解．
【詳解】（1）解：∵DB=2.5cm，AD=8.5cm，
∴AB=AD+DB=11cm，
∵點C是線段AB的中點，
∴BC=12AB=5.5cm，
∴CD=BC?DB=3cm；
故答案為：3cm；
（2）解：當點E在線段AC上時，如圖：
由（1）知：AC=12AB=5.5cm，
∴CE=AC?AE=5.5?3=2.5cm；
當點E在線段CA的延長線上時：如圖：
此時：CE=AC+AE=8.5cm；
綜上：CE的長度為2.5cm或8.5cm；
（3）解：由題意，得：2+1t=11，解得：t=113，
即：113秒時點M與點N相遇；
故答案為：113；
當點M與點N之間的距離為2cm時，
①點M與點N相遇前：如圖：
由圖可知：2m+2+m=11，解得：m=3；
②點M與點N相遇后：如圖：
此時：AM?AB?BN=MN，即：2m?11?m=2，
解得：m=133；
綜上：當點M與點N之間的距離為2cm時，m=3或133
故答案為：3或133．
【點睛】本題考查線段的和與差，以及線段的中點，一元一次方程的應(yīng)用．正確的識圖，理清線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
8．（2023上·云南楚雄·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知點A，B在數(shù)軸上，M是線段AB上一點，多項式m?m3+3m2的次數(shù)為a，項數(shù)為b，當m=2時，此多項式的值為c．
(1)分別求出a，b，c的值．
(2)如圖1，數(shù)軸上的點A，M，B表示的數(shù)分別是a?2,b+1,c+5，試比較2AM和BM的大?。?br>(3)在（2）的條件下，如圖2，點C在線段AM上，點D在線段BM上，若點C，D分別從M，B出發(fā)以1cm/s,3cm/s（一個單位長度表示1cm）的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示．
①當點C，D運動了2s時，求AC+MD的值．
②設(shè)點C，D的運動時間為ts．當AD?BD=CD時，求t的值．
【答案】(1)a=3，b=3，c=6，
(2)2AM6時，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t?18,
當AP=2AQ=2PQ時，4t=2(18+t), 解得：t=18,
當AQ=2PQ時，18+t=2(3t?18), 解得：t=10.8,
當PQ=2AQ時，3t?18=2(18+t), 解得：t=54,
綜上：當t=187s或t=3.6s或t=1811s或t=18s或t=10.8s或t=54s，點P是線段AQ的“倍分點”.
【點睛】本題考查的是線段的中點的含義，線段的和差運算，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論，理解新定義的含義是解本題的關(guān)鍵.
2．（2023上·江蘇鹽城·七年級景山中學(xué)校考階段練習(xí)）【新知理解】
如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“和諧點”．
(1)線段的中點 這條線段的“和諧點”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點N是線段CD的和諧點，則CN＝ cm；
(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點B勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t，請直接寫出t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t為3或307或154或458或457或6
【分析】（1）若點M是線段AB的中點時，則AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①當N為中點時，CN＝12CD＝6cm；②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN＝13CD＝4cm；③N為CD的三等分點且N靠近D時，CN＝23CD＝8cm．
（3）分P為A、Q的和諧點，Q為A、P的和諧點，兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：若點M是線段AB的中點時，滿足AB＝2AM＝2BM，
∴線段的中點是這條線段的“和諧點”，
故答案為：是；
（2）解：①當N為中點時，CN＝12CD＝6cm；
②N為CD的三等分點，且N靠近C時，CN＝13CD＝4cm；
③N為CD的三等分點且N靠近D時，CN＝23CD＝8cm．
故答案為：6cm或4cm或8cm；
（3）解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由題意可知，A不可能為P、Q的和諧點，此情況排除；
①P為A、Q的和諧點，有三種情況：
1）P為中點，AP＝12AQ，即t＝12（15﹣2t），
解得t＝154；
2）P為AQ的三等分點，且P靠近A，AP＝13AQ，即t＝13（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P為AQ的三等分點，且P靠近Q，AP＝23AQ，即t＝23（15﹣2t），
解得t＝307；
②Q為A、P的和諧點，有三種情況：
1）Q為中點，AP＝12AQ，即15﹣2t＝12t，
解得t＝6；
2）Q為AP的三等分點，且P靠近A，AP＝13AQ，即15﹣2t＝13t，
解得t＝457；
3）Q為AP的三等分點，且P靠近Q，AP＝23AQ，即15﹣2t＝23t，
解得t＝458．
綜上所述，t為3或307或154或458或457或6時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的和諧點．
【點睛】本題主要考查了與線段中點和三等分點有關(guān)的計算，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．
3．（2023上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）某操作車間有一段直線型向左移動的傳輸帶，A，B兩位操作工人站于傳輸帶同側(cè)且相距16米，操作組長F也站在該側(cè)，且到A，B距離相等，傳輸帶上有一個8米長的工具筐CE．
(1)如圖1，當CE位于A，B之間時，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)工具筐的C端離自己只有1米，則工具筐C端離A___________米，工具筐E端離B___________米．
(2)工具筐C端從B點開始隨傳輸帶向左移動直至工具筐E端到達A點為止，這期間工具筐E端到B的距離BE和工具筐E端到F的距離EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示．（你可以在圖2中先畫一畫，再找找規(guī)律）
【答案】(1)7，1
(2)EF?BE=8或EF+BE=8或BE?EF=8．
【分析】（1）根據(jù)線段的和差可得答案；
（2）分三種情況：當點C在線段BF上時或當點C在線段AF上時或當點C在線段BA的延長線上時，正確畫出圖形即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）由題意得，AB=16m，
∵F到A，B距離相等，
∴AF=BF=8m，
∵CE=8米，CF=1m，
∴EF=8?1=7m，BE=8?7=1m．
故答案為：7，1；
（2）①當點C在線段BF上時，如圖，
設(shè)BC=x，則BE=8?x，EF=16?x，
∴EF?BE=(16?x)?(8?x)=8；
②當點C在線段AF上時，如圖，
設(shè)BC=x，則BE=x?8，EF=16?x，
∴EF+BE=(16?x)+(x?8)=8；
③當點C在線段BA的延長線上時，如圖，
設(shè)BC=x，則BE=x?8，EF=x?16，
∴BE?EF=(x?8)?(x?16)=8；
綜上，EF?BE=8或EF+BE=8或BE?EF=8．
【點睛】本題考查兩點間的距離，熟練掌握線段的和差是解題關(guān)鍵．
4．（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足m?4+n?82=0，點M，N分別為AB，CD中點．
(1)求線段AB，CD的長；
(2)線段AB以每秒4個單位長度向右運動，線段CD以每秒1個單位長度也向右運動．若運動6秒后，MN＝4，求此時線段BC的長；
(3)若BC＝24，將線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運動，在線段AB向右運動的某一個時間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個定值，并直接寫出t在哪一個時間段內(nèi)．
【答案】(1)線段AB的長是4，線段CD的長是8
(2)16或8
(3)當7.5≤t≤9時，MN+AD為定值，定值為6
【分析】（1）利用絕對值和平方的非負性求出m和n的值即可；
（2）分M′在N′的左側(cè)和M′在N′的右側(cè)兩種情況，根據(jù)線段的和差關(guān)系列出方程，即可求解；
（3）由題意，運動t秒后，MN=30?4t，AD=36?4t，分段討論即可求解．
【詳解】（1）解：∵m?4+n?82=0，
∴m?4=0，n?82=0，
∴m=4，n=8，
∴AB=4，CD=8，
即線段AB的長是4，線段CD的長是8；
（2）解：∵AB=4，CD=8，
∴MB=12AB=2，CN=12CD=4，
設(shè)運動后點M對應(yīng)點為M′，點N對應(yīng)點為N′，分兩種情況，
若6秒后，M′在N′的左側(cè)時：MN+NN′=MM′+M′N′，
∴MB+BC+CN+NN′=MM′+M′N′，
即2+BC+4+6×1=6×4+4，
解得BC=16．
若6秒后，M′在N′的右側(cè)時：MM′=MN+NN′+M′N′，
∴MM′=MB+BC+CN+NN′+M′N′，
即6×4=2+BC+4+6×1+4，
解得BC=8．
即線段BC的長為16或8；
（3）解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，
∴MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，
∵線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運動，
∴運動t秒后，MN=30?4t，AD=36?4t，
當0≤t9時，MN+AD=4t?30+4t?36=8t?66；
故當7.5≤t≤9時，MN+AD為定值，定值為6．
【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差關(guān)系，以及數(shù)軸上的動點問題，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想．
5．（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上線段AB=2（單位長度），CD=4（單位長度），點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是10，若線段AB以3個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以1個單位長度/秒的速度也向右勻速運動．
(1)線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時間；
(2)問運動多少秒時BC=2（單位長度）；
(3)設(shè)線段AB，CD開始運動后的運動時間為t秒，當t為何值時，恰好滿足AD=2BC．
【答案】(1)t=3秒；
(2)①B、C相遇之前：t=7秒，②B、C相遇之后：t=9秒
(3)當t為5秒或9秒后恰好滿足AD=2BC
【分析】（1）根據(jù)線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開相當于線段AB比線段CD多走的路程為AB+CD，由此求解即可；
（2）分B、C相遇之前和B、C相遇之后，兩種情況討論求解即可；
（3）由題可得，t秒后A，B，C，D可分別表示為：A：?8+3t，B：?6+3t，C：10+t，D：14+t．則：AD=14+t??8+3t=22?2t，BC=10+t??6+3t=16?2t，然后分分B、C相遇之前和B、C相遇之后，兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：B、C相遇后到A點完全離開：
t=AB+CDVAB?VCD=(?6)?(?8)+(14?10)3?1=2+42=3秒
（2）解：①B、C相遇之前：
t=BC?2VAB?VCD=10?(?6)?23?1=142=7秒
②B、C相遇之后：
t=BC+2VAB?VCD=10?(?6)+23?1=182=9秒
（3）由題可得，t秒后A，B，C，D可分別表示為：A：?8+3t，B：?6+3t，C：10+t，D：14+t．
則：AD=14+t??8+3t=22?2t，BC=10+t??6+3t=16?2t，
①B、C相遇之前，由題可得：
22?2t=216?2t
2t=10
t=5
②B、C相遇之后，由題可得：
22?2t=22t?16
?6t=?54
t=9
綜上所述：當t為5秒或9秒后恰好滿足AD=2BC．
【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上的動點問題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
6．（2023上·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，點M以1cm/s的速度從點A沿線段AC向點C運動；同時點N以2cm/s從點C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運動（即沿C→B→C→B→…運動），當點M運動到點C時，點M、N都停止運動，設(shè)點M運動的時間為ts．
（1）當t＝1時，求MN的長；
（2）當t為何值時，點C為線段MN的中點？
（3）若點P是線段CN的中點，在整個運動過程中，是否存在某個時間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）7cm；（2）t＝2或143；（3）存在，長度分別為6cm或2cm
【分析】（1）根據(jù)題意可知當t＝1時，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；
（2）由題意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根據(jù)點M運動到點C時，點M、N都停止運動，可得0≤t≤6，分三種情況：①當0≤t≤2時，點N從C向B運動，可求得t＝2；②當2＜t≤4時，點N從B向C運動，求出t＝2不合題意；③當4＜t≤6時，點N從C向B運動，可求得t＝143；
（3）由題意可知存在某個時間段，使PM的長度保持不變，與（2）一樣分三種情況分別探究即可．
【詳解】解：（1）當t＝1時，AM＝1cm，CN＝2cm，
∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），
∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；
（2）由題意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，
∵點M運動到點C時，點M、N都停止運動，
∴0≤t≤6，
①當0≤t≤2時，點N從C向B運動，CN＝2tcm，
∵點C為線段MN的中點，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
②當2＜t≤4時，點N從B向C運動，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，
∵點C為線段MN的中點，
∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2（舍去）；
③當4＜t≤6時，點N從C向B運動，CN＝（2t﹣8）cm，
∵點C為線段MN的中點，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，
解得：t＝143；
綜上所述，當t＝2或143時，點C為線段MN的中點.
（3）如圖2，
①當0≤t≤2時，點N從C向B運動，CN＝2tcm，
∵點P是線段CN的中點，
∴CP＝12CN＝tcm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此時，PM的長度保持不變；
②當2＜t＜4時，點N從B向C運動，CN＝（8﹣2t）cm，
∵點P是線段CN的中點，
∴CP＝12CN＝12（8﹣2t）＝（4﹣t） cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此時，PM的長度變化；
③當4≤t≤6時，點N從C向B運動，CN＝（2t﹣8）cm，
∵點P是線段CN的中點，
∴CP＝12CN＝12（2t﹣8）＝（t﹣4）cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此時，PM的長度保持不變；
綜上所述，當0≤t≤2或4≤t≤6時，使PM的長度保持不變；PM的長度分別為6cm或2cm．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，兩點之間距離的概念，中點定義，線段和差計算等，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
7．（2023上·浙江杭州·七年級階段練習(xí)）如圖，將一條長為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時卷尺分為了三段，若這三段長度由短到長的比為1：2：3，則折痕對應(yīng)的刻度有幾種可能．
【答案】折痕對應(yīng)的刻度有4種：20cm、25cm、35cm和40cm．
【分析】先確定這三段的長度分別為10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6種情況：（1）剪切處右邊部分長度為10cm，左邊為20cm；（2）剪切處右邊部分長度為10cm，左邊為30cm；（3）剪切處右邊部分長度為20cm，左邊為10cm；（4）剪切處右邊部分長度為20cm，左邊為30cm；（5）剪切處右邊部分長度為30cm，左邊為10cm；（6）剪切處右邊部分長度為30cm，左邊為20cm；分別求出折痕刻度，問題即得解決．
【詳解】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm），
10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段長分別為10cm、20cm、30cm；
（1）當剪切處右邊部分長度為10cm，剪切處左邊的卷尺為20cm時，折痕對應(yīng)刻度為10+20÷2＝20（cm）；
（2）當剪切處右邊部分長度為10cm，剪切處左邊的卷尺為30cm時，折痕對應(yīng)刻度為10+30÷2＝25（cm）；
（3）當剪切處右邊部分長度為20cm，剪切處左邊的卷尺為10cm時，折痕對應(yīng)刻度為20+10÷2＝25（cm）；
（4）當剪切處右邊部分長度為20cm，剪切處左邊的卷尺為30cm時，折痕對應(yīng)刻度為20+30÷2＝35（cm）；
（5）當剪切處右邊部分長度為30cm，剪切處左邊的卷尺為10cm時，折痕對應(yīng)刻度為30+10÷2＝35（cm）；
（6）當剪切處右邊部分長度為30cm，剪切處左邊的卷尺為20cm時，折痕對應(yīng)刻度為30+20÷2＝40（cm）．
綜上所述：折痕對應(yīng)的刻度有4種：20cm、25cm、35cm和40cm．
【點睛】本題考查了圖形的剪拼和線段的和差計算，解答此題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件全面討論、正確列式求解．
8．（2023上·天津·七年級統(tǒng)考期末）已知點C在線段AB上，AC=2BC，點D、E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)．若AB=18，DE=8，線段DE在線段AB上移動．
(1)如圖1，當E為BC中點時，求AD的長；
(2)點F（異于A，B，C點）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的長．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】（1）根據(jù)AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根據(jù)中點的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．
（2）點F（異于A，B，C點）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，確定點F是BC的中點，即可求出AD的長．
【詳解】（1）AC=2BC，AB=18，
∴BC=6，AC=12，
如圖1，
∵E為BC中點，
∴CE=BE=3，
∵DE=8，
∴BD=DE+BE=8+3=11，
∴AD=AB?DB=18?11=7，
（2）Ⅰ、當點E在點F的左側(cè)，如圖2，
或
∵CE+EF=3，BC=6，
∴點F是BC的中點，
∴CF=BF=3，
∴AF=AB?BF=18?3=15，
∴AD=13AF=5，
∵CE+EF=3，故圖2（b）這種情況求不出；
Ⅱ、如圖3，當點E在點F的右側(cè)，
或
∵AC=12，CE+EF=CF=3，
∴AF=AC?CF=9，
∴AF=3AD=9，
∴AD=3．
∵CE+EF=3，故圖3（b）這種情況求不出；
綜上所述：AD的長為3或5．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．
【題型4 數(shù)形結(jié)合思想】
1．（2023上·四川成都·七年級石室中學(xué)校考期末）如圖，有一根木棒MN放置在數(shù)軸上，它的兩端M、N分別落在點A、B處．將木棒在數(shù)軸上水平移動，當MN的中點移動到點B時，點N所對應(yīng)的數(shù)為17.5，當MN的右三等分點移動到點A時，點M所對應(yīng)的數(shù)為4.5，則木棒MN的長度為 ．
【答案】6.
【分析】如圖，G為AB的中點，F(xiàn),P為AB的三等分點，設(shè)MN=AB=3x, 再利用線段的和差關(guān)系表示AM1，BN1， 結(jié)合題意可得M1對應(yīng)的數(shù)為4.5，N1對應(yīng)的數(shù)為17.5， 再求解M1N1， 從而可列方程求解x，于是可得MN的長．
【詳解】解：如圖，G為AB的中點，F(xiàn),P為AB的三等分點，
設(shè)MN=AB=3x,
由題意得：AG=BG=BN1=1.5x, AF=FP=PB=x, AM1=2x,
∴M1N1=2x+3x+1.5x=6.5x,
∵M1對應(yīng)的數(shù)為4.5，N1對應(yīng)的數(shù)為17.5，
∴M1N1=17.5?4.5=13，
∴6.5x=13,
∴x=2,
∴MN=3x=6.
故答案為：6.
【點睛】本題考查的是線段的中點，線段的三等分點的含義，數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上動點問題，一元一次方程的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，把一根細線繩對折成兩條重合的線段AB，點P在線段AB上，且AP:BP=2:3．
（l）若細線繩的長度是100cm，求圖中線段AP的長；
（2）從點P處把細線繩剪斷后展開，細線繩變成三段，若三段中最長的一段為60cm，求原來細線繩的長．
【答案】（1）20cm；（2）150cm或100cm.
【分析】（1）由“一根細線繩對折成兩條重合的線段AB”可知線段AB的長為細線長度的一半，由AP:BP=2:3即可求出線段AP長；
（2）分情況討論，當點A為對折點時，最長的一段為PAP段，由此可求出AP長，根據(jù)AP:BP=2:3可得BP長，易得AB長，由細線長為2AB求解即可；當點B為對折點時，最長的一段為PBP段，由此可求出BP長，根據(jù)AP:BP=2:3可得AP長，易得AB長，由細線長為2AB求解即可.
【詳解】解：（1）由題意得AB=12×100=50cm，
∵AP:BP=2:3,AP+BP=AB
∴AP=AB2+3×2=20cm
所以圖中線段AP的長為20cm.
（2）如圖，當點A為對折點時，最長的一段為PAP段，
∴2AP=60cm,∴AP=30cm，
∵AP:BP=2:3
∴BP=302×3=45cm
∴AB=AP+BP=30+45=75cm
所以細線長為2AB=2×75=150cm；
如圖，當點B為對折點時，最長的一段為PBP段，
∴2BP=60cm,∴BP=30cm，
∵AP:BP=2:3
∴AP=303×2=20cm
∴AB=AP+BP=20+30=50cm
所以細線長為2AB=2×50=100cm，
綜合上述，原來細線繩的長為150cm或100cm.
【點睛】本題主要考查了線段的和與差，靈活的利用線段的比例及已知線段的長度是解題的關(guān)鍵.
3．（2023上·河南周口·七年級期末）學(xué)習(xí)了線段的中點之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeGebra做了n次取線段中點實驗：如圖，設(shè)線段OP0=1．第1次，取OP0的中點P1；第2次，取P0P1的中點P2；第3次，取P1P2的中點P3，第4次，取P2P3的中點P4；…
(1)請完成下列表格數(shù)據(jù)．
(2)小明對線段OP4的表達式進行了如下化簡：
因為OP4=1?12+122?123+124，
所以2OP4=21?12+122?123+124 =2?1+12?122+123．
兩式相加，得3OP4=2+124．
所以O(shè)P4=23+13×24．
請你參考小明的化簡方法，化簡OP5的表達式．
(3)類比猜想：Pn?1Pn=__________，OPn=_________________，隨著取中點次數(shù)n的不斷增大，OPn的長最終接近的值是__________．
【答案】(1)P4P5=125，OP5=OP4?P4P5=1?12+122?123+124?125
(2)OP5=23?13×25
(3)12n，23+(?1)n3×2n，23
【分析】（1）根據(jù)表中的規(guī)律可求出P4P5，根據(jù)OP5=OP4?P4P5可得出答案；
（2）參照小明對線段OP4的表達式的化簡可得OP5的表達式；
（3）根據(jù)類比猜想可得答案．
【詳解】（1）解：P4P5=125，OP5=OP4?P4P5=1?12+122?123+124?125；
故答案為：P4P5=125，OP5=OP4?P4P5=1?12+122?123+124?125；
（2）解：因為OP5=1?12+122?123+124?125，
所以2OP5=21?12+122?123+124?125 =2?1+12?122+123?124．
兩式相加，得3OP5=2?125．
所以O(shè)P5=23?13×25；
（3）解：Pn?1Pn=12n，OPn=23+(?1)n3×2n，隨著取中點次數(shù)n的不斷增大OPn的長最終接近的值是23．
故答案為：12n，23+(?1)n3×2n，23．
【點睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，找到規(guī)律并會表現(xiàn)出來是解題關(guān)鍵．
4．（2023上·安徽阜陽·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小軒同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、3、8，已知a+5+(b+1)2=0
(1)求a和b的值：
(2)若小軒把木棒m沿x軸正方向移動，m的速度為4個單位/s，設(shè)平移時間為t(s)，在平移過程中原點O恰好是木棒m的中點，求t的值；
(3)若小軒把木棒n與m同時沿x軸正方向移動，m的速度為4個單位/s，n的速度為3個單位s，設(shè)平移時間為t(s)．在平移過程中，當木棒m、n重疊部分的長為3個單位長度時，求t的值．
【答案】(1)a=?5，b=?1
(2)t=34s
(3)t=7s或10s
【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性進行求解即可；
（2）根據(jù)原點是中點，列式計算即可；
（3）分m在n后面和前面，兩種情況分類討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵a+5+b+12=0，
∴a+5=0，b+1=0，
∴a=?5，b=?1；
（2）解：由題意得：木棒m未移動時，木棒m的中點所表示的數(shù)為：(a+b)÷2=(?5?1)÷2=?3．
∴當平移過程中原點O恰好是木棒m的中點時，
小棒移動了3個單位長度，
∴t=34s．
（3）解： 設(shè)t秒重疊3個單位長度，
m在n后面時，小棒未移動時：BC=3?(?1)=4，
4t=3t+4+3，
t=7，
m在n前面時，小棒未移動時：AD=8?(?5)=13，
4t=3t+13?3，
t=10，
綜上t=7s或10s．
【點睛】本題考查絕對值的非負性，數(shù)軸上兩點間的距離，線段的中點，以及一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握絕對值的非負性，數(shù)軸上兩點間的距離以及中點公式，是解題的關(guān)鍵．
5．（2023下·江蘇淮安·七年級校考階段練習(xí)）數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：
①絕對值的幾何意義：一般地，若點A、點B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，那么A、B兩點之間的距離表示為|a﹣b|，記作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|則表示數(shù)3和1在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示數(shù)3和﹣1在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；
②若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，那么線段AB的中點M表示的數(shù)為a+b2．
請借用數(shù)軸和以上規(guī)律解決下列問題：
如圖，已知數(shù)軸上有A、B兩點，分別表示的數(shù)為﹣10，6，點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒1個單位長度從點B出發(fā)沿數(shù)軸向左勻速運動，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
(1)A、B兩點的距離為 個單位長度；線段AB的中點M所表示的數(shù)為 ；
(2)點P運動t秒后所在位置的點表示的數(shù)為 ；點Q運動t秒后所在位置的點表示的數(shù)為 ．（用含t的式子表示）
(3)P、Q兩點經(jīng)過多少秒會相距5個單位長度？
(4)在點P、Q運動過程中，O、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點時，直接寫出此時t的值．
【答案】(1)16，?2
(2)?10+2t,6?t
(3)t＝113或7
(4)t＝4或265或112
【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式，數(shù)軸上線段的中點計算公式可得答案；
（2）數(shù)軸上點向右移動終點對應(yīng)的數(shù)等于起點對應(yīng)的數(shù)加上移動距離，數(shù)軸上點向左移動終點對應(yīng)的數(shù)等于起點對應(yīng)的數(shù)減去移動距離，從而可得答案；
（3）由t秒后，點P表示的數(shù)?10+2t，點Q表示的數(shù)為6?t，表示PQ=|(?10+2t)?(6?t)|=|3t?16|,再構(gòu)建絕對值方程，再解方程即可；
（4）分①當0＜t≤5時，O是線段PQ的中點，②當5＜t≤163時，P為線段OQ的中點，③當163＜t≤6時，Q為線段OP的中點，④當6＜t≤8時，O為線段PQ的中點，再利用中點對應(yīng)的數(shù)的計算方法構(gòu)建方程，再解方程即可．
【詳解】（1）解：A、B兩點的距離為6??10=16；
線段AB的中點M所表示數(shù)為?10+62=?2；
（2）點P運動t秒后所在位置的點表示的數(shù)為?10+2t；
點Q運動t秒后所在位置的點表示的數(shù)為 6?t；
（3）∵t秒后，點P表示的數(shù)?10+2t，點Q表示的數(shù)為6?t，
∴PQ=|(?10+2t)?(6?t)|=|3t?16|,
又P、Q兩點相距5個單位長度，
∴3t?16=5，
解得：t=113或t=7，
∴P、Q兩點經(jīng)過113s或7s時相距5個單位長度
（4）t＝4或265或112．
理由∶①當O是線段PQ的中點，且P點在原點左側(cè)，Q點在原點右側(cè)，此時0＜t≤5，
由題意得?10+2t+6?t2=0，
解得t＝4．
②當P為線段OQ的中點，P點在原點和Q點之間，
當P、Q兩點重合時，2t+t=6??10，即t=163，
∴此時5＜t≤163，
由題意得6?t+02=?10+2t，
解得t=265；
③當Q為線段OP的中點，Q點在原點和P點之間，此時163＜t≤6
由題意得?10+2t+02=6?t，
解得t=112；
④當O為線段PQ的中點，且Q點在原點左側(cè)，P點在原點右側(cè)，此時t＞6，
由題意得?10+2t+6?t2=0，
解得t＝4（不合題意，舍去），
綜上所述：t＝4或265或112．
【點睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上線段的中點對應(yīng)的數(shù)的計算方法，熟練的構(gòu)建方程解題是關(guān)鍵．
6．（2023上·江蘇南通·七年級校聯(lián)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．
完成以下任務(wù)：
(1)如圖2，線段AB被點C黃金分割．若AB長為10cm，求AC的長；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）
(2)如圖3，一根一側(cè)燒毀的木棒工件AB（粗度不計），在它的兩個黃金分割點C，D處鉆有小孔．若量得C，D間的距離約為23.6cm，求木棒AB的原長度．
【答案】(1)3.8cm
(2)木棒AB的原長度為100cm．
【分析】（1）根據(jù)黃金分割點的定義得到BC≈0.618AB，則AC≈0.382AB，進一步計算即可求解；
（2）根據(jù)黃金分割點的定義得到AC≈0.382AB，BD≈0.382AB，進一步計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵線段AB被C點黃金分割，
∴BC≈0.618AB，
∴AC≈0.382AB，
∵AB=10cm，
∴AC≈0.382×10=3.82≈3.8cm；
（2）解：∵C，D是線段AB的兩個黃金分割點，
∴AC≈0.382AB，BD≈0.382AB，
∴CD≈(1?0.382?0.382)AB=0.236AB，
∵CD≈23.6cm，
∴0.236AB=23.6，
解得AB≈100cm，
答：木棒AB的原長度為100cm．
【點睛】本題考查兩點之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解黃金分割的定義，根據(jù)線段黃金分割分得線段的比值進行計算．
7．（2023上·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）七（1）班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線段中點”內(nèi)容時，得到一個很有意思的結(jié)論，請跟隨他們一起思考.
（1）發(fā)現(xiàn)：
如圖1，線段AB=12，點C,E,F在線段AB上，當點E,F是線段AC和線段BC的中點時，線段EF的長為_________；若點C在線段AB的延長線上，其他條件不變（請在圖2中按題目要求將圖補充完整），得到的線段EF與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系為_________.
（2）應(yīng)用：
如圖3，現(xiàn)有長為40米的拔河比賽專用繩AB，其左右兩端各有一段（AC和BD）磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求. 已知磨損的麻繩總長度不足20米. 小明認為只利用麻繩AB和一把剪刀（剪刀只用于剪斷麻繩）就可以得到一條長20米的拔河比賽專用繩EF. 小明所在學(xué)習(xí)小組認為此法可行，于是他們應(yīng)用“線段中點”的結(jié)論很快做出了符合要求的專用繩EF，請你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：
①在圖中標出點E、點F的位置，并簡述畫圖方法；
②請說明①題中所標示E,F點的理由.
【答案】（1）6；補圖見解析，EF=12AB （2）①見解析（答案不唯一）②見解析.
【分析】（1）如圖1，根據(jù)線段中點的定義表示出EC和FC的長，則EF=EC+FC=12AB,得解;如圖2，由EF=EC-FC=12AB，得解；
（2）①如圖3，在CD上取一點M，使CM=CA，F(xiàn)為BM的中點，點 E與點C重合；
②只要證明CF=20，點F在線段CD上即可.
【詳解】解：（1）點C,E,F在線段AB上時，
因為點E是線段AC的中點，所以CE=12AC，
因為點F是線段BC的中點，所以CF=12BC，
所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB，
又AB=12，所以EF=6．
當點C在線段AB的延長線上時，如圖2，
此時，EF=EC-FC═12AC-12BC=12AB.
答案為：6；EF=12AB.
（2）①
圖3
如圖，在CD上取一點M，使CM=CA，F(xiàn)為BM的中點，點E與點C重合. （答案不唯一）
②因為F為BM的中點，所以MF=BF.
因為AB=AC+CM+MF+BF,CM=CA，
所以AB=2CM+2MF=2(CM+MF)=2EF.
因為AB=40米，所以EF=20米.
因為AC+BD20米.
因為點E與點C重合，EF=20米，
所以CF=20米，所以點F落在線段CD上.
所以EF滿足條件.
【點睛】本題考查了線段的和、差、倍、分及三角形的中位線，要熟練掌握線段中點的三種表達示：若點C是線段的中點，則有①AC=BC，②AB=2AC=2BC，③AC=BC=12AB.次數(shù)
Pi-1Pi
線段OPi的長
第1次
P0P1=12
OP1=OP0?P0P1=1?12
第2次
P1P2=122
OP2=OP1+P1P2=1?12+122
第3次
P2P3=123
OP3=OP2?P2P3=1?12+122?123
第4次
P3P4=124
OP4=OP3+P3P4=1?12+122?123+124
第5次
…
…
…
如圖1，公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，稱為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割是指把一條線段分割成兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖2，在線段AB上找一點C，把線段AB分成AC和CB兩段，其中AC是較短的一段．如果AC:CB=CB:AB，那么稱線段AB被點C黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點，這個比值叫做黃金分割數(shù)，約為0.618，即AC=0.618BC，BC=0.618AB．

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